專題01集合的概念與運算（17種題型2個易錯考點）一一、真題多維細目表考題考點考向2022新高考1，第1題集合的基本運算交集運算2022新高考2，第1題集合的基本運算交集運算2021新高考1，第1題集合的基本運算交集運算2021新高考2，第2題集合的基本運算交集，補集運算二二、命題規律與備考策略本專題是高考必考內容，難度小，分值5分，重點考察集合的基本運算，，常與不等式結合，考察集合的交、并、補運算，復習時以基礎知識為主。三三、2022真題搶先刷，考向提前知一．選擇題（共4小題）1．（2022?新高考Ⅰ）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，則M∩N＝（）A．{x|0≤x＜2} B．{x|≤x＜2} C．{x|3≤x＜16} D．{x|≤x＜16}【分析】分別求解不等式化簡M與N，再由交集運算得答案．【解答】解：由＜4，得0≤x＜16，∴M＝{x|＜4}＝{x|0≤x＜16}，由3x≥1，得x，∴N＝{x|3x≥1}＝{x|x}，∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x}＝{x|≤x＜16}．故選：D．【點評】本題考查交集及其運算，考查不等式的解法，是基礎題．2．（2022?新高考Ⅱ）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}，則A∩B＝（）A．{﹣1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{﹣1，4}【分析】解不等式求集合B，再根據集合的運算求解即可．【解答】解：|x﹣1|≤1，解得：0≤x≤2，∴集合B＝{x|0≤x≤2}∴A∩B＝{1，2}．故選：B．【點評】本題主要考查集合的基本運算，利用集合的關系是解決本題的關鍵．3．（2021?新高考Ⅱ）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，則A∩?UB＝（）A．{3} B．{1，6} C．{5，6} D．{1，3}【分析】先利用補集的定義求出?UB，再利用交集的定義求解即可．【解答】解：因為全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，所以?UB＝{1，5，6}，故A∩?UB＝{1，6}．故選：B．【點評】本題考查了集合的運算，主要考查了集合交集與補集的求解，解題的關鍵是掌握交集和補集的定義，屬于基礎題．4．（2021?新高考Ⅰ）設集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，則A∩B＝（）A．{2，3，4} B．{3，4} C．{2，3} D．{2}【分析】利用交集定義直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，∴A∩B＝{2，3}．故選：C．【點評】本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．四四、考點清單考點一：集合及其關系1.集合的確定性、互異性、無序性集合中元素具有確定性、互異性、無序性三大特征．（1）確定性：集合中的元素是確定的，即任何一個對象都說明它是或者不是某個集合的元素，兩種情況必居其一且僅居其一，不會模棱兩可，例如“著名科學家”，“與2接近的數”等都不能組成一個集合．（2）互異性：一個給定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出現相同的元素．例如不能寫成{1，1，2}，應寫成{1，2}．（3）無序性：集合中的元素，不分先后，沒有如何順序．例如{1，2，3}與{3，2，1}是相同的集合，也是相等的兩個集合．【解題方法點撥】解答判斷型題目，注意元素必須滿足三個特性；一般利用分類討論逐一研究，轉化為函數與方程的思想，解答問題，結果需要回代驗證，元素不許重復．【命題方向】本部分內容屬于了解性內容，但是近幾年高考中基本考查選擇題或填空題，試題多以集合相等，含參數的集合的討論為主．2.集合間的基本關系（1）集合的相等（1）若集合A與集合B的元素相同，則稱集合A等于集合B．（2）對集合A和集合B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，記作A＝B．就是如果A?B，同時B?A，那么就說這兩個集合相等，記作A＝B．（3）對于兩個有限數集A＝B，則這兩個有限數集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性質：①兩個集合的元素個數相等；②兩個集合的元素之和相等；③兩個集合的元素之積相等．由此知，以上敘述實質是一致的，只是表達方式不同而已．上述概念是判斷或證明兩個集合相等的依據．【解題方法點撥】集合A與集合B相等，是指A的每一個元素都在B中，而且B中的每一個元素都在A中．解題時往往只解答一個問題，忽視另一個問題；解題后注意集合滿足元素的互異性．【命題方向】通常是判斷兩個集合是不是同一個集合；利用相等集合求出變量的值；與集合的運算相聯系，也可能與函數的定義域、值域聯系命題，多以小題選擇題與填空題的形式出現，有時出現在大題的一小問．（2）子集與真子集1、子集定義：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集（subset）．記作：A?B（或B?A）．2、真子集是對于子集來說的．真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．也就是說如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亞洲國家的集合是地球上所有國家的集合的真子集．所有的自然數的集合是所有整數的集合的真子集．{1，3}?{1，2，3，4}{1，2，3，4}?{1，2，3，4}3、真子集和子集的區別子集就是一個集合中的全部元素是另一個集合中的元素，有可能與另一個集合相等；真子集就是一個集合中的元素全部是另一個集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括號括起來的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般來說，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對于含有n個（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n個；真子集就有2n﹣1．但空集屬特殊情況，它只有一個子集，沒有真子集．注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集【解題方法點撥】注意真子集和子集的區別，不可混為一談，A?B，并且B?A時，有A＝B，但是A?B，并且B?A，是不能同時成立的；子集個數的求法，空集與自身是不可忽視的．【命題方向】本考點要求理解，高考會考中多以選擇題、填空題為主，曾經考查子集個數問題，常常與集合的運算，概率，函數的基本性質結合命題．考點二：集合的基本運算（1）集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補集為?UA圖形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}（2）集合的運算性質(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(?UA)＝，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.5．常用結論（1）空集性質：①空集只有一個子集，即它的本身，???；②空集是任何集合的子集（即??A）；空集是任何非空集合的真子集（若A≠?，則?A）．（2）子集個數：若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空真子集有個．（3）A∩B＝A?A?B；A∪B＝A?A?B．