年中考真題完全解讀（長沙卷）本套試卷是根據長沙市地區學情與《中考評價體系》《義務教育數學課程標準（2011年版2022年修訂）》要求編制而成。整體來看，試卷延續了近幾年長沙地區中考命題的一貫風格，在題型、題量與難度分配上較為穩健，同時也兼顧了對于數學核心素養與實踐應用能力的考查。與往年相比，本卷在呈現形式和情境創設上更加貼近生活化與時代感，多次出現貼合社會熱點或科學技術前沿背景的問題，如題目中引用了“中國新能源汽車”、“改革開放46周年”等真實情景，體現了對學生運用數學思維解決實際問題的要求。本套試卷保持了“選擇題—填空題—解答題”的基本類型，題量共25題，滿分120分，考試時長120分鐘。選擇題部分共有10小題，每題3分，涵蓋了數與代數、圖形與幾何、統計與概率等主要內容，難度梯度合理，能有效區分學生對于基礎知識的掌握情況；填空題6小題，每題3分，要求學生迅速、準確地掌握常見運算方法和幾何推理技能；解答題9小題，分值分布從6分到10分不等，題目設計層次逐步提升，既有對基礎知識如y=本卷覆蓋到初中階段關鍵的數學知識模塊：有理數與實數的運算、整式與分式的簡化、函數及圖象變換、幾何圖形的基本性質、統計與概率等內容都得到了較充分的體現。同時，對幾何推理、方程構建、數形結合以及調查統計等主題進行了不同程度的綜合考查。例如，某些試題將30°、60在難易度控制上，試卷總體呈由易到難的分布格局，選擇與填空部分注重對基礎技能與基礎概念的考查，能讓絕大多數考生在穩健掌握基本要點的情況下獲得較好成績；后面的綜合解答題則逐漸提升思維要求，如有些幾何題需要借助O點的作輔助線證明對角線關系或利用相似三角形和銳角三角函數，部分函數題則結合現實場景、設參變量m進行分析，考查學生對二次函數最小值、拋物線與x軸交點數量等內容的理解。此類題型對學生綜合素養與開放性思維的培養具有積極意義。本卷對口算、簡算或因式分解等基礎運算的要求不算繁重，難度集中于對幾何與函數應用的處理上，更注重模型建立與推理論證。同時，此次長沙命題更充分地兼顧到各校不同層次學生的實際情況：題目梯度分明，面向中等生的題目比例合適，拔高題在最后幾題，題意幾何圖形或綜合方程都留有適度提示，保證了優秀生挑戰更高層次思維的機會，也使得基礎扎實的學生有充分的發揮空間。綜合而言，2024年長沙市初中學業水平考試數學試卷符合本地學情與教情，緊扣《課程標準》的要求，對學生的學習興趣與能力均有正面引導作用，也能為一線教師在平時教學中更好地推動素質教育與深化數學理論與實踐融合提供重要參考。該試卷命題的科學性與綜合性，將有助于引領教師關注雙向細目表與“雙減”背景下的高效課堂教學，為學生搭建穩健而豐富的數學思維訓練階梯，整體上具有較高的信度和區分度。?延續了“10道選擇題+6道填空題+9道解答題”的形式，共25個小題，滿分120分，考試用時120分鐘。?選擇題依舊占據30分，填空題18分，解答題72分，分值比例與往年相似。?多題結合“數字化戰略”“新農村建設”“新能源汽車”等社會熱點，呈現出更鮮明的時代性。?情景材料引入更充分，考察學生對數學知識的運用與對信息提取、分析的綜合能力。?部分試題將一次函數、三角形幾何與數據分析等元素融為一體，需要學生多角度運用知識來解答。?同步強化對概率統計、方差、“選數字猜出生年份”等知識板塊的考查，體現出對數據分析與代數運算融合的要求。?更加強調數形結合，既考核學生的幾何直觀，又注重代數推理與分析的綜合應用。?關注創新情境中對計算、推理、文字表達等多方面的能力考察，鼓勵學生靈活應用所學知識。?雖然題型布局大體與上一年度相同，但在細節設置上（如實驗數據、社會熱點）的綜合考查更深入。?建議學生在備考中加強對真實情境下的應用與表達訓練，注重知識點的前后聯系，培養一題多解和多角度思考的意識，提升應變能力。綜上所述，今年試題雖在結構上與往年大致相仿，但在情境設置、知識融合和思維考查等方面有進一步深化，要求學生既能牢固掌握基礎知識，又能靈活地綜合運用，不斷提高思維的廣度與深度。以下分析基于本套“2024年長沙市初中學業水平考試數學試卷”提供的樣題及答案整理而成，旨在幫助考生與教師全面了解試卷結構、考查內容及難易分布情況，為教學與備考提供參考。1.題型構成?選擇題：10小題，每小題3分，共30分。?填空題：6小題，每小題3分，共18分。?解答題：9小題，第17、18、19題每題6分；第20、21題每題8分；第22、23題每題9分；第24、25題每題10分，共72分。