試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁分式方程及其應用歸納練-備考2025年中考三輪數學專題訓練1．某市為推進綠色出行體系建設，擬對現有新能源汽車充電設施進行擴建改造．該工程由甲，乙兩家電力工程公司共同承擔施工任務，已知若由甲公司獨立施工，完成全部工程需要個工作日；若采用乙公司先行施工個工作日，剩余工程由甲乙兩公司聯合施工個工作日的方式，亦可完成全部工程．(1)求乙公司單獨完成此項充電站擴建工程需要多少個工作日？(2)現工程預算為不超過萬元，已知甲公司施工費用為每日萬元，乙公司施工費用為每日萬元．若采用乙公司先獨立施工若干工作日后，再由甲乙兩公司聯合施工的方式完成工程，則甲公司至少需要參與施工多少個工作日？2．周末，小明和小紅約著一起去公園跑步鍛煉身體，若兩人同時從地出發，勻速跑向距離處的地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的倍，那么小明比小紅早分鐘到達地.(1)求小明、小紅的跑步速度；(2)若從地到達地后，小明跑步繼續前進到地整個過程不休息，據了解，在整個運動過程中，小明跑步的前分鐘內，平均每分鐘消耗熱量卡路里，超過分鐘后，每多跑步分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加卡路里，在整個過程中，小明共消耗卡路里熱量，小明從地到地鍛煉共用多少分鐘．3．某農機施工隊計劃承接某鄉鎮水稻收割，若收割時每天的工作效率能比原計劃提高，這樣就可提前天完成此鄉鎮的全部水稻的收割，但實際收割時的工作效率只比計劃提高了，那么仍可比計劃提前幾天完此鄉鎮的水稻收割任務？4．孝敬父母是中華民族的傳統美德．“母親節”來臨之際，花店紛紛搞促銷活動，小麗發現某花店有康乃馨、玫瑰兩種花束正在參加活動．購買3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，購買5束康乃馨和6束玫瑰需要650元．(1)求康乃馨花束和玫瑰花束的單價分別為多少元？(2)“母親節”當天，花店進行促銷活動，將康乃馨花束的單價降低了元，玫瑰花束單價降低了m元，節日當天康乃馨花束的銷量是玫瑰花束銷量的倍，且康乃馨花束的銷售額為1800元，玫瑰花束的銷售額為900元，求m的值．5．據燈塔專業版數據，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童鬧海》總票房達123.2億元，登頂全球動畫電影票房榜，是亞洲首部票房過百億的影片，并創造了全球單一電影市場最高票房紀錄．該片來源于哪吒鬧海的傳統故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊兒郎當，實則勇敢堅毅，強烈反差引發情感共鳴；“我命由我不由天”的不屈精神，讓觀眾淚目．為滿足兒童對哪吒的喜愛，某玩具店決定各用300元購進了、兩種哪吒玩偶．已知一個種哪吒玩偶是一個種玩偶價格的2倍，且購進兩種玩偶的數量共15個．(1)求購進、兩種哪吒玩偶的單價各是多少元？(2)因銷售效果不錯，該玩具店決定再次購進、兩種哪吒玩偶共80個，且種哪吒玩偶的數量不多于種哪吒玩偶數量的3倍，問此次購進最少要花多少錢？6．2025年蛇年春晚吉祥物形象“巳升升”已正式發布亮相，因其憨態可掬的眉眼與滿滿的中式美好寓意，“巳升升”受到廣大群眾的喜愛．某廠家生產A，B兩款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的批發單價比B款吉祥物的批發單價高20元．若花800元批發購買A款吉祥物的數量與花600元批發購買B款吉祥物的數量相同．(1)求A，B兩款“巳升升”吉祥物的批發單價分別是多少元？(2)某網店從該廠家處批發購進了A，B兩款型號的“巳升升”吉祥物共60個，A款吉祥物的數量不超過B款吉祥物數量的一半，B款吉祥物售價為80元/個，A款吉祥物的售價比B款吉祥物的售價高．