第1頁(yè)/共1頁(yè)2025北京昌平高三二模數(shù)學(xué)本試卷共5頁(yè)，共150分．考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效．考試結(jié)束后，將答題卡交回．第一部分選擇題共40分．一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知全集，集合，，則（）．A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（）．A. B. C. D.3.若，則（）．A. B.0 C.1 D.24.已知，，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）．A. B. C. D.5.設(shè)函數(shù)．已知，且當(dāng)時(shí)，的最小值為4，則（）．A., B., C., D.,6.已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，其圓心到直線的距離為，則的最大值為（）．A.1 B.2 C.3 D.47.廡殿頂是中國(guó)傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，其頂蓋幾何模型如圖所示，底面是矩形，側(cè)面由兩個(gè)全等的等腰梯形和兩個(gè)全等的等腰三角形組成．若，且四個(gè)側(cè)面與底面的夾角的大小均相等，則（）．A. B. C. D.8.設(shè)數(shù)列是公比不為1的無(wú)窮等比數(shù)列，則“數(shù)列為遞減數(shù)列”是“對(duì)任意的正整數(shù)，”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．A. B.-∞,-1∪1,+∞ C.（，10.在數(shù)列中，，則（）A.當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的正整數(shù)B.當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的正整數(shù)D.當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，第二部分非選擇題共110分二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)____．12.已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則a?13.已知將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則常數(shù)的一個(gè)取值為_(kāi)____．14.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)在直線上．D1A2是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，A2B2是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，B2C2是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，C2D2是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，D2A3是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，．．．，依次類(lèi)推，其中點(diǎn)，共線，點(diǎn)，共線，點(diǎn)共線，點(diǎn)共線．則A3B3的長(zhǎng)度為_(kāi)____；由上述圓弧組成的曲線與直線恰有7個(gè)交點(diǎn)時(shí)，曲線長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)____．15.已知曲線，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；②當(dāng)時(shí)，曲線上任意一點(diǎn)到點(diǎn)，的距離均不超過(guò)；③曲線與直線圍成圖形的面積小于5；④經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與平行的直線與曲線的所有交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_____．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16.在△ABC中，為銳角，．（1）求；（2）若，求的面積．17.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，與相交于點(diǎn)，平面平面，點(diǎn)在棱上，．（1）求證：；（2）再?gòu)臈l件①，條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求平面與平面夾角的大小．條件①：平面；條件②：．

18.在探索數(shù)智技術(shù)賦能學(xué)科學(xué)習(xí)的過(guò)程中，某中學(xué)鼓勵(lì)學(xué)生使用某聽(tīng)說(shuō)平臺(tái)進(jìn)行英語(yǔ)口語(yǔ)自主練習(xí)．該中學(xué)有初中生1200人，高中生800人．為了解全校學(xué)生近一個(gè)月內(nèi)使用此聽(tīng)說(shuō)平臺(tái)進(jìn)行英語(yǔ)口語(yǔ)自主練習(xí)的次數(shù)，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，將他們的使用次數(shù)按照，，，，，五個(gè)區(qū)間進(jìn)行分組，所得樣本數(shù)據(jù)如下表：使用次數(shù)分組區(qū)間初中生人高中生人43382948281763假設(shè)每個(gè)學(xué)生是否使用此聽(tīng)說(shuō)平臺(tái)進(jìn)行英語(yǔ)口語(yǔ)自主練習(xí)相互獨(dú)立．用頻率估計(jì)概率．（1）估計(jì)近一個(gè)月內(nèi)全校學(xué)生中使用此聽(tīng)說(shuō)平臺(tái)進(jìn)行英語(yǔ)口語(yǔ)自主練習(xí)的次數(shù)不低于30次的總?cè)藬?shù)；（2）從上面參與問(wèn)卷調(diào)查且使用此聽(tīng)說(shuō)平臺(tái)進(jìn)行英語(yǔ)口語(yǔ)自主練習(xí)次數(shù)不足10次的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記為這3人中高中生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從該校初中生和高中生中各隨機(jī)抽取8名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，設(shè)其中初中生和高中生使用此聽(tīng)說(shuō)平臺(tái)進(jìn)行英語(yǔ)口語(yǔ)自主練習(xí)次數(shù)位于的人數(shù)分別為和，比較與的大小．