浙江省紹興市嵊州市馬寅初中學2024?2025學年高二下學期第一次階段性測試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若函數在處的導數等于，則的值為（

）A． B． C． D．2．“笑靨踏青行，不負好韶光”，4月初某學校組織安排了高二年段的研學踏青活動，現要求5個班級分別從3個景點中選擇一處游覽，則不同的選法有（

）種A． B． C． D．3．的二項展開式中，第m項的二項式系數是（

）A． B． C． D．4．函數的圖象如圖所示，則下列不等關系中正確的是（

）

A． B．C． D．5．展開式中的系數為（

）A．17 B．20 C．75 D．1006．已知函數在內有最小值，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知，，，下列選項正確的是（）A． B． C． D．8．已知，，，則（參考數據：）（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列關于導數運算正確的有（

）A． B．C． D．10．已知，則（

）A． B．C． D．11．已知函數，其中，則（

）．A．不等式對恒成立B．若直線與函數的圖象有且只有兩個不同的公共點，則k的取值范圍是C．方程恰有3個實根D．若關于x的不等式恰有1個負整數解，則a的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則.13．在的展開式中，的系數為．14．將1，2，3，4，5，6這6個數填入圖所示的格子中，要求每個數字都要填入，且每個格子只能填一個數，其中1與2相鄰（有公共邊的兩格子稱為相鄰）的不同的填法有種（結果用數字作答）．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數在處取得極小值5．(1)求實數a，b的值；(2)當時，求函數的最小值．16．在的展開式中，(1)求二項式系數最大的項；(2)若第項是有理項，求的取值集合；(3)系數最大的項是第幾項.17．某班共有團員12人，其中男團員8人，女團員4人，并且男?女團員各有一名組長，現從中選5人參加學校的團員座談會.（用數字做答）(1)若至少有1名組長當選，求不同的選法總數；(2)若至多有2名女團員當選，求不同的選法總數；(3)若既要有組長當選，又要有女團員當選，求不同的選法總數.18．已知函數.(1)若，求的圖象在處的切線方程；(2)若恰有兩個極值點，.（i）求的取值范圍；（ii）證明：.19．設函數，，為函數的導函數．(1)討論的單調性；(2)若恒成立，求的值；(3)設，若恒成立，求的取值范圍.

參考答案1．【答案】B【詳解】.故選B.2．【答案】A【詳解】每個班都有3種選擇，利用分步乘法計數原理，共有種不同選法.故選A.3．【答案】C【詳解】二項式展開式第項的二項式系數為.故選C.4．【答案】C【詳解】

設，由圖可得，而，故，故選C.5．【答案】A【分析】由，先求出的通項，令和即可得出答案.【詳解】因為，因為的通項為：，令可得，令可得，所以展開式中的系數為：.故選A.6．【答案】B【分析】求出函數的導函數，即可得到函數的單調區間，從而求出函數的極小值點，從而得到關于的不等式組，解得即可.【詳解】函數的定義域為，，令可得或（舍），當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以在處取得極小值，即最小值，又因為函數在內有最小值，故，解得，所以的取值范圍是.故選B7．【答案】B【詳解】因為，即，又，，所以，故A錯誤；又，故B正確；，故D錯誤；，故C錯誤.故選B.8．【答案】B【詳解】因為，，考慮構造函數，則，當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，因為，所以，即，所以，所以，即，又，所以，故，故選B.9．【答案】ABD【詳解】由題意，，，.故選ABD.10．【答案】ABD【詳解】對于A：令，可得，故A正確；對于B：令，，所以，故B正確；對于C：，二項式的展開式的通項公式為，所以，故C錯誤；對于D：令，可得，所以，所以，故D正確.故選ABD.11．【答案】AD【分析】對函數求導，判斷其單調性，求出其最小值，可判斷A選項；作出曲線的圖象，根據圖象，可判斷B選項；令，解得，數形結合，可判斷C選項；由直線過原點，再結合圖象分析，可判斷D選項．【詳解】對于選項A，，當或時，，所以在上單調遞減，當時，，所以在上單調遞增，所以在出取得極小值，，在處取得極大值，，而時，恒有成立，所以的最小值是，即，對恒成立，故A正確；對于B選項，若函數與直線有且只有兩個交點，由A選項分析，函數的大致圖象如下，

由圖知，當或時，函數與直線有且只有兩個交點，故B錯誤；對于C選項，由，得，解得，令和，而，由圖象知，和分別有兩解，綜上，方程共有4個根，故C錯誤；

對于D選項，直線過原點，且，，記，，易判斷，，不等式恰有1個負整數解，即曲線在的圖象下方對應的x值恰有1個負整數，由圖可得，即，故D正確．

故選：AD.12．【答案】【詳解】因為，則且，則，即，解得.13．【答案】【詳解】,所以展開式的通項公式為，因為要求的系數，所以.所以，所以展開式的通項公式為，因為要求的系數，令，則，所以的系數為.14．【答案】336【詳解】1從第一排開始排，滿足題意有如下情況．如右圖，此時2所在位置2種，其他全排即可，有種，如右圖，此時2所在位置3種，其他全排即可，有種，如右圖，此時2所在位置2種，其他全排即可，有種，同理，由圖形對稱性知道，1從第二排開始排，與前面第一排情況數一樣.種.15．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由題意得到，，求出，，檢驗后得到答案；（2）求導，得到函數單調性，進而得到極值和最值情況，得到答案.【詳解】（1），因為在處取極小值5，所以，得，此時所以在上單調遞減，在上單調遞增所以在時取極小值，符合題意所以，．又，所以．（2），所以列表如下：00,1122,33f001↗極大值6↘極小值5↗10由于，故時，．16．【答案】(1)(2)；(3)第6項和第7項【詳解】（1），二項式系數最大的項為中間項，即第5項，所以.（2），當為整數時為有理項，即，則的取值集合為；（3）設第項的系數最大，則，所以，解得，故系數最大的項為第6項和第7項.17．【答案】(1)540(2)672(3)505【詳解】（1）方法一（直接法）：至少有一名組長含有兩種情況：有一名組長和兩名組長，故共有種．方法二（間接法）：至少有一名組長可以采用排除法，有種．（2）至多有2名女團員含有四種情況：有2名女團員，有1名女團員，沒有女團員，故共有種（3）既要有組長當選，又要有女團員當選含兩類情況：第一類：女組長當選，有種，第二類：女組長不當選，男組長當選，有種，共有種.18．【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見詳解【分析】（1）借助導數的幾何意義計算即可得；（2）（i）求導后結合二次函數的性質與極值點定義計算即可得；（ii）結合韋達定理可將證明轉化為證明函數在上恒成立，借助導數結合零點的存在性定理可得存在，使，即，即可得，再利用對勾函數性質計算即可得.【詳解】（1）當時，，，，則，則的圖象在處的切線方程為，即；（2）（i），令，由恰有兩個極值點，，則有兩個不同實數根，，且，則有，即；（ii）證明：由（i）知，，且，，則，則要證，即證，即，令，，令，則在上恒成立，故在上單調遞減，又，，故存在，使，即，則當時，，時，，即在上單調遞增，在上單調遞減，則，由對勾函數性質可知，在上單調遞增，由，則，即，即，即可得證：.【關鍵點撥】最后一問，關鍵在于借助零點的存在性定理得到存在，使，從而可得.19．【答案】(1)答案見解析(2)(3)【詳解】（1）對，可得.令，則.當時，恒成立，所以在上單調遞增.當時，令，解得.當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.綜上，當時，在上單調遞增.當時，在上單調