￡5-4-5,完全平方數及應用（二）

目13H1弟目假

L五年級奧數完全平方數及應用（二）學生版

2.整理完全平方數的一些推論及推論過程

3.掌握完全平方數的綜合運用。

一、完全平方數常用性質

1.主要性質

1.完全平方數的尾數只能是0,1,4,5,6,9。不可能是2,3,7,8。

2.在兩個連續正整數的平方數之間不存在完全平方數。

3.完全平方數的約數個數是奇數，約數的個數為奇數的自然數是完全平方數。

4.若質數〃整除完全平方數。2,則〃能被。整除。

2.性質

性質1:完全平方數的末位數字只可能是0,1,4,5,69

性質2:完全平方數被345,8,16除的余數一定是完全平方數.

性質3:自然數N為完全平方數o自然數N約數的個數為奇數.因為完全平方數的質因

數分解中每個質因數出現的次數都是偶數次，所以，如果〃是質數,〃是自然數,N是

完全平方數，且p2Z|N,則p2”|N.

性質4:完全平方數的個位是6。它的十位是奇數.

性質5:如果一個完全平方數的個位是0.則它后面連續的0的個數一定是偶數.如果一個

完全平方數的個位是5,則其十位一定是2,且其百位一定是0,2,6中的一個.

性質6：如果一個自然數介于兩個連續的完全平方數之間，則它不是完全平方數.

3.一些重要的推論

I.任何偶數的平方一定能被4整除；任何奇數的平方被4（或8）除余1.即被4除余

2或3的數一定不是完全平方數。

2.一個完全平方數被3除的余數是0或1.即被3除余2的數一定不是完全平方數。

3.自然數的平方末兩位只有：

00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,1636,56,76,96。

4.完全平方數個位數字是奇數（1,5,9）時,其十位上的數字必為偶數。

5.完全平方數個位數字是偶數（0,4）時,其十位上的數字必為偶數。

6.完全平方數的個位數字為6時，其卜位數字必為S數。

7.凡個位數字是5但末兩位數字不是25的自然數不是完全平方數；末尾只有奇數個

“0”的自然數不是完全平方數：個位數字為1,4,9而十位數字為奇數的自然數不是完

全平方數。

3.重點公式回顧：平方差公式：a2-b'={a+b)(a-b)

模塊一、平方差公式運用

［例1］將兩個自然數的差乘上它們的積，能否得到數45045?

【例2］一個數減去100是一個平方數,減去63也是一個平方數，問這個數是多少？

【鞏固】能否找到這么一個數，它加上24卻減去30所得的兩個數都是完全平方數?

【鞏固】能否找到這么一個數，它加上24加減去30所得的兩個數都是完全平方數?

【鞏固】一個正整數加上132和231后都等于完全平方數，求這個正整數是多少？

【例3］兩個完全平方數的差為77,則這兩個完全平方數的和最大是多少？最小是多少?

【例4】三個自然數,它們都是完全平方數，最大的數減去第二大的數的差為80,第二大的

數減去最小的數的差為60,求這三個數.

【例5】有兩個兩位數，它們的差是14,將它們分別平方，得到的兩個平方數的末兩位數（個

位數和十位數）相同,那么這兩個兩位數是.（請寫出所有可能的答案）

［例6］A是一個兩位數，它的6倍是一個三位數從如果把5放在A的左邊或者右邊得到

兩個不同的五位數,并且這兩個五位數的差是一個完全平方數（整數的平方），那么

A的所有可能取值之和為.

【例7】一個自然數與自身相乘的結果稱為完全平方數.已知一個完全平方數是四位數,

且各位數字均小于7.如果把組成它的數字都加上3,便得到另外一個完全平方數.

求原來的四位數.

模塊二、完全平方數與其他知識點的綜合運用

【例8]如果△+△=",A-△=》,△XA=c,A-i-A=d,a+)+c+d=100.那么,△=.

［例9］已知麗瓦是一個四位數，若兩位數M是一個質數,就是一個完全平方數，萬是

一個質數與一個不為1的完全平方數之積,則滿足條件的所有四位數是________-

【例10】稱能表示成1+2+3+…+〃的形式的自然數為三角數.有一個四位數N,它既是三

角數，又是完全平方數.則％=.

【例11】自然數的平方按大小排成1,4,9,162,36,49,…，問：第612個位置的數字是幾?

【鞏固】不是零的自然數的平方按照從小到大的順序接連排列，是：149162536……,則從左

向右的第16個數字是

【例12］由26Y+5W+32+42,可以斷定26最多能表示為3個互不相等的非零自然數

的平方和，請你判定200最多能表示為