期末重難點真題特訓之易錯必刷題型（92題23個考點）專練【精選2023年最新考試題型專訓】易錯必刷題一、二次函數1．（2023上·河南周口·九年級統考期末）下列函數中是二次函數的是（

）A． B．C． D．2．（2022上·山東煙臺·九年級統考期中）若是關于x的二次函數，則m的值是．3．（2022上·九年級課時練習）已知函數y=（a+1）+（a﹣2）x（a為常數），求a的值：(1)函數為二次函數；(2)函數為一次函數．4．（2022·浙江杭州·模擬預測）已知：二次函數的圖象經過點．(1)求的值；(2)設、、均在該函數圖象上，①當時，、、能否作為同一個三角形三邊的長？請說明理由；②當取不小于5的任意實數時，、、一定能作為同一個三角形三邊的長，請說明理由．易錯必刷題二、二次函數的圖象1．（2023上·浙江衢州·九年級統考期中）拋物線，當時，的最大值與最小值的差為，則的值為（

）A．1 B． C．或 D．或2．（2023上·浙江衢州·九年級校考階段練習）已知二次函數，當a取不同的值時，頂點在一條直線上，這條直線的表達式是．拋物線與y軸交點為C，當時，C點經過的路徑長為．3．（2023上·安徽滁州·九年級校聯考期末）設二次函數，的圖像的頂點坐標分別為，．若，，且開口方向相同，則稱是的“反倍頂二次函數”．(1)請寫出二次函數的“反倍頂二次函數”；(2)已知關于的二次函數和二次函數．若函數恰是的“反倍頂二次函數”，求的值．4．（2021上·江西南昌·九年級統考期中）如圖，在正方形中，已知：點A，點B在拋物線上，點C，點D在x軸上．(1)求點A的坐標；(2)連接交拋物線于點P，求點P的坐標．易錯必刷題三、二次函數的性質1．（2023上·浙江杭州·九年級校聯考階段練習）如圖，拋物線與軸交于點，點的橫坐標1，點，點是該拋物線上一點，則下列結論：①拋物線的對稱軸是直線；②；③若，則；④若，則或．其中正確的有（

）A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④2．（2023上·浙江溫州·九年級校考期中）已知二次函數，在有最大值7，則所有滿足條件的實數的值為．3．（2023上·浙江杭州·九年級校考階段練習）在平面直角坐標系中，拋物線，(1)當時，求拋物線與x軸交點坐標；(2)求拋物線的對稱軸，以及頂點縱坐標的最大值；(3)若點，點在拋物線上，且．求n的取值范圍．4．（2023上·浙江杭州·九年級校考階段練習）【問題初探】（1）綜合與實踐數學活動課上，張老師給出了一個問題：已知二次函數，當時，y的取值范圍為；

①小偉同學經過分析后，將原二次函數配方成形式，確定拋物線對稱軸為直線，通過、h和2的大小關系，分別確定了最大值和最小值，進而求出y的取值范圍；②小軍同學畫出如圖的函數圖象，通過觀察圖象確定了y的取值范圍；請你根據上述兩名同學的分析寫出y的取值范圍是；【類比分析】（2）張老師發現兩名同學分別從“數”和“形”的角度分析、解決問題，為了讓同學們更好感悟“數形結合”思想，張老師將前面問題變式為下面問題，請你解答：已知二次函數，當時，求y的取值范圍；【學以致用】（3）已知二次函數，當時，二次函數的最大值為，最小值為，若，求a的值．易錯必刷題四、二次函數的應用1．（2023上·浙江溫州·九年級校聯考階段練習）如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，在第三象限的拋物線上有一動點，連接、，點在運動過程中，若面積最大時，則點的坐標（