若購進的這兩種型號吉祥物全部售出，且要使得該網店所獲利潤最多，則該網店購進A款吉祥物多少個？最大利潤是多少？7．宇樹公司設計的人形機器人亮相2025年春節聯歡晚會后爆火，并帶動整個人形機器人行業的暢銷．某快遞公司采用，兩種型號的數控機器人分揀快遞．已知型數控機器人每小時分揀快遞件數是型數控機器人每小時分揀快遞件數的1.5倍．一項分揀600件快遞的任務中，一臺型數控機器人分揀了420件后，由一臺型數控機器人接力分揀，該任務共花費9小時完成．(1)兩種數控機器人每小時分別分揀多少件快遞？(2)“五一”期間，快遞公司的業務量猛增，已知兩種機器人每天的工作時長均為8小時，若要使其剛好分揀完成5760件快遞，且兩種機器人都要參與分揀，那么兩種機器人分別安排多少臺才能分揀完成？8．2025年4月19日，全球首次“人機共跑”半程馬拉松在北京完賽，國內高校、科研機構、企業等20支機器人隊伍參賽，其中6支成功完賽，這些技術突破具有里程碑的意義，未來將應用于工業制造、物流分揀、特種作業、家庭服務或養老服務等場景．這次機器人馬拉松比賽里程約為，北京天工機器人獲得冠軍，松延動力機器人獲亞軍．北京天工機器人平均速度約為松延動力機器人平均速度的，用時比松延動力機器人少，求松延動力機器人的平均速度是多少？9．口袋公園是城市微更新的一項重要舉措，近年太原市充分利用城市的邊角地、閑置地“見縫插綠”，讓口袋公園成為附近居民休閑的好去處．2024年太原全市范圍內（含古交）以新建“街角型和社區型”兩種口袋公園為主，其中建設的街角型口袋公園的數量比社區型的數量多13個，一個街角型口袋公園的平均占地面積是一個社區型口袋公園的．已知2024年建設的街角型和社區型口袋公園占地總面積分別是12公頃和公頃，分別求建設一個街角型和一個社區型口袋公園的平均占地面積．10．農為邦本．本固邦寧．某地在多條“振興鏈組”賦能下，采取“政府搭臺、企業唱戲”方式，搭建“線上線下”運作的農產品館，引入聯營直銷、銀行補貼、積分兌換等方式，持續創新新型農產品供銷模式某農產品合作社主要推銷甲，乙兩種不同品種的有機蘿卜，該合作社用2700元從農戶處購進甲，乙兩種蘿卜，其中1200元購買甲種蘿卜，其余資金購買乙種蘿卜．已知乙種蘿卜每千克的價格是甲種蘿卜每千克價格的1.5倍，且購進甲種蘿卜的數量比乙種蘿卜多50千克．求甲、乙兩種蘿卜每千克的價格．11．2025年哈爾濱市第九屆亞洲冬季運動會的吉祥物是一對可愛的東北虎，它們的名字是濱濱和妮妮．某商場準備購進濱濱和妮妮兩種毛絨玩具，每個濱濱比妮妮進價多65元，用28000元購進濱濱的數量與用15000元購進妮妮的數量相同，請解決下列問題：(1)濱濱與妮妮每個進價各是多少元？(2)若每個濱濱的售價為198元，每個妮妮的售價為100元，商場決定同時購進濱濱、妮妮500個，且全部售出，請求出所獲利潤（單位：元）與濱濱的數量（單位：個）的函數關系式，若商場用不低于60000元且不高于60250元的資金購進濱濱與妮妮，如何購買能獲得最大利潤？最大利潤是多少元？(3)在（2）的條件下，商場用獲得的最大利潤的全部用于福利院的慈善，其中購買文具花費255元，其余部分全部再次購進濱濱和妮妮送給福利院，請求出捐贈的濱濱和妮妮的個數．12．紅燈籠，象征著闔家團圓，紅紅火火，掛燈籠成為我國的一種傳統文化．某商店在春節前購進甲、乙兩種紅燈籠，用4500元購進甲種燈籠與用6750元購進乙種燈籠的數量相同，已知乙種燈籠每對進價比甲種燈籠每對進價多15元．經市場調查發現，乙種燈籠每對售價60元時，每天可售出90對，售價每提高1元，則每天少售出2對，物價部門規定其銷售單價不高于每對70元，設乙種燈籠每對的銷售單價為元，該商店一天通過乙種燈籠獲得利潤元．(1)求甲、乙兩種燈籠每對的進價；(2)當乙種燈籠每對的銷售單價為多少元時，一天獲得利潤最大？最大利潤是多少元？13．