高級中學名校試題PAGEPAGE1江西省九江市2025屆高三第二次高考模擬統一考試數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由得或，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2.已知復數滿足，則的虛部為（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】的虛部為，故選：C.3.等差數列中，已知，則的前10項和等于（）A.36 B.30 C.20 D.18【答案】B【解析】由等差數列得，故，即，故選：B.4.植物的根是吸收水分和礦物養分的主要器官.已知在一定范圍內，小麥對氮元素的吸收量與它的根長度具有線性相關關系.某盆栽小麥實驗中，在確保土壤肥力及灌溉條件相對穩定的情況下，統計了根長度（單位：）與氮元素吸收量（單位：天）的相關數據，如下表所示：9.912.114.818.219.921.825.127.730.432.10.300.340.420.500.550.600.710.740.780.86根據表中數據可得及線性回歸方程為，則（）A.B.變量與的相關系數C.在一定范圍內，小麥的根長度每增加，它一天的氮元素吸收量平均增加D.若對小麥的根長度與鉀元素吸收量的相關數據進行統計，則對應回歸方程不變【答案】C【解析】由線性回歸方程過樣本中心點知，，故A錯誤；小麥對氮元素的吸收量與它的根長度具有正相關關系，故相關系數，故B錯誤；由線性回歸方程可得，在一定范圍內，小麥的根長度每增加，它一天的氮元素吸收量平均增加，故C正確；若研究小麥的根長度與鉀元素吸收量的相關關系，回歸方程可能發生改變，故D錯誤.故選：C.5.已知點在橢圓上，點在圓上.若最大值等于橢圓的焦距，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，，所以，.故選：D.6.已知是定義在上周期為2的偶函數，且當時，.設，，則的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，且在[0，1]上單調遞減，因，所以，故選:B.7.已知球與正三棱柱的各個面均相切，記平面截球所得截面的面積為，球的表面積為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，設球的半徑為球與正三棱柱的各個面均相切正三棱柱的高為，底面邊長為.設正三棱柱上，下底面的中心分別是是的中點，連接交于，則到平面的距離.又.所得截面圓半徑，故選：A.8.窗花是中國傳統剪紙藝術的重要分支，主要用于節日或喜慶場合的窗戶裝飾，尤以春節最為常見，它以紅紙為材料，通過剪、刻等技法創作出精美圖案，圖案講究構圖對稱、虛實相生.2025年春節，小明同學利用軟件為家里制作了一幅窗花圖案（如圖），其外輪廓為方程所表示的曲線.設圖案的中心為為曲線上的最高點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，設為原點，我們可以把放入平面直角坐標系中，連接，再利用曲線的對稱性，我們不妨設，因為，所以，我們把視為以為主元的一元二次方程，故，解得，即，代入，解得，此時，此時由兩點間距離公式得，故D正確.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若函數對任意的，都有，則（）A.B.在上單調遞減C.為奇函數D.的最小正周期為【答案】AD【解析】依題意知，是的最小值，故，解得，故A正確；由，得.由，得在[上單調遞增，在上單調遞增，故B錯誤；為偶函數，故C錯誤；，故D正確.故選：AD.10.若數列滿足，數列的前項積等于數列的前項和，則（）A.是等比數列B.等比數列C.是遞減數列D.當時，【答案】ABD【解析】對A：由，得，且，故是首項為2，公比為2的等比數列，故A正確；對B：由上可知，，即，故是等比數列，B正確；對C：設的前項積為的前項和為，當時，；當時，單調遞減，而，，故C錯誤；對D：當時，，，故D正確.故選：ABD.11.如圖，三棱錐中，平面，為其表面上一點，與四個頂點的距離分別為，則下列命題正確的是（）A.若，則點不存在B.若，則點存在且唯一C.若，則的最小值為1D.的最小值為【答案】ACD【解析】設的外心為，因，則若點存在，則必在過且與平面垂直的直線上，而該直線與三棱錐表面交于點，當重合時，，不滿足題意；當重合時，，不滿足題意.故點不存在，故A正確；因，則為線段的中垂面與線段的中垂面的交線與表面的交點，如圖，有兩個點，故B錯誤；若點在面上，，故點在以為焦點，為長軸長的橢圓上，即.