）A． B． C． D．2．（2023上·浙江杭州·九年級校考期中）如圖，弘益中學老師趣味運動跳大繩游戲，繩甩到最高處時的形狀是拋物線型，搖繩的甲、乙兩名老師拿繩的手的間距為6米，到地面的距離與均為米，繩子甩到最高點C處時，最高點距地面的垂直距離為米．跳起來最高可達米的王老師站在距點O水平距離為m米處，若他能夠正常跳大繩（繩子甩到最高時超過他的頭頂），則m的取值范圍是.3．（2023上·浙江·九年級校聯考階段練習）近幾年，隨著網絡的發展，“網絡直播”已成為商家銷售商品的一種手段．某商家在直播間銷售一種進價為每件16元的商品時，經過市場調查發現，該商品每天銷售數量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數關系，部分數據如下表所示：銷售單價x／元…252627…每天銷售數量y／件…150140130…設銷售這種商品每天的利潤為W（元）(1)求每天銷售數量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；(2)要使每天銷售的利潤W達到1280元，求該商品的銷售單價；(3)當銷售單價不低于30元，且每天銷售量超過60件時，求W的最大值．4．（2023上·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數交x軸于點、，交y軸于點，在y軸上有一點，連接．(1)求二次函數的表達式；(2)若點D為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點，求面積的最大值；(3)拋物線對稱軸上是否存在點P，使為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有P點的坐標，若不存在，請說明理由．易錯必刷題五、事件的可能性1．（2023·浙江杭州·統考中考真題）一枚質地均勻的正方體骰子（六個面分別標有數字1，2，3，4，5，6），投擲5次，分別記錄每次骰子向上的一面出現的數字．根據下面的統計結果，能判斷記錄的這5個數字中一定沒有出現數字6的是（

）A．中位數是3，眾數是2 B．平均數是3，中位數是2C．平均數是3，方差是2 D．平均數是3，眾數是22．（2021下·江蘇無錫·八年級統考期末）在一個不透明的袋子中裝有個紅球、個白球和個黑球，這些球除顏色外都相同．從中任意摸出個球，摸到色的球的可能性最大．(填“紅”、“白”或“黑”)3．（2022上·九年級課時練習）世界杯決賽分成8個小組，每小組4個隊，小組進行單循環（每個隊都與該小組的其他隊比賽一場）比賽，選出2個隊進入16強，勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分．(1)求每小組共比賽多少場？(2)在小組比賽中，現有一隊得到6分，該隊出線是一個確定事件，還是不確定事件？4．（2022下·江蘇鎮江·八年級鎮江市外國語學校校考期中）數學課上，師生進行了摸球試驗：一只不透明的袋子中裝有編號分別為1、2、3、…、的小球（除編號外完全相同）：活動一：當時，從中隨機摸出一個球記錄編號后放回袋中并搖勻，再隨機摸出一個球記錄下編號后放回袋中并搖勻，重復上述操作，若事件：“記錄的編號中出現兩個相同的編號”是必然事件，則最少需摸______次．活動二：當時，從中隨機摸出一個球記錄編號后放回袋中并搖勻，再隨機摸出一個球記錄下編號后放回袋中并搖勻，重復上述操作．（1）若事件：“記錄的編號中出現兩個相同的編號”是必然事件，則最少需摸______次．（2）若事件：“記錄的編號中出現三個相同的編號”是必然事件，則最少需摸______次．活動三：在這只裝有編號分別為1、2、3、…、的小球（除編號外完全相同）的不透明的袋子中，從中隨機摸出一個球記錄編號后放回袋中并搖勻，再隨機摸出一個球記錄下編號后放回袋中并搖勻，重復上述操作，若事件：“記錄的編號中出現4個相同的編號”是必然事件至少需要摸100次，則袋中有多少個小球？易錯必刷題六、簡單事件的概率1．（2023上·浙江嘉興·九年級校聯考階段練習）若實數為不大于的非負整數，則使關于的分式方程的解為整數的概率為（）A． B． C． D．2．（2023·浙江·模擬預測）如圖，把一個轉盤分成四等份，依次標上數字1，2，3，4，若連續自由轉動轉盤兩次，指針指向的數字分別記作，把作為點的橫、縱坐標．則點在函數的圖象上的概率為．

