五年級奧數(shù)因數(shù)倍數(shù)進階

因數(shù)倍數(shù)進階

知識引入

1、因數(shù)和倍數(shù)

如果自然數(shù)a和自然數(shù)b的乘積是c,即axb=c,那么a

和b都是c的因數(shù)，c是a和b的倍數(shù)。

［注：在研究因數(shù)和倍數(shù)的時候，小學階段所涉及的數(shù)指

的是自然數(shù)（一般不包括）］

一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1,最

大的因數(shù)是它本身；一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小

的倍數(shù)是它本身。

2、因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系

二者是相互依存的關(guān)系，不能單獨說某個數(shù)是倍數(shù)或因數(shù)。

3、求一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法

（1）求一個數(shù)的因數(shù)的方法：找一個數(shù)的因數(shù)時，應(yīng)從

最小的因數(shù)找起，一直找到它本身；也可以一對一對地找，如

12的因數(shù)有：1、12、2、6、3、4O

一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的。

(2)求一個數(shù)的倍數(shù)的方法：找一個數(shù)的倍數(shù)，可以用

這個數(shù)分別去乘自然數(shù)1、2、3、4.?.所得的積就是這個數(shù)的

倍數(shù)。

沒有大小限制時，一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無窮的。

4、求因數(shù)個數(shù)與所有因數(shù)的和

(1)求任一整數(shù)因數(shù)的個數(shù)

一個整數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是在對其嚴格分解質(zhì)因數(shù)后，將每

個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù)功口1后所得的乘積。

如:1400嚴格分解質(zhì)因數(shù)之后為23527,所以它的約

數(shù)有(3+l)x(2+l)x(l+l)=4x3x2=24個。

(包括1和1400本身)

難點在于公式的逆推，有相稱一部分常考的偏困難型考察

的就是對這個公式的逆用，即先告訴一個數(shù)有幾何個因數(shù)，然

后再結(jié)合其他幾個前提將原數(shù)“復原構(gòu)造”出來，大概是“構(gòu)造

出可能的最值

(2)求任一整數(shù)的所有因數(shù)的和

一個整數(shù)的所有因數(shù)的和是在對其嚴厲分化質(zhì)因數(shù)后，將

它的每個質(zhì)因數(shù)依次從1加至這個質(zhì)因數(shù)的最高次量乞降，然

后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個合數(shù)的所有因數(shù)的和。

如：233537,所以所有因數(shù)的和為

(122223)(13)(155253)(17)

此公式?jīng)]有第一個公式經(jīng)常使用，推導進程相對復雜，需

要很多步提取公因式，規(guī)律性的記憶即可。

5、兩個數(shù)的最大條約和最小公倍的乘積等于這兩個數(shù)的

乘積。

如果m為A、B的最大公因數(shù)，且Ama,Bmb,那

么a、b互質(zhì)，所以A、B的最小公倍數(shù)為mab,所以最大公

約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系：

①ABmambmmab,兩個數(shù)的最大公因數(shù)與

最小公倍數(shù)之積等于這兩個數(shù)的積，即

(a,b)[a,b]ab

②最大公因數(shù)是A、B、AB、AB及最小公倍數(shù)的約數(shù).

例題精講

[例1](a,b)表示a,b的最大公因數(shù)，[a,b]表示a,b的

最小公倍數(shù)，下面我們通過特例來研究a,b,[a,b],(a,b)這四個

數(shù)之間的關(guān)系：

(1)計算：[8,12]；(8,12)；

[8,12]x(8,12)；8x12。

［例6］設(shè)N=lx2x3x4x...x29x30,那么N的末尾一共會

出現(xiàn)個連續(xù)的數(shù)字

【鞏固】設(shè)N=lx2x3x4x.??xl49xl50,那么N的末尾一共

會出現(xiàn)個連續(xù)的數(shù)字.

［例7］設(shè)N=20x21x22x23x...x50x51,那么N的末尾一

共會出現(xiàn)個連續(xù)的數(shù)字

【牢固】設(shè)N=50x51x52x53x…x999xlOOO,那么N的末

尾一共會出現(xiàn)個連續(xù)的數(shù)字

【例81有三根鐵絲，長度分別是120厘米、180厘米和

300厘米,現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根都不能有剩余，

每小段最長多少厘米？一共可以截成多少段？

【鞏固】把一張長1米3分米5度米、寬1米5厘米的紙

裁成同樣大小的正方形紙塊，而沒有剩余，問：能裁成最大的

正方形紙塊的邊長是多少？共可裁成幾塊？

【例9】加工某種機器零件，要經(jīng)過三道工序.第一道工序

每個工人每小時可完成3個零件，第二道工序每個工人每小時

可完成10個，第三道工序每個工人每小時可完成5個，要使

加工生產(chǎn)均衡，三道工序至少各分配幾個工人？

【牢固】有甲、乙、丙三個人在操場跑道上步行，甲每分

鐘走80米，乙每分鐘走120米，丙每分鐘走70米.操場跑道

周長為400米，假如三個人同時同向從同一地點出發(fā)，問幾分

鐘后，三個人可以首次相聚？

[例10]一次會餐供有三種飲料.餐后統(tǒng)計，三種飲料共

用了65瓶；平均每2個人飲用一瓶A飲料，每3人飲用一瓶

B飲料，每4人飲用一瓶C飲料.問參加會餐的人數(shù)是多少人?

111

【牢固】一次測驗，加入的學生中有7得優(yōu)，3得良，2

得中，其余的得差，加入測驗的學生入滿50人，那么得差的

學生有幾何人？

E

課后作業(yè)

【作業(yè)1】甲數(shù)是36,甲乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是4,最小

公倍數(shù)是288,那么乙數(shù)是幾何？

【作業(yè)2】兩個天然數(shù)的和是50,它們的最大公因數(shù)是5,

試求這兩個數(shù)的差。【作業(yè)31兩個天然數(shù)的積為240,最小

公倍數(shù)為60,求這兩個數(shù)。

【作業(yè)4】126共有個因數(shù)。

【作業(yè)5】在三位數(shù)中，恰好有9個因數(shù)的數(shù)有多少個?

【作業(yè)6]一個數(shù)的完全平方有19個因數(shù)，求該數(shù)的因

數(shù)個數(shù)是多少？

【作業(yè)7]在1X2X3X4X...X2014的乘積中，末尾有()

個連續(xù)的零。【作業(yè)8】設(shè)N=50x51x52x53x…X999X1000,那

么N的末尾一共會出現(xiàn)個連續(xù)的數(shù)字“0”.

【作業(yè)9】把20個梨和25個蘋果均勻分給小同伙，分完

后梨剩下2個，而蘋果還缺2個，一共最多有幾何個小同伙？

【作業(yè)101教師節(jié)那天，某校工會買了320個蘋果、240

個桔子、200個鴨梨，用來慰問退休的教職工，問用這些果品,

最多可以分成多少份同樣的禮物(同樣的禮物指的是每份禮物

中蘋果、桔子、鴨梨的個數(shù)彼此相等)？在每份禮物中，差果、

桔子、鴨梨各多少個？【作業(yè)11】加工某種機器零件，要經(jīng)

過三道工序.第一道工序每個工人每小時可完成7