2.分值占比?選擇題占比：30?填空題占比：18?解答題占比：723.考查范圍?數與代數：有理數、實數運算、整式與分式、一次函數、二次函數等。?空間與圖形：幾何圖形的基本性質、三角形與四邊形、圓、相似與全等、菱形與矩形等綜合性問題。?統計與概率：數據的收集與整理、平均數與方差、概率的簡單運用、統計圖表的繪制與分析。?綜合與應用：部分解答題將幾何與代數綜合，或與現實情境相結合，考查讀圖建模、數形結合和邏輯推斷等綜合能力。下面以表格形式展示本套試卷各題目的分值、題型、考查內容及難易分析。難易程度按“易”“中”“難”三個層級進行劃分。題號分值題型考查內容難易分析13選擇題軸對稱與中心對稱圖形的識別易23選擇題科學記數法易33選擇題有理數運算（溫度差計算）易43選擇題冪的運算、二次根式加減、完全平方公式等基礎運算易53選擇題統計中的中位數，數據分析基礎知識中63選擇題坐標平移變換易73選擇題一次函數的性質、圖象與y軸交點中83選擇題三角形內角和定理及平行線的相關性質中93選擇題圓的垂徑定理及勾股定理中103選擇題菱形、相似三角形及30°-60°-90°三角形等綜合較難113填空題方差概念與應用易123填空題概率公式與基本概率計算易133填空題分式有意義的條件易143填空題扇形面積公式易153填空題三角形中位線性質中163填空題二元一次方程應用（猜出生年份情境題）中176解答題實數混合運算、三角函數值、絕對值等運用中186解答題整式混合運算與求值中196解答題線段垂直平分線、斜中半定理、勾股定理中208解答題統計、概率綜合應用（條形統計圖、扇形統計圖），數據分析與估計中218解答題全等三角形與等邊三角形綜合中229解答題二元一次方程組與不等式綜合應用（商品采購）中239解答題矩形性質、勾股定理、等腰三角形、銳角三角函數較難2410解答題四邊形內切圓、外接圓及特殊四邊形性質，多步推理與幾何綜合難2510解答題二次函數與x軸交點、判別式、直角三角形存在性，多變量方程綜合難本套試卷知識點覆蓋面廣，從基礎性到綜合性都有體現，總體難度較為適中，適合大部分初中畢業生進行檢測。經估算，全卷“易：中：難”題目比例約為3:5?易：涉及概念識記或基礎運算；?中：需要靈活運用課本知識進行多步推理；?難：涉及多種知識點綜合運用或創新思維推斷。?易（基礎題）：例如第1題（軸對稱與中心對稱圖形）、第3題（溫度差計算）等，考查基礎知識與簡單運算，熟悉概念即可拿分。?中（中檔題）：例如第20題（統計圖綜合應用）和第22題（采購情境下的二元一次方程組與不等式應用），需要綜合運用多項數學技能與思考流程，但難度尚可，能體現出對知識點的理解和靈活運用。?難（綜合題）：例如第24題（探究有無內接圓、外接圓的特殊四邊形）、第25題（二次函數與三角形存在性綜合），考查代數和幾何的深度融合，思維量較大，解題流程多，需要熟練掌握不同知識模塊并進行綜合分析。本試卷對學生的基礎知識與綜合能力都有較深入考查，命題的情境化和綜合性特點明顯，做題時需注重對知識點的邏輯梳理與聯系，同時兼顧審題準確性與規范答題習慣。祝各位在備考與考試中一切順利！同學們在完成這份模擬試卷后，可以發現其中涉及面廣、綜合性強，緊扣初中數學主干知識。在接下來的中考復習中，建議從以下幾個方面進行系統、循序漸進地備考，以鞏固基礎、提升能力并穩定心態。第一階段：夯實基礎?重點復習整式運算（特別是冪的運算、因式分解和分式的有意義條件等），確保能正確應用同底數冪的運算、零指數、負指數、二次根式簡化等基本技能。?對一次函數、二次函數的圖象與性質要十分熟悉，能夠快速判斷函數圖象與坐標軸的交點、增減性，以及函數在解答實際問題時的建模過程。?統計與概率知識要注重方法與思路：如方差、平均數、中位數、眾數等概念的應用要清晰，概率計算中要熟練使用所求情況數總情況數第二階段：攻克易錯點與難點?幾何部分：熟練掌握平行線、三角形內角和、相似與全等的判定與性質、特殊四邊形（矩形、菱形、正方形、平行四邊形）的概念與判定。尤其在綜合題中，需靈活運用“線段垂直平分線”“斜邊中線”等定理。?認識軸對稱圖形與中心對稱圖形的區別；回顧圓的基本性質（如垂徑定理）并與勾股定理進行綜合應用。?一次函數、二次函數與不等式的綜合：面對求函數與x軸、y軸的交點個數這類題型，要注重方程根的判別式Δ=b第三階段：模擬實戰與查漏補缺?通過整套模擬試卷或綜合性練習題，培養審題與解題速度，檢查薄弱知識點。?重點回顧前兩階段易漏、易混的公式與結論。