（4）(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)，(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)．五五、題型方法一．集合的含義（共3小題）1．（2022秋?保定期末）下列說法正確的是（）A．高一年級全體高個子同學可以組成一個集合 B．0∈N* C．?x∈R，x2+x+1≤0 D．符合條件{a，b，c}?P?{a，b，c，d，e}集合P有4個【分析】根據集合的特征可判斷A，利用N*為正整數集可判斷B，根據存在量詞命題的真假可判斷C，根據子集的定義可判斷D．【解答】解：對于A，高個子同學具有不確定性，故不能組成一個集合，故錯誤；對于B，N*是正整數集，所以0?N*，故錯誤；對于C，x2+x+1＝（x+）2+≥＞0，故錯誤；對于D，因為{a，b，c}?P?{a，b，c，d，e}，所以P可為{a，b，c}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，c，d，e}，故正確；故選：D．【點評】本題考查判斷元素能否構成集合，判斷元素與集合的關系，判斷集合的子集（真子集）的個數，判斷特稱（存在性）命題的真假，屬于基礎題．2．（2022秋?南昌期末）已知集合M＝{（x，y）|x，y∈N*，x+y≤2}，則M中元素的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據正整數集的定義以及集合的定義即可求解．【解答】解：因為集合M＝{（x，y）|x，y∈N*，x+y≤2}，所以當x＝1時，y＝1，即集合M＝{（1，1）}，所以集合M中元素個數為1個，故選：A．【點評】本題考查了集合的定義，涉及到正整數集的定義，考查了學生的轉化能力，屬于基礎題．3．（2022秋?浦東新區期末）請將下列各組對象能組成集合的序號填在后面的橫線上．①上海市2022年入學的全體高一年級新生；②在平面直角坐標系中，到定點（0，0）的距離等于1的所有點；③影響力比較大的中國數學家；④不等式3x﹣10＜0的所有正整數解．【分析】根據已知條件，結合集合的含義，即可求解．【解答】解：①上海市2022年入學的全體高一年級新生，符合集合的定義，故①正確，②在平面直角坐標系中，到定點（0，0）的距離等于1的所有點，符合集合的定義，故②正確，③影響力比較大的中國數學家，不符合集合的確定性，故③錯誤，④不等式3x﹣10＜0的所有正整數解，即原不等式的集合為{1，2，3}，符合集合的定義，故④正確．故答案為：①②④．【點評】本題主要考查集合的含義，屬于基礎題．二．元素與集合關系的判斷（共3小題）4．（2022秋?衡陽期末）集合A＝{x|logπx＞1}，則（）A．1∈A B．2∈A C．3∈A D．4∈A【分析】求出集合A，結合元素與集合關系判斷即可．【解答】解：∵logπx＞1＝logππ，∴x＞π，∴A＝{x|x＞π}，可知1?A，2?A，3?A，故A、B、C錯誤；4∈A，故D正確．故選：D．【點評】本題主要考查元素與集合關系的判斷，考查運算求解能力，屬于基礎題．5．（2022秋?西安期末）集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，則M中的元素個數為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用已知條件，直接求出a+b，根據集合中元素互異性特點，可求得集合M中元素的個數．【解答】解：因為集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能為：1+2＝3、1+3＝4、1+4＝5、2+2＝4、2+3＝5、2+4＝6、3+2＝5、3+3＝6、3+4＝7，所以M中元素只有：3，4，5，6，7，共5個，故選：C．【點評】本題考查集合中元素個數的最值，集合中元素的互異性的應用，考查計算能力，屬于基礎題．6．（2022秋?徐匯區期末）若集合A同時具有以下三個性質：（1）0∈A，1∈A；（2）若x、y∈A，則x﹣y∈A；（3）若x∈A且x≠0，則．則稱A為“好集”．已知命題：①集合{1，0，﹣1}是好集；②對任意一個“好集”A，若x、y∈A，則x+y∈A．以下判斷正確的是（）A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題 C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題【分析】根據“好集”的定義逐一判斷即可．【解答】解：對于①，因為1∈{1，0，﹣1}，﹣1∈{1，0，﹣1}，而﹣1﹣1＝﹣2?{﹣1，0，1}，所以集合{1，0，﹣1}不是“好集”，故①錯誤；對于②，因為集合A是“好集”，所以0∈A，0﹣y＝﹣y∈A，所以x﹣（﹣y）＝x+y∈A，故②正確，所以①為假命題，②為真命題，故選：D．【點評】本題主要考查了集合的新定義問題，考查了元素與集合的關系，屬于基礎題．三．集合的確定性、互異性、無序性（共4小題）7．（2022?渭濱區校級模擬）設集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，則a＝（）A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2【分析】分別由1﹣a＝4，a2﹣a+2＝4，求出a的值，代入觀察即可．【解答】解：若1﹣a＝4，則a＝﹣3，∴a2﹣a+2＝14，∴A＝{2，4，14}；若a2﹣a+2＝4，則a＝2或a＝﹣1，a＝2時，1﹣a＝﹣1，∴A＝{2，﹣1，4}；a＝﹣1時，1﹣a＝2（舍），故選：C．【點評】本題考查了集合的確定性，互異性，無序性，本題是一道基礎題．8．（2022春?南開區期末）已知x∈{1，2，x2}，則實數x＝．【分析】利用元素與集合的關系知x是集合的一個元素，分類討論列出方程求出x代入集合檢驗集合的元素滿足的三要素．【解答】解：∵x∈{1，2，x2}，分情況討論可得：①x＝1此時集合為{1，2，1}不合題意②x＝2此時集合為{1，2，4}合題意③x＝x2解得x＝0或x＝1當x＝0時集合為{1，2，0}合題意故答案為0或2．【點評】本題考查元素與集合的關系、在解集合中的參數問題時，一定要檢驗集合的元素滿足的三要素：確定性、互異性、無序性．9．（2022?安化縣校級開學）集合A＝{x|kx2﹣8x+16＝0}，若集合A中只有一個元素，求實數k的值組成的集合．【分析】根據已知條件，分k＝0，k≠0兩種情況討論，即可求解．【解答】解：①當k＝0時，方程kx2﹣8x+16＝0變為﹣8x+16＝0，解得x＝2，滿足題意，②當k≠0時，要使集合A＝{x|kx2﹣8x+16＝0}中只有一個元素，則方程kx2﹣8x+16＝0只有一個實數根，所以Δ＝64﹣64k＝0，解得k＝1，此時集合A＝{4}，滿足題意，綜上所述，k＝0或k＝1，故實數k的值組成的集合為{0，1}．【點評】本題主要考查集合的應用，屬于基礎題．10．（2022秋?豐城市校級月考）下列說法中，正確的有（填序號）．①單詞book的所有字母組成的集合的元素共有4個；②集合M中有3個元素：a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三邊長，則△ABC不可能是等腰三角形；③將小于10的自然數按從小到大的順序排列和按從大到小的順序排列，可分別構成不同的兩個集合；④集合M＝{3，4}與N＝{（3，4）}表示同一個集合．【分析】利用集合的定義和性質逐項分析可得【解答】解：①不正確．單詞book中的字母o有重復，共有3個不同字母，因此單詞book的所有字母組成的集合的元素個數是3．②正確．因為a，b，c是集合M中的3個元素，所以a，b，c互不相等，因此△ABC的三邊長互不相等，故△ABC不可能是等腰三角形．③不正確．小于10的自然數不管按哪種順序排列，構成的集合里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個數，集合是相同的．④不正確．集合M＝{3，4}表示數3，4構成的集合，集合中有兩個元素，集合N＝{（3，4）}表示點集，集合中有一個元素，故集合M與N不是同一個集合．故答案為：②．【點評】本題考查集合元素的性質，屬于基礎題．四．集合的表示法（共3小題）11．（2022秋?