2024年新高考數學一輪復習專題19計數原理與二項式定理（原卷版）一、選擇題（每題1分，共5分）1.在一個排列問題中，從5個不同元素中取出3個元素進行排列，不考慮順序，有多少種不同的組合方式？A.10B.20C.30D.602.若一個事件的概率為p，則該事件不發生的概率為？A.pB.1pC.2pD.1/2p3.在二項式展開式(x+y)^n中，x的指數和y的指數之和總是等于？A.nB.2nC.n+1D.n14.在組合問題中，從n個不同元素中取出r個元素，不考慮順序，組合數的計算公式是？A.n^rB.n!/(r!(nr)!)C.n!/r!D.(n+r)!5.若一個班級有30名學生，其中有18名女生，要選出5名學生參加比賽，至少有一名女生的選法有多少種？A.142506B.150000C.180000D.200000二、判斷題（每題1分，共5分）1.在排列問題中，元素的順序是重要的。()2.在組合問題中，從n個不同元素中取出r個元素，不考慮順序，組合數總是小于或等于排列數。()3.在二項式展開式中，每一項的系數都相等。()4.若一個事件的概率為0，則該事件一定不會發生。()5.在概率問題中，兩個互斥事件的概率之和總是等于1。()三、填空題（每題1分，共5分）1.在一個排列問題中，從5個不同元素中取出3個元素進行排列，共有______種不同的排列方式。2.在組合問題中，從10個不同元素中取出5個元素，不考慮順序，共有______種不同的組合方式。3.在二項式展開式(a+b)^6中，a^3b^3的系數是______。4.若一個事件的概率為0.3，則該事件不發生的概率是______。5.在一個班級中有40名學生，其中有18名女生，要選出5名學生參加比賽，至少有一名女生的選法有______種。四、簡答題（每題2分，共10分）1.簡述排列與組合的區別。2.解釋什么是二項式定理。3.如何計算一個事件的概率？4.簡述概率的加法規則。5.解釋什么是互斥事件。五、應用題（每題2分，共10分）1.一個籃子里有5個紅球和3個藍球，隨機取出2個球，求取出的兩個球顏色相同的概率。2.在一個數學競賽中，共有10道題目，每道題目有4個選項，其中只有1個正確答案。如果一個學生隨機選擇答案，求他恰好答對5道題目的概率。3.一個班級有50名學生，其中有20名男生和30名女生。要選出5名學生參加比賽，求至少有3名女生的選法有多少種？4.在二項式展開式(x2y)^5中，求x^3y^2的系數。5.一個袋子里有6個紅球，4個綠球和5個藍球。隨機取出3個球，求取出的球中至少有一個紅球和一個綠球的概率。六、分析題（每題5分，共10分）1.一個密碼鎖由4個數字組成，每個數字可以是0到9中的任意一個。求密碼鎖的總可能性，并計算至少包含一個數字“7”的密碼所占的比例。2.一個班級有60名學生，其中有30名男生和30名女生。要選出10名學生參加比賽，求選出的學生中男生和女生人數相等的概率。七、實踐操作題（每題5分，共10分）1.設計一個實驗來驗證二項式定理。要求詳細描述實驗步驟和所需材料。2.制作一個概率模型，用于計算從一個裝有紅球、綠球和藍球的袋子中隨機取出兩個球，取出的球顏色相同的概率。要求詳細描述模型的制作過程和所需材料。八、專業設計題（每題2分，共10分）1.設計一個實驗方案來驗證組合數的計算公式，并解釋實驗結果。2.創建一個概率模型，用于計算從一個裝有紅球、綠球和藍球的袋子中隨機取出兩個球，取出的球顏色相同的概率。3.設計一個算法，用于計算二項式展開式中的任意一項的系數。4.設計一個調查問卷，用于收集數據并計算某項技能在人群中的普及率。5.創建一個數學模型，用于預測某種疾病的傳播趨勢，并解釋模型的意義。九、概念解釋題（每題2分，共10分）1.解釋什么是排列，并給出一個排列的例子。2.解釋什么是組合，并給出一個組合的例子。3.解釋什么是二項式定理，并給出一個二項式定理的應用例子。4.解釋什么是概率，并給出一個概率的例子。5.解釋什么是事件，并給出一個事件的例子。十、思考題（每題2分，共10分）1.在一個排列問題中，從5個不同元素中取出3個元素進行排列，不考慮順序，有多少種不同的組合方式？2.若一個事件的概率為p，則該事件不發生的概率為多少？3.在二項式展開式(xy)n中，x的指數和y的指數之和總是等于多少？4.在組合問題中，從n個不同元素中取出r個元素，不考慮順序，組合數的計算公式是什么？5.若一個班級有30名學生，其中有18名女生，要選出5名學生參加比賽，至少有一名女生的選法有多少種？十一、社會擴展題（每題3分，共15分）1.設計一個調查問卷，用于收集數據并分析某項政策在人群中的接受程度。2.創建一個數學模型，用于預測某種商品在未來一段時間的銷售趨勢，并解釋模型的意義。3.設計一個實驗方案，用于驗證某種藥物對某種疾病的療效，并解釋實驗結果。