試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級中考數學復習之全等三角形中輔助線1．如圖1，在平面直角坐標系中，點分別在軸和軸上，點為第二象限內一點，且，，滿足．(1)求點的坐標；(2)如圖2，若點在軸的正半軸上，且滿足，軸于點，交的延長線于點，①求的度數；②求證：．2．如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別是，．(1)將向左平移3個單位長度，得到，畫出（其中點，分別是點A，B，C的對應點）；(2)將沿著軸翻折，得到，畫出（其中點分別是點A，B，C的對應點）；(3)在軸上找一點，使得，則點的坐標為_____________．3．已知是等邊三角形，點是邊上一點，點是邊上一點，且滿足，連接、交于點．(1)①如圖1，直接寫出的度數；②如圖2，過點作于點，當時，求證：；(2)如圖3，當時，求的度數．4．如圖1，在等邊中，點，分別是，上的點，，與交于點.

(1)求證：；(2)如圖2，以為邊作等邊，與相等嗎？并說明理由；(3)如圖3，若點是的中點，連接，，判斷與有什么數量關系？并說明理由.5．老師在某節數學課上提出了如下問題：在中，，，求邊上的中線的取值范圍．某小組經過組內合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：①延長中線至點Q，使得；②連接，把集中在中；③利用三角形的三邊關系，可得．請根據該小組的方法思考，回答下列問題：(1)直接寫出的取值范圍是___________；(2)解題時，條件中若出現“中點”、“中線”等字樣，可以考慮“倍長中線”，通過構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．如圖2，是的中線，，，，用等式表示和的數量關系并證明．6．【發現問題】（1）數學活動課上，王老師提出了如下問題：如圖1，，，中線的取值范圍是多少？【探究方法】第一小組經過合作交流，得到了如下的解決方法：①延長到，使得；②連接，通過三角形全等把、、轉化在中；③利用三角形的三邊關系可得的取值范圍為，從而得到的取值范圍是_____；方法總結：解題時，條件中若出現“中點”、“中線”字樣，可以考慮倍長中線構造全等三角形【問題拓展】（2）如圖2，，，與互補，連接、，是的中點，求證：：（3）如圖3，在（2）的條件下，若，延長交于點，，．求的面積．7．已知與中，，，，連接與相交于點，與相交點．(1)猜想：如圖1所示，當時，則______；(2)探究：如圖2所示，當時，請求出的度數；(3)拓展延伸：如圖3所示，當，，，請求出的長度．8．定義：如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點互相重合，那么稱此圖形為“手拉手全等模型”．例如，如圖①，與都是等腰三角形，其中，則．(1)如圖②，與都是等腰三角形，，，且，求證：．(2)如圖③若和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一條直線上，為中上的高，連接，求的度數以及線段，，之間的數量關系，并說明理由．(3)如圖④，在四邊形中，，，，求的長．9．已知在中，，在中．，，點、、在同一條直線上，與相交于點，連接．(1)如圖1，當時，求的度數；(2)如圖2，當時，完成下列問題：①判斷與的關系；②若，，求線段的長．10．如圖1，為等腰三角形，，點在線段上（不與，重合），以為腰長作等腰直角，于．(1)求證：；(2)連接交于，若，求的值；(3)如圖2，過點Q作交的延長線于點F，過點P作交于點，連接，當點在線段上運動時（不與，重合），式子的值會變化嗎？若不變，求出該值；若變化，請說明理由．11．問題提出：（1）如圖1，在等腰直角中，，，直線經過點，過點作于點，過點作于點，求證：．問題探究：（2）如圖2，在平面直角坐標系中，一次函數與軸交于點，與軸交于點，以為腰在第二象限作等腰直角，，求點的坐標．問題解決：（3）如圖3，地鐵某線路原計劃按的方向施工，由于在方向發現一處地下古建筑，地鐵修建須繞開此區域．經實地勘測，若將方向改為或方向，則可以繞開此區域．已知，平分，，的長為1千米，以點為原點，所在直線為軸，1千米為單位長度，建立平面直角坐標系，且射線與直線平行，請幫助施工隊計算出和所在直線的函數表達式．［溫馨提示：若點，，則線段的中點坐標為］12．是等腰三角形，，M是的中點，D為射線上一點（不與點B，C重合）、連接并延長到點E，使得，連接．過點B作的垂線交直線于點F．