浦城縣月考）若用列舉法表示集合A＝{（x，y）|}，則下列表示正確的是（）A．{x＝3，y＝0} B．{（3，0）} C．{3，0} D．{0，3}【分析】解方程組得，即可得到集合．【解答】解：由，解得，所以A＝{（3，0）}．故選：B．【點評】本題主要考查集合的表示法，屬于基礎題．12．（2022秋?武岡市期中）用列舉法表示＝．【分析】根據已知條件，先求出a的值，即可求解．【解答】解：∵且a∈N，∴a﹣1＝1或a﹣1＝2或a﹣1＝3或a﹣1＝6，解得a＝2或a＝3或a＝4或a＝7，∴對應的值為6，3，2，1，故＝{1，2，3，6}．故答案為：{1，2，3，6}．【點評】本題主要考查集合的表示法，屬于基礎題．13．（2022秋?寧德期末）下列集合與區間（1，2）表示的集合相等的是（）A．{（1，2）} B．{x|x2﹣3x+2＜0} C．{x|x2﹣3x+2＝0} D．{（x，y）|x＝1，y＝2}【分析】根據區間表示的集合，再結合選項，即可判斷．【解答】解：區間（1，2）表示的集合為{x|1＜x＜2}，對于A，集合{（1，2）}表示點集，只有一個元素，故A錯誤；對于B，{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}，故B正確；對于C，{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，表示數集，其中只有2個元素，故C錯誤；對于D，{（x，y）|x＝1，y＝2}＝{（1，2）}，故D錯誤．故選：B．【點評】本題主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的表示方法，屬于基礎題．五．集合的相等（共3小題）14．（2022秋?安順期末）下列集合中表示同一集合的是（）A．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1} B．M＝{1，2}，N＝{2，1} C．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）}【分析】根據集合元素的性質及集合相等定義判斷即可．【解答】解：對AD，兩集合的元素類型不一致，則M≠N，AD錯；對B，由集合元素的無序性可知，M＝N，B對；對C，兩集合的唯一元素不相等，則M≠N，C錯；故選：B．【點評】本題主要考查了集合相等的定義，屬于基礎題．15．（2022秋?臨渭區校級月考）已知集合A＝{0，2，4}，．若A＝B，則實數n的值為（）A．2或 B．2或 C．﹣2或 D．﹣2或【分析】由題意，得m+n＝0或，分兩種情況求出n的值即可．【解答】解：由題意，得m+n＝0或，當m+n＝0時，，即m＝2n+4，故2n+4+n＝0，解得，故，所以B＝{4，0，2}，滿足題意；當時，m+n＝2，解得n＝2，所以n＝2或．故選：A．【點評】本題主要考查了集合相等的定義，屬于基礎題．16．（2022秋?浦東新區校級期中）下列表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{（x，y）|2x+y＝1}，N＝{y|2x+y＝1} C．M＝{1，2}，N＝{2，1} D．M＝{2，4}，N＝{（2，4）}【分析】根據集合的概念及相同集合的性質判斷各選項集合是否相同即可．【解答】解：A：集合M，N中的元素不為同一個點，不是同一集合，故A錯誤；B、D：集合M，N的元素不同，一個是數，一個是實數對，不是同一集合，故BD錯誤；C：根據集合元素的無序性，可知集合M＝N，即為同一集合，故C正確；故選：C．【點評】本題主要考查了集合相等的定義，屬于基礎題．六．集合的包含關系判斷及應用（共5小題）17．（2022秋?秀英區校級期中）已知集合A＝{2，4，a2﹣4a+6}，B＝{2，a}，若A∪B＝A，則a的取值集合為．【分析】由題意可得，B?A，再分類討論，即可求解．【解答】解：∵A∪B＝A，∴B?A，當a＝4時，a2﹣4a+6＝6，即A＝{2，4，6}，B＝{2，4}，符合題意，當a2﹣4a+6＝a，解得a＝2或a＝3，當a＝2時，集合A不符合互異性，舍去，當a＝3時，集合A＝{2，4，3}，B＝{2，3}，符合題意，故a的取值集合為{3，4}．故答案為：{3，4}．【點評】本題主要考查集合的包含關系，屬于基礎題．18．（2022秋?建鄴區校級期中）已知U＝R，集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|x2＜9}，則下列關系正確的是（）A．A∪B＝A B．A∩B＝? C．A∩B＝A D．?UA??UB【分析】先求出集合A，B，再利用集合的基本運算求解．【解答】解：因為A＝{﹣1，1}，B＝{x|x2＜9}＝{x|﹣3＜x＜3}，所以對于選項A，A∪B＝{x|﹣3＜x＜3}＝B，故A錯；對于選項BC，A∩B＝{﹣1，1}＝A，故B錯，C對；對于選項D，?UA＝{x|x≠±1}，?UB＝{x|x＞3或x＜﹣3}，所以?UA??UB，故D錯．故選：C．【點評】本題主要考查了集合的基本運算，屬于基礎題．（多選）19．（2022秋?河北期中）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤7}，B＝{x|a+2≤x≤2a﹣1}，若使B?A成立的實數a的取值集合為M，則M的一個真子集可以是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，3] C．（3，4] D．[4，5）【分析】根據已知條件，分集合B是否為空集討論，求出a的取值范圍，再結合真子集的定義，即可求解．【解答】解：當B＝?時，a+2＞2a﹣1，解得a＜3，當B≠?時，﹣1≤a+2≤2a﹣1≤7，解得3≤a≤4，故實數a的取值范圍為（﹣∞，4]，即M＝（﹣∞，4]，所以M的一個真子集可以是（﹣∞，3]或（3，4]．故選：BC．【點評】本題主要考查真子集的定義，以及集合的包含關系，屬于基礎題．20．（2022春?鯉城區校級期中）已知A＝{x|﹣1＜x≤3}，B＝{x|m＜x＜1+m}．（1）當m＝1時，求A∪B；（2）若B??RA，求實數m的取值范圍．【分析】（1）求出B即可，求A與B并集即可；（2）求出?RA，由B??RA列出關于m的不等式組，解出m即可．【解答】解：（1）當m＝1時，B＝（1，2），所以A∪B＝（﹣1，3]；（2）∵1+m＞m，∴B≠?，?RA＝（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞），∵B??RA，∴m+1≤﹣1或m≥3，故m的取值范圍為：（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．【點評】本題考查集合的相關運算，屬于基礎題．21．（2022秋?青秀區校級月考）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，．（1）求A∩B；（2）若C＝{x||x﹣m|≤1}，且C?A，求實數m的取值范圍．【分析】（1）先求出集合A，B，再利用集合的交集運算求解．（2）先化簡集合C，再根據C?A列出不等式組，求出m的取值范圍即可．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，＝{x|﹣3＜x＜1}，∴A∩B＝{x|﹣2≤x＜1}．（2）C＝{x||x﹣m|≤1}＝{x|m﹣1≤x≤m+1}，A＝{x|﹣2≤x≤4}，又∵C?A，∴，解得﹣1≤m≤3，即實數m的取值范圍為[﹣1，3]．【點評】本題主要考查了集合的基本運算，考查了集合間的包含關系，屬于基礎題．七．子集與真子集（共3小題）22．（2022秋?沈陽期中）已知集合A＝{x∈N|﹣2＜x＜3}，則集合A的所有非空真子集的個數是（）A．6 B．7 C．14 D．15【分析】根據已知條件，結合非空真子集的定義，即可求解．【解答】解：A＝{x∈N|﹣2＜x＜3}＝{0，1，2}，元素個數為3個，則集合A的所有非空真子集的個數是23﹣2＝6．故選：A．【點評】本題主要考查非空真子集的定義，屬于基礎題．23．（2022秋?