對重點題型（如圖象類選擇題、分式與二次根式混合運算、幾何綜合題、統計與概率題）再進行有針對性的強化鞏固。選擇題?審題要快：先看題干，找準考點。?多用排除法：建立簡單的判斷（如符合定義或運算規則）來排除干擾選項。若條件允許，可帶入簡單數值或特殊位置進行驗證。?注意細節：小數點、符號正負、指數增減等都是常見的“陷阱”。填空題?注重運算準確度：分式有意義條件、三角函數特殊角度值、科學記數法等，易出現漏寫或錯寫的情況。?簡潔明了：結果往往只有一個數或簡單的代數式，答題卡填寫要確保無筆誤。解答題?幾何題：先通過標注、輔助線等方式理清圖中信息，寫出已知量和對應定理；過程必須邏輯清晰，有必要的文字說明。“分步細寫”有助于拿到過程分。?代數題：對含參問題要分情況討論，或利用判別式、函數性質等方法；對于建模題，要先明確變量和表達式，再給出方程（或不等式），然后有條理地求解。穩定心態，合理安排?在最后階段復習時，適當做一些綜合模擬題，把握做題節奏；同時保持正常作息，避免過度疲勞。?考試時，先做自己最有把握的題目，確保基礎分，再逐步突破中檔、新穎題。自我鼓勵，積極應對?正確認識壓力，把緊張感視為動力；相信前期積累，適度心理暗示，積極與同學或老師溝通。?遇到難題時，不要慌張，可通過回憶知識體系或類似題演繹出思路。命題更注重思維過程?上述試卷中的“綜合運用”題明顯加大，說明考試注重考查同學們對基本知識的靈活運用。?在后續出題中，設問會更側重對探究能力和數學思維的考查，包含閱讀理解+數學應用的融合。凸顯數學與實際生活關聯?有關“統計與概率”、“數學建模”以及“函數思想”部分可能出現更豐富的情景題或探究型問題。?建議同學多積累這類素材，增強對實際問題中數據分析、圖象判讀、函數建模的綜合處理能力。同學們只要根據自己的實際情況，循序漸進地按照上述建議進行復習，穩扎穩打、注重巧思，不斷提升對基礎概念的掌握和綜合應用能力，一定能在中考中取得理想的數學成績，也為進入高中階段的學習奠定堅實基礎。加油！祝大家金榜題名！2024年長沙市初中學業水平考試試卷數學注意事項：1．答題前，請考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，并認真核對條形碼上的姓名、準考證號、考室和座位號；2．必須在答題卡上答題，在草稿紙、試題卷上答題無效；3．答題時，請考生注意各大題題號后面的答題提示；4．請勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；5．答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙；6．本學科試卷共25個小題，考試時量120分鐘，滿分120分．一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題的．請在答題卡中填涂符合題意的選項．本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本題考查軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，熟知定義：軸對稱圖形：如果一個平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．據此逐項判斷即可．【詳解】解：A中圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；B中圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；C中圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D中圖形不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意，故選：B．2.我國近年來大力推進國家教育數字化戰略行動，截至2024年6月上旬，上線慕課數量超過7.8萬門，學習人次達1290000000建設和應用規模居世界第一．用科學記數法將數據1290000000表示為（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本題考查科學記數法，科學記數法的一般形式為，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，n是正整數；當原數的絕對值小于1時，n是負整數．