3．（2023上·浙江臺州·九年級校考階段練習）隨著信息技術的迅猛發展，移動支付已成為除了現金之外的一種常見的支付方式．在一次購物中，徐老師和喻老師隨機從“微信”、“支付寶”、“銀行卡”三種支付方式中各選一種方式進行支付．(1)喻老師使用“微信”支付的概率為______；(2)求兩位老師恰好都選擇“支付寶”支付的概率．（請用畫樹狀圖或列表的方法寫出分析過程）4．（2023上·浙江·九年級校聯考階段練習）為提高學生的反詐意識，某學校組織學生參加了“反詐知識答題”活動．該校隨機抽取部分學生答題成績進行統計，將成績分為四個等級：A（不合格），B（一般），C（良好），D（優秀），并根據結果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統計圖．根據圖中所給信息解答下列問題：(1)這次抽樣調查共抽取______人，其中成績為一般的學生人數______人；(2)將條形統計圖補充完整；(3)學校要從答題成績為D的甲、乙、丙、丁四名學生中，隨機抽出兩名學生去參加市里組織的“反詐小達人”比賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽出的兩名學生恰好是甲和乙的概率．易錯必刷題七、用頻率估計概率1．（2023上·浙江·九年級專題練習）某射擊運動員在同一條件下射擊，結果如表所示：根據頻率的穩定性，這名運動員射擊一次擊中靶心的概率約是（）射擊總次數n1020501002005001000擊中靶心的次數m8174079158390780擊中靶心的頻率A． B． C． D．2．（2023下·上海浦東新·九年級校考階段練習）一個不透明的盒子里裝有20個紅、黃兩種顏色的小球，這些小球除顏色外其他完全相同．每次摸球前先將盒子里的球搖勻任意摸出1個球記下顏色后再放回盒子．通過大量重復摸球實驗后發現，摸到黃球的頻率穩定在0.3，那么估計盒子中黃球有個3．（2023上·浙江·九年級專題練習）已知一個不透明布袋中裝有形狀、大小、材質完全相同的紅球和白球共5個，小明進行多次摸球試驗，并將數據記錄如下表：摸球次數10204060100150200紅球出現次數591826416181紅球出現的頻率0.50.450.450.4330.410.4070.405(1)從這個布袋中隨機摸出一個球，這個球恰好是紅球的概率為；(2)從這個布袋中隨機摸出兩個球，請用樹形圖或列表法求摸出的兩個球恰好“一紅一白”的概率．4．（2023上·浙江金華·九年級校考期中）某水果公司以9元/千克的成本從果園購進10000千克特級柑橘，在運輸過程中，有部分柑橘損壞，該公司對剛運到的特級柑橘進行隨機抽查，并得到如下的“柑橘損壞率”統計圖．由于市場調節，特級柑橘的售價與日銷售量之間有一定的變化規律，如下表是近一段時間該水果公司的銷售記錄．特級柑橘的售價(元/千克)1415161718特級柑橘的日銷售量(千克)1000950900850800

(1)估計購進的10000千克特級柑橘中完好的柑橘的總重量為________千克；(2)按此市場調節的規律來看，若特級柑橘的售價定為元每千克，估計日銷售量，并說明理由．(3)考慮到該水果公司的儲存條件，該公司打算12天內售完這批特級柑橘（只售完好的柑橘），且售價保持不變，求該公司每日銷售該特級柑橘可能達到的最大利潤，并說明理由．易錯必刷題八、概率的簡單應用1．（2022·浙江寧波·九年級浙江省鄞州區宋詔橋中學校聯考階段練習）有2個信封，第一個信封內的四張卡片上分別寫有1，2，3，4，第二個信封內的四張卡片上分別寫有5，6，7，8，甲、乙兩人商定了一個游戲，規則是：從這兩個信封中各隨機抽取一張卡片，得到兩個數．為了使大量次游戲后對雙方都公平，獲勝規則不正確的是（