湖南期中）已知集合P＝{1，3，4，6，8，9}，對于它的任一非空子集A，可以將A中的每一個元素m都乘（﹣1）m再求和，例如A＝{3，4，6}，則可求得和為（﹣1）3×3+（﹣1）4×4+（﹣1）6×6＝7，對P所有非空子集，這些和的總和為（）A．80 B．160 C．162 D．320【分析】先計算出集合的非空子集個數，然后結合新定義計算結果所出現的情況，把結果相加即可．【解答】解：因為元素1，3，4，6，8，9在集合P的所有非空子集中分別出現25次，則對P的所有非空子集中元素m執行乘（﹣1）m再求和，則這些和的總和是25×[（﹣1）1×1+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4+（﹣1）6×6+（﹣1）8×8+（﹣1）9×9]＝160．故選：B．【點評】本題主要考查了集合的新定義問題，以及集合非空子集個數公式，屬于基礎題．24．（2022秋?響水縣校級月考）集合{2，4，6}的非空子集的個數是（）A．8 B．7 C．4 D．3【分析】根據集合非空子集個數與集合中元素個數關系2n﹣1即可得到答案．【解答】解：根據非空子集個數公式為2n﹣1＝23﹣1＝7．故選：B．【點評】本題主要考查了集合非空子集的定義，屬于基礎題．八．集合中元素個數的最值（共3小題）25．（2022秋?朝陽區校級期中）集合A＝{x∈N*|x﹣6＜0}中的元素個數是（）A．0 B．4 C．5 D．6【分析】列舉法求集合A，從而確定元素個數．【解答】解：A＝{x∈N*|x﹣6＜0}＝{1，2，3，4，5}，故集合A中有5個元素，故選：C．【點評】本題考查了集合的列舉法的應用，屬于基礎題．26．（2022秋?松桃縣月考）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數為（）A．9 B．8 C．5 D．4【分析】根據x，y為整數，分析所有可能的情況求解即可【解答】解：當x＝﹣1時，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，當x＝0時，y2≤3，得y＝﹣1，0，1，當x＝1時，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，即集合A中元素有9個，故選：A．【點評】本題主要考查集合元素個數的判斷，利用分類討論的思想是解決本題的關鍵，屬于基礎題．27．（2022秋?浦北縣校級月考）對于集合A，B，定義A﹣B＝{x|x∈A，x?B}，A⊕B＝（A﹣B）∪（B﹣A）．設M＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{4，5，6，7，8，9，10}，則M⊕N中元素的個數為（）．A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根據題中集合的新定義以及集合的運算可解．【解答】解：因為集合A，B，定于A﹣B＝{x|x∈A，x?B}，A⊕B＝（A﹣B）∪（B﹣A）．又M＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{4，5，6，7，8，9，10}，則M﹣N＝{1，2，3}，N﹣M＝{7，8，9，10}，則M⊕N＝（M﹣N）∪（N﹣M）＝{1，2，3，7，8，9，10}共有7個元素，故選：C．【點評】本題考查集合的新定義以及集合的運算，屬于基礎題．九．空集的定義、性質及運算（共4小題）28．（2022秋?松江區校級期中）已知集合A＝{x|ax+1＝0}為空集，則a＝．【分析】根據已知條件，結合空集的定義，即可求解．【解答】解：集合A＝{x|ax+1＝0}為空集，則a＝0．故答案為：0．【點評】本題主要考查空集的定義，屬于基礎題．29．（2022秋?昆都侖區校級月考）若集合A＝{x|ax2﹣ax+1＜0}為空集，則實數a的取值范圍是（）A．（0，4） B．[0，4） C．（0，4] D．[0，4]【分析】由題意說明不等式ax2﹣ax+1＜0無實解，分類討論a＝0和a≠0兩種情況．【解答】解：由題意不等式ax2﹣ax+1＜0無實解，a＝0時，不等式為1＜0，無實解．a≠0時，，解得0＜a≤4，綜上，a∈[0，4]．故選：D．【點評】本題考查不等式恒不成立問題，即不等式無實解．注意要對最高次系數分類討論．30．（2022秋?北京月考）下列集合表示空集的是（）A．{x∈R|x2+1＝0} B．{?} C．{0} D．0【分析】根據空集的定義判斷即可．【解答】解：對于A，∵方程x2+1＝0無實根，∴集合{x∈R|x2+1＝0}＝?，故A正確，對于B，∵集合{?}中有一個元素?，∴不是空集，故B錯誤，對于C，∵集合{0}中有一個元素0，∴不是空集，故C錯誤，對于D，0不是集合，故D錯誤，故選：A．【點評】本題主要考查了空集的定義，屬于基礎題．31．（2022?新羅區校級開學）已知集合A＝{x|x2+4ax﹣4a+3＝0}，B＝{x|x2+（a﹣1）x+a2＝0}，C＝{x|x2+2ax﹣2a＝0}，其中至少有一個集合不為空集，求實數a的取值范圍．【分析】關于“至少“至多”“不存在”等問題可考慮反面，本題的反面是A、B、C都是空集，由此能求出a的取值范圍．【解答】解：假設集合A、B、C都是空集，對于A，元素是x，A＝?，表示不存在x使得式子x2+4ax﹣4a+3＝0，所以Δ＝16a2﹣4（﹣4a+3）＜0，解得﹣＜a＜；對于B，B＝?，同理Δ＝（a﹣1）2﹣4a2＜0，解得a＞或者a＜﹣1；對于集合C，C＝?，同理Δ＝（2a）2+8a＜0，解得﹣2＜a＜0；三者交集為﹣＜a＜﹣1．取反面即可得A、B、C三個集合至少有一個集合不為空集，∴a的取值范圍是a≥﹣1或a≤﹣．【點評】本題考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．一十．集合關系中的參數取值問題（共4小題）32．（2022秋?雙流區校級期中）若集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}中只有一個元素，則實數k的值為（）A．0或1 B．1 C．0 D．k＜1【分析】當k＝0時，集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}＝{x|x＝﹣1}，滿足條件．當k≠0時，由判別式等于0可得k＝1，此時，集合A＝{﹣2}，滿足條件，由此得出結論．【解答】解：當k＝0時，集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}＝{x|x＝﹣1}，滿足條件．當k≠0時，由判別式等于0可得16﹣16k＝0，解得k＝1，此時，集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}＝{x|x2+4x+4＝0}＝{﹣2}，滿足條件．綜上可得，實數k的值為0或1．故選：A．【點評】本題主要考查集合關系中參數的取值范圍問題，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．33．（2022秋?棲霞區校級期中）已知集合A＝{x|x2+ax+b＝0}，B＝{x|x2+cx+15＝0}，若A∪B＝{3，5}，A∩B＝{3}，則實數a的值為．【分析】根據A∩B＝{3}，B＝{x|x2+cx+15＝0}，先求出集合B，進而求出集合A，由此可得實數a，b，c．【解答】解：∵A∩B＝{3}，∴9+3a+b＝0，9+3c+15＝0，解得c＝﹣8，∴B＝{x|x2+8x+15＝0}＝{3，5}，∵A∪B＝{3，5}，A∩B＝{3}，∴A＝{3}，∴a2﹣4b＝0，又∵9+3a+b＝0，∴a＝﹣6，b＝9．故答案為：﹣6．【點評】本題考查集合的運算，考查計算能力，屬于基礎題．34．（2022秋?芙蓉區校級月考）設集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，集合B＝{x|2m＜x＜1}．（1）若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求實數m的取值范圍；（2）若B∩?RA中只有一個整數，求實數m的取值范圍．【分析】（1）“x∈A”是“x∈B”的必要條件，等價于B?A，據此列式可得；（2）B∩?RA中只有一個整數，只能是﹣2這個整數．