【詳解】解：用科學記數法將數據1290000000表示為，故選：C．3.“玉兔號”是我國首輛月球車，它和著陸器共同組成“嫦娥三號”探測器．“玉兔號”月球車能夠耐受月球表面的最低溫度是、最高溫度是，則它能夠耐受的溫差是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本題考查了溫差的概念和有理數的運算，解決本題的關鍵是氣溫最高值與最低值之差，計算解決即可．【詳解】解：能夠耐受的溫差是，故答案為：D．4.下列計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】此題主要考查同底數冪的除法、二次根式的加減、冪的乘方、完全平方公式的運算，解題的關鍵是熟知運算法則．【詳解】解：A、，計算正確；B、不能合并，原計算錯誤；C、，原計算錯誤；D、，原計算錯誤；故選A．5.為慶祝五四青年節，某學校舉辦班級合唱比賽，甲班演唱后七位評委給出的分數為：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，則這組數據的中位數是（）A9.2 B.9.4 C.9.5 D.9.6【答案】B【分析】本題考查了中位數的定義，中位數是一組數據從小到大排列后居于中間的一個數或中間兩個數的平均數，根據中位數的定義解題即可．【詳解】解：甲班演唱后七位評委給出的分數為：8.8，9.2，9.4，9.4，9.5，9.5，9.6，∴中位數為：9.4，故選B．6.在平面直角坐標系中，將點向上平移2個單位長度后得到點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本題考查坐標與圖形變換-平移變換，根據點的坐標平移規則：左減右加，上加下減求解即可．【詳解】解：在平面直角坐標系中，將點向上平移2個單位長度后得到點的坐標為，即，故選：D．7.對于一次函數，下列結論正確的是（）A.它的圖象與y軸交于點 B.y隨x的增大而減小C.當時， D.它的圖象經過第一、二、三象限【答案】A【分析】本題考查一次函數的性質，根據一次函數的性質逐個判斷即可得到答案．【詳解】解：A.當時，，即一次函數的圖象與y軸交于點，說法正確；B.一次函數圖象y隨x的增大而增大，原說法錯誤；C.當時，，原說法錯誤；D.一次函數的圖象經過第一、三、四象限，原說法錯誤；故選A．8.如圖，在△ABC中，，，．則的度數為（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本題主要考查了三角形內角和定理、平行線的性質等知識點，掌握平行線的性質成為解題的關鍵．由三角形內角和定理可得，再根據平行線的性質即可解答．【詳解】解：∵在中，，，∴,∵，∴．故選：C．9.如圖，在中，弦的長為8，圓心O到的距離，則的半徑長為（）A.4 B. C.5 D.【答案】B【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理，先根據垂徑定理得到，再根據勾股定理求解即可．【詳解】解：∵在中，弦的長為8，圓心O到的距離，∴，，在中，，故選：B．10.如圖，在菱形中，，，點E是邊上的動點，連接，，過點A作于點F．設，，則y與x之間的函數解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本題考查菱形的性質、含30度角的直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質，利用相似三角形的性質求解x、y的關系式是解答的關鍵．過D作，交延長線于H，則，根據菱形的性質和平行線的性質得到，，，進而利用含30度角的直角三角形的性質，證明得到，然后代值整理即可求解．【詳解】解：如圖，過D作，交延長線于H，則，∵在菱形中，，，∴，，，∴，，在中，，∵，∴，又，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：C．（法二：同理，，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：C．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11.