）A．第一個信封內取出的數作為橫坐標，第二個信封內取出的數作為縱坐標，所確定的點在直線上甲獲勝，所確定的點在直線上乙獲勝B．取出的兩個數乘積不大于15甲獲勝，否則乙獲勝C．取出的兩個數乘積小于20時甲得3分，否則乙得6分，游戲結束后，累計得分高的人獲勝D．取出的兩個數相加，如果得到的和為奇數，則甲獲勝，否則乙獲勝2．（2022下·北京順義·七年級統考期末）如圖，有8張標記數字1-8的卡片．甲、乙兩人玩一個游戲，規則是：甲、乙兩人輪流從中取走卡片；每次可以取1張，也可以取2張，還可以取3張卡片（取2張或3張卡片時，卡片上標記的數字必須連續）；最后一個將卡片取完的人獲勝．若甲先取走標記2，3的卡片，乙又取走標記7，8的卡片，接著甲取走兩張卡片，則（填“甲”或“乙”）一定獲勝；若甲首次取走標記數字1，2，3的卡片，乙要保證一定獲勝，則乙首次取卡片的方案是．（只填一種方案即可）3．（2023上·浙江杭州·九年級浙江師范大學附屬杭州筧橋實驗中學校考期中）甲、乙兩人同在如圖所示的地下車庫等電梯，兩人到1至4層的任意一層出電梯，(1)請你用畫樹狀圖或列表法求出甲、乙二人在同一層樓出電梯的概率；(2)小亮和小芳打賭說：“若甲、乙在同一層或相鄰樓層出電梯，則小亮勝，否則小芳勝”．該游戲是否公平？說明理由．4．（2023上·浙江杭州·九年級統考期中）如圖是兩個轉盤，每個轉盤都被圓的半徑三等分，甲轉盤的三個扇形上標有數字2，4，6，乙轉盤的三個扇形上標有數字1，3，5，小明和小力分別轉動甲、乙轉盤，每入轉動一次，記錄轉盤停止后指針指向的數字，若指針指在分界線上則重轉．

(1)兩人分別轉動甲、乙轉盤后，可能出現的全部可能有哪些？請用列表或畫樹狀圖的方法表示．(2)若得到的兩數字之和是3的倍數，則小明贏；若得到的兩數字之和是7的倍數，則小力贏，此游戲公平嗎？為什么？易錯必刷題九、圓1．（2023上·浙江紹興·九年級統考期中）中，，點為的中點，以點為圓心，長為半徑畫，則點與的位置關系是（）A．點在內 B．點在上C．點在外 D．以上均不可能2．（2023上·浙江杭州·九年級杭州外國語學校校考階段練習）如圖，AB是半徑為2的的弦，點C是上的一個動點，若點M，N分別是AB，BC中點，則MN長的最大值是．

3．（2023上·浙江溫州·九年級統考期中）如圖在的方格中有一個格點（頂點都在格點上）．(1)在圖1中畫出格點外接圓的圓心，并保留作圖痕跡．(2)在圖2中找到一個格點，使得．4．（2021·浙江寧波·統考一模）如圖，在中，，以點為圓心，長為半徑作圓，交于點，交于點，連接．

(1)若，求的度數；(2)若，求的長．易錯必刷題十、圖形的旋轉1．（2023上·浙江·八年級專題練習）如圖，點，點B在y軸的正半軸上，，將繞原點O順時針旋轉后得到，當點恰好落在上時，點的坐標為（

）A． B． C． D．2．（2023上·浙江寧波·八年級校考期中）如圖三條直線互相平行，且與的距離為2，與的距離為4，等邊的三個頂點分別在三條平行線上，則等邊的面積為．3．（2023上·浙江臺州·九年級校考階段練習）如圖，在四邊形中，，是對角線，是等邊三角形．線段繞點C順時針旋轉得到線段，連接．(1)求證：；(2)若，，，求的長．4．（2019·福建龍巖·九年級福建省龍巖第一中學校考期中）閱讀下面材料，并解決問題：

(1)如圖1等邊內有一點，若點到頂點、、的距離分別為3，4，5，求的度數．為了解決本題，我們可以將繞頂點旋轉到處，此時≌，這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段、、轉化到一個三角形中，從而求出________；(2)基本運用請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題已知如圖2，中，，，，為上的點且，求證：；(3)能力提升如圖3，在中，，，，點為內一點，連接，，，且，求的值．易錯必刷題十一、垂徑定理1．（2023上·浙江紹興·九年級校聯考期中）紹興是著名的“橋鄉”，其中有一座美麗的圓弧形石拱橋——古纖道太平橋（如圖），已知橋拱的頂部C距水面的距離為，橋弧所在的圓的半徑為，則水面的寬度是（）A． B． C． D．2．（2023上·浙江寧波·九年級校考期中）如圖由5個邊長為1的小正方形組成的“L”形，圓O經過其頂點A、B、C，則圓O的半徑為．3．（2023上·浙江杭州·九年級校考期中）已知是的直徑，弦，垂足為，，，點在弧上，射線與射線相交于點．(1)求的半徑；(2)如圖，若時，求的長．4．（2023上·浙江杭州·九年級校考期中）根據素材解決問題．設計貨船通過圓形拱橋的方案素材1圖1中有一座圓拱石橋，圖2是其圓形橋拱的示意圖，查閱資料知道橋拱半徑為，測得水面寬