【解答】解：（1）因為“x∈A”是“x∈B”的必要條件，所以“x∈B“是“x∈A“的充分條件，所以B?A，所以或2m≥1，解得：﹣≤m或m≥，所以m；（2）因為A＝[﹣1，2]，所以?RA＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），又B∩?RA中只有一個整數，所以這個整數必定是﹣2，故2m∈[﹣3，﹣2），所以m∈[﹣，﹣1）【點評】本題考查了集合關系中的參數取值問題．屬基礎題．35．（2022?朝陽區二模）已知集合A＝{α|α＝（x1，x2，x3，x4），xi∈N，i＝1，2，3，4}．對集合A中的任意元素α＝（x1，x2，x3，x4），定義T（α）＝（|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x4|，|x4﹣x1|），當正整數n≥2時，定義Tn（α）＝T（Tn﹣1（α））（約定T1（α）＝T（α））．（Ⅰ）若α＝（2，0，2，1），β＝（2，0，2，2），求T4（α）和T4（β）；（Ⅱ）若α＝（x1，x2，x3，x4）滿足xi∈{0，1}（i＝1，2，3，4）且T2（α）＝（1，1，1，1），求α的所有可能結果；（Ⅲ）是否存在正整數n使得對任意α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3）都有Tn（α）＝（0，0，0，0）？若存在，求出n的所有取值；若不存在，說明理由．【分析】（I）根據定義依次寫出Tn（α），n∈{1，2，3，4}、Tn（β），n∈{1，2，3，4}即可得結果．（Ⅱ）由題設T（α）有（1，0，1，0）或（0，1，0，1），再依據定義確定α的所有可能結果；（Ⅲ）由定義得T（α）＝（x1﹣x2，x2﹣x3，x4﹣x3，x1﹣x4），依次寫出Tn（α）直到Tn（α）＝（0，0，0，0）即可判斷存在性，并確定n的所有取值．【解答】解：（I）由題意T（α）＝（2，2，1，1），T2（α）＝（0，1，0，1），T3（α）＝（1，1，1，1），T4（α）＝（0，0，0，0），T（β）＝（2，2，0，0），T2（β）＝（0，2，0，2），T3（β）＝（2，2，2，2），T4（β）＝（0，0，0，0），（Ⅱ）由T2（α）＝（1，1，1，1）且xi∈{0，1}（i＝1，2，3，4），|x1﹣x2|﹣|x2﹣x3||＝1，同理，x2＝0或1時，||x1﹣x2|﹣|x2﹣x3||＝|x1﹣x3|＝1，x3＝0或1時，||x2﹣x3|﹣|x3﹣x4||＝|x2﹣x4|＝1，x4＝0或1時，||x3﹣x4|﹣|x4﹣x1||＝|x1﹣x3|＝1，所以（1）等價于，則x1≠x3，x2≠x4，當x1＝0，x2＝0，則α為（0，0，1，1）滿足；當x1＝0，x2＝1，則α為（0，1，1，0）滿足，當x1＝1，x2＝0，則α為（1，0，0，1）滿足，當x1＝1，x2＝1，則α為（1，1，0，0）滿足，綜上，α的所有可能結果（1，0，0，1）、（0，1，1，0）、（1，1，0，0）、（0，0，1，1）．（Ⅲ）存在正整數n使Tn（α）＝（0，0，0，0）且{n∈N*|n≥6}，理由如下：由α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3），則T（α）＝（x1﹣x2，x2﹣x3，x4﹣x3，x1﹣x4），所以T2（α）＝（|x1+x3﹣2x2|，x2﹣x4，|x1+x3﹣2x4|，x2﹣x4），若a＝|x1+x3﹣2x2|，b＝|x1+x3﹣2x4|，所以T3（α）＝（|x2﹣x4﹣a|，|x2﹣x4﹣b|，|x2﹣x4﹣b|，|x2﹣x4﹣a|），若c＝|x2﹣x4﹣a|﹣|x2﹣x4﹣b||，則T4（α）＝（c，0，c，0），T5（α）＝（c，c，c，c），T6（α）＝（0，0，0，0），所以，對α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3）都有T6（α）＝（0，0，0，0），當n≥7時，Tn（α）＝（0，0，0，0）恒成立，綜上，n所有取值為{，n∈N*|n≥6使Tn（α）＝（0，0，0，0）成立．【點評】本題考查集合的新定義，考查學生的推理運算能力，屬于中檔題．一十一．并集及其運算（共3小題）36．（2022秋?臺江區校級月考）已知集合A＝{x|ex＜1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}，則A∪B＝（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，2） C．（﹣2，0） D．（﹣1，2）【分析】先求出集合A，B，再結合并集的運算，即可求解．【解答】解：A＝{x|ex＜1，x∈R}＝{x|x＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}＝{x|﹣1＜x＜2}，則A∪B＝（﹣∞，2）．故選：B．【點評】本題主要考查并集及其運算，屬于基礎題．37．（2022秋?上月考）若集合M＝{x|2x＞4}，N＝{x|log3x≤1}，則M∪N＝（）A．{x|2＜x≤3} B．{x|x＞0} C．{x|0＜x＜2或x＞2） D．R【分析】根據已知條件，先求出M，N，再結合并集的定義，即可求解．【解答】解：M＝{x|2x＞4}＝{x|x＞2}，N＝{x|log3x≤1}＝{x|0＜x≤3}，故M∪N＝{x|x＞0}．故選：B．【點評】本題主要考查并集及其運算，屬于基礎題．38．（2022秋?西城區校級月考）已知集合A＝{﹣1，1，2}，B＝{x|x﹣1≥0}，則A∪B＝（）A．{1，2} B．[1，+∞） C．[﹣1，+∞） D．{﹣1}∪[1，+∞）【分析】利用并集的運算求解即可．【解答】解：集合A＝{﹣1，1，2}，B＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，則A∪B＝{﹣1}∪[1，+∞）．故選：D．【點評】本題主要考查了集合的基本運算，屬于基礎題．一十二．交集及其運算（共3小題）39．（2022秋?上月考）已知A＝{y|y＝ax（a＞0，a≠1）}，B＝{x|x2＞x}，則A∩B＝（）A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【分析】根據指數函數的值域，集合的交集運算即可．【解答】解：易知A＝{y|y＞0}，B＝{x|x2＞x}＝{x|x（x﹣1）＞0}＝（﹣∞，0）∪（1，+∞），所以A∩B＝（1，+∞）．故選：B．【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題．40．（2022?贛縣區校級開學）已知集合A＝{x||x|＜4，x∈Z}，B＝{y|y2＞4}，則A∩B＝（）A．{﹣4，﹣3，3，4} B．{﹣3，3} C．{3} D．?【分析】根據已知條件，結合交集的定義，即可求解．【解答】解：集合A＝{x||x|＜4，x∈Z}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{y|y2＞4}＝{y|y＞2或y＜﹣2}，則A∩B＝{﹣3，3}．故選：B．【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題．41．（2022秋?河南月考）若集合A＝{0，1，3，4，7}，B＝{﹣2，0，3，4}，則A∩B中元素的個數為（）A．2 B．3 C．4 D．1【分析】由交集的定義即可得出答案．【解答】解：因為集合A＝{0，1，3，4，7}，B＝{﹣2，0，3，4}，所以A∩B＝{0，3，4}，A∩B中元素的個數為3．故選：B．【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題．一十三．補集及其運算（共3小題）42．（2022秋?城西區校級月考）設全集U＝{x∈Z|x2≤2x+3}，集合A＝{0，1，2}，則?UA＝（）A．{0，3} B．{﹣1，0} C．{﹣1，3} D．{﹣1，0，3}【分析】先求出全集U，再利用補集運算求解即可．【解答】解：∵U＝{x∈Z|x2≤2x+3}＝{x∈Z|﹣1≤x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{0，1，2}，∴?UA＝{﹣1，3}，故選：C．