為了比較甲、乙、丙三種水稻秋苗的長勢，每種秧苗各隨機抽取40株，分別量出每株高度，計算發現三組秧苗的平均高度一樣，并且得到甲、乙、丙三組秧苗高度的方差分別是3.6，10.8，15.8，由此可知____種秧苗長勢更整齊（填“甲”、“乙”或“丙”）．【答案】甲【分析】本題考查方差的意義．方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．【詳解】解：∵，∴甲種秧苗長勢更整齊，故答案為：甲．12.某鄉鎮組織“新農村，新氣象”春節聯歡晚會，進入抽獎環節．抽獎方案如下：不透明的箱子里裝有紅、黃、藍三種顏色的球（除顏色外其余都相同），其中紅球有2個，黃球有3個，藍球有5個，每次搖勻后從中隨機摸一個球，摸到紅球獲一等獎，摸到黃球獲二等獎，摸到藍球獲三等獎，每個家庭有且只有一次抽獎機會，小明家參與抽獎，獲得一等獎的概率為______．【答案】##【分析】本題考查概率公式，掌握概率的意義是解題的關鍵．利用概率公式直接進行計算．【詳解】解：小明家參與抽獎，獲得一等獎的概率為，故答案為：．13.要使分式有意義，則x需滿足的條件是______．【答案】【分析】本題考查了分式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件是解題的關鍵．【詳解】解：∵分式有意義，∴，解得，故答案為：．14.半徑為4，圓心角為的扇形的面積為______（結果保留）．【答案】【分析】本題考查扇形的面積公式，根據扇形的面積公式（n為圓心角的度數，r為半徑）求解即可．【詳解】解：由題意，半徑為4，圓心角為的扇形的面積為，故答案為：．15.如圖，在中，點D，E分別是的中點，連接．若，則的長為______．【答案】24【分析】本題主要考查三角形中位線定理，熟知三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半是解題的關鍵．【詳解】解：∵D，E分別是，的中點，∴是中點，∴，故答案為：．16.為慶祝中國改革開放46周年，某中學舉辦了一場精彩紛呈的慶祝活動，現場參與者均為在校中學生，其中有一個活動項目是“選數字猜出生年份”，該活動項目主持人要求參與者從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數字中任取一個數字，先乘以10，再加上4.6，將此時的運算結果再乘以10，然后加上1978，最后減去參與者的出生年份（注：出生年份是一個四位數，比如2010年對應的四位數是2010），得到最終的運算結果．只要參與者報出最終的運算結果，主持人立馬就知道參與者的出生年份．若某位參與者報出的最終的運算結果是915，則這位參與者的出生年份是______．【答案】2009【分析】本題考查二元一次方程的解，理解題意是解答的關鍵．設這位參與者的出生年份是x，從九個數字中任取一個數字為a，根據題意列二元一次方程，整理得，根據a的取值得到x的9種可能，結合實際即可求解．【詳解】解：設這位參與者的出生年份是x，從九個數字中任取一個數字為a，根據題意，得，整理，得∴，∵a是從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數字中任取一個數字，∴x的值可能為1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009，∵是為慶祝中國改革開放46周年，且參與者均為在校中學生，∴x只能是2009，故答案為：2009．三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.計算：．【答案】【分析】本題考查了實數的混合運算，先根據絕對值、零指數冪、負整數指數冪的意義，特殊角的三角函值化簡，再算加減即可．【詳解】解：原式．18.先化簡，再求值：，其中．【答案】；【分析】本題考查整式的混合運算及其求值，先根據整式的混合運算法則化簡原式，再代值求解即可．【詳解】解：．當時，原式．19.如圖，在中，，，，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M和N，作直線分別交于點D，E，連接（1）求的長；（2）求的周長．