/湖南省長沙市周南中學2025屆高三數學第二階段考試模擬試卷一、單選題1．若復數滿足，則（

）A． B． C． D．2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知向量，滿足，，則（

）A． B． C． D．4．水果店有一批大小不一的橘子，某顧客從中選購了個頭大且均勻的橘子若干個，設原有橘子的重量的平均數和方差分別是，，該顧客選購的橘子的重量的平均數和方差分別是，，則下列結論一定成立的是（

）A． B． C． D．5．直線被圓所截得的弦長為，則（

）A． B． C．3 D．26．將函數的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度，所得函數圖象的一條對稱軸為（

）A． B． C． D．7．一個高為的直三棱柱容器內裝有水，將側面水平放置如圖（1），水面恰好經過棱，，，的中點，現將底面水平放置如圖（2），則容器中水面的高度是（

）.A． B． C． D．8．給定函數，用表示中的最大者，記作，若，則實數的最大值為（

）A． B．1 C． D．二、多選題9．在中，內角的對邊分別為，下列說法中正確的是（

）A．B．C．若，則是鈍角三角形D．（為外接圓的半徑）10．已知拋物線上的動點到焦點的距離最小值是2，經過點的直線與有且僅有一個公共點，直線與交于兩點，則（

）A． B．拋物線的準線方程為C． D．滿足條件的直線有2條11．已知函數及其導函數的定義域為，若與均為偶函數，且，則下列結論正確的是（

）A． B．4是的一個周期C． D．的圖象關于點對稱三、填空題12．在數列中，，，若，則．13．甲、乙、丙、丁四支足球隊進行單循環比賽（即每支球隊都要跟其他各支球隊進行一場比賽），最后按各隊的積分排列名次，積分規則為每隊勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分.若每場比賽中兩隊勝、平、負的概率都為，則在比賽結束時，甲隊輸一場且積分超過其余每支球隊積分的概率為．14．已知，，其中，則.四、解答題15．已知分別為三個內角的對邊，且，．(1)求及的面積S；(2)若為邊上一點，且，求的正弦值．16．如圖，多面體中，直角梯形所在平面與正三角形所在平面垂直，，．(1)求該多面體的體積V；(2)在棱上是否存在點P，使得直線和平面所成的角大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．17．已知函數，.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，證明：.18．某人工智能研究實驗室開發出一款全新聊天機器人棋型，它能夠通過學習和理解人類的語言來進行對話．聊天機器人棋型的開發主要采用RLHF（人類反饋強化學習）技術，在測試它時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則它的回答被采納的概率為90%，當出現語法錯誤時，它的回答被采納的概率為.(1)在某次測試中輸入了7個問題，聊天機器人棋型的回答有5個被采納，現從這7個問題中抽取4個，以表示抽取的問題中回答被采納的問題個數，求的分布列和數學期望；(2)設輸入的問題出現語法錯誤的概率為，若聊天機器人棋型的回答被采納的概率為，求的值．19．如圖，雙曲線的離心率為，實軸長為，，分別為雙曲線的左右焦點，過右焦點的直線與雙曲線右支交于A，B兩點，其中點A在第一象限.連接與雙曲線左支交于點C，連接分別與x，y軸交于D，E兩點.(1)求該雙曲線的標準方程；(2)求面積的最小值.湖南省長沙市周南中學2025屆高三第二階段考試模擬試卷參考答案：題號1235678910答案DAAABCBABDBC題號11答案ABD1．D【分析】首先根據復數的除法運算化簡復數，再代入模的公式，即可求解.【詳解】由題知，，所以.故選：D.2．A【分析】利用充分、必要條件的概念計算即可.【詳解】由可以得出，滿足充分性，而可得，不滿足必要性，即A正確.故選：A3．A【分析】由平面向量數量積的運算律可得，，即可求解.【詳解】由，得，又，所以.故選：A4．C【分析】根據方差和平均數的意義，結合題設的實際場景即可判斷.【詳解】水果店有一批大小不一的橘子，某顧客從中選購了個頭大且均勻的橘子若干個，所以該顧客選購橘子的質量平均數>原有橘子的質量的平均數，該顧客選購的橘子的質量的方差<原有橘子的質量的方差.故選：C5．A【分析】先求出圓心到直線的距離，結合點到直線的距離公式，即可得出的值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，由垂徑定理，得點到直線距離為，根據點到直線距離公式，知圓心到直線的距離，化簡可得，解得.故選：A.6．B【分析】求出變換后的圖象對應的函數式，再利用驗證法求得結果.【詳解】依題意，所得圖象對應的函數為，對于A，，A不是；對于B，，B是；對于C，，C不是；對于D，，D不是.故選：B7．C【分析】設直三棱柱的底面面積為，在圖中，設水面的高度為，根據圖和圖中水的體積相等可得出關于的等式，即可解得的值.【詳解】記棱，，，的中點依次為，設直三棱柱的底面面積為，在圖中，設水面的高度為，則水的體積為，在圖中，幾何體為直四棱柱，因為分別為棱，，，的中點，所以，則水的體積為，解得.故選：C.8．B【分析】根據題干條件，得出恒成立，作差構造函數，結合導數的知識求構造函數的最小值即可得解.【詳解】由題意可得，，等價于恒成立，設恒成立，設，令，則，解得，單調遞減，時，單調遞增，.，則時，單調遞減，時，單調遞增，，解得，所以實數的最大值為1.故選：B.9．ABD【分析】根據正弦定理可判斷A，由三角形內角和及誘導公式可判斷B，由余弦定理可判斷C，根據面積公式及正弦定理可判斷D.【詳解】由正弦定理，可得，故A正確；，故B正確；因為，只能說明C為銳角，不一定是鈍角三角形，故C錯誤；由正弦定理得，（為外接圓的半徑），所以，所以，故D正確.故選：ABD10．BC【分析】根據題意求出p的值，判斷A；根據準線方程，判斷B；設直線方程，聯立拋物線方程，可得根與系數的關系，結合應用弦長公式計算判斷C；設直線聯立方程組根據判別式判斷直線個數及特殊斜率不存在直線結合即可判斷D.【詳解】對于A，由題意拋物線的動點到焦點的距離最小值是2，即，A錯誤；對于B，拋物線的準線方程為，B正確；對于C，由題設,為，聯立，可得，則，故，

