高級中學名校試題PAGEPAGE1上海浦東新區2025屆高三二模數學試卷一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題．考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得零分．1.不等式的解為____________．【答案】【解析】不等式化為，解得，∴不等式的解集為，故答案為．2.已知向量，若，則______．【答案】-2【解析】因為，所以，得，解得，故答案為：-23.設圓方程為，則圓的半徑為____________．【答案】【解析】將圓方程化為標準方程可得，故圓的半徑為.故答案為：.4.若，則函數的最小正周期為____________．【答案】【解析】，故最小正周期為.故答案為：5.若關于的方程的一個虛根的模為，則實數的值為____________．【答案】4【解析】設關于的方程的兩根虛根為，則且，所以，又，所以，當時，，所以關于的方程有兩個不相等實數根，不符合題意；當時，，所以關于的方程有兩個虛根，符合題意；所以.故答案為：6.設數列為等差數列，其前項和為，已知，則____________．【答案】【解析】因為，所以.故答案為：7.在的展開式中，常數項為__________.【答案】-252【解析】根據二項式定理，第r+1項為，由于是常數，，r=5，其常數項系數為=-252.，故答案為：-252.8.設為拋物線上任意一點，若的最小值為，則的值為____________．【答案】【解析】因為為拋物線上任意一點，所以，，所以，所以當時取得最小值，依題意可得，所以.故答案為：9.李老師在整理建模小組10名學生的成績時不小心遺失了一位學生的成績，且剩余學生的成績數據如下：566777899，但李老師記得這名學生的成績恰好是本組學生成績的第25百分位數，則這10名學生的成績的方差為____________．【答案】【解析】，則該學生的成績為從小到大排列的第個，故該生的成績為，則這10名學生的成績的平均數為，方差為故答案為：10.如圖，某建筑物垂直于地面，從地面點處測得建筑物頂部的仰角為，從地面點處測得建筑物頂部的仰角為，已知相距100米，，則該建筑物高度約為__________米．（保留一位小數）【答案】66.4【解析】在中，已知從地面點處測得建筑物頂部的仰角為，即.因為，所以.在中，從地面點處測得建筑物頂部的仰角為，即.因為，且，所以.在中，已知米，.根據余弦定理，將，代入可得：，即可得.則.故答案為：66.4.11.已知為空間中三個單位向量，且，若向量滿足，，則向量與向量夾角的最小值為__________．（用反三角表示）【答案】【解析】可設，設，則，所以，兩式相減可得：，再代入第一個式子，可得：設向量與向量夾角為，則，易知對于當即取得最大值，此時取得最大值，即的最大值為，時取得，再由余弦函數的單調性可知的最小值為，故答案為：12.已知數列，，并且前項的和滿足：①存在小于的正整數，使得；②對任意的正整數和，都有．則滿足以上條件的數列共有__________個．【答案】【解析】因為，，可知的奇偶性與的奇偶性一致，對于①：存在小于的正整數，使得，對于②：對任意的正整數和，都有，可知為奇數，即，令，則，可得或；令，則，可得或；綜上所述：對任意的正整數，.且，可得，，即確定，不相等，有2種可能，此時，條件②滿足，對于數列可知：均有2種可能，則滿足條件的數列共有個，又因為存在小于的正整數，使得，可知對任意，不成立，即這種情況不符合題意，綜上所述：符合題意的數列共有個.故答案為：.二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案．考生必須在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，13-14題每題選對得4分，15-16題每題選對得5分，否則一律得零分．13.已知集合，集合，全集為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，可得可得：，所以，故選：D14.