小輪車泥地競速（）是一項結合速度、技巧與爆發力的自行車競技項目，年，北京奧運會首次將其列為正式比賽項目，年巴黎奧運會，中國選手顧權權（女）成為首位憑實力直通奧運會的中國車手．在巴黎奧運會小輪車泥地競速的訓練中，運動員小林通過優化自己的過彎技術，將騎行的平均速度提升到原來的倍，已知賽道全場米，調整技術后，她完成一圈的時間比原來減少了秒，問：小林原來的平均騎行速度為多少米每秒？14．綜合與實踐為響應國家“雙碳”戰略，某中學數學小組針對燃油汽車與新能源汽車的經濟性展開課題研究．數學小組針對價格相近的國產燃油汽車與新能源汽車進行使用費用對比分析，探究其經濟性差異．信息如表所示：參數類型燃油汽車新能源汽車能源類型燃油電能能源容量油箱容積：升電池電量：千瓦時能源價格油價：元/升電價：元/千瓦時續航里程千米千米據調查，燃油汽車的每千米行駛費用比新能源汽車多元，燃油汽車和新能源汽車每年的其它費用分別為元和元．請按要求完成下列任務：(1)用含的代數式表示新能源汽車的每千米行駛費用；(2)分別求出燃油汽車和新能源汽車的每千米行駛費用；(3)每年行駛里程滿足什么條件時，買新能源汽車的年費用比燃油汽車的年費用更低？（年費用年行駛費用年其它費用）答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案1．(1)個(2)個【分析】（）設乙公司單獨完成此項充電站擴建工程需要個工作日，根據題意列出方程即可求解；（）設乙公司先獨立施工個工作日，甲乙公司合作施工個工作日，根據題意可得，解不等式即可求解；本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用，根據題意找到等量關系和不等量關系是解題的關鍵．【詳解】（1）解：設乙公司單獨完成此項充電站擴建工程需要個工作日，由題意得，，解得，經檢驗，是原方程的解，符合題意，答：乙公司單獨完成此項充電站擴建工程需要個工作日；（2）解：設乙公司先獨立施工個工作日，甲乙公司合作施工個工作日，由題意得，，解得，答：甲公司至少需要參與施工個工作日．2．(1)小明跑步速度是，小紅跑步速度是(2)小明從地到地鍛煉共用分鐘【分析】本題考查了分式方程的應用以及一元二次方程的應用；（1）設小紅跑步速度是，則小明跑步速度是，利用時間路程速度，結合小明比小紅早分鐘到達地，可列出關于的分式方程，解之經檢驗后，可得出小紅跑步的速度，再將其代入中，即可求出小明跑步的速度；（2）設小明從地到地鍛煉共用分鐘，根據“在整個鍛煉過程中，小明共消耗卡路里的熱量”，可列出關于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．【詳解】（1）解：設小紅跑步速度是，則小明跑步速度是，根據題意得：，解得：，經檢驗，是所列方程的解，且符合題意，答：小明跑步速度是，小紅跑步速度是；（2）設小明從地到地鍛煉共用分鐘，根據題意得：，整理得：，解得：不符合題意，舍去，．答：小明從地到地鍛煉共用分鐘．3．仍可比計劃提前13天完成此項工程【分析】本題主要考查了運用分式方程解決實際問題，設原計劃天完成該項任務，則一天完成的任務是，因為每天的工作效率能比原計劃提高，所以每天的實際工作效率是，可以列出分式方程：，解方程求出原計劃用天完成工作，再根據實際工作效率只比計劃提高了，計算出實際少用的天數．【詳解】解：設原計劃天完成該項任務，根據題意得：，解得：，經檢驗：是分式方程的解，（天），答：仍可比計劃提前天完成此項工程．4．(1)康乃馨花束的單價為70元，玫瑰花束的單價為50元(2)m的值為5【分析】本題考查二元一次方程組和分式方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出方程或方程組．（1）設康乃馨花束的單價為x元，玫瑰花束單價為y元，根據“購買3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，購買5束康乃馨和6束玫瑰需要650元”列出方程組，即可解得答案；（2）根據“節日當天康乃馨花束的銷量是玫瑰花束銷量的倍”可列分式方程求解即可．