【點評】本題考查集合的補集運算，是基礎題．43．（2022春?高縣校級月考）設全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x|x2﹣6x+8≤0，x∈Z}，則?UA＝（）A．{2，3，4} B．{1，5，6} C．{4，5，6} D．{1，2，3}【分析】解不等式求出A，求出?UA的值即可．【解答】解：U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{x|x2﹣6x+8≤0，x∈Z}＝{2，3，4}，則?UA＝{1，5，6}，故選：B．【點評】本題考查了解不等式問題和集合的運算，是基礎題．44．（2021秋?東城區校級期末）全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2＜5，x∈Z}，則?UA＝（）A．?UA＝{﹣3，﹣2，2，3，4，5} B．?UA＝{﹣3，3，4，5} C．?UA＝{3，4，5} D．?UA＝{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】求出集合A，利用補集定義能求出?UA．【解答】解：全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2＜5，x∈Z}＝{x|，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，則?UA＝{﹣3，3，4，5}．故選：B．【點評】本題考查集合的運算，考查補集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．一十四．全集及其運算（共1小題）45．（2022秋?北京期中）設集合A＝{4，5，7，9}，B＝{3，4，7，8，9}，全集U＝A∪B，則集合?U（A∩B）中的元素共有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【分析】根據交集含義取A、B的公共元素寫出A∩B，再根據補集的含義求解．【解答】解：A∪B＝{3，4，5，7，8，9}，A∩B＝{4，7，9}∴?U（A∩B）＝{3，5，8}故選A．也可用摩根律：?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）故選：A．【點評】本題考查集合的基本運算，較簡單．一十五．交、并、補集的混合運算（共2小題）46．（2022秋?資陽月考）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，M＝{x|x＞0}，N＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}，則M∩（?UN）＝（）A．{3} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{﹣2，2，3}【分析】根據集合的補集運算、交集運算求解即可．【解答】解：∵N＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}＝{﹣1，0，1}，∴?UN＝{﹣2，2，3}，∴M∩（?UN）＝{2，3}．故選：B．【點評】本題主要考查了集合交集及補集運算，屬于基礎題．47．（2022秋?黃埔區校級月考）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，3}，集合B＝{2，3，4}，則（?UA）∩B＝（）A．{2，4} B．{3，4} C．{2，3} D．{4}【分析】根據給定條件，利用補集、交集的定義求解作答．【解答】解：全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，3}，則?UA＝{2，4，5}，而B＝{2，3，4}，所以（?UA）∩B＝{2，4}．故選：A．【點評】本題主要考查了集合的基本運算，屬于基礎題．一十六．子集與交集、并集運算的轉換（共3小題）48．（2022秋?寶山區校級期中）用C（A）表非空集合A中元素的個數，定義，若A＝{1}，B＝{x|x（x2+ax+2）＝0}，且A*B＝1，設實數a的所有可能取值構成集合S，則C（S）＝（）A．4 B．3 C．2 D．9【分析】根據新定義可確定幾何B中元素個數，從而解得a的取值即可．【解答】解：由于，A＝{1}，且A*B＝1，則C（B）＝0或2，顯然0∈B，則B≠?，故C（B）＝2，由于0不是x2+ax+2＝0的根，則x2+ax+2＝0有兩個相等的實數根，故Δ＝a2﹣8＝0，從而，故C（S）＝2．故選：C．【點評】本題考查集合中元素個數，屬于基礎題．49．（2022秋?浦東新區校級月考）設集合M、P≠?，定義集合M﹣P＝{x|x∈M，x?P}，則集合M﹣（M﹣P）是（）A．P B．M C．M∪P D．M∩P【分析】由條件中差集的定義便可表示M﹣（M﹣P）＝{x|x∈M，且x?（M﹣P）}，然后用venn圖表示集合M，P，由圖形即可得出答案．【解答】解：根據差集的定義，M﹣（M﹣P）＝{x|x∈M，且x?（M﹣P）}，用venn圖表示集合M，P的關系如圖：陰影部分表示M﹣P，∴M﹣（M﹣P）＝M∩P．故選：D．【點評】本題主要考查對差集定義的理解，描述法表示集合，借助venn圖解決集合問題的方法．50．（2022春?紅塔區校級期中）定義集合A，B的一種運算：A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，則A*B的元素個數為（）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【分析】根據新定義A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，把集合A與集合B中的元素分別代入即可得到答案．【解答】解：∵A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，∴A*B＝{2，3，4，5}，則A*B的元素個數為4，故選：C．【點評】本題考查了元素與集合關系的判斷，屬于基礎題，關鍵是根據新定義求解．一十七．Venn圖表達集合的關系及運算（共3小題）51．（2022秋?邢臺月考）集合論是德國數學家康托爾（G．Cantor）于19世紀末創立的．在他的集合理論中，用card（A）表示有限集合A中元素的個數，例如：A＝{a，b，c}，則card（A）＝3．對于任意兩個有限集合A，B，有card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）．某校舉辦運動會，高一（1）班參加田賽的學生有15人，參加徑賽的學生有13人，兩項都參加的有5人，那么高一（1）班參加本次運動會的人數共有（）A．28 B．23 C．18 D．16【分析】由題意畫出韋恩圖，由此即可求解．【解答】解：由已知畫出韋恩圖：則該班的人數共有10+5+8＝23人，故選：B．【點評】本題考查了韋恩圖的應用，屬于基礎題．52．（2022秋?浦北縣校級期中）若全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5，6}，B＝{x|x＜3}，則圖中陰影部分表示的集合為（）A．{3，4，5，6} B．{0，1，2} C．{0，1，2，3} D．{4，5，6}【分析】由韋恩圖可知，陰影部分表示的集合為A∩（?UB），再利用集合的基本運算即可求解．【解答】解：由韋恩圖可知，陰影部分表示的集合為A∩（?UB），∵全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5，6}，B＝{x|x＜3}，∴?RB＝{x|≥3}，∴A∩（?RB）＝{3，4，5，6}，故選：A．【點評】本題主要考查了韋恩圖，以及集合的基本運算，是基礎題．53．（2022春?重慶月考）如圖，U是全集，M，N，P是U的三個子集，則陰影部分所表示的集合是（）A．（?UM）∩（?UN）∩P B．