C正確.對于D，因為在外，令過P的直線與相切，所以，若，，可得有兩個根故與相切直線有兩條，又與只有一個交點，所以過與有且僅有一個公共點的直線共有三條，D錯誤；故選：BC11．ABD【分析】注意到為偶函數則，由兩邊求導，令可判斷A；結合導函數的奇偶性可判斷B；利用的周期性和奇偶性可判斷C；根據和可判斷D.【詳解】因為為偶函數，所以，即，而，故，故，又為偶函數，所以，即，所以，故即，，所以4是的周期，故B正確.對A，由兩邊求導得，令得，解得，A正確；對C，由上知，所以，所以，C錯誤；對D，因為，，故，故的圖象關于2,1對稱，故選：ABD【點睛】關鍵點睛：本題解答關鍵在于原函數與導數數的奇偶性關系，以及對兩邊求導，通過代換求導函數的周期.12．506【分析】由題意可得到數列是等差數列，求得其通項公式，即可求得答案.【詳解】由題意可得，故數列為等差數列，4為公差，則，故令，解得.故答案為：.13．【分析】不妨先考慮甲輸丙，再就甲與乙丁的輸贏分類討論后可得所求的概率.【詳解】甲隊在輸了一場且其積分仍超過其余三支球隊的積分，三隊中選一隊與甲比賽，甲輸，，例如是丙甲，若甲與乙、丁兩場比賽都輸，則乙、丁、丙積分都大于甲，不合題意；若甲與乙、丁的兩場比賽一贏一平，則甲只得4分，這時，丙乙、丙丁兩場比賽中丙只能輸，否則丙的分數不小于4分，不合題意，在丙輸的情況下，乙、丁已有3分，那個它們之間的比賽無論什么情況，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合題意；若甲全贏（概率是）時，甲得6分，其他3人分數最高為5分，這時丙乙，丙丁兩場比賽中丙不能贏，否則丙的分數不小于6分，只有全平或全輸或一輸一平，①若丙一平一輸，概率，如平乙，輸丁，則乙丁比賽時，丁不能贏，概率；②若丙兩場均平，概率是，乙丁這場比賽無論結論如何均符合題意；③若兩場丙都輸，概率是，乙丁這場比賽只能平，概率是；綜上概率為．故答案為：.【點睛】思路點睛：對于比較復雜的概率的計算，注意根據問題的特征合理分類，盡量不重不漏，必要時利用表格或枚舉等方法.14．【分析】利用兩角差的余弦可求的值，故可求的值.【詳解】因為，故，而，故，而，故，而，故，故，故，而，故，故答案為：15．(1)，(2)【分析】（1）由余弦定理得到方程，求出，進而由三角形面積公式求出答案；（2）先得到，故，由余弦定理求出，得到答案.【詳解】（1）由余弦定理得，即，故，解得或（舍去），；（2）因為，，所以，故，在中，由余弦定理得，，故.16．(1)(2)存在，.【分析】（1）取中點，連接，求證平面，即可由求出該多面體的體積.（2）先求證兩兩垂直，建立空間直角坐標系，設，依據已知條件求出和平面的法向量，再依據即可計算求解，進而得解.【詳解】（1）取中點，連接，則由為正三角形得，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又由題意，所以該多面體的體積.（2）連接，由題意以及（1）可知且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以由平面可知兩兩垂直，所以可建立如圖所示的空間直角坐標系，則,所以，，設，則，所以，設是平面的一個法向量，則，所以，即，取，則，所以直線和平面所成的角的正弦值為，整理得，解得（舍去）或，所以在棱上存在點P，使得直線和平面所成的角大小為，此時.17．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導數的公式及運算法則求出在時的導數，即得切線斜率，點斜式寫出切線方程即可.（2）要證明的不等式含參時，且規定了參數的范圍時，可以考慮先使用滿參放縮，將含參的不等式轉化為不含參的不等式來證明.【詳解】（1）當時，，，則，又因為，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）當時，有，所以，因為，所以.令，則，當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增.所以.故.18．(1)分布列見解析，E(2)p=0.25【分析】（1）求出隨機變量的所有取值以及每一個值發生的概率即可得的分布列，再根據數學期望的公式即可計算得解的數學期望.（2）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，“輸入的問題有語法錯誤”為事件B，“回答被采納”為事件，進而由已知以及全概率公式PC=P【詳解】（1）由題可知的所有取值為2，3，4，且服從超幾何分布，Pξ=2=C52故的分布列為：234則Eξ（2）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，記“輸入的問題有語法錯誤”為事件B，記“回答被采納”為事件，由已知得，PC=0.8，PC|A=0.9，PC|B所以由全概率公式得PC解得p=0.25．19．(1)(2)【分析】（1）根據已知求出，然后根據離心率得出，根據的關系求出的值，即可得出答案；（2）根據已知可得，，設Ax1,y1，Bx2,y2，求出直線的方程.與雙曲線方程聯立，根據韋達定理表示出點B坐標，同理得出點C的坐標.