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為在上是增函數，故由可得；取，，此時滿足，但是不滿足，綜上，“”是“”的必要不充分條件．故選：B15.研究變量，得到一組成對數據，先進行一次線性回歸分析，接著增加一個數據，其中，，再重新進行一次線性回歸分析，則下列說法正確的是（）A.變量與變量的相關性變強 B.相關系數的絕對值變小C.線性回歸方程不變 D.擬合誤差變大【答案】C【解析】設變量，的平均數分別為，，則，，即，，可知新數據的樣本中心點不變，仍為，對于AB：可得，同理可得，則相關系數，可知相關系數的值不變，變量與變量的相關性不變，故AB錯誤；對于C：因為，且線性回歸方程過樣本中心點，即均不變，所以線性回歸方程不變，故C正確；因為即為樣本中心點，即，可知殘差平方和不變，所以擬合誤差不變，故D錯誤；故選：C.16.已知圓錐曲線的對稱中心為原點，若對于上的任意一點，均存在上兩點，，使得原點到直線，和的距離都相等，則稱曲線為“完美曲線”．現有如下兩個命題：①任意橢圓都是“完美曲線”；②存在雙曲線是“完美曲線”．下列判斷正確的是（）A.①是真命題，②是假命題 B.①是假命題，②是真命題C.①②都是真命題 D.①②都是假命題【答案】A【解析】判斷命題①：已知過橢圓上任意一點作以原點為圓心的圓的切線，分別交橢圓于，兩點，連接.根據直線與圓的位置關系，當與圓相切時，滿足給定條件.當與圓相交時，因為圓的圓心是固定的原點，我們可以通過縮小圓的半徑，使得圓逐漸靠近，直到與圓相切；同理，當與圓相離時，擴大圓的半徑，也能使圓靠近直至相切.所以從直線與圓位置關系的動態調整角度可知，一定能找到合適的圓半徑使得與圓相切，故①正確.判斷命題②：當在雙曲線頂點時，過作圓的切線，交雙曲線于另外兩點，.由雙曲線的性質可知，雙曲線在頂點附近的形狀特點決定了，過頂點作圓的切線與雙曲線相交得到的線段，其整體位置與以原點為圓心的圓是相離的.這是因為雙曲線的漸近線性質以及頂點處的曲線走向，使得從頂點出發的切線與雙曲線相交形成的線段不會與圓相切，所以②不正確.故選：A.三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題卷的相應編號規定區域內寫出必要的步驟．17.已知函數的表達式．（1）若函數是奇函數，求實數的值；（2）對任意實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）因為函數是奇函數，的定義域關于原點對稱，由，則，所以.（2）對任意實數，不等式恒成立，即，設，對任意實數且因為，所以，所以所以函數在上單調遞減；，所以.18.如圖，四邊形為長方形，平面，，．（1）若分別是的中點，求證：∥平面；（2）邊上是否存在點，使得直線與平面所成的角的大小為？若存在，求長；若不存在，說明理由．（1）證明：法一：取中點，連接、，∵，，∴，∵，，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，在平面外，∴平面法二：如圖建立空間直角坐標，則，，，，，，∴，易知平面的一個法向量∵，且在平面外∴平面（2）解：法一：作，垂足為，連接，∵平面，在平面內，∴，又為平面內兩條相交直線，∴平面，∴直線與平面所成的角為，∴，∴，∴，∴邊上存在點，使得直線與平面所成的角為，.法二：設，則，∴，易知平面的一個法向量，設與的夾角為，則，解得：，∴邊上存在點，使得直線與平面所成的角為，.19.為測試、兩款人工智能軟件解答數學問題的能力，將道難度相當的數學試題從到編號后隨機分配給這兩款軟件測試．每道試題只被一款軟件解答一次，并記錄結果如下：試題類別軟件軟件測試試題數量正確解答的數量測試試題數量正確解答的數量幾何試題函數試題（1）分別估計軟件、軟件能正確解答數學問題的概率；（2）小浦準備用這兩款軟件來解決某次數學測試中第題（假設其難度和測試的道題基本相同），但該題內容還未知，從已往情況來看，該題是幾何題的概率為，是函數題的概率為．將頻率視為概率，試通過計算來說明小浦應該用哪款軟件解決這道試題？（3）小浦決定采用這兩款軟件解答道類似試題，其中幾何、函數各道，每道試題只用其中一款軟件解答一次．