第5講不定方程

［學習目標］

1、熟悉不定方程的概念；

2、掌握不定方程的常用解法；

3、會解不定方程應用題。

【知識梳理】

未知數的個數多于方程的個數的方程（或方程組）就叫做不定方程（或方程組），不定方程

（組），就是方程（組）的解不確定，有的方程（組）有無數多組解，有的方程（組）沒有解，有的方

程1組）有有限組解。我們經常關心這類方程（組）的整數解，正整數解或有理數解。

【典例精析】!^^—一一

［例1］求方程Ux+15y=63的自然數解。

x=3

b=2

【趁熱打鐵-1】求方程3x+5y=54的自然數解。

x=18x=13Lt=8x=3

y=()1)'=3y=6)'=9

【例2】某國硬幣有5分和7分兩種，用這兩種硬幣支付142分的貨幣，有多少種不同的方法?

解：設5分硬幣有x個，7分硬幣有y個，

5x+7y=142

x=27（x=20[x=13[x=6

<<<V

y=1y=6y=11y=16

【趁熱打鐵-2】有大、小兩種房間，大的能住7人，小的能住4人，41個同學全部入住，問

需要大、小房間分別是間。

解：設大房間有x間，小房間有y間1

7x+4y=41

（x=3

b=5

【例3】某地按下列規定收取電費，每月用電不超過50?,每度收4角5分，如果超過50度，

超過部分每度收8角，今年7月，甲用戶比用戶多交3元3角電費，這個月甲、乙各用了多少

度電？（電的度數取整數）

解：由題意可知，甲超過了50度，乙沒有超過50度，設甲超過了x度，乙還差y度到50.

8角二80分，4角5分二45分，3元3角=330分。

80x+45y=330

x=3

J=2

二甲:50+3=53（度）

乙：50-2M8（度）

【趁熱打鐵-3】某地按下列規定收取電費，如果每月用電不超過24度，就按每度電9角錢收

取；如果超過24度，超過部分按每度電2元收費，已知在某月中甲家比乙家多交的電費9元

6角（電的度數取整數），甲乙兩家各交多少電費？

解：由題意可知，甲超過了24度，乙沒有超過24度，設甲超過了x度，乙還差y度到24.

20x+9y=96

x=3

y=4

???甲:24X0.9+2X3=27.6（元）

乙：（24-4）X0.9=18（元）

［例4］把1000拆成兩個自然數的和一個是7的倍數，并且要使這個數盡可能大，一個數是

11的倍數，并且盡可能使這人數小。這兩個數分別是多少？

解：設拆成7的x倍和II的y倍汽

7x+lly=1000

*max=135

Jmin=5

7X135=945

11X5=55

【趁熱打鐵-4】把1000拆成兩個自然數的和，一個是11的倍數，并且使這個數盡可能大，一

個是9的倍數，并且使這個數盡可能小，這兩個數分別是多少？

解：設拆成11的x倍和9的y倍。

llx+9y=1000

Znax=86

>m.n=6

11X86=946

9X6=54

【例5】今年學校舉行足球聯賽，共賽17輪（即每隊均需參賽17場），計分辦法是勝一場得3

分，平一場得1分，負一場得0分，在這次足球比賽中，小虎足球隊得16分，所踢平場數是

多少人？

解：設男職工有x人，女職工y人。

13x+10y+-（x+y）X6=216

3

5x+4y=72

x=12

b=3

???女職工有3人。

【例7】公雞1只5元，母雞1只3元，小雞3只1元，今有錢100元，買雞100只，問公雞

母雞，小雞各買多少只？

解：設公雞x只，母雞y只，小雞只00-x-y）只。

5x+3y+；（100-x-y）=100

x=0[x=4（X[X=12

<<=8<

y=25[y=18[y=11[y=4

小雞：100-25=75（只）或100-4-18=78（只）或100-8-11=81（只）或100-12-4=84（只）

【趁熱打鐵-7】每只羊價值4。元，每頭牛價值65元，每只雞價值2元，如果一農民購買這些

動物共100只，共消費3279元，問他購買羊、牛、雞各多少只？

解：設羊有x只，牛有y只，雞有（100-x-y）只，

40x+65y+2（100-x-y）=3279

x=23

y=35

100-23-35=42（只）

???羊23只，牛35只，雞42只。

【過關精煉】

1、求方程3x+4），=23的整數解。

x=3[x=1

y=2[y=5

2、參加圍棋比賽的八段、九段選手有若干個，他們的段位數字加在一起正好是100段，問八

段、九段選手各有多少人？

解：設八段有x人，九段y人。

8x+9y=100

x=8

y=4

3、東東和九妹各自用了6.4元買了若干支鉛筆，他們買來的鉛筆都是0.5元一支和0.7元一

只的兩種，且東東買來的鉛筆比九妹多，東東比九妹多買來鉛筆多少支？

解：設男0.5元的鉛筆x