素材2如圖3，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形，測得因水深足夠，貨船可以根據需要運載貨物．據調查，船身下降的高度y（米）與貨船增加的載重量x（噸）滿足函數關系式

素材2問題解決任務1確定拱頂離水面的距離（C，D分別是弧和弦的中點）求的長任務2擬定設計方案根據圖3狀態，貨船能否通過圓形拱橋？若能，最多還能卸載多少噸貨物？若不能，至少要增加多少噸貨物才能通過？易錯必刷題十二、圓心角1．（2023下·內蒙古巴彥淖爾·九年級校考期中）如圖，是的兩條直徑，是劣弧的中點，若，則的度數是（

）

A． B． C． D．2．（2023上·九年級課時練習）如圖，是的弦，是的中點，交于點．

（1）若，則；（2）若，則．3．（2023上·浙江寧波·九年級校考期中）如圖，，是的兩條弦，點，分別在，上，且，是的中點．(1)求證：；(2)過作于點，當，時，求的半徑．4．（2022上·浙江杭州·九年級校聯考期中）如圖，在中，弦相交于點E，連接，已知．

(1)求證：；(2)如果的半徑為5，，求的長．易錯必刷題十三、圓周角1．（2023上·浙江杭州·九年級校聯考階段練習）如圖，是的直徑，，點是圓上不與重合的點，平分，交于平分，交于點．則以下說法：①點是的中點；②；③的最大值為18；④的最大值為．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023上·浙江溫州·九年級校考期中）如圖，在中，直徑交弦于點，點是的三等分點，連結交于點．若的半徑為，則的長為．3．（2023上·浙江寧波·九年級校考期中）如圖，是的直徑，弦于點H，點F為圓上一點且，連接，過點C作交AB于點G，交于點E．(1)求證：；(2)若，，求的直徑．4．（2023上·浙江·九年級專題練習）如圖，以為直徑的經過的頂點C，，分別平分和，的延長線交于點D，連接．(1)判斷的形狀，并證明你的結論；(2)若，，求的長．易錯必刷題十四、圓內接四邊形1．（2023上·浙江湖州·九年級統考階段練習）如圖，是的直徑，點C、D、E在上，若，，且，則為（）A． B．6 C． D．2．（2023上·浙江紹興·九年級紹興市元培中學校聯考期中）如圖，四邊形內接于，為的直徑，，，，則的長為．

3．（2023上·浙江杭州·九年級校考期中）如圖，在中，是上一點，經過點、、，交于點，過點作，交于點，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若是中點，證明是的直徑．4．（2019上·江蘇鹽城·九年級濱海縣第一初級中學校考階段練習）定義：有一個角是其對角一半的圓的內接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角．圖1

圖2

圖3(1)如圖1，若四邊形是圓美四邊形，求美角的度數．(2)在（1）的條件下，若的半徑為．①則的長是______．②如圖2，在四邊形中，若平分，求證：．(3)在（1）的條件下，如圖，若是的直徑，請用等式表示線段，，之間的數量關系，并說明理由．易錯必刷題十五、正多邊形1．（2023上·浙江嘉興·九年級校聯考期中）如圖，在圓內接正六邊形中，分別交于點，則的度數為（）A． B． C． D．2．（2023上·浙江杭州·九年級校考期中）已知正方形與正六邊形都內接于圓，若正方形邊長為，則．