將頻率視為概率，小浦比較了這兩款軟件在解答幾何和函數題上的正確率，決定用表現較好的那款軟件解決其擅長的題型．用、分別表示這道幾何試題與道函數試題被正確解答的個數，求隨機變量的數學期望和方差．解：（1）記、軟件能正確解答數學問題的概率為和，結合題中數據以及古典概型的概率公式可得，.（2）記“軟件能正確解答這道題”為事件，“軟件能正確解答這道題”為事件，“該題為幾何題”為事件.則，，，，，，由全概率公式可得..因為，所以軟件能夠正確解決這道試題的概率更大，故小浦應該使用軟件來解決這道試題.（3）幾何試題用軟件解答，函數試題用軟件解答.因為，，由二項分布的期望公式可得，，由二項分布的方差公式可得，，因為、相互獨立，則，.20.已知橢圓的方程為，右頂點為，上頂點為，橢圓的中心位于坐標原點，兩個橢圓的離心率相等．（1）若橢圓的方程是，焦點在軸上，求的值；（2）設橢圓的焦點在軸上，直線與相交于點、，若，求的標準方程；（3）設橢圓的焦點在軸上，點在上，點在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的長軸的取值范圍．解：（1）由題，橢圓離心率為，橢圓的離心率為，解得（2）由題，，，所以，直線的方程為，設的方程為，，，聯立直線與橢圓的方程，代入整理得，，可得，由韋達定理可得，，故，解得.所以的標準方程為.（3）由題，設的方程為，由題意，且，任取上一點（不與點重合），則，.設，則，直線的方程為，故，代入得，因為，解得，由對稱性，不妨設，代回直線方程可解得，而點位于上，所以，為上任一點，所以為定值，化簡得.設，為上任一點，即有解.整理得，，解得，所以.故的長軸長.21.定義域為的可導函數滿足，在曲線上存在三個不同的點，使得直線與曲線在點處的切線平行（或重合）．若成等差數列，則稱為“等差函數”；若成等差數列且均為整數，則稱為“整數等差函數”．（1）設，，分別判斷和是否為“整數等差函數”，直接寫出結論；（2）若為“整數等差函數”，求實數的最小值；（3）已知的導函數在上為增函數，且存在一個正常數，使得對任意，成立，證明：為“等差函數”的充要條件是為常值函數．解：（1）假設成等差數列，得，設公差為，則，對于：直線的斜率，因為，所以曲線在點處的切線斜率為，由題意，恒成立，取，，則成等差數列且均為整數，故是“整數等差函數”．對于，直線的斜率，因為，所以曲線在點處的切線斜率為，由題意，若，則，令，，則恒成立，所以在上單調遞減，所以，即在上恒成立，即恒成立，所以無解，故不是“整數等差函數”．（2）因為“整數等差函數”，所以成等差數列且均為整數，設公差為，則，且，直線的斜率，因為，所以曲線在點處的切線斜率為，由題意，，因為，，所以，又的定義域為，有，則，可取使等號成立，故的最小值為．（3）充分性，因為為常值函數，所以，任意取等差數列，則直線的斜率，曲線在點處的切線斜率為，因為，所以為“等差函數”．必要性，因為為“等差函數”，所以成等差數列，設公差為，則，直線的斜率，曲線在點處的切線斜率為，由題意，,，令，則，令，則，因為在上為增函數，所以，在上為增函數，因為，所以，在上為增函數，因為，所以在上恒成立，又，由的單調性知，故，，，為常數，，，，接下來，一方面，因為，且在上為增函數，所以在上為增函數，故，，由，可得，另一方面，因為，所以，可得，以此類推，在上恒成立，即為常值函數．命題得證！上海浦東新區2025屆高三二模數學試卷一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題．考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得零分．1.不等式的解為____________．【答案】【解析】不等式化為，解得，∴不等式的解集為，故答案為．2.已知向量，若，則______．【答案】-2【解析】因為，所以，得，解得，故答案為：-23.設圓方程為，則圓的半徑為____________．【答案】【解析】將圓方程化為標準方程可得，故圓的半徑為.故答案為：.4.若，則函數的最小正周期為____________．【答案】【解析】，故最小正周期為.故答案為：5.若關于的方程的一個虛根的模為，則實數的值為____________．