(1)如圖①，點D在線段上，線段，，之間的有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并證明：(2)當點D在線段上時，如圖②；當點D在的延長線上時，如圖③，直接寫出線段，，之間的數量關系，不需證明．13．如圖所示，等腰直角中，，點是延長線上一點，連接，點是上一點，連接，交于點．(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖2，過點作于點，若，試猜想、、之間的關系并推理說明；(3)如圖3，在（2）的條件下，若為射線上一動點，為等腰直角三角形，且，點為中點，若，，請直接寫出的最小值．14．通過對下面數學模型的研究學習，解決下列問題：【模型呈現】(1)如圖，，，過點作于點，過點作于點．由，得．又，可以推理得到．進而得到___________，___________．我們把這個數學模型稱為“字”模型或“一線三等角”模型；【模型應用】(2)①如圖，，，，連接，，且于點，與直線交于點．求證：點是的中點；②如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點為平面內任一點．若是以為斜邊的等腰直角三角形，請直接寫出點的坐標．15．已知，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點，且．(1)為探究上述問題，小王同學先畫出了其中一種特殊情況，即如圖1，當時．小王同學探究此問題的方法是：延長到點，使，連接．請你在圖1中添加上述輔助線，并補全下面的思路．小明的解題思路：先證明_____；再證明了_____，即可得出，，之間的數量關系為_____．(2)請你借鑒小王的方法探究圖2，當時，上述結論是否依然成立，如果成立，請證明你的結論，如果不成立，請說明理由．(3)如圖3，若、分別是邊、延長線上的點，其他已知條件不變，此時線段，，之間的數量關系為_____．（不用證明）答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級中考數學復習之全等三角形中輔助線》參考答案1．(1)，(2)①；②證明見解析【分析】本題考查了平面直角坐標系、全等三角形的判定和性質、因式分解等知識，熟練掌握以上知識點，學會添加恰當輔助線構造全等三角形是解決本題的關鍵．（1）利用因式分解的方法將變形為，求出的值，即可得出點的坐標；（2）①結合圖形和可得，得出平分，即可求出的度數；②連接，先證明得到，，進而得到，再證明，得出，利用線段和差即可得出結論．【詳解】（1）解：，，，，，，，．（2）①解：，，，平分，又，；②證明：如圖，連接，由①中的結論得，，又，，，，，軸，，軸，，，，，，，，，，，又，，，．2．(1)見解析(2)見解析(3)圖見解析，【分析】此題考查了平移、軸對稱的作圖、全等三角形等知識．（1）找到點A，B，C向左平移3個單位長度的對應點，，順次連接即可；（2）找到點A，B，C沿著軸翻折的對應點，順次連接即可；（3）根據全等的判定找到點D，畫出，寫出點的坐標即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求，（2）如圖，即為所求，（3）如圖，點即為所求，點的坐標為．3．(1)①②見詳解(2)【分析】（1）①通過證明，得，即可知道；②把繞著點A順時針旋轉60°，與重合，點M的對應點為點N，連接，先證明，然后得到是等邊三角形，進行等邊代換，即可得證；（2）先得到，過點G作交于點H，交于點M，通過“”證明，得，，然后連接，再通“”證明，進行角的等量代換以及角和和差關系，即可作答．【詳解】（1）解：因為是等邊三角形，所以，，因為，所以，則，那么；②把繞著點A順時針旋轉60°，與重合，點M的對應點為點N，連接，如圖所示：易得，，，因為，所以故即因為，，所以則，所以，因為所以即是等邊三角形，所以因為，則；（2）解：過點E作，因為，所以即因為所以，則過點作交于點，交于點，則，設，則，∴，，在中，，∴，在和中，，∴，∴，，連接，如圖，∵∴又∵，∴，在和中，∴∴，∴，∴，∴．即．【點睛】本題考查了全等三角形的綜合，等邊三角形的性質，三角形的外角性質，三角形的內角和，作輔助線（作垂線）以及一系列的輔助線，難度大，綜合強，對學生具備較強的作輔助線能力有較高要求，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．4．(1)見解析(2)相等，理由見解析(3)，理由見解析【分析】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．（1）根據等邊三角形的性質，由即可證明；（2）結論：，證明，可得結論．（3）證明，推出，可得結論．【詳解】（1）證明：如圖1中，