4.創建一個概率模型，用于計算某項體育比賽中，一支隊伍贏得比賽的概率。5.設計一個調查問卷，用于收集數據并分析某項技能在人群中的普及率，并根據結果提出相應的建議。一、選擇題答案1.B2.B3.A4.C5.D二、判斷題答案1.對2.錯3.對4.錯5.對三、填空題答案1.102.1p3.n4.C(n,r)5.90四、簡答題答案1.排列是從n個不同元素中取出m個元素，按照一定的順序排列起來，不同的排列方式稱為排列。例如，從5個不同元素中取出3個元素進行排列，有P(5,3)種不同的排列方式。2.組合是從n個不同元素中取出m個元素，不考慮順序，不同的組合方式稱為組合。例如，從5個不同元素中取出3個元素進行組合，有C(5,3)種不同的組合方式。3.二項式定理是關于二項式展開式的定理，它描述了二項式展開式中各項的系數與指數之間的關系。例如，二項式展開式(xy)n的展開式中，x的指數和y的指數之和總是等于n。4.概率是描述事件發生可能性大小的數值，通常用P(A)表示事件A發生的概率。概率的取值范圍在0到1之間，0表示事件不可能發生，1表示事件必然發生。5.事件是概率論中基本的概念，它描述了某個隨機試驗可能出現的結果。例如，拋擲一枚硬幣，正面朝上和反面朝上就是兩個不同的事件。五、應用題答案1.解：根據題意，密碼鎖由6位數字組成，每位數字可以是0到9中的任意一個。所以，總的可能性為10^6。至少包含一個數字7的密碼，可以先計算出所有不包含數字7的密碼數量，然后用總數量減去這個數量。不包含數字7的密碼，每位數字有9種選擇（0到9中除去7），所以總共有9^6種。因此，至少包含一個數字7的密碼所占的比例為(10^69^6)/10^6。2.解：根據題意，班級有60名學生，其中30名男生和30名女生。要選出10名學生參加比賽，選出的學生中男生和女生人數相等的概率，可以先計算出所有可能的選法，然后計算出男生和女生人數相等的選法，用相等的選法除以總選法。所有可能的選法為C(60,10)，男生和女生人數相等的選法為C(30,5)C(30,5)。所以，男生和女生人數相等的概率為(C(30,5)C(30,5))/C(60,10)。六、分析題答案1.解：根據題意，要計算至少包含一個數字7的密碼所占的比例。可以先計算出所有不包含數字7的密碼數量，然后用總數量減去這個數量。不包含數字7的密碼，每位數字有9種選擇（0到9中除去7），所以總共有9^6種。因此，至少包含一個數字7的密碼所占的比例為(10^69^6)/10^6。2.解：根據題意，要計算選出的學生中男生和女生人數相等的概率。可以先計算出所有可能的選法，然后計算出男生和女生人數相等的選法，用相等的選法除以總選法。所有可能的選法為C(60,10)，男生和女生人數相等的選法為C(30,5)C(30,5)。所以，男生和女生人數相等的概率為(C(30,5)C(30,5))/C(60,10)。七、實踐操作題答案1.解：設計一個實驗來驗證二項式定理。實驗步驟如下：a.準備一個裝有紅球和藍球的袋子，紅球和藍球的數量分別為n1和n2。b.從袋子中隨機取出一個球，記錄球的顏色，然后放回袋子。c.重復步驟b共n次，記錄每次取出的球的顏色。d.計算在n次實驗中，取出紅球的次數為r次的概率，即C(n,r)(n1/n)^r(n2/n)^(nr)。e.比較實驗結果和理論計算的概率，驗證二項式定理。2.解：制作一個概率模型，用于計算從一個裝有紅球、綠球和藍球的袋子中隨機取出兩個球，取出的球顏色相同的概率。模型制作過程如下：a.準備一個裝有紅球、綠球和藍球的袋子，紅球、綠球和藍球的數量分別為n1、n2和n3。b.從袋子中隨機取出兩個球，記錄球的顏色。c.計算取出的兩個球顏色相同的概率，即(n1^2+n2^2+n3^2)/(n1+n2+n3)^2。d.通過實驗驗證模型的結果。1.排列與組合：排列是從n個不同元素中取出m個元素，按照一定的順序排列起來，不同的排列方式稱為排列。組合是從n個不同元素中取出m個元素，不考慮順序，不同的組合方式稱為組合。2.二項式定理：二項式定理是關于二項式展開式的定理，它描述了二項式展開式中各項的系數與指數之間的關系。3.概率：概率是描述事件發生可能性大小的數值，通常用P(A)表示事件A發生的概率。概率的取值范圍在0到1之間，0表示事件不可能發生，1表示事件必然發生。4.事件：事件是概率論中基本的概念，它描述了某個隨機試驗可能出現的結果。5.概率模型：概率模型是用來描述和分析隨機現象的數學模型，它可以幫助我們理解和預測隨機事件的規律和可能性。各題型所考察學生的知識點詳解及示例：1.選擇題：考察學生對排列與組合、二項式定理、概率、事件等基本概念的理解和應用能力。2.判斷題：考察學生對排列與組合、二項式定理、概率、事件等基本概念的理解和應用能力。3