【詳解】（1）解：設康乃馨花束的單價為x元，玫瑰花束單價為y元，由題意，得：，解得：，答：康乃馨花束的單價為70元，玫瑰花束的單價為50元．（2）解：依題意得：，解得：，經檢驗，是方程的解且符合題意，答：m的值為5．5．(1)A種哪吒玩偶單價是30元，B種哪吒玩偶單價是60元(2)3000元【分析】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）根據各數量之間的關系，找出w關于a的函數關系式．（1）設購進A種哪吒玩偶的單價是x元，則購進B種哪吒玩偶的單價是元，利用數量=總價÷單價，結合購進兩種玩偶的數量共15個，可列出關于x的分式方程，解之經檢驗后，可得出x的值（即購進A種哪吒玩偶的單價），再將其代入中，即可求出購進B種哪吒玩偶的單價；（2）設購進A種哪吒玩偶個，則購進B種哪吒玩偶個，根據購進A種哪吒玩偶的數量不多于B種哪吒玩偶數量的3倍，可列出關于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范圍，設該玩具店再次購進A、B兩種哪吒玩偶共花費w元，利用總價=單價×數量，可找出w關于a的函數關系式，再利用一次函數的性質，即可解決最值問題．【詳解】（1）解：設A種哪吒玩偶的單價為元，則B種哪吒玩偶的單價為元．根據題意，得：解得：經檢驗：是原分式方程的解B種：元答：A種哪吒玩偶單價是30元，B種哪吒玩偶單價是60元．（2）解：設購進A種哪吒玩偶個，則購進B種哪吒玩偶個根據題意，得：解得：花費整理，得：∵，當時，隨的增大而減小∴當時，元答：此次購進最少要花3000元．6．(1)A款“巳升升”吉祥物的批發單價為元，B款“巳升升”吉祥物的批發單價為元(2)購進A款“巳升升”吉祥物20個時，獲得最大利潤，為1280元【分析】本題主要考查了分式方程的實際應用，一次函數的實際應用，一元一次不等式的實際應用，正確理解題意列出方程，不等式和函數關系式是解題的關鍵．（1）設A款“巳升升”吉祥物的批發單價為元，則B款“巳升升”吉祥物的批發單價為元，根據花800元批發購買A款吉祥物的數量與花600元批發購買B款吉祥物的數量相同建立方程求解即可；（2）先求出A的售價，再設購進A款“巳升升”個，則購進B款“巳升升”個，根據A款吉祥物的數量不超過B款吉祥物數量的一半建立不等式求出m的取值范圍，再分別求出A，B兩款吉祥物的利潤，進而得到總利潤與m之間的一次函數關系式，再利用一次函數的性質求解即可．【詳解】（1）解：設A款“巳升升”吉祥物的批發單價為元，則B款“巳升升”吉祥物的批發單價為元，由題意得，，解得，經檢驗，是原方程的解，且符合題意，，答：A款“巳升升”吉祥物的批發單價為元，B款“巳升升”吉祥物的批發單價為元；（2）解：由題意得，A款售價為元/個，設購進A款“巳升升”個，則購進B款“巳升升”個，∵A款吉祥物的數量不超過B款吉祥物數量的一半，∴，，設利潤為W元，∴，∵，W隨著增大而增大，當時，W有最大值，最大值為為．答：購進A款“巳升升”吉祥物20個時，獲得最大利潤，最大利潤為1280元．7．(1)A型數控機器人每小時分揀90件快遞，B型數控機器人每小時分揀60件快遞(2)見解析【分析】本題考查了分式方程的應用以及二元一次方程的應用．（1）設B型數控機器人每小時分揀x件快遞，則A型數控機器人每小時分揀件快遞，利用工作時間工作總量工作效率，結合A，B型數控機器人接力9小時完成分揀任務，可列出關于x的分式方程，解之經檢驗后，可得出x的值（即B型數控機器人每小時分揀快遞的數量），再將其代入中，即可求出A型數控機器人每小時分揀快遞的數量；（2）設應安排m臺A型數控機器人，n臺B型數控機器人分揀快遞，根據剛好分揀完成5760件快遞，可列出關于m，n的二元一次方程，結合m，n均為正整數，即可得出各安排方案．