∵是等邊三角形，∴，在和中，，∴；（2）解：相等．理由：如圖2中，

∵都是等邊三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴；（3）解：如圖3中，結論：．理由：延長到R，使得，連接．

∵等邊，∴，，∴，∵點是的中點，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．5．(1)(2)，理由見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，三角形三邊關系，等腰直角三角形，關鍵是“倍長中線”，構造全等三角形．（1）延長中線至點Q，使；連接，得到，判定，推出，由三角形三邊關系定理得，即可得到，（2）延長到K，使，連接，得到，判定，即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖1，延長中線至點Q，使；連接，∴，∵是的中線，∴，∵，∴，∴，由三角形三邊關系定理得：，∴，∴，故答案為：．（2）如圖2，，理由如下：延長到K，使，連接，∴，∵是的中線，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．6．（1）；（2）見解析；（3）18【分析】本題考查了倍長中線型全等問題，正確作出輔助線是解題關鍵．（1）根據提示證即可求解；（2）延長至點，使得，連接，證得，，進而可得，再證即可；（3）由（2）可得：，，進一步得；根據題意可證，據此即可求解．【詳解】解：（1）∵是的中線．∴，∵，，∴，∴，可得，即：，∴，故答案為：；（2）延長至點，使得，連接，如圖2：由題意得：，，，，，，，，，，在和中，，，，；（3）如圖3，由（2）可得：，，，．．，，．，，，．7．(1)(2)(3)【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定；（1）先證明得到，再在和中利用三角形內角和得到，根據，得到；（2）先證明得到，再在和中利用三角形內角和得到，根據，得到；（3）由（1）得，，則，再由，可得，得到，，推出，最后根據代入求值即可．【詳解】（1）解：，，，在和中，，，．在和中，，，，∵，∴，故答案為：．（2）解：在和中．在和中，．（3）解：由（1）得，，，∵，，，，，，，，．，，．8．(1)見解析(2)，，理由見解析(3)【分析】（1）證明，即得；（2）設交于，證明，可得，，即可得，即；而，故；（3）作，且，連接，，證明，可得，而，故．【詳解】（1）證明：，，即，，，，；（2）解：，；理由如下：設交于，如圖：，，即，，，，，，，，，即；為等腰直角中邊上的高，，，；（3）解：作，且，連接，，如圖，，，，，即，，，，，，，在中，，，，，．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，涉及勾股定理及應用，解題的關鍵是利用“手拉手全等模型”作輔助線，構造全等三角形．9．(1)(2)①，；②【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，等邊三角形的性質，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵．（1）證明得到，利用三角形內角和可得；（2）①證明得到，，再由，得到，即可得到，；②由可得，由外角的性質和等腰三角形的性質可求，即可求解．【詳解】（1）解：，，，在和中，，，又，，，；（2）證明：①，，，在和中，，，，，，，，，，，∴，；②，，，，，，，，，，，，．10．(1)見解析(2)2(3)式子的值不會變化，值為1【分析】（1）根據題目中的信息可以得到，與之間的關系，與之間的關系，從而可以解答本題；（2）由第一問中的兩個三角形全等，可以得到各邊之間的關系，然后根據題目中的信息找到與的關系，從而可以解答本題；（3）作合適的輔助線，構造直角三角形，通過三角形的全等可以找到所求問題需要的邊之間的關系，從而可以解答本題．【詳解】（1）證明：∵為等腰三角形，，點P在線段上（不與B，C重合），以為腰長作等腰直角，于E，∴，，，∴，在和中，，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，，，∴，∵，∴，∴；（3）解：式子的值不會變化．