（結(jié)論不要求證明）19.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，以橢圓的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為6．（1）求橢圓的方程及離心率；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．在軸上是否存在定點(diǎn)，使三點(diǎn)共線？若存在，求實(shí)數(shù)的值，若不存在，說(shuō)明理由．

20.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，①若，求函數(shù)的最大值；②若直線是曲線的切線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，證明：；（2）當(dāng)時(shí)，若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求的取值范圍．21.設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為的等差數(shù)列，若從中去掉兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列是的可分?jǐn)?shù)列．（1）寫(xiě)出所有，使得數(shù)列是、的可分?jǐn)?shù)列；（2）當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是的可分?jǐn)?shù)列；（3）若數(shù)列是的可分?jǐn)?shù)列，記所有滿足條件的的個(gè)數(shù)為，求的值．

參考答案第一部分選擇題共40分．一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.【答案】B【分析】根據(jù)補(bǔ)集和交集的定義求解即可.【詳解】由，，則，又，所以.故選：B.2.【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和共軛運(yùn)算即可求解.【詳解】由，所以，故選：A.3.【答案】D【分析】利用展開(kāi)式的賦值法即可求解.【詳解】令得：，令得：，所以，故選：D.4.【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別求得，和，即可求解.【詳解】由函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)椋傻茫矗傻糜钟桑傻茫珊瘮?shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，可得，即，所以.故選：A.5.【答案】C【分析】首先根據(jù)和的最小值為4這兩個(gè)條件，確定的值，然后根據(jù)求出的值.【詳解】因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?所以當(dāng)函數(shù)值同時(shí)取最大值或最小值時(shí)，滿足.因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以函數(shù)的周期.所以.因?yàn)椋?又，所以，所以.故選：C.6.【答案】D【分析】先判定該圓圓心的軌跡，再轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值問(wèn)題進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)榘霃綖?的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以其圓心的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，而原點(diǎn)到直線的距離為，所以圓心到直線距離的最大值為.故選：D.7.【答案】B【詳解】取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作面于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作面于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌媸蔷匦危裕忠驗(yàn)槊妫妫悦妫忠驗(yàn)槊妫婷妫裕驗(yàn)槊妫娑寂c底面所成的角相等，所以點(diǎn)在直線上，且，，因?yàn)閭?cè)面由兩個(gè)全等的等腰梯形和兩個(gè)全等的等腰三角形組成，所以，，所以為面與面所成的角，面，面，所以，又因?yàn)椋矫妫云矫妫制矫妫裕詾槊媾c面所成的角，所以，又為公共邊，所以，所以，同理，所以.故選：B.8.【答案】C【分析】由，分和兩種情況討論公比取值，即可判斷.【詳解】若“數(shù)列為遞減數(shù)列”，易得，若“對(duì)任意的正整數(shù)，”，當(dāng)時(shí)，由，得，解得：或，若，則，此時(shí)，與已知矛盾；若，則，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由，得，解得：或，若，則，此時(shí)，與已知矛盾；若，則，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知單調(diào)遞減；綜上可知：若，可判斷數(shù)列為遞減數(shù)列，所以“數(shù)列為遞減數(shù)列”是“對(duì)任意的正整數(shù)，”的充要條件，故選：C9.【答案】B【分析】將函數(shù)解析式化為分段函數(shù)，分、和三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求出特殊點(diǎn)處的函數(shù)值，即可得到不等式組，從而確定的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋魰r(shí)，，則有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；若，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，要使恰有三個(gè)零點(diǎn)，則，解得；若，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，且，要使恰有三個(gè)零點(diǎn)，則，解得；綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B10.