【答案】4【解析】設關于的方程的兩根虛根為，則且，所以，又，所以，當時，，所以關于的方程有兩個不相等實數根，不符合題意；當時，，所以關于的方程有兩個虛根，符合題意；所以.故答案為：6.設數列為等差數列，其前項和為，已知，則____________．【答案】【解析】因為，所以.故答案為：7.在的展開式中，常數項為__________.【答案】-252【解析】根據二項式定理，第r+1項為，由于是常數，，r=5，其常數項系數為=-252.，故答案為：-252.8.設為拋物線上任意一點，若的最小值為，則的值為____________．【答案】【解析】因為為拋物線上任意一點，所以，，所以，所以當時取得最小值，依題意可得，所以.故答案為：9.李老師在整理建模小組10名學生的成績時不小心遺失了一位學生的成績，且剩余學生的成績數據如下：566777899，但李老師記得這名學生的成績恰好是本組學生成績的第25百分位數，則這10名學生的成績的方差為____________．【答案】【解析】，則該學生的成績為從小到大排列的第個，故該生的成績為，則這10名學生的成績的平均數為，方差為故答案為：10.如圖，某建筑物垂直于地面，從地面點處測得建筑物頂部的仰角為，從地面點處測得建筑物頂部的仰角為，已知相距100米，，則該建筑物高度約為__________米．（保留一位小數）【答案】66.4【解析】在中，已知從地面點處測得建筑物頂部的仰角為，即.因為，所以.在中，從地面點處測得建筑物頂部的仰角為，即.因為，且，所以.在中，已知米，.根據余弦定理，將，代入可得：，即可得.則.故答案為：66.4.11.已知為空間中三個單位向量，且，若向量滿足，，則向量與向量夾角的最小值為__________．（用反三角表示）【答案】【解析】可設，設，則，所以，兩式相減可得：，再代入第一個式子，可得：設向量與向量夾角為，則，易知對于當即取得最大值，此時取得最大值，即的最大值為，時取得，再由余弦函數的單調性可知的最小值為，故答案為：12.已知數列，，并且前項的和滿足：①存在小于的正整數，使得；②對任意的正整數和，都有．則滿足以上條件的數列共有__________個．【答案】【解析】因為，，可知的奇偶性與的奇偶性一致，對于①：存在小于的正整數，使得，對于②：對任意的正整數和，都有，可知為奇數，即，令，則，可得或；令，則，可得或；綜上所述：對任意的正整數，.且，可得，，即確定，不相等，有2種可能，此時，條件②滿足，對于數列可知：均有2種可能，則滿足條件的數列共有個，又因為存在小于的正整數，使得，可知對任意，不成立，即這種情況不符合題意，綜上所述：符合題意的數列共有個.故答案為：.二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案．考生必須在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，13-14題每題選對得4分，15-16題每題選對得5分，否則一律得零分．13.已知集合，集合，全集為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，可得可得：，所以，故選：D14.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為在上是增函數，故由可得；取，，此時滿足，但是不滿足，綜上，“”是“”的必要不充分條件．故選：B15.研究變量，得到一組成對數據，先進行一次線性回歸分析，接著增加一個數據，其中，，再重新進行一次線性回歸分析，則下列說法正確的是（）A.變量與變量的相關性變強 B.相關系數的絕對值變小C.線性回歸方程不變 D.擬合誤差變大【答案】C【解析】設變量，的平均數分別為，，則，，即，，可知新數據的樣本中心點不變，仍為，對于AB：可得，同理可得，則相關系數，可知相關系數的值不變，變量與變量的相關性不變，故AB錯誤；對于C：因為，且線性回歸方程過樣本中心點，即均不變，所以線性回歸方程不變，故C正確；因為即為樣本中心點，即，可知殘差平方和不變，所以擬合誤差不變，故D錯誤；故選：C.16.已知圓錐曲線的對稱中心為原點，若對于上的任意一點，均存在上兩點，，使得原點到直線，和的距離都相等，則稱曲線為“完美曲線”．