/一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．1.已知直線與直線垂直，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】利用兩直線垂直的條件求解.【詳解】因為直線與直線垂直，所以，即.故選：B.2.若直線為圓的一條對稱軸，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解．【詳解】由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：C3.已知圓與圓，若與有且僅有一條公切線，則實數的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據兩圓有且僅有一條公切線，得到兩圓內切，從而可求出結果.【詳解】圓可化為，圓心為，半徑為，圓可化為，圓心為，半徑為，又與有且僅有一條公切線，所以兩圓內切，因此，即，解得，故選：C4.在三棱錐中，點M是中點，若，則（）A.0 B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】表達出和，得出，，的值，即可求出的值.【詳解】由題意，在三棱錐中，點M是中點，連接，，在中，，在中，，∴,∴，，∴，故選：A.5.有編號互不相同的五個砝碼，其中3克、1克的砝碼各兩個，2克的砝碼一個，從中隨機選取兩個砝碼，則這兩個砝碼的總重量超過4克的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用列舉法列舉出樣本空間，結合古典概型概率計算公式即可求解.【詳解】記3克的砝碼為，，1克的砝碼為，，2克的砝碼為，從中隨機選取兩個砝碼，樣本空間，共有10個樣本點，其中事件“這兩個砝碼的總重量超過4克”包含3個樣本點，故所求的概率為．故選：A.6.在平行六面體中，，，則直線與直線所成角的余弦值為（）A.0 B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】設，由向量的運算得出，進而得出直線與直線所成角的余弦值.【詳解】設，不妨設，則，，即，則直線與直線所成角的余弦值為.故選：A7.已知拋物線的焦點為F，點M在拋物線C的準線l上，線段與y軸交于點A，與拋物線C交于點B，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由題知點A為的中點，結合已知得，過點B作，由拋物線的定義即可求解.【詳解】設l與x軸的交點為H，由O為中點，知點A為的中點，因為，所以．過點B作，垂足為Q，則由拋物線的定義可知，所以，則，所以．故選：C8.已知為坐標原點，是橢圓上位于軸上方的點，為右焦點.延長、交橢圓于、兩點，，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設橢圓的左焦點為，連接、、，推導出四邊形為矩形，設，在中，利用勾股定理可解得，然后在中，利用勾股定理可求得橢圓的離心率的值.【詳解】解：如圖，設橢圓的左焦點為，連接、、，由題意可知，、關于原點對稱，且為的中點，所以四邊形為平行四邊形，又因為，所以四邊形為矩形.因為，設，，則，，所以，，在中，，即，解得，所以，，，在中，由勾股定理可得，即，整理可得，解得.故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯或不選得0分．9.統計學是源自對國家的資料進行分析，也就是“研究國家的科學”．一般認為其學理研究始于希臘的亞里士多德時代，迄今已有兩千三百多年的歷史．在兩千多年的發展過程中，將社會經濟現象量化的方法是近代統計學的重要特征．為此，統計學有了自己研究問題的參數，比如：均值、中位數、眾數、標準差．一組數據：（）記其均值為m，中位數為k，方差為，則（）A.B.C.新數據：的均值為mD.新數據：的方差為【答案】BD【解析】【分析】取，可判斷A選項；利用中位數的定義可判斷B選項；利用均值和方差公式可判斷C，D選項．【詳解】對于A，不妨令，則，A錯誤；對于B，因，樣本數據最中間項為和，由中位數的定義可知，，B正確；對于C，數據的均值為：，C錯誤；對于D，數據的均值為：，其方差為，D正確.故選：BD.10.2022年11月29日23時08分，我國自主研發的神舟十五號載人飛船成功對接于空間站“天和”核心艙前向端口，并實現首次太空會師．我國航天員在實驗艙觀測到一顆彗星劃過美麗的地球，彗星沿一拋物線軌道運行，地球恰好位于這條拋物線的焦點．當此彗星離地球4千萬公里時，經過地球和彗星的直線與拋物線的軸的夾角為，則彗星與地球的最短距離可能為（單位：千萬公里）（）A. B. C.1 D.3【答案】CD【解析】【分析】不妨假設該拋物線開口向右，可設該拋物線的方程為，彗星離地球4千萬公里時假設為A點，作軸于，分在的左側和右側進行討論，即可求出最短距離【詳解】不妨假設該拋物線開口向右，如圖所示，可設該拋物線的方程為，地球即焦點坐標為，設彗星的坐標為，當彗星離地球4千萬公里時，設彗星此時處于A點，即，作軸于，則，當在的右側時，，所以，代入拋物線可得，解得則根據拋物線的定義可得彗星到地球的距離為，則彗星與地球的最短距離可能為1千萬公里，當在的左側時，，所以，代入拋物線可得，解得則根據拋物線的定義可得彗星到地球的距離為，則彗星與地球的最短距離可能為3千萬公里，故選：CD11.