【答案】C【分析】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，可得，得解；對(duì)B，由，結(jié)合遞推關(guān)系可得，得解；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，通過(guò)遞推關(guān)系分，，討論求解；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，通過(guò)遞推關(guān)系可得遞增，得解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，有，可得，不滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，，則，不滿足存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則，，故，因?yàn)椋簦瑒t，若，則，若，則，綜上，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的正整數(shù)，，故正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，則，若，則，故遞增，故D錯(cuò)誤.故選：C.第二部分非選擇題共110分二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】8【分析】先求得雙曲線的右焦點(diǎn)，結(jié)合拋物線的知識(shí)求得的值.【詳解】雙曲線，，右焦點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，所以.故答案為：12.【答案】①.0②.【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出向量的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,則,所以,,故答案為：0；13.【答案】（答案不唯一）【分析】首先求出平移后的函數(shù)圖象解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求出的取值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移得到的圖象，又的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，即，，當(dāng)時(shí)，.故答案為：（答案不唯一）.14.【答案】①.②.【分析】根據(jù)題意，求出所在圓的半徑，求解的長(zhǎng)度；當(dāng)圓弧組成的曲線與直線恰有7個(gè)交點(diǎn)時(shí)，要使曲線長(zhǎng)度的最小，即由圍成，運(yùn)算得解.【詳解】由題可知，所在圓的半徑為6，所以的長(zhǎng)度即個(gè)圓弧，所以的長(zhǎng)度為；當(dāng)圓弧組成的曲線與直線恰有7個(gè)交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)與直線的交點(diǎn)為，曲線長(zhǎng)度的最小，即由下面12個(gè)圓弧圍成，，它們的圓弧半徑依次為，所以曲線長(zhǎng)度的最小值為.故答案為：；.15.【答案】①③④【分析】用代換方程中的，方程不變，可判定①正確；設(shè)曲線上的一點(diǎn)，求得點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，可判定②不正確；當(dāng)和時(shí)，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合梯形的面積為，可得判定③正確；求得直線，聯(lián)立方程組，求得方程組的解，可判定④正確．【詳解】由曲線，用代換方程中的，方程不變，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以①正確；設(shè)曲線上的一點(diǎn)，其中，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，當(dāng)時(shí)，可得，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離可以超過(guò)，所以②不正確；當(dāng)時(shí)，可得，即；當(dāng)時(shí)，可得，即；令，可得，所以為增函數(shù)，令，可得，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，所以的增長(zhǎng)趨勢(shì)越來(lái)越快，可得曲線大致圖象如圖所示，可得梯形的面積為，所以曲線與直線圍成圖形的面積小于5，所以③正確；過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與平行的直線與曲線的所有交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)，所以④正確．故答案為：①③④.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16.【答案】（1）（2）【分析】對(duì)于（1），利用正弦定理將邊化為角，再通過(guò)三角函數(shù)的運(yùn)算求出角；對(duì)于（2），先根據(jù)正弦定理求出的值，再利用余弦定理求出的值，最后根據(jù)三角形面積公式求解.【詳解】（1）由及正弦定理，得．因?yàn)樵谥校裕驗(yàn)椋裕驗(yàn)闉殇J角，所以．（2）由，且，解得．由余弦定理，得，解得或（舍）．所以的面積．17.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）先證明，再由平面平面證明平面，即得線線垂直；（2）選條件①，先根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，推出為的中點(diǎn)，建系后，求出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，由空間向量的夾角公式計(jì)算即得；選條件②，由條件先證，再證為的中點(diǎn)，接著證平面，取的中點(diǎn)，連接，證明平面，求出，再證明是平面與平面夾角或補(bǔ)角，求解即得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樵谥校裕矗蚱矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫云矫妫忠蚱矫妫裕拘?wèn)2詳解】選條件①：平面．