（?UM）∩P C．?U（M∩N）∩P D．?U（M∪N）∪P【分析】根據維恩圖的意義，陰影部分所表示的集合是集合M，N在全集上的補集的公共部分和集合P的交集，由此能求出結果．【解答】解：根據維恩圖的意義，知陰影部分所表示的集合是集合M，N在全集上的補集的公共部分和集合P的交集，∴陰影部分所表示的集合是（?UM）∩（?UN）∩P．故選：A．【點評】本題考查集合的求法，考查補集、交集、維恩圖等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．六六、易錯分析易錯點1：忽視集合元素的互異性致錯已知集合A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且A∩B＝{3,7}，求集合B.【錯解】由A∩B＝{3,7}得a2＋4a＋2＝7，解得a＝1或a＝－5.當a＝1時，集合B＝{0,7,3,1}；當a＝－5時，集合B＝{0,7,3}．綜上知集合B＝{0,7,3,1}或B＝{0,7,3}．【錯因】由題設條件知集合B中有四個元素，集合中出現了相同的元素，與集合中元素的互異性矛盾，導致錯解．【正解】應將當a＝－5時的集合B＝{0,7,3}舍去，故集合B＝{0,7,3,1}．【答案】{0,7,3,1}集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．易錯點2：忽視空集致錯已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求實數m的取值范圍．【錯解】由B?A，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤5，,m＋1≤2m－1，))解得2≤m≤3.【錯因】上述解法是初學者解此類問題的典型錯誤解法．原因是考慮不全面，由集合B的含義及B?A，忽略了集合為?的可能而漏掉解．【正解】A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B?A.①若B＝?，則m＋1>2m－1，解得m<2，此時有B?A；②若B≠?，則m＋1≤2m－1，即m≥2，由B?A，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.由①②得m≤3.∴實數m的取值范圍是{m|m≤3}.【答案】{m|m≤3}.七七、刷基礎一．選擇題（共10小題）1．（2023?沙坪壩區校級模擬）設全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{1，﹣1，0}，B＝{﹣1，2}，則A∪?UB＝（）A．{0，1} B．{﹣2，0，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】由已知求得?UB，再由并集運算的定義得答案．【解答】解：∵全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，2}，∴?UB＝{﹣2，0，1}，又A＝{1，﹣1，0}，∴A∪?UB＝{﹣2，﹣1，0，1}．故選：D．【點評】本題考查交、并、補集的混合運算，是基礎題．2．（2023?武漢模擬）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|2x+3＞0}，則A∩B＝（）A． B． C． D．【分析】求解不等式化簡A與B，再由交集運算的定義得答案．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝（﹣2，3），B＝{x|2x+3＞0}＝（，+∞），∴A∩B＝（﹣2，3）∩（，+∞）＝（，3）．故選：C．【點評】本題考查交集及其運算，考查不等式的解法，是基礎題．3．（2023?泰州模擬）若M，N是U的非空子集，M∩N＝M，則（）A．M?N B．N?M C．?UM＝N D．?UN＝M【分析】根據集合交集的運算性質可得集合的包含關系即可一一判斷．【解答】解：因為M∩N＝M，所以M?N，A正確，B錯誤；因為M，N是U的非空子集，所以?UM≠N，?UN≠M，C，D錯誤．故選：A．【點評】本題主要考查集合的交集和補集運算，集合的包含關系，屬于基礎題．4．（2023?安徽模擬）已知集合A＝{x|ln（x﹣2）＜0}，B＝{x|5﹣2x＞0}，則A∩B＝（）A． B． C． D．{x|1＜x＜2}【分析】根據對數不等式、一元一次不等式的解法求出集合A、B，結合交集的概念和運算即可求解．【解答】解：由題意得，，則A＝{x|2＜x＜3}，，故．故選：A．【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題．5．（2023?全國二模）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣x+m＝0}，若A∩B＝{2}，則B＝（）A．{2，1} B．{2，4} C．{2，3} D．{2，﹣1}【分析】由已知可推得2∈B，代入即可解得m＝﹣2，代入即可得出答案．【解答】解：由題意可知，2∈B，即22﹣2+m＝0，解得m＝﹣2，故B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}＝{2，﹣1}．故選：D．【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題．6．（2023?五華區校級模擬）某班一個課外調查小組調查了該班同學對物理和歷史兩門學科的興趣愛好情況，其中該班同學對物理或歷史感興趣的同學占90%，對物理感興趣的占56%，對歷史感興趣的占74%，則既對物理感興趣又對歷史感興趣的同學占該班學生總數的比例是（）A．70% B．56% C．40% D．30%【分析】根據公式card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）列方程求解即可．【解答】解：對物理感興趣的同學占56%，對歷史感興趣的同學占74%，這兩組的比例數據都包含了既對物理感興趣又對歷史感興趣的同學的比例，設既對物理感興趣又對歷史感興趣的同學占該班學生總數的比例為x，則對物理或歷史感興趣的同學的比例是56%+74%﹣x，所以56%+74%﹣x＝90%，解得x＝40%．故選：C．【點評】本題主要考查集合的應用，屬于基礎題．7．（2023?河南二模）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x2＜4x}，則A∪B＝（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，4） C．（﹣1，0） D．（0，2）【分析】解不等式可得集合B，根據集合的并集運算，即得答案．【解答】解：解x2＜4x可得0＜x＜4，則A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜4}，故A∪B＝（﹣1，4）．故選：B．【點評】本題主要考查并集及其運算，屬于基礎題．8．（2023?哈爾濱二模）已知集合A＝{x||x﹣3|＜2}，，則A∪B＝（）A．（1，2] B．（1，2） C．[﹣1，5] D．[﹣1，5）【分析】求出集合A、B，利用并集的定義可求得集合A∪B．【解答】解：因為A＝{x||x﹣3|＜2}＝{x|﹣2＜x﹣3＜2}＝{x|1＜x＜5}，由可得，解得﹣1≤x＜2，則B＝{x|﹣1≤x＜2}，故A∪B＝[﹣1，5）．故選：D．【點評】本題主要考查并集及其運算，屬于基礎題．9．（2023?懷仁市模擬）若集合A＝{x|x＜4}，B＝，則A∩（?RB）＝（）A．（﹣∞，1] B．（0，1] C．（﹣∞，0）∪（0，1] D．（﹣∞，0]∪（1，4）【分析】先根據分式不等式的解法求出集合B，再根據交集和補集的定義即可得解．【解答】解：由得，則，解得0＜x≤1，B＝（0，1]，則?RB＝（﹣∞，0]∪（1，+∞），故A∩（?RB）＝（﹣∞，0]∪（1，4）．故選：D．【點評】本題主要考查集合的運算，屬于基礎題．10．（2023?鐵嶺模擬）設，N＝{x|x＞a}，若M?N，則實數a的取值范圍為（）A．a＜1 B．a≤1 C． D．【分析】先求出集合M，再根據M?N，即可求得a的取值范圍．