【答案】（1）（2）【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線的點到線段兩個端點的距離相等，斜中半定理：直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定理等知識點，熟記相關結論是解題關鍵．（1）由題意得是線段的垂直平分線，故點D是斜邊的中點．據此即可求解；（2）根據、的周長即可求解；【小問1詳解】解：由作圖可知，是線段的垂直平分線，∴在中，點D是斜邊的中點．∴．【小問2詳解】解：在中，．∵是線段的垂直平分線，∴．∴的周長．20.中國新能源產業異軍突起．中國車企在政策引導和支持下，瞄準純電、混動和氫燃料等多元技術路線，加大研發投入形成了領先的技術優勢，2023年，中國新能源汽車產銷量均突破900萬輛，連續9年位居全球第一．在某次汽車展覽會上，工作人員隨機抽取了部分參展人員進行了“我最喜歡的汽車類型”的調查活動（每人限選其中一種類型），并將數據整理后，繪制成下面有待完成的統計表、條形統計圖和扇形統計圖類型人數百分比純電m混動n氫燃料3油車5請根據以上信息，解答下列問題：（1）本次調查活動隨機抽取了_____人；表中______，______；（2）請補全條形統計圖；（3）請計算扇形統計圖中“混動”類所在扇形的圓心角的度數；（4）若此次汽車展覽會的參展人員共有4000人，請你估計喜歡新能源（純電、混動、氫燃料）汽車的有多少人？【答案】（1）50；30，6（2）見解析（3）（4）人【分析】本題考查統計表、條形統計圖和扇形統計圖的綜合，理解題意，能從統計圖中獲取有用信息是解答的關鍵．（1）用喜歡油車人數除以其所占的百分比可求得調查人數，用喜歡氫燃料人數除以調查人數可求得b，進而用1減去喜歡其他車型所占的百分比可求解a；（2）先求得n，進而可補全條形統計圖；（3）用360度乘以喜歡混動所占的百分比即可求解；（4）用總人數乘以樣本中喜歡新能源汽車所占的百分比即可求解．【小問1詳解】解：本次調查活動隨機抽取人數為（人），，則，，則，故答案為：50；30，6；【小問2詳解】解：∵，∴補全條形統計圖如圖所示：【小問3詳解】解：扇形統計圖中“混動”類所在扇形的圓心角的度數為；【小問4詳解】解：（人）．答：估計喜歡新能源（純電、混動、氫燃料）汽車的有3600人．21.如圖，點C在線段上，，，．（1）求證：；（2）若，求的度數．【答案】（1）見解析（2）【分析】本題考查全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質，證明是等邊三角形是解答的關鍵．（1）直接根據全等三角形的判定證明結論即可；（2）根據全等三角形的性質得到，，再證明是等邊三角形，利用等邊三角形的性質求解即可．【小問1詳解】證明：與中，，所以；【小問2詳解】解：因為，，所以，，所以是等邊三角形．所以．22.刺繡是我國民間傳統手工藝．湘繡作為中國四大刺繡之一，聞名中外，在巴黎奧運會倒計時50天之際，某國際旅游公司計劃購買A、B兩種奧運主題的湘繡作品作為紀念品．已知購買1件A種湘繡作品與2件B種湘繡作品共需要700元，購買2件A種湘繡作品與3件B種湘繡作品共需要1200元．（1）求A種湘繡作品和B種湘繡作品的單價分別為多少元？（2）該國際旅游公司計劃購買A種湘繡作品和B種湘繡作品共200件，總費用不超過50000元，那么最多能購買A種湘繡作品多少件？【答案】（1）A種湘繡作品的單價為300元，B種湘繡作品的單價為200元（2）最多能購買100件A種湘繡作品【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用．（1）設A種湘繡作品的單價為x元，B種湘繡作品的單價為y元，根據“購買1件A種湘繡作品與2件B種湘繡作品共需要700元，購買2件A種湘繡作品與3件B種湘繡作品共需要1200元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可解題；（2）設購買A種湘繡作品a件，則購買B種湘繡作品件，總費用單價數量，結合總費用不超過50000元，即可得出關于a的一元一次不等式，解之即可得出a的值，再取其中的最大整數值即可得出該校最大可以購買湘繡的數量．【小問1詳解】設A種湘繡作品的單價為x元，B種湘繡作品的單價為y元．根據題意，得，解得答：A種湘繡作品的單價為300元，B種湘繡作品的單價為200元．【小問2詳解】設購買A種湘繡作品a件，則購買B種湘繡作品件．