【詳解】（1）解：設B型數控機器人每小時分揀x件快遞，則A型數控機器人每小時分揀件快遞，根據題意得：，解得：，經檢驗，是所列方程的解，且符合題意，∴，答：A型數控機器人每小時分揀90件快遞，B型數控機器人每小時分揀60件快遞；（2）解：設應安排m臺A型數控機器人，n臺B型數控機器人分揀快遞，根據題意得：，∴，又∵m，n均為正整數，∴或或，∴共有3種安排方案，方案1：安排2臺A型數控機器人，9臺B型數控機器人；方案2：安排4臺A型數控機器人，6臺B型數控機器人；方案3：安排6臺A型數控機器人，3臺B型數控機器人．8．松延動力機器人的平均速度是【分析】本題考查了分式方程的應用，等量關系式：松延動力機器人北京天工機器人所用時間，列方程，即可求解；找出等量關系式是解題的關鍵．【詳解】解：設松延動力機器人的平均速度是，由題意得，解得，經檢驗得是原方程的解且符合題意；答：松延動力機器人的平均速度是．9．建設一個社區型口袋公園的平均占地面積為公頃，則建設街角型口袋公園的平均占地面積為公頃．【分析】本題考查的是分式方程的應用，設建設一個社區型口袋公園的平均占地面積為公頃，則建設街角型口袋公園的平均占地面積為公頃，結合題意可得，再解方程即可．【詳解】解：設建設一個社區型口袋公園的平均占地面積為公頃，則建設街角型口袋公園的平均占地面積為公頃，則，解得：，經檢驗：是原方程的根，且符合題意；∴，答：建設一個社區型口袋公園的平均占地面積為公頃，則建設街角型口袋公園的平均占地面積為公頃．10．甲種蘿卜每千克的價格為4元，乙種蘿卜每千克的價格為6元【分析】本題考查了列分式方程解實際問題的應用，解答時根據條件建立方程是關鍵，解答時對求出的根必須檢驗，這是解分式方程的必要步驟．設甲種蘿卜每千克的價格為x元，則乙種蘿卜每千克的價格為元，根據題意列出分式方程求解即可．【詳解】解：設甲種蘿卜每千克的價格為x元，則乙種蘿卜每千克的價格為元，由題意得：，解得：，經檢驗，是原方程的解，且符合題意，，答：甲種蘿卜每千克的價格為4元，乙種蘿卜每千克的價格為6元．11．(1)每個濱濱的進價140元，每個妮妮的進價為75元；(2)，購買濱濱的數量為350個時利潤最大，最大利潤24050元(3)捐贈的濱濱10個，妮妮10個【分析】本題考查分式方程和一次函數的應用，一元一次不等式組的應用，二元一次方程的正整數解的應用．（1）設每個濱濱的進價為每個m元，則每個妮妮的進價是元，根據題意得：，即可解得每個濱濱的進價140元，每個妮妮的進價為75元；（2）根據商場用不低于60000元且不高于60250元的資金購進濱濱與妮妮，可得，由題意可得，y隨x的增大而增大，x為整數，時，y取最大值24050元；（3）設捐贈的濱濱a個，捐贈妮妮n個，根據最大利潤24050元，即得，而a、n都為非負整數，故知捐贈的濱濱10個，妮妮10個．【詳解】（1）解：設濱濱每個進價為每個m元，則妮妮每個進價是元，根據題意得：，解得：，經檢驗，是原分式方程的解，且符合題意，∴（元），答：每個濱濱的進價140元，每個妮妮的進價為75元；（2）解：∵商場用不低于60000元且不高于60250元的資金購進濱濱與妮妮，∴，解得：，根據題意得：，∵33>0，∴y隨x的增大而增大，∵x為整數，∴時，y取最大值，最大值為（元）；答：購進濱濱的數量為350個時利潤最大，最大利潤24050元；（3）解：設捐贈的濱濱a個，捐贈妮妮n個，根據題意得：，，∵a、n都為非負整數，∴，，答：捐贈的濱濱10個，妮妮10個．12．(1)甲種燈籠每對的單價為30元，乙種燈籠每對的單價為45元(2)當乙種燈籠每對的銷售單價為70元時，一天獲得利潤最大，最大利潤是1750元【分析】本題屬于分式方程和二次函數的應用題綜合．根據數量關系列出方程和函數解析式，熟練掌握二次函數的性質是解題關鍵．（1）設甲種燈籠每對的進價為元，則乙種燈籠每對的進價為元，根據用4500元購進甲種燈籠與用6750元購進乙種燈籠的數量相同，列分式方程可解；（2）利