如圖2所示：作交于點H，∵，，，∴，，∴，∵為等腰直角三角形，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質，解題的關鍵是利用數形結合的思想，找出所求問題需要的關系，通過三角形的全等可以得到相關的角和邊之間的關系．11．（1）見解析；（2）；（3）所在直線的解析式為：；所在直線的解析式為：【分析】（1）根據題意可得，，推出，結合，利用即可證明結論；（2）先求出的坐標，過點作軸，交軸于點，證明，即可得解；（3）求出點坐標和直線的解析式，延長交軸與點，延長至點，使，設，過點分別作軸，得到，表示出的坐標，利用的中點在直線上，求出的坐標，再用待定系數法求解析式即可．【詳解】問題提出：（1）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴；問題探究：（2）解：，當時：；當時：；∴，，∴，過點作軸，交軸于點，同上法可證：，∴，∴，∴；問題解決：（3）解：由題意得：，∵射線與直線平行，設直線的解析式為：，則：，解得：；∴；延長交軸與點，延長至點，使，設，過點分別作軸，由問題提出可知：，∴，∴，∴的中點坐標為：，由題意可知在直線上，∴，解得：，∴，，設的解析式為：，則：，解得：，∴所在直線的解析式為：；設的解析式為：，則：，解得：，∴所在直線的解析式為：．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質以及一次函數與幾何的綜合應用．根據問題提出，理解并掌握一線三直角的全等模型，然后通過構建全等模型探究和解決問題是解題的關鍵．12．(1)圖①的猜想：，證明見解析(2)圖②：，圖③：【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，作出合適的輔助線是解本題的關鍵；（1）作交的延長線于，證明得到，，從而得到，證明得到，即可得證；（2）如圖，作交于，證明得到，，從而得到，證明得到，即可得證；如圖，作交的延長線于，證明得到，，從而得到，證明得到，即可得證；【詳解】（1），證明：如圖，作交的延長線于，則，在和中，，，，，，，，，，，，在和中，，，，；（2）如圖，作交于，則，在和中，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，即；如圖，作交的延長線于，則，在和中，，，，，，，，，，，，在和中，，，，；13．(1)(2)(3)的最小值為【分析】（1）作交于，根據等腰直角三角形的性質，可推出，即知，通過三角函數求出、，從而求出，繼而求出，則的值即可解出．（2）作交于，根據已知條件先證明，得出，，，根據角度關系推出，從而證明四邊形是矩形，根據，可知，可證明，即有，則矩形是正方形，所以，則．（3）連接并延長，作關于直線的對稱點，連接，交延長線于，作交于，連接、、、、、、，交于，根據是等腰直角三角形，是的中點，可知，同時，可知當點運動時，始終成立，即點在射線上運動，再根據關于直線對稱，可知，且當點位于的連線上時，等號成立．根據求出，結合三角函數可逐步推出，再根據三角函數求出與的關系，從而求出和，，和，根據值，依次求出和，根據勾股定理求出，即可得到的最小值．【詳解】（1）解：作交于，如圖1：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴．（2）解：，理由如下：作交于，如圖2，在和中，，∴∴，，，∴，∴，在四邊形中，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∴四邊形是正方形，∴，∴．（3）解：連接并延長，作關于直線的對稱點，連接，交延長線于，作交于，連接、、、、，交于，如圖所示：∵是等腰直角三角形，，是的中點，∴，∴，∵是等腰直角三角形，，∴，∴，∴當點運動時，始終成立，即點在射線上運動，∵關于直線對稱，∴，∴，且當點位于的連線上即與點重合時，等號成立．∵，，∴，∴，∴，∵，∴，由（2）知，,，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，，∴，∴，，∴，，，∵∴，，∴，∴，∴的最小值為．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質，三角函數，矩形的判定和性質，正方形的判定和性質，全等三角形的判定與性質，“將軍飲馬”的模型，熟練掌握等腰三角形的性質，矩形的判定與性質，“將軍飲馬”模型的應用是