【解答】解：∵，∵N＝{x|x＞a}，M?N，∴a＜1．故選：A．【點評】本題主要考查了集合包含關系的應用，屬于基礎題．二．多選題（共1小題）（多選）11．（2023?福建二模）非空集合A具有如下性質：①若x，y∈A，則；②若x，y∈A，則x+y∈A下列判斷中，正確的有（）A．﹣1?A B． C．若x，y∈A，則xy∈A D．若x，y∈A，則x﹣y∈A【分析】用反證法，證明矛盾即可判斷A；由1開始類推，能得到所有自然數均屬于集合A，由題知兩者相除也屬于集合A，即可判斷B；由集合A的性質可得x?y∈A，x﹣y∈A，即可判斷選項C和D．【解答】解：對于A，假設﹣1∈A，則令x＝y＝﹣1，則＝1∈A，x+y＝﹣2∈A，令x＝﹣1，y＝1，則＝﹣1∈A，x+y＝0∈A，令x＝1，y＝0，不存在，即y≠0，矛盾，∴﹣1?A，故A對；對于B，由題，1∈A，則1+1＝2∈A，2+1＝3∈A，…，2022∈A，2023∈A，∴∈A，故B對；對于C，∵1∈A，x∈A，∴∈A，∵y∈A，∈A，∴＝xy∈A，故C對；對于D，∵1∈A，2∈A，若x＝2，y＝1，則x﹣y＝1∈A，故D錯誤．故選：ABC．【點評】本題主要考查元素與集合關系的判斷，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）12．（2023?大荔縣一模）設三元集合，則a2022+b2022＝．【分析】根據集合相等求得a，b，即可求解．【解答】解：依題意，a≠0，則，解得b＝0，a＝﹣1，此時兩個集合都是{﹣1，0，1}，符合題意，故a2022+b2022＝（﹣1）2022+0＝1．故答案為：1．【點評】本題主要考查集合的相等，屬于基礎題．13．（2023?湖南模擬）若一個非空數集F滿足：對任意a，b∈F，有a+b，a﹣b，ab∈F，且當b≠0時，有，則稱F為一個數域，以下命題中：（1）0是任何數域的元素；（2）若數域F有非零元素，則2021∈F；（3）集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}為數域；（4）有理數集為數域；真命題的個數為．【分析】根據新定義逐一判斷即可求解．【解答】解：（1）當a＝b時，a﹣b＝0屬于數域，故（1）正確；（2）若數域F有非零元素，則，從而1+1＝2∈F，2+1∈F，?，2020+1＝2021∈F，故（2）正確；（3）由集合P，可知x是3的倍數，當a＝6，b＝3時，，故（3）錯誤；（4）若F是有理數集，則當a，b∈F，則a+b，a﹣b，ab∈F，且當b≠0時，”都成立，故（4）正確，故真命題的個數是3．故答案為：3．【點評】本題主要考查命題真假的判斷，集合中的新定義，考查邏輯推理能力，屬于基礎題．14．（2023?渾南區一模）已知集合A＝{x|≤0}，集合B＝{x|y＝}，A∩（?RB）＝．【分析】化簡集合A、B，根據補集與交集的定義，計算即可．【解答】解：集合A＝{x|≤0}＝{x|0≤x＜2}，集合B＝{x|y＝}＝{x|1﹣2x﹣1≥0}＝{x|x≤1}，所以?RB＝{x|x＞1}，所以A∩（?RB）＝{x|1＜x＜2}．故答案為：{x|1＜x＜2}．【點評】本題考查了集合的化簡與運算問題，也考查了運算求解能力，是基礎題．15．（2023?晉江市校級模擬）對于集合E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{，，…，}，定義X的“特征數列”為x1，x2，…，x100，其中＝＝…＝＝1，其余項均為0，例如子集{a2，a3}的“特征數列”為0，1，1，0，0，…，0．（1）子集{a1，a3，a4，a5}的“特征數列”的前四項和等于；（2）若E的子集P的“特征數列”p1，p2，…，p100滿足p1＝1，pi+pi+1＝1，1≤i≤99，E的子集Q的“特征數列”為q1，q2，…，q100，滿足q1＝1，qj+qj+1+qj+2＝2，1≤j≤98，則P∩Q的元素個數為．【分析】（1）根據“特征數列”的定義求出子集{a1，a3，a4，a5}的“特征數列”，由此能求出它的前四項和．（2）由已知定義可求出集合P，Q，由此能求出P∩Q的元素個數．【解答】解：（1）根據“特征數列”的定義可知子集{a1，a3，a4，a5}的“特征數列”為：1，0，1，1，1，0，0，???，0，∴子集{a1，a3，a4，a5}的“特征數列”的前四項和為：1+0+1+1＝3．（2）P的“特征數列”為1，0，1，0，1，0，???，1，0，Q的“特征數列”滿足qj+qj+1+qj+2＝2，且q1＝1，q2＝1，q3＝0或q2＝0，q3＝1，∴Q的“特征數列”為1，1，0，1，1，0，1，1，0，???，0，1或1，0，1，1，0，1，???，0，1，1，∴P＝{a1，a3，a5，a7，???，a97，a99}，Q＝{a1，a2，a4，a5，???，a97，a98，a99}或Q＝{a1，a3，a4，a6，???，a97，a99，a100}＜∵P，Q的“特征數列”周期的最小公倍數為6，一個周期內P∩Q的元素個數為2，共有100÷6＝16??????4，∴P∩Q的元素個數為16×2+1＝33或16×2+2＝34個．故答案為：3；33或34．【點評】本題考查集合的運算，考查新定義、交集定義等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．四．解答題（共1小題）16．（2023?建水縣校級模擬）已知集合A＝{x|a≤x≤a+2}，B＝{x|2x+2＞0}，全集U＝R．（1）若a＝﹣2，求A∩B，A∩（?UB）；（2）若A∩B＝?，求實數a的取值范圍．【分析】（1）可求出集合A，B，然后進行交集和補集的運算即可；（2）根據條件可得出a+2≤﹣1，然后解出a的范圍即可．【解答】解：（1）a＝﹣2時，A＝{x|﹣2≤x≤0}，∵B＝{x|x＞﹣1}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x≤0}，?UB＝{x|x≤﹣1}，A∩（?UB）＝{x|﹣2≤x≤﹣1}；（2）∵A＝{x|a≤x≤a+2}，B＝{x|x＞﹣1}，且A∩B＝?，∴a+2≤﹣1，解得a≤﹣3，∴實數a的取值范圍為（﹣∞，﹣3]．【點評】本題考查了集合的描述法的定義，交集和補集的定義及運算，全集的定義，空集的定義，考查了計算能力，屬于容易題．八八.刷易錯一．選擇題（共11小題）1．（2023?天津模擬）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，5}，集合B＝{2，3，5}，則（?UB）∩A＝（）A．{2} B．{2，3} C．{1} D．{1，4}【分析】根據補集與交集的定義計算即可．【解答】解：全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，5}，集合B＝{2，3，5}，∴?UB＝{1，4}，∴（?UB）∩A＝{1}．故選：C．【點評】本題考查了補集與交集的定義與應用問題，是基礎題．2．（2023?甘肅一模）已知集合A＝{y|y＝|x|﹣1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，則下列結論正確的是（）A．﹣3∈A B．3?B C．A∪B＝B D．A∩B＝B【分析】先把集合A的范圍解出來，再進行判斷即可．【解答】解：因為A＝{y|y＝|x|﹣1，x∈R}＝{y|y≥﹣1}，又B＝{x|x≥2}，故A∩B＝B，故選：D．【點評】本題主要考查元素與集合、集合與集合間的關系，屬于基礎題．3．（2022?朝陽區校級三模）已知集合A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{x|ax+1＝0}，若B?A，則實數a的取值組成的集合是（）A．{﹣1} B．{} C．{﹣1，} D．{﹣1，0，}【分析】先化簡集合A＝{﹣2，1}，集合B中至多有一個元素，分類對其求解即可，本題要分成兩類，一類為無解，一類為有一解．【解答】解：集合A＝{1，﹣2}，集合B中至多有一個元素，若集合B為空集，即a＝0時，顯然滿足條件A∪B＝A，故a＝0成立，若集合B非空集，即a≠0，此時B＝{﹣}，若﹣＝﹣2，則a＝，若﹣＝1，則a＝﹣1，故a的取值集合為{0，，﹣1}．故選：D．【點評】本題的考點是集合