現有如下兩個命題：①任意橢圓都是“完美曲線”；②存在雙曲線是“完美曲線”．下列判斷正確的是（）A.①是真命題，②是假命題 B.①是假命題，②是真命題C.①②都是真命題 D.①②都是假命題【答案】A【解析】判斷命題①：已知過橢圓上任意一點作以原點為圓心的圓的切線，分別交橢圓于，兩點，連接.根據直線與圓的位置關系，當與圓相切時，滿足給定條件.當與圓相交時，因為圓的圓心是固定的原點，我們可以通過縮小圓的半徑，使得圓逐漸靠近，直到與圓相切；同理，當與圓相離時，擴大圓的半徑，也能使圓靠近直至相切.所以從直線與圓位置關系的動態調整角度可知，一定能找到合適的圓半徑使得與圓相切，故①正確.判斷命題②：當在雙曲線頂點時，過作圓的切線，交雙曲線于另外兩點，.由雙曲線的性質可知，雙曲線在頂點附近的形狀特點決定了，過頂點作圓的切線與雙曲線相交得到的線段，其整體位置與以原點為圓心的圓是相離的.這是因為雙曲線的漸近線性質以及頂點處的曲線走向，使得從頂點出發的切線與雙曲線相交形成的線段不會與圓相切，所以②不正確.故選：A.三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題卷的相應編號規定區域內寫出必要的步驟．17.已知函數的表達式．（1）若函數是奇函數，求實數的值；（2）對任意實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）因為函數是奇函數，的定義域關于原點對稱，由，則，所以.（2）對任意實數，不等式恒成立，即，設，對任意實數且因為，所以，所以所以函數在上單調遞減；，所以.18.如圖，四邊形為長方形，平面，，．（1）若分別是的中點，求證：∥平面；（2）邊上是否存在點，使得直線與平面所成的角的大小為？若存在，求長；若不存在，說明理由．（1）證明：法一：取中點，連接、，∵，，∴，∵，，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，在平面外，∴平面法二：如圖建立空間直角坐標，則，，，，，，∴，易知平面的一個法向量∵，且在平面外∴平面（2）解：法一：作，垂足為，連接，∵平面，在平面內，∴，又為平面內兩條相交直線，∴平面，∴直線與平面所成的角為，∴，∴，∴，∴邊上存在點，使得直線與平面所成的角為，.法二：設，則，∴，易知平面的一個法向量，設與的夾角為，則，解得：，∴邊上存在點，使得直線與平面所成的角為，.19.為測試、兩款人工智能軟件解答數學問題的能力，將道難度相當的數學試題從到編號后隨機分配給這兩款軟件測試．每道試題只被一款軟件解答一次，并記錄結果如下：試題類別軟件軟件測試試題數量正確解答的數量測試試題數量正確解答的數量幾何試題函數試題（1）分別估計軟件、軟件能正確解答數學問題的概率；（2）小浦準備用這兩款軟件來解決某次數學測試中第題（假設其難度和測試的道題基本相同），但該題內容還未知，從已往情況來看，該題是幾何題的概率為，是函數題的概率為．將頻率視為概率，試通過計算來說明小浦應該用哪款軟件解決這道試題？（3）小浦決定采用這兩款軟件解答道類似試題，其中幾何、函數各道，每道試題只用其中一款軟件解答一次．將頻率視為概率，小浦比較了這兩款軟件在解答幾何和函數題上的正確率，決定用表現較好的那款軟件解決其擅長的題型．用、分別表示這道幾何試題與道函數試題被正確解答的個數，求隨機變量的數學期望和方差．解：（1）記、軟件能正確解答數學問題的概率為和，結合題中數據以及古典概型的概率公式可得，.（2）記“軟件能正確解答這道題”為事件，“軟件能正確解答這道題”為事件，“該題為幾何題”為事件.則，，，，，，由全概率公式可得..因為，所以軟件能夠正確解決這道試題的概率更大，故小浦應該使用軟件來解決這道試題.（3）幾何試題用軟件解答，函數試題用軟件解答.因為，，由二項分布的期望公式可得，，由二項分布的方差公式可得，，因為、相互獨立，則，.20.已知橢圓的方程為，右頂點為，上頂點為，橢圓的中心位于坐標原點，兩個橢圓的離心率相等．（1）若橢圓的方程是，焦點在軸上，求的值；（2）設橢圓的焦點在軸上，直線與相交于點、，若，求的標準方程；（3）設橢圓的焦點在軸上，點在上，點在上．