而，故點在橢圓內，在空間中將該橢圓繞旋轉一周得到橢球面，則橢球面上任一點都，而，故點在橢球面外，因此與橢球面必有交點，根據兩點之間線段距離最短，故的最小值為1，故C正確；如圖建立空間直角坐標系，則，設，則.①若點在坐標平面上，由對稱性，不妨設平面，則，，此時，當且僅當時取等號；②若點平面，平面的法向量為，由得，且，消去整理得因，則，當且僅當時取等號.綜上，，故D正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式中第4項的系數是__________.【答案】【解析】展開式的通項為，所以的展開式中第4項系數是.故答案為：.13.如圖，已知拋物線的焦點為為上兩點，軸，為正三角形，則__________.【答案】【解析】延長交拋物線于點.解法一：由題意得，則直線，聯立方程組整理得，解得.，.解法二：，由拋物線的對稱性得，.故答案為：214.已知函數恰好有3個零點，則實數的取值范圍是__________.【答案】【解析】解法一：.，的零點等價于函數的零點.又函數定義域為，且是上的奇函數，只需要考慮在上有一個零點即可.又函數在上單調遞增，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，的值域是.當時，，此時在上單調遞增，，無零點，不符合題意；當時，，此時在上單調遞減，，無零點，不符合題意；當時，由零點存在性定理知，必存在唯一的正數，使.當時，，此時在上單調遞增，，；當時，，此時在上單調遞減；又，，，，在上存在唯一零點，符合題意.綜上所述，實數的取值范圍是.解法二：，是的一個零點.當時，由，得，令，.函數定義域為，為上偶函數.則問題轉化為直線與函數的圖象在上有一個交點.由，可得，設，則.在上單調遞增，則，即當時，，在上單調遞減.又，，在上的值域為，故，即，故實數的取值范圍是.解法三：令，得，設.，.函數的定義域為，且；函數的定義域為，且，與都是上的奇函數，則問題轉化為函數與在上恰有一個交點.又函數在上單調遞增，.又，，單調遞減，又，作出函數與直線的圖象，，即，故實數的取值范圍是.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.甲、乙、丙三人各自獨立投籃，甲和乙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是.（1）請問三人中哪一位投籃水平較高？并說明理由；（2）現將投籃水平較低的兩人組成一組（記為），與投籃水平較高的人（記為組）進行投籃比賽，甲、乙、丙各自獨立投籃次，且每次投籃的結果互不影響，投中次數較多的一組獲勝，求組獲勝的概率.解：（1）丙投籃水平較高，理由如下：設甲、乙、丙三人各自獨立投籃投中的概率分別為、、.依題意，得，解得，因為，所以，丙投籃水平較高.（2）記組投中次數為，組投中次數為，由（1）知，，若組獲勝，則，或，或，，所以，，，.故組獲勝的概率為.16.如圖，在三棱錐中，平面平面平面，且.（1）證明：平面；（2）若三棱錐的外接球半徑為，求二面角的余弦值.（1）證明：過點作，垂足為平面平面，平面平面平面，又平面平面平面.又平面平面.（2）解：平面，又平面，三棱錐的外接球球心為中點，如圖，以為坐標原點，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.，.設平面的一個法向量為，則令，則，故易得平面的一個法向量為，則故二面角的余弦值為.17.如圖，中，角所對的邊分別為為邊上一點，，記.（1）若，求證：；（2）若，求的值.（1）證明：，又為等腰直角三角形，，在中，由余弦定理得，又.（2）解：，又在中，由正弦定理，得，即即，，解得，18.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）是否存在常數，使的圖象關于直線對稱？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；（3）若，函數在上單調遞增，求的取值集合.（參考數據：）解：（1）當時，，得曲線在點處的切線方程為，即（2）的定義域是，且的圖象關于直線對稱，對任意的成立，即，化簡整理得，解得.即存在，使的圖象關于直線對稱.（3）設，則.在上單調遞增，對任意的恒成立，即，且.當時，，即在上單調遞增，.由，得.②當時，當時，單調遞減；當時，單調遞增，設，易知在上單調遞減.存在唯一的，使.當時，單調遞增，；當時，單調遞減存在唯一的，使.令，解得由①②，得的取值集合為.19.