根據題意，得，解得．答：最多能購買100件A種湘繡作品．23.如圖，在中，對角線，相交于點O，．（1）求證：；（2）點E在邊上，滿足．若，，求的長及的值．【答案】（1）見解析（2），【分析】本題考查矩形的判定與性質、勾股定理、等腰三角形的判定與性質、銳角三角函數等知識，熟練掌握矩形的判定與性質是解答的關鍵．（1）直接根據矩形的判定證明即可；（2）先利用勾股定理結合矩形的性質求得，．進而可得，再根據等腰三角形的判定得到，過點O作于點F，根據等腰三角形的性質，結合勾股定理分別求得，，，然后利用正切定義求解即可．【小問1詳解】證明：因為四邊形是平行四邊形，且，所以四邊形是矩形．所以；【小問2詳解】解：在中，，，所以，因為四邊形是矩形，所以，．因為，所以．過點O作于點F，則，所以，在中，，所以．24.對于凸四邊形，根據它有無外接圓（四個頂點都在同一個圓上）與內切圓（四條邊都與同一個圓相切），可分為四種類型，我們不妨約定：既無外接圓，又無內切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形；只有外接圓，而無內切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；只有內接圓，而無外接圓的四邊形稱為“內切型單圓”四邊形；既有外接圓，又有內切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形．請你根據該約定，解答下列問題：（1）請你判斷下列說法是否正確（在題后相應的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”，①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；（）②內角不等于的菱形一定是“內切型單圓”四邊形；（）③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，則有．（）（2）如圖1，已知四邊形內接于，四條邊長滿足：．①該四邊形是“______”四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；②若的平分線交于點E，的平分線交于點F，連接．求證：是的直徑．（3）已知四邊形是“完美型雙圓”四邊形，它的內切圓與分別相切于點E，F，G，H．①如圖2．連接交于點P．求證：．②如圖3，連接，若，，，求內切圓的半徑r及的長．【答案】（1）①×；②√；③√（2）①外接型單圓；②見解析（3），，【分析】（1）根據圓內接四邊形和切線長定理可得：有外接圓的四邊形的對角互補；有內切圓的四邊形的對邊之和相等，結合題中定義，根據對角不互補，對邊之和也不相等的平行四邊形無外接圓，也無內切圓，進而可判斷①；根據菱形的性質可判斷②；根據正方形的性質可判斷③；（2）①根據已知結合題中定義可得結論；②根據角平分線的定義和圓周角定理證明即可證得結論；（3）①連接、、、、，根據四邊形是“完美型雙圓”四邊形，結合四邊形內角和定理可推導出，，，進而可得，，然后利用圓周角定理可推導出，即可證得結論；②連接、、、，根據已知條件證明，進而證明得到，再利用勾股定理求得，，同理可證求解即可．【小問1詳解】解：由題干條件可得：有外接圓的四邊形的對角互補；有內切圓的四邊形的對邊之和相等，所以①當平行四邊形的對角不互補，對邊之和也不相等時，該平行四邊形無外接圓，也無內切圓，∴該平行四邊形是“平凡型無圓”四邊形，故①錯誤；②∵內角不等于的菱形的對角不互補，∴該菱形無外接圓，∵菱形的四條邊都相等，∴該菱形的對邊之和相等，∴該菱形有內切圓，∴內角不等于90°的菱形一定是“內切型單圓”四邊形，故②正確；③由題意，外接圓圓心與內切圓圓心重合的“完美型雙圓”四邊形是正方形，如圖，則，，，，∴為等腰直角三角形，∴，即；故③正確，故答案為：①×；②√；③√；【小問2詳解】解：①若四邊形中有內切圓，則，這與矛盾，∴四邊形無內切圓，又∵該四邊形有外接圓，∴該四邊形是“外接型單圓”四邊形，故答案為：外接型單圓；②∵的平分線交于點E，的平分線交于點F，∴，，∴，，∴，∴，即和均為半圓，∴是的直徑．【小問3詳解】①證明：如圖，連接、、、、，∵是四邊形的內切圓，∴，，，，∴，在四邊形中，，同理可證，，∵四邊形是“完美型雙圓”四邊形，∴該四邊形有外接圓，則，∴，則，