如圖，因?yàn)槠矫妫矫妫矫嫫矫妫裕驗(yàn)闉槠叫兴倪呅危瑸榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)．所以．因?yàn)椋裕桑?）已得平面，因平面，故，又，即兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，因此．設(shè)平面的法向量為，則即．令，則．所以．而平面的一個(gè)法向量．．所以平面與平面夾角為．選條件②：．如圖，由（1）得，則，又，由，可得，因，則為的中點(diǎn)，則，即，可得，因平面平面，平面平面，平面，故平面.取的中點(diǎn)，連接，則，故平面，因平面，則，又，，且，又平面，故平面，因平面，則，即是平面與平面夾角或補(bǔ)角，在中，，則，故平面與平面的夾角為.18.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析；期望為（3）【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表，結(jié)合分層抽樣的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)古典型概率公式，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的公式進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)二項(xiàng)分布求得方差判斷即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題中數(shù)據(jù)，，得．樣本中使用此聽(tīng)說(shuō)平臺(tái)進(jìn)行英語(yǔ)口語(yǔ)自主練習(xí)的次數(shù)不低于30次的頻率為．因此近一個(gè)月內(nèi)全校學(xué)生中使用此聽(tīng)說(shuō)平臺(tái)進(jìn)行英語(yǔ)口語(yǔ)自主練習(xí)的次數(shù)不低于30次的總?cè)藬?shù)估計(jì)為：．【小問(wèn)2詳解】參與問(wèn)卷調(diào)查且使用此聽(tīng)說(shuō)平臺(tái)進(jìn)行英語(yǔ)口語(yǔ)自主練習(xí)次數(shù)不足10次的學(xué)生中，初中生有4人，高中生有3人．所以的取值范圍為．所以的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望．【小問(wèn)3詳解】，理由如下：根據(jù)分層抽樣定義知，隨機(jī)抽取200名學(xué)生種，初中生為120名，高中生為80名，抽到初中生使用此聽(tīng)說(shuō)平臺(tái)進(jìn)行英語(yǔ)口語(yǔ)自主練習(xí)次數(shù)位于的頻率為，抽到初中生使用此聽(tīng)說(shuō)平臺(tái)進(jìn)行英語(yǔ)口語(yǔ)自主練習(xí)次數(shù)位于的頻率為，該校初中生和高中生中各隨機(jī)抽取8名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查服從二項(xiàng)分布，即，所以，，因?yàn)椋?19.【答案】（1），（2）存在；【分析】（1）利用橢圓的性質(zhì)，結(jié)合面積公式可列出方程組求解橢圓各參數(shù)即求解；（2）利用直線與橢圓聯(lián)立方程組，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，假設(shè)存在點(diǎn)，則可得相等關(guān)系，然后利用韋達(dá)定理來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意得解得．所以橢圓的方程為，離心率．【小問(wèn)2詳解】直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)．由得．依據(jù)題意，．因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)．若在軸上存在定點(diǎn)，使三點(diǎn)共線，則．由，得．由，得．因?yàn)?則，由于對(duì)任意恒成立，所以，解得．則在軸上存在定點(diǎn)，使三點(diǎn)共線．20.【答案】（1）①；②證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）把代入，①利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性求出最大值；②設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再由切線過(guò)的點(diǎn)，結(jié)合一元二次方程有解推理得證.（2）求出導(dǎo)數(shù)，由給定的極小值點(diǎn)可得，且，構(gòu)造函數(shù)，按最小值不小于0和小于0分類(lèi)討論求解.【小問(wèn)1詳解】（i）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，在上單調(diào)遞增，又所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為.（ii）設(shè)切點(diǎn)為，而，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為由經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得，整理得，由，得，所以.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，由是函數(shù)的極小值點(diǎn)，得，即，則，令，求導(dǎo)得，令，即，，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，符合題意；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則，而，則存在，使，當(dāng)時(shí)，，因此不是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合題意，所以的取值范圍為.21.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【分析】（1）根據(jù)可分?jǐn)?shù)列的定義可得出合乎條件的；（2）對(duì)進(jìn)行討論：①，去掉后，按照