在平面直角坐標系中，把一個圖形繞定點旋轉一個定角的圖形變換叫作旋轉變換.定點叫作旋轉中心，定角叫作旋轉角（規定逆時針方向為正）.如果圖形上的點經過旋轉變為點，那么這兩個點叫作這個旋轉變換的對應點.現將曲線繞順時針旋轉后，得到新曲線，其變換關系為，點在曲線上.（1）求曲線的方程并確定點的位置；（2）點的坐標為，按照如下方式依次構造點：過點作斜率為2的直線交于另一點，設是點關于軸的對稱點.記的坐標為.（i）求數列的前項和；（ii）記為直線與直線的交點，為直線與直線的交點，為直線與直線的交點，證明：在定直線上.解：（1）依題意，得即，故曲線方程為.點在曲線上，，故曲線方程為由對稱性可知，點為坐標原點（2）（i）依題意，得，得①，又直線的斜率為2且，②.將②代入①中，得③，將②和③相加，得，從而是首項為1，公比為的等比數列，.（ii）點在定直線上.證明如下：，直線的方程為，令，得.直線的方程為，直線的方程為，聯立解得.直線的方程為，直線的方程為，聯立解得.直線的方程為，令，得，直線與直線的交點坐標為，故點在定直線上.江西省九江市2025屆高三第二次高考模擬統一考試數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由得或，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2.已知復數滿足，則的虛部為（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】的虛部為，故選：C.3.等差數列中，已知，則的前10項和等于（）A.36 B.30 C.20 D.18【答案】B【解析】由等差數列得，故，即，故選：B.4.植物的根是吸收水分和礦物養分的主要器官.已知在一定范圍內，小麥對氮元素的吸收量與它的根長度具有線性相關關系.某盆栽小麥實驗中，在確保土壤肥力及灌溉條件相對穩定的情況下，統計了根長度（單位：）與氮元素吸收量（單位：天）的相關數據，如下表所示：9.912.114.818.219.921.825.127.730.432.10.300.340.420.500.550.600.710.740.780.86根據表中數據可得及線性回歸方程為，則（）A.B.變量與的相關系數C.在一定范圍內，小麥的根長度每增加，它一天的氮元素吸收量平均增加D.若對小麥的根長度與鉀元素吸收量的相關數據進行統計，則對應回歸方程不變【答案】C【解析】由線性回歸方程過樣本中心點知，，故A錯誤；小麥對氮元素的吸收量與它的根長度具有正相關關系，故相關系數，故B錯誤；由線性回歸方程可得，在一定范圍內，小麥的根長度每增加，它一天的氮元素吸收量平均增加，故C正確；若研究小麥的根長度與鉀元素吸收量的相關關系，回歸方程可能發生改變，故D錯誤.故選：C.5.已知點在橢圓上，點在圓上.若最大值等于橢圓的焦距，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，，所以，.故選：D.6.已知是定義在上周期為2的偶函數，且當時，.設，，則的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，且在[0，1]上單調遞減，因，所以，故選:B.7.已知球與正三棱柱的各個面均相切，記平面截球所得截面的面積為，球的表面積為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，設球的半徑為球與正三棱柱的各個面均相切正三棱柱的高為，底面邊長為.設正三棱柱上，下底面的中心分別是是的中點，連接交于，則到平面的距離.又.所得截面圓半徑，故選：A.8.窗花是中國傳統剪紙藝術的重要分支，主要用于節日或喜慶場合的窗戶裝飾，尤以春節最為常見，它以紅紙為材料，通過剪、刻等技法創作出精美圖案，圖案講究構圖對稱、虛實相生.2025年春節，小明同學利用軟件為家里制作了一幅窗花圖案（如圖），其外輪廓為方程所表示的曲線.設圖案的中心為為曲線上的最高點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，設為原點，我們可以把放入平面直角坐標系中，連接，再利用曲線的對稱性，我們不妨設，因為，所以，我們把視為以為主元的一元二次方程，故，解得，即，代入，解得，此時，此時由兩點間距離公式得，故D正確.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若函數對任意的，都有，則（）A.B.在上單調遞減C.為奇函數D.