四川省眉山市眉山車城中學2024?2025學年高二下學期期中數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．下列求導運算正確的是（）A． B．C． D．2．設是等比數列，成等差數列，則（

）A．1 B．2 C．4 D．63．數列的一個通項公式為（

）A． B．C． D．4．已知數列滿足，，則（

）A． B． C． D．5．已知等差數列的，公差，則數列的前2025項和為（

）A． B． C．505 D．10136．已知函數的定義域為，且的圖象是一條連續不斷的曲線，的導函數為，若函數的圖象如圖所示，則（

）A．的單調遞減區間是 B．的單調遞增區間是C．當時，無極值 D．當時，7．南宋數學家楊輝在《詳解九章算術》中提出了高階等差數列的問題，即一個數列本身不是等差數列，但從數列中的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數列，則稱數列為一階等差數列，或者仍舊不是等差數列，但從數列中的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數列，則稱數列為二階等差數列，依次類推，可以得到高階等差數列．類比高階等差數列的定義，我們亦可定義高階等比數列，設數列1，1，2，8，64，……是一階等比數列，則該數列的第10項是（

）A． B． C． D．8．已知為R上的可導函數，其導函數為，且對于任意的，均有，則（

）A．，B．，C．，D．，二、多選題（本大題共3小題）9．已知等差數列的前項和能取到最大值，且滿足：對于以下幾個結論，其中正確的是（

）A．數列是遞減數列； B．數列是遞減數列；C．數列的最大項是； D．數列的最小的正數是.10．下列命題正確的有（

）A．若數列為正項等比數列，為其前項和，則，，，成等比數列B．若數列為等差數列，則為等比數列C．數列滿足：，則D．已知為數列的前項積，若，則11．已知函數，則下列結論正確的是（）A．是函數定義域內的極小值點B．的單調減區間是C．若有兩個不同的實根，則D．在定義域內既無最大值又無最小值三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數，則.13．已知數列的通項公式為（），數列滿足，將這兩個數列的公共項按從小到大的順序組成一個新的數列，則.14．數列滿足，（），，若數列是遞減數列，則實數的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知等差數列滿足，前7項和為（Ⅰ）求的通項公式（Ⅱ）設數列滿足，求的前項和.16．已知函數在時取得極大值4.(1)求實數a，b的值；(2)求函數在區間上的最值.17．已知函數．(1)當時，求在點處的切線方程；(2)若，試討論的單調性．18．在①；②，；③，.這三個條件中，請選擇一個合適的條件，補充在下題橫線上（只要寫序號），并解答該題.已知數列的各項均為正數，其前項和為，且對任意正整數，有__________.（1）求的通項公式；（2）設，數列的前項和為，證明：.19．已知函數，.（1）求的單調區間.（2）若在單調遞增，求實數的取值范圍；（3）當時，若對任意的，總存在，使得，求實數的取值范圍.

參考答案1．【答案】D【分析】根據求導法則一一求導驗證即可.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選D.2．【答案】A【詳解】設等比數列的公比為，因為成等差數列，所以，即，所以，解得，所以.故選A3．【答案】C【詳解】數列的前5項依次為，即，，，，，所以的一個通項公式為．故選C4．【答案】D【詳解】由，，則，，，所以數列的最小正周期為，由，則.故選D.5．【答案】D【詳解】因為，，所以，此時令，而其前項和為，，故D正確.故選D6．【答案】C【詳解】當時，函數，可得；當時，函數，可得；當時，函數可得，且.對于選項A，函數在上單調遞減，故A錯誤；對于選項B，函數在上單調遞增，故B錯誤；對于選項C，函數在上單調遞增，即在處左右函數的單調性不改變，在處無極值，故C正確；對于選項D，當時，函數可得，即，故D錯誤.故選C.7．【答案】D【詳解】設數列為，且為一階等比數列，設，所以為等比數列，其中，，公比，，則，，.故選D.8．【答案】A【詳解】構造函數，則，所以函數在上單調遞增，故，即，即.同理，，即.故選：A.9．【答案】ACD【詳解】等差數列的前項和能取到最大值，數列是遞減數列，且，故A正確；，，數列先增后減，故B錯誤；由，，得，，數列的最大項是，故C正確；由，，得數列的最小的正數是，故D正確．故選ACD．10．【答案】ABD【詳解】對于A，當時，，顯然，，，是以為首項，以為公比的等比數列；當時，，，所以，，則，，，成等比數列，公比為，故A正確；對于B，設等差數列公差為，則，則是個常數，所以為等比數列，故B正確；對于C，依題意，，它不滿足，故C錯誤；對于D，，當時，，即，解得，當時，，于是，即，數列是首項為3，公差為2的等差數列，所以，且也滿足，故D正確；故選ABD11．【答案】ACD【詳解】對于A，函數定義域滿足，解得，由，令可得和，當或時，所以在和上單調遞減，當時.所以在上單調遞增，這表明是的極小值點，A正確；對B，的單調減區間是，，故B不正確；對D，由A可得當和時單調遞減，當時單調遞增，且，作出簡圖，可得的值域是，故D正確；對C，由圖象可得，與有兩個不同的公共點，則，故C正確；故選ACD12．【答案】/0.5【詳解】由，可得：，令，可得：，所以.13．【答案】110【詳解】由題意有，所以數列，數列，可得兩數列的公共項依次為，構成公差為12的等差數列，所以.14．【答案】【詳解】數列中，，則，，即，當時，，也滿足上式，因此，，由數列是遞減數列，得，，即當時，，整理得，當或時，，所以實數的取值范圍是.15．【答案】（1）（2）.【詳解】試題分析：（1）根據等差數列的求和公式可得，得，然后由已知可得公差，進而求出通項；（2）先明確=，為等差乘等比型通項故只需用錯位相減法即可求得結論.解析：（Ⅰ）由，得因為所以（Ⅱ）16．【答案】(1)；(2)最大值為4，,最小值為0.【詳解】（1），由題意得，解得.此時，，當時，，所以在單調遞增，當時，，所以在單調遞減，當時，，所以在單調遞增，所以在時取得極大值.所以.（2）由（1）可知，在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增.又因為，，，，所以函數在區間上的最大值為4，,最小值為0.17．【答案】(1)(2)當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；當時，函數的單調遞增區間為；當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．【詳解】（1）當時，，，，，所以切點為，切線方程即．（2）的定義域為，，當時，由可得或；由可得，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；當時，恒成立，函數的單調遞增區間為；當時，由可得或；由可得，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．18．【答案】（1）（2）證明見解析【詳解】（1）選①，當時，，解得，當時，，所以，因為數列的各項均為正數，所以，所以，所以數列是首項為，公差為的等差數列，所以；選②，因為，且，所以數列是首項為，公差為的等差數列，所以，所以，當時，，當時，，當時，，所以；選③，因為，所以，所以當時，，當時，，所以；（2）因為，所以，，所以數列是首項為，公差為的等差數列，所以，所以，所以，即得證.19．【答案】（1）增區間為，減區間為（2）；（3）.【詳解】（1