在長方體中，，，動點P在體對角線上（含端點），則下列結論正確的有（）A.當P為中點時，為銳角B.存在點P，使得平面APCC.的最小值D.頂點B到平面APC的最大距離為【答案】ABC【解析】【分析】依題意建立空間直角坐標系，設，當為中點時，根據判斷得符號即可判斷A；當平面，則有，從而求出可判斷B；當時，取得最小值，結合B即可判斷C；利用向量法求出點到平面的距離，分析即可判斷D.【詳解】如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，設，則，故，則，，對于A，當為中點時，，則，，則，，所以，所以為銳角，故A正確；當平面，因為平面，所以，則，解得，故存在點，使得平面，故B正確；對于C，當時，取得最小值，由B得，此時，則，，所以，即的最小值為，故C正確；對于D，，，設平面的法向量，則，可取，則點到平面的距離為，當時，點到平面的距離為0，當時，，當且僅當時，取等號，所以點到平面的最大距離為，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是建立空間直角坐標系，求得，，從而利用空間向量法逐一分析判斷各選項即可.12.拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，O為坐標原點．一束平行于x軸的光線從點射入，經過C上的點反射后，再經C上另一點反射后，沿直線射出，經過點Q，則（）A. B.延長交直線于點D，則D，B，Q三點共線C. D.若平分，則【答案】BCD【解析】【分析】由平行于x軸的，且過點，可推出點坐標，寫出直線的方程，并聯立拋物線的方程，結合韋達定理可得，，即可判斷A是否正確；解得點坐標，推出，，三點縱坐標都相同，即可判斷B是否正確；由弦長公式計算出，即可得出C是否正確；平分推出，由，計算的值，即可判斷D是否正確；．【詳解】如圖所示：，，，，由平行于x軸的，且過點，所以，把代入拋物線的方程，解得，即，由題知，直線經過焦點，直線的方程為，即，聯立，得，所以，，對于A選項：由，故選項A錯誤；對于B選項：因為，，所以，即點縱坐標為，直線的方程為，聯立，解得，所以點坐標為，，由光學性質可知平行于x軸，則，，三點縱坐標都相同，所以，，三點共線，故選項B正確對于C選項：，故選項C正確；對于D選項：由光學性質可知平行于x軸，平行于x軸，則，有，平分，有，所以∴，即，得，故選項D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設，則過線段的中點，且與垂直的直線方程為__________.【答案】【解析】【分析】求出線段的中點坐標和斜率，利用點斜式寫出直線方程.【詳解】因為，所以線段的中點，且.所以與垂直的直線的斜率為，所以過線段的中點，與垂直的直線方程為，即.故答案為：14.如圖，直三棱柱中，分別是的中點，，則與所成角的余弦值為__________.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標系，不妨設，寫出對應點的坐標，利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】由題意可知：兩兩互相垂直，建立如圖所示空間直角坐標系，不妨設，因為分別是的中點，則，，，，則，，設直線與所成的角為，所以，所以與所成角的余弦值為，故答案為：.15.已知圓，點在直線上運動，過作的兩條切線，切點分別為、，當四邊形的面積最小時，________．【答案】【解析】【分析】證明出，計算出的最小值，可得出的最小值，可得出四邊形的面積最小值，可求得的值，進而可得出的值.【詳解】如圖所示：由圓的幾何性質可得，，由切線長定理可得，又因為，，所以，，圓的標準方程為，圓心為，半徑為，所以，，當與直線垂直時，取最小值，且，所以，，所以，，此時，因此，.故答案為：.16.已知橢圓的右頂點和上頂點分別為，左焦點為，以原點為圓心的圓與直線相切，且該圓與軸的正半軸交于點，過點的直線交橢圓于兩點.若四邊形是平行四邊形，且平行四邊形面積為，則橢圓的長軸長為___________.【答案】【解析】【分析】根據直線與圓相切可求得圓的半徑，即，將與橢圓方程聯立可求得坐標，由可構造齊次方程求得離心率，從而用表示出，根據可構造方程求得的值，進而得到橢圓長軸長.【詳解】由題意知：，，，直線，即，直線與圓相切，圓的半徑，即，四邊形為平行四邊形，，將代入橢圓方程得：，即，又，，，即，，解得：（舍）或；即，，，解得：橢圓長軸長.故答案為：.四、解答題：本小題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.