專題4.3等差數列的前n項和公式【六大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1求等差數列的通項公式】 2【題型2等差數列前n項和的性質】 2【題型3等差數列的前n項和與二次函數的關系】 3【題型4求等差數列的前n項和】 3【題型5等差數列前n項和的最值】 4【題型6等差數列的實際應用】 5【知識點1等差數列的前n項和公式】1．等差數列的前n項和公式等差數列的前n項和公式=(公式一).

=(公式二).2．等差數列的前n項和公式與二次函數的關系等差數列{}的前n項和==+()n，令=A，=B，則=+Bn.

(1)當A=0，B=0(即d=0，=0)時，=0是常數函數，{}是各項為0的常數列.

(2)當A=0，B≠0(即d=0，≠0)時,=Bn是關于n的一次函數，{}是各項為非零的常數列.

(3)當A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)時，=+Bn是關于n的二次函數(常數項為0).3．等差數列前n項和的性質等差數列{an}的前n項和Sn的常用性質性質1等差數列中依次k項之和Sk,S2kSk,S3kS2k,…組成公差為k2d的等差數列性質2若等差數列的項數為2n(n∈N*)，則，，；

若等差數列的項數為2n1(n∈N*)，則(an是數列的中間項)，，性質3{an}為等差數列為等差數列性質4若{an},{bn}都為等差數列，Sn,Tn分別為它們的前n項和，則【題型1求等差數列的通項公式】【例1】1．（2023秋·高二課時練習）已知數列an的前n項和為Sn，滿足Sn=n2?4n，則an=（

）A．n?4 B．?2n?1 C．3n?6 D．2n?5【變式11】（2022秋·山東菏澤·高二校考階段練習）已知數列an的前n項和Sn=n2A．an=2n B．an=2n?1 C．【變式12】（2023·全國·高三專題練習）已知數列{an}的所有項均為正數，其前n項和為Sn，且SnA．an=2n?1 C．an=4n?1 【變式13】（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）已知數列an的前n項和為Sn，a1=1，SnA．414 B．406 C．403 D．393【題型2等差數列前n項和的性質】【例2】（2023秋·黑龍江牡丹江·高二校考期末）在等差數列an中，已知S6=10，S12=30A．90 B．40 C．50 D．60【變式21】（2023秋·甘肅金昌·高二校考階段練習）設等差數列an的前n項和為Sn，若S14S7A．187 B．32 C．117【變式22】（2023春·河南南陽·高二校聯考期中）已知等差數列an，若a3+a4+aA．30 B．36 C．24 D．48【變式23】（2023秋·浙江嘉興·高二統考期末）已知等差數列an和bn的前n項和分別為Sn、Tn，若SnA．11113 B．3713 C．11126【題型3等差數列的前n項和與二次函數的關系】【例3】（2023·全國·高二專題練習）已知等差數列an的前n項和為Sn，若a1=2，且S3A．1 B．2 C．3 D．4【變式31】（2023·高二課時練習）已知等差數列an的前n項和為Sn，若S2021<0，S2022>0，則當A．1010 B．1011 C．1012 D．2021【變式32】（2023·全國·高二專題練習）在各項不全為零的等差數列an中，Sn是其前n項和，且S2016=S2018，A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【變式33】（2023·全國·高二專題練習）在各項不全為零的等差數列an中，Sn是其前n項和，且S2011=S2014，A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【題型4求等差數列的前n項和】【例4】（2023秋·四川涼山·高二校考階段練習）設等差數列an前n項和是Sn，若a1+aA．5 B．45 C．15 D．90【變式41】（2023秋·福建寧德·高二校考階段練習）若數列an滿足2an+1=an+A．135 B．105 C．90 D．75【變式42】（2023春·河南開封·高三校考階段練習）已知等差數列an為遞增數列，Sn為其前n項和，a3+aA．516 B．440 C．258 D．220【變式43】（2023秋·江西吉安·高三校考開學考試）已知an為等差數列，Sn為其前n項和，a2=?1,SA．36 B．45 C．54 D．63【題型5等差數列前n項和的最值】【例5】（2023秋·甘肅金昌·高二校考階段練習）已知等差數列an的前n項和為Sn，a4(1)求數列an(2)求Sn的最小值及取得最小值時n【變式51】（2023春·貴州黔西·高二校考階段練習）記Sn為等差數列an的前n項和，已知a1=?17，從以下兩個條件中任選其中一個給出解答．①(1)求公差d；(2)求Sn，并求S注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．【變式52】（2023·海南·校聯考模擬預測）已知等差數列an是遞減數列，設其前n項和為Sn，且滿足a1(1)求an(2)設數列Snn+9的前n項和為Tn，求【變式53】（2023春·高二課時練習）在①a1=?8,a2=?7,an+1=kan+1n∈N?,k∈R②若(1)求數列{a(2)求數列{an}的前n項和為S(3)記Tn=【題型6等差數列的實際應用】【例6】（2023·全國·高二課堂例題）某種卷筒衛生紙繞在盤上，空盤時盤芯直徑為40mm，滿盤時直徑為120mm（如圖）．已知衛生紙的厚度為0.1mm，問：滿盤時衛生紙的總長度大約是多少米（精確到1m）？

【變式61】（2023·全國·高二課堂例題）某零存整取3年期儲蓄的月利率為2.7‰．(1)如果每月存入1000元，那么3年后本息合計為多少元（精確到1元）？(2)欲在3年后一次性支取本息合計5萬元，每月存入多少元（精確到1元）【變式62】（2023·全國·高三專題練習）2019年9月1日，小劉從各個渠道融資25萬元，在某大學投資一個咖啡店，2020年1月1日正式開業，已知開業第一年運營成本為6萬元，由于工人工資不斷增加及設備維修等，以后每年成本增加2萬元，若每年的銷售額為31萬元，用數列an表示前n年的純收入.(注：前n年的純收入=前n年的總收入?前n年的總支出?投資額(1)試求年平均利潤最大時的年份(年份取正整數)，并求出最大值；(2)若前n年的收入達到最大值時，小劉計劃用前n年純收入的13【變式63】（2023·全國·高二專題練習）流感是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病，秋冬季節是其高發期，其所引起的并發癥和死亡現象非常嚴重.我國北方某市去年12月份曾發生大面積流感，據資料統計，12月1日該市新增患者有20人，此后12月的某一段時間內，每天的新增患者比前一天的新增患者多50人.為此，該市醫療部門緊急