/長春2024-2025學年高二第一學期期初考試數(shù)學試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁?？荚嚱Y(jié)束后，將答題卡交回。注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。第Ⅰ卷(選擇題)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面上對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.若平面向量與的夾角為60°，，則等于（

）A．10 B．12 C． D．3.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，2，4，4，5，8，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．6.54.如圖所示是水平放置三角形的直觀圖，點D是的邊中點，，分別與′軸、′軸平行，則三條線段，，中（

）A．最長的是，最短的是B．最長的是，最短的是C．最長的是，最短的是D．最長的是，最短的是5.在中，，，滿足條件的（

）A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．不能確定6.自改革開放以來，我國綜合國力顯著提升，人民生活水平有了極大提高，也在不斷追求美好生活．某研究所統(tǒng)計了自2013年至2019年來空氣凈化器的銷量情況，繪制了如圖的統(tǒng)計圖．觀察統(tǒng)計圖，下列說法中不正確的是（

）A．2013年——2019年空氣凈化器的銷售量逐年在增加B．2017年銷售量的同比增長率最低C．與2018年相比，2019年空氣凈化器的銷售量幾乎沒有增長D．有連續(xù)三年的銷售增長率超過7.沙漏是我國古代的一種計時工具，是用兩個完全相同的圓錐頂對頂疊放在一起組成的（如圖）.在一個圓錐中裝滿沙子，放在上方，沙子就從頂點處漏到另一個圓錐中，假定沙子漏下來的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）.已知一個沙漏中沙子全部從一個圓錐漏到另一個圓錐中需用時27分鐘，則經(jīng)過19分鐘后，沙漏上方圓錐中的沙子的高度與下方圓錐中的沙子的高度之比是（

）A．2:3 B．2:1 C．1:1 D．3:28.已知正方體，點，，分別是線段，和上的動點，觀察直線與，與給出下列結(jié)論：其中正確的結(jié)論是①對于任意給定的點，存在點，使得；②對于任意給定的點，存在點，使得；③對于任意給定的點，存在點，使得；④對于任意給定的點，存在點，使得．A．① B．②③ C．①④ D．②④二、多項選擇題：本題共3題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知向量，，滿足，，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．向量，的夾角為10.下列說法正確的是（

）A．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，至少有一枚骰子的點數(shù)是3的概率為B．甲乙兩人獨立地解題，已知各人能解出的概率分別是，，則題被解出的概率是C．某小組由5名學生組成，其中3名男生，2名女生，現(xiàn)從中任選兩名學生參加演講比賽，至少有一名男生與至少有一名女生是互斥事件D．兩位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是11.的內(nèi)角的對邊分別為，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則的面積為B．若，則角C．若，則為等腰或直角三角形D．不存在，使成立第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，，…，的中位數(shù)與方差分別為2，1，則，，，…，的中位數(shù)與方差的和為．13.若圓臺的上下底面半徑分別為1，2，母線長為，則該圓臺的體積．14.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務院批準列入第一批國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早是外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動.如圖所示，若將“鞠”的表面視為光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四個點P，A，B，C，滿足，平面ABC，，若的面積為2，則制作該“鞠”的外包皮革面積的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（本小題13分）已知復數(shù)，，其中a是正實數(shù)．(1)若，求實數(shù)a的值；(2)若是純虛數(shù)，求a的值．16.（本小題15分）已知向量，(1)若，求實數(shù)的值；(2)若與的夾角是鈍角，求實數(shù)的取值范圍.17.（本小題15分）2022年2月4日，第24屆冬季奧林匹克運動會開幕式在北京國家體育場（鳥巢）舉行，某調(diào)研機構(gòu)為了了解人們對“奧運會”相關(guān)知識的認知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“奧運會”知識競賽，滿分100分分及以上為認知程度高），結(jié)果認知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人的平均年齡；現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取20人，擔任本市的“奧運會”宣傳使者．(2)若有甲（年齡，乙（年齡兩人已確定入選，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；(3)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和1，據(jù)此估計這人中歲所有人的年齡的方差．18.（本小題17分）的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．19.（本小題17分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，在底面ABCD中，，，，．(1)求證：；(2)若平面與平面夾角等于，求異面直線與所成角的余弦值．2024-2025學年第一學期期初考試高二年級數(shù)學試卷答案D2.D3.B4.B5.A6.C7.B8.A9.AB10.AD11.BCD12.713.14.15.(1)2(2)2【分析】（1）根據(jù)復數(shù)的定義及復數(shù)的運算法則構(gòu)建關(guān)于的方程組，求解的值；（2）根據(jù)復數(shù)的除法運算求解，利用復數(shù)的定義，構(gòu)建關(guān)于的方程組，求解的值；【詳解】（1）解：∵，，，∴，從而，解得，所以實數(shù)a的值為2．（2）依題意得：，因為是純虛數(shù)，所以：，解得：或；又因為a是正實數(shù)，所以a＝2．16.(1)(2)【詳解】（1）因為，，所以，因為，所以，解得；（2）因為與的夾角是鈍角，，，所以，解得，又當，即時，，此時與的夾角為，故，綜上可得.17.【答案】(1)(2)(3)10【詳解】（1）解：設這人的平均年齡為，則（歲；（2）由頻率分布直方圖可知各組的頻率之比為，第四組應抽取人，記為，，，甲，第五組抽取人，記為，乙，對應的樣本空間為，，，甲），，乙），，，，甲），，乙），，，甲），乙），，（甲，乙），（甲，，（乙，，共15個樣本點．分設事件“甲、乙兩人至少一人被選上”，則，甲），，乙），，甲），，乙），，甲），，乙），（甲，乙），（甲，，（乙，，共有9個樣本點，所以；（3）設第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，則，，，，設第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為；則，因此第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，據(jù)此可估計這人中年齡在歲的所有人的年齡方差約為1018.(1);(2).【詳解】(1)由三角形的內(nèi)角和定理得，此時就變?yōu)椋烧T導公式得，所以．在中，由正弦定理知，此時就有，即，再由二倍角的正弦公式得，解得．(2)因為是銳角三角形，又，所以，