四川省眉山市眉山車城中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．2．設(shè)是等比數(shù)列，成等差數(shù)列，則（

）A．1 B．2 C．4 D．63．?dāng)?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．4．已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列的，公差，則數(shù)列的前2025項(xiàng)和為（

）A． B． C．505 D．10136．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．的單調(diào)遞減區(qū)間是 B．的單調(diào)遞增區(qū)間是C．當(dāng)時(shí)，無(wú)極值 D．當(dāng)時(shí)，7．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問(wèn)題，即一個(gè)數(shù)列本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列為一階等差數(shù)列，或者仍舊不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列，依次類推，可以得到高階等差數(shù)列．類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列1，1，2，8，64，……是一階等比數(shù)列，則該數(shù)列的第10項(xiàng)是（

）A． B． C． D．8．已知為R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)于任意的，均有，則（

）A．，B．，C．，D．，二、多選題（本大題共3小題）9．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和能取到最大值，且滿足：對(duì)于以下幾個(gè)結(jié)論，其中正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列； B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列；C．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)是； D．?dāng)?shù)列的最小的正數(shù)是.10．下列命題正確的有（

）A．若數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則，，，成等比數(shù)列B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列滿足：，則D．已知為數(shù)列的前項(xiàng)積，若，則11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．是函數(shù)定義域內(nèi)的極小值點(diǎn)B．的單調(diào)減區(qū)間是C．若有兩個(gè)不同的實(shí)根，則D．在定義域內(nèi)既無(wú)最大值又無(wú)最小值三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數(shù)，則.13．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為（），數(shù)列滿足，將這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新的數(shù)列，則.14．?dāng)?shù)列滿足，（），，若數(shù)列是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知等差數(shù)列滿足，前7項(xiàng)和為（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.16．已知函數(shù)在時(shí)取得極大值4.(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值.17．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，試討論的單調(diào)性．18．在①；②，；③，.這三個(gè)條件中，請(qǐng)選擇一個(gè)合適的條件，補(bǔ)充在下題橫線上（只要寫序號(hào)），并解答該題.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)，有__________.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.19．已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)區(qū)間.（2）若在單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案1．【答案】D【分析】根據(jù)求導(dǎo)法則一一求導(dǎo)驗(yàn)證即可.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選D.2．【答案】A【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即，所以，解得，所以.故選A3．【答案】C【詳解】數(shù)列的前5項(xiàng)依次為，即，，，，，所以的一個(gè)通項(xiàng)公式為．故選C4．【答案】D【詳解】由，，則，，，所以數(shù)列的最小正周期為，由，則.故選D.5．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，所以，此時(shí)令，而其前項(xiàng)和為，，故D正確.故選D6．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得；當(dāng)時(shí)，函數(shù)可得，且.對(duì)于選項(xiàng)A，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在處左右函數(shù)的單調(diào)性不改變，在處無(wú)極值，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，函數(shù)可得，即，故D錯(cuò)誤.故選C.7．【答案】D【詳解】設(shè)數(shù)列為，且為一階等比數(shù)列，設(shè)，所以為等比數(shù)列，其中，，公比，，則，，.故選D.8．【答案】A【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即，即.同理，，即.故選：A.9．【答案】ACD【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和能取到最大值，數(shù)列是遞減數(shù)列，且，故A正確；，，數(shù)列先增后減，故B錯(cuò)誤；由，，得，，數(shù)列的最大項(xiàng)是，故C正確；由，，得數(shù)列的最小的正數(shù)是，故D正確．故選ACD．10．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，顯然，，，是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，，所以，，則，，，成等比數(shù)列，公比為，故A正確；對(duì)于B，設(shè)等差數(shù)列公差為，則，則是個(gè)常數(shù)，所以為等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，依題意，，它不滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，，于是，即，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以，且也滿足，故D正確；故選ABD11．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，函數(shù)定義域滿足，解得，由，令可得和，當(dāng)或時(shí)，所以在和上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí).所以在上單調(diào)遞增，這表明是的極小值點(diǎn)，A正確；對(duì)B，的單調(diào)減區(qū)間是，，故B不正確；對(duì)D，由A可得當(dāng)和時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，且，作出簡(jiǎn)圖，可得的值域是，故D正確；對(duì)C，由圖象可得，與有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則，故C正確；故選ACD12．【答案】/0.5【詳解】由，可得：，令，可得：，所以.13．【答案】110【詳解】由題意有，所以數(shù)列，數(shù)列，可得兩數(shù)列的公共項(xiàng)依次為，構(gòu)成公差為12的等差數(shù)列，所以.14．【答案】【詳解】數(shù)列中，，則，，即，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，因此，，由數(shù)列是遞減數(shù)列，得，，即當(dāng)時(shí)，，整理得，當(dāng)或時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.15．【答案】（1）（2）.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得，得，然后由已知可得公差，進(jìn)而求出通項(xiàng)；（2）先明確=，為等差乘等比型通項(xiàng)故只需用錯(cuò)位相減法即可求得結(jié)論.解析：（Ⅰ）由，得因?yàn)樗裕á颍?6．【答案】(1)；(2)最大值為4，,最小值為0.【詳解】（1），由題意得，解得.此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，所以在時(shí)取得極大值.所以.（2）由（1）可知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.又因?yàn)椋?，，所以函?shù)在區(qū)間上的最大值為4，,最小值為0.17．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，，所以切點(diǎn)為，切線方程即．（2）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，由可得或；由可得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，由可得或；由可得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．18．【答案】（1）（2）證明見解析【詳解】（1）選①，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以；選②，因?yàn)椋遥詳?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；選③，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；（2）因?yàn)?，所以，，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以，即得證.19．【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）；（3）.【詳解】（1