的最小正周期為【答案】AD【解析】依題意知，是的最小值，故，解得，故A正確；由，得.由，得在[上單調遞增，在上單調遞增，故B錯誤；為偶函數，故C錯誤；，故D正確.故選：AD.10.若數列滿足，數列的前項積等于數列的前項和，則（）A.是等比數列B.等比數列C.是遞減數列D.當時，【答案】ABD【解析】對A：由，得，且，故是首項為2，公比為2的等比數列，故A正確；對B：由上可知，，即，故是等比數列，B正確；對C：設的前項積為的前項和為，當時，；當時，單調遞減，而，，故C錯誤；對D：當時，，，故D正確.故選：ABD.11.如圖，三棱錐中，平面，為其表面上一點，與四個頂點的距離分別為，則下列命題正確的是（）A.若，則點不存在B.若，則點存在且唯一C.若，則的最小值為1D.的最小值為【答案】ACD【解析】設的外心為，因，則若點存在，則必在過且與平面垂直的直線上，而該直線與三棱錐表面交于點，當重合時，，不滿足題意；當重合時，，不滿足題意.故點不存在，故A正確；因，則為線段的中垂面與線段的中垂面的交線與表面的交點，如圖，有兩個點，故B錯誤；若點在面上，，故點在以為焦點，為長軸長的橢圓上，即.而，故點在橢圓內，在空間中將該橢圓繞旋轉一周得到橢球面，則橢球面上任一點都，而，故點在橢球面外，因此與橢球面必有交點，根據兩點之間線段距離最短，故的最小值為1，故C正確；如圖建立空間直角坐標系，則，設，則.①若點在坐標平面上，由對稱性，不妨設平面，則，，此時，當且僅當時取等號；②若點平面，平面的法向量為，由得，且，消去整理得因，則，當且僅當時取等號.綜上，，故D正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式中第4項的系數是__________.【答案】【解析】展開式的通項為，所以的展開式中第4項系數是.故答案為：.13.如圖，已知拋物線的焦點為為上兩點，軸，為正三角形，則__________.【答案】【解析】延長交拋物線于點.解法一：由題意得，則直線，聯立方程組整理得，解得.，.解法二：，由拋物線的對稱性得，.故答案為：214.已知函數恰好有3個零點，則實數的取值范圍是__________.【答案】【解析】解法一：.，的零點等價于函數的零點.又函數定義域為，且是上的奇函數，只需要考慮在上有一個零點即可.又函數在上單調遞增，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，的值域是.當時，，此時在上單調遞增，，無零點，不符合題意；當時，，此時在上單調遞減，，無零點，不符合題意；當時，由零點存在性定理知，必存在唯一的正數，使.當時，，此時在上單調遞增，，；當時，，此時在上單調遞減；又，，，，在上存在唯一零點，符合題意.綜上所述，實數的取值范圍是.解法二：，是的一個零點.當時，由，得，令，.函數定義域為，為上偶函數.則問題轉化為直線與函數的圖象在上有一個交點.由，可得，設，則.在上單調遞增，則，即當時，，在上單調遞減.又，，在上的值域為，故，即，故實數的取值范圍是.解法三：令，得，設.，.函數的定義域為，且；函數的定義域為，且，與都是上的奇函數，則問題轉化為函數與在上恰有一個交點.又函數在上單調遞增，.又，，單調遞減，又，作出函數與直線的圖象，，即，故實數的取值范圍是.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.甲、乙、丙三人各自獨立投籃，甲和乙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是.（1）請問三人中哪一位投籃水平較高？并說明理由；（2）現將投籃水平較低的兩人組成一組（記為），與投籃水平較高的人（記為組）進行投籃比賽，甲、乙、丙各自獨立投籃次，且每次投籃的結果互不影響，投中次數較多的一組獲勝，求組獲勝的概率.解：（1）丙投籃水平較高，理由如下：設甲、乙、丙三人各自獨立投籃投中的概率分別為、、.依題意，得，解得，因為，所以，丙投籃水平較高.（2）記組投中次數為，組投中次數為，由（1）知，，若組獲勝，則，或，或，，所以，，，.故組獲勝的概率為.16.如圖，在三棱錐中，平面平面平面，且.（1）證明：平面；（2）若三棱錐的外接球半徑為，求二面角的余弦值.（1）證明：過點作，垂足為平面平面，平面平面平面，又平面平面平面.又平面平面.（2）解：平面，又平面，三棱錐的外接球球心為中點，如圖，以為坐標原點，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.，.設平面的一個法向量為，則令，則，故易得平面的一個法向量為，則故二面角的余弦值為.17.如圖，