某企業為了解下屬某部門對本企業職工的服務情況，隨機訪問50名職工，根據這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數據分組區間為（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）估計該企業的職工對該部門評分不低于80的概率；（3）從評分在的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在的概率.【答案】（1）0.006；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）在頻率分布直方圖中，由頻率總和即所有矩形面積之和為，可求；（2）在頻率分布直方圖中先求出50名受訪職工評分不低于80的頻率為，由頻率與概率關系可得該部門評分不低于80的概率的估計值為；（3）受訪職工評分在[50，60)的有3人，記為，受訪職工評分在[40，50)的有2人，記為，列出從這5人中選出兩人所有基本事件，即可求相應的概率.【詳解】（1）因為，所以（2）由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為，所以該企業職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為（3）受訪職工評分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，即為；受訪職工評分在[40，50)的有：50×0.004×10=2(人)，即為.從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結果共有10種，它們是又因為所抽取2人的評分都在[40，50)的結果有1種，即，故所求的概率為【點睛】本題考查頻率分布直方圖?概率與頻率關系?古典概型，屬中檔題；利用頻率分布直方圖解題的時，注意其表達的意義，同時要理解頻率是概率的估計值這一基礎知識；在利用古典概型解題時，要注意列出所有的基本事件，千萬不可出現重?漏的情況.18.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為菱形，，點為的中點，的外接圓為圓．（1）求圓的方程；（2）求直線被圓所截得的弦長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意判斷為正三角形，即可求得其外接圓圓心，繼而求得半徑，即可得圓的方程；（2）求出B點坐標，可得D點坐標，繼而可求出直線CD的方程，求出圓心到直線CD的距離，根據直線被圓所截得的弦的計算公式，即可求得答案.【小問1詳解】由題意知，故為銳角,故，又，所以為正三角形，由，得，所以外接圓圓心為，即，則半徑，所以圓的方程為；【小問2詳解】由題意得B點橫坐標為，縱坐標為，故，，直線的斜率，直線方程為，即，到距離為，所以被圓：截得的弦長為.19.已知點，點B為直線上的動點，過點B作直線的垂線l，且線段的中垂線與l交于點P．（1）求點P軌跡的方程；（2）設與x軸交于點M，直線與交于點G（異于P），求四邊形面積的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用拋物線的定義求解軌跡方程；（2）設出直線，聯立方程，得出，用表示出四邊形的面積，結合基本不等式求解最值.【小問1詳解】由題意點到直線的距離與到點的距離相等，所以點P的軌跡是以為焦點，以直線為準線的拋物線，所以方程為.【小問2詳解】設直線的方程為，，則.如圖，設與軸的交點為，則易知為的中位線，所以.聯立，得，，不妨設，則，四邊形面積為,當且僅當時，取到最小值，所以四邊形面積的最小值為.20.世界上有許多由旋轉或對稱構成的物體，呈現出各種美．譬如紙飛機、蝴蝶的翅膀等．在中，．將繞著旋轉到的位置，如圖所示．（1）求證：；（2）當三棱錐的體積最大時，求平面和平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）做輔助線，先證明線面垂直，利用線面垂直證明線線垂直；（2）根據三棱錐的體積最大，確定平面的垂直關系，利用空間向量求解平面的夾角.【小問1詳解】取的中點，連接，由題意可知，所以；因為平面，所以平面；因平面，所以.【小問2詳解】由題意可知三棱錐的體積最大時，平面平面；在平面內作出，且與的延長線交于點，連接；因為平面平面，平面平面，，所以平面；根據旋轉圖形的特點可知，兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，因為，所以；；，設平面的一個法向量為，則，，令，則；易知平面的一個法向量為,設平面和平面的夾角為，則.所以平面和平面的夾角的余弦值為.21.如圖，已知拋物線的焦點為，且經過點．（1）求和的值.（2）若點在上，且，證明：直線過定點．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據拋物線得定義可求得，代入點的坐標可求得.（2）設出的方程及的坐標，利用點在上，且，通過向量數量積為0建立的關系，代入方程易證明直線過定點.【小問1詳解】，又在拋物線上，.【小問2詳解】