等閡假版隱

一、等積模型

①等底等高的兩個三角形面積相等：

②兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；

兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；

③夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖邑Q=%CD；

反之，如果S,“）=S”m，則可知直線平行于CZ）.

④等底等高的兩個平行四邊形面積相等（長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）：

⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；

⑥兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比.

二、共角定理（鳥頭定理）

兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形.

共角三角形的面積比等于對應角（相等角或互補角）兩夾邊的爽積之比.

三、蝴蝶定理

任意四邊形中的比例關系（“蝴堞定理”）:

①工：S?=$4或者S|XS3=S2xS4②/^O：。C=（Sl+S2）：（S4+S3）

蝴蝶定理為我們提供了解決不規則四邊形的面積問題的一個途徑.通過構造模型，一方面可以使不規則四

邊形的面積關系與四邊形內的三角形相聯系；另一方面，也可以得到與面積對應的對角線的比例關系.

梯形中比例關系（“梯形蝴蝶定理”）：

①岳應二/：/

②’:S3：：$4=a2:b2:ab:ab：

③S的對應份數為（a+6了.

四、相似模型

（一）金字塔模型（二）沙漏模型

mADAEDEAF

①——=——=——=——；

ABACBCAG

②&皿：&=AF2.AG2.

所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形（只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似）,

與相似三角形相關的常用的性質及定理如下：

⑴相似三角形的一切對應線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；

⑵相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；

⑶連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應的底邊長的一半.

相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關系相互轉化的工具.

在小學奧數里，出現最多的情況是因為兩條平行線而出現的相似三角形.

五、共邊定理（燕尾定理）

有一條公共邊的三角形叫做共邊三角形。

s

共邊定理：設直線AB與PQ交于點M,則匹=—

S.AB

特殊情況：當PQ〃AB時，易知△PAB與△QAB的高相等，從而SZSPAB=SZ\QAB

任做］題前窗

一、三角形相似模型

［例1］圖30-10是一個正方形，其中所標數值的單位是厘米.問：陰影部分的面積是多少平方厘米？

【鞏固】如圖，四邊形和ER7〃都是平行四邊形，四邊形48。。的面枳是16,BG:GC=3:T,則

四邊形EkGH的面積=.

【例2】已知三角形48c的面積為a,":尸。=2:1,E是8。的中點，且EF〃BC,交。。于G,求

陰影部分的面枳.

【鞏固】圖中/4C。是邊長為125的正方形，從G到正方形頂點C、。連成一個三角形，已知這個三角

形在AB上截得的EF長度為4cm,那么三角形GQC的面積是多少？

【例31如圖，。是矩形一條對角線的中點，圖中已經標出兩個三角形的面積為3和4,那么陰影部分的

一塊直角三角形的面積是多少？

【鞏固】月8CQ是平行四邊形，面積為72平方厘米，E、F分別為48、8C的中點，則圖中陰影部分的

面積為平方厘米.

二、蝴蝶模型

［例4］如圖所示，長方形,44。。內的陰影部分的面積之和為70,AB=8,AD=15四邊形EFGO的面積為

【鞏固】如圖5所示，矩形力8c。的面積是24平方厘米，、三角形/DM與三角形8CN的面積之和是平方

厘米，則四邊形PMON的面積是平方厘米。

［例5］如圖，zM8c是等腰直角三角形，DEFG是正方形,線段與CO相交于K點.已知正方形

。￡7七的面積48,AK:KB=T:3,則MK。的面積是多少？

【鞏固】如圖所示，力8CO是梯形，AJQE面枳是1.8,少的面積是9,Mb的面積是27.那么陰影

MEC面積是多少？

【例6】如圖，在一個邊長為6的正方形中，放入一個邊長為2的正方形，保持與原正方形的邊平行，

現在分別連接大正方形的一個頂點與小正方形的兩個頂點，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影

部分的面積為.

【鞏固】下圖中，四邊形48C。都是邊長為1的正方形，E、F、G、，分別是4A,BC,CD,D4的

中點，如果左圖中陜影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡分數畫,那么，（〃?+〃）的值等

n

于.

三、共角定理（燕尾定理）

［例7］如圖所示，在四邊形/AC。中，4B=3BE,AD=3AF,四邊形力EO"的面積是12,那么平行

四邊形BODC的面積為.

【鞏固】正六邊形4,4，4,4，小4的面積是2009平方厘米，用，色，%為，與，及,分別是

正六邊形各邊的中點；那么圖中陰影六邊形的面積是平方厘米.

［例8］已知四邊形力8cO,CHFG為正方形,S甲：S乙=1:8,。與b是兩個正方形的邊長，求a:b=?

【鞏固】如圖，三角形力AC的面積是1,BD=DE=EC,CF=FG=GA,三角形9C被分成9部分，

請寫出這9部分的面積各是多少？

［例9］如右圖，面積為1的△/8C中，BD:DE:EC=\:2:\,CF:FG:GA=\:2:\,A/I:U1=\\,

求陰影部分面積.

【鞏固】如圖，A4AC的面積為1,點。、E1是邊的三等分點，點尸、G是4C邊的三等分點，那么

四邊形JK/"的面積是多少？

【例10］如圖，面積為1的三角形/18C中，。、E、F、G、"、/分別是48、BC、CA的三等分點，求陰

影部分面積.

【鞏固】如圖，面積為1的三角形48C中，。、E、尸、G、口、/分別是48、BC、CA的三等分點,求中心

六邊形面積.

“震邕臉蒯

【隨練1】如圖，在正方形/8CO中，E、尸分別在與C。上，旦CE=2BE,CF=2DF,連接“、

DE,相交于點G,過G作A/N、。。得到兩個正方形MGQ4和尸CNG,設正方形"G0I的

面積為￡,正方形PCNG的面積為工,則S、:S2=.

【隨練2】如圖所示，三角形AEF,三角形BDF,三角形BCD,都是正三角形，其中AE.BD=1:3,三角形

AEF的面積是1.求陰影部分的面積。

氤今

【作業1】如圖，正六邊形面積為6,那么陰影部分面積為多少？

【作業2】如圖，已知。是4C中點，E是。。的中點，尸是力。的中點.三角形44C由①?⑥這6部

分組成，其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形力8C的面積是多少平方厘米？

【作業3】如下圖，在梯形9CQ中，與CQ平行，且CD=24B,點E、〃分別是4)和6。的中點，

已知陰影四邊形的面積是54平方厘米，則梯形48co的面積是平方厘米.

【作業4】一個等腰直角三角形和一個正方形如圖擺放，①、②