3．（2020·湖北武漢·校聯考模擬預測）如圖，正方形內接于，E是的中點，連接．

(1)求證：；(2)若，求四邊形的面積．4．（2023下·浙江臺州·九年級校考期中）李老師帶領班級同學進行拓廣探索，通過此次探索讓同學們更深刻的了解的意義．(1)[定義]我們將正n邊形的周長L與正多邊形對應的內切圓的周長C的比值，稱作這個正n邊形的“正圓度”．如圖，正三角形的邊長為1，求得其內切圓的半徑為，因此___________；(2)[探索]分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”；(3)[總結]隨著n的增大，具有怎樣的規律，試通過計算，結合圓周率的誕生，簡要概括．易錯必刷題十六、弧長及扇形面積1．（2023上·浙江寧波·九年級校聯考階段練習）如圖，點O是半圓的圓心，是半圓的直徑，點在半圓上，且，，，則過點D作于點C，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．2．（2023上·浙江杭州·九年級統考期中）如圖，有一張四邊形紙片，已知，小麗和小明各做了如圖操作，則小麗所畫面積最大扇形的弧長是，小明所畫面積最大扇形的弧長是（結果保留）．3（2023上·浙江杭州·九年級校考階段練習）如圖，以的一邊為直徑作交于點，，與邊的交點恰好為的中點，連結．(1)求證：．(2)若，求弧的長．4．（2023上·浙江湖州·九年級統考階段練習）如圖，在中，，以腰為直徑畫半圓，分別交，于點D，E．(1)求證：；(2)若，，求陰影部分弓形的面積．易錯必刷題十七、比例線段1．（2021上·上海寶山·九年級統考期中）下列各組中的四條線段成比例的是（

）A． B．C． D．2．（2023上·陜西西安·九年級交大附中分校校考階段練習）鸚鵡螺是一類古老的軟體動物．鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是的黃金分割點（），若線段的長為10cm，則的長為cm．（結果保留根號）

3．（2023上·浙江金華·九年級校聯考階段練習）已知，判斷下列比例式是否成立，并說明理由．(1)．(2)．4（2023上·浙江金華·八年級統考階段練習）定義：如圖1，點、把線段分割成、和，若以、、為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點、是線段的勾股分割點．(1)已知點、是線段的勾股分割點，，，若，，則______．(2)如圖，在等腰直角中，，、為直線上兩點，滿足．①如圖2，點、在線段上，求證：點、是線段的勾股分割點；②如圖3，若點在線段上，點在線段的延長線上，，，求的長．易錯必刷題十八、由平行線截得的比例線段1．（2023上·浙江·九年級周測）如圖，中，，，，的平分線交于點D，與的垂線相交于點E，過點D作于點F，則為（

）A． B． C． D．2．（2023上·九年級課時練習）如圖中，、為的三等分點，為的中點，與、分別交于、，則．

83．（2022·浙江杭州·統考一模）如圖，在等邊三角形中，點，分別是邊，上的點，且，連接，交于點(1)求證：；(2)若，求的值；(3)若點P恰好落在以為直徑的圓上，求的值．4．（2023上·江蘇無錫·九年級文林中學校考階段練習）【教材呈現】下面是華師版教材九年級上冊52頁的部分內容：我們可以發現，當兩條直線與一組平行踐相交時，所截得的線段存在一定的比例關系：．這就是如下的基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所傅的對應線段成比例，（簡稱“平行錢分線段成比例“

【問題原型】如圖①，中，點為邊上的點，過點作交為邊于點，點在邊上，直線交于點，交于點．若，，，則．【結論應用】（1）如圖②，中，點在的延長線上，直線交于點交于點．求證：；（2）如圖③，中，，，，若、分別是邊、的中點，連接，點是邊上任意一點，連接、分別交于點、，則周長的最小值是．

易錯必刷題十九、相似三角形1．（2023上·江蘇徐州·九年級統考期末）如圖是一張矩形紙片，點E是中點，點F在上，把該紙片沿折疊，點A、B的對應點分別為、，與BC相交于點G，的延長線經過點C．若，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023上·河南駐馬店·九年級統考期末）如圖，在矩形中，，若分別是邊上的動點，且，與交于點，連接．則的最小值為．

3．（2023·浙江·一模）如圖，在的網格中，線段的端點都在格點上（兩條網格線的交點叫格點）．請用無刻度的直尺畫出符合要求的圖形，并保留畫圖痕跡（不要求寫畫法）．

(1)在圖1中畫出一個以為邊的，使頂點在格點上．(2)在圖2中的線段上找出一點，使．4．（2021上·浙江湖州·九年級統考期末）如圖，已知由邊長為1的小等邊三角形構成的網格中，每個小等邊三角形的頂點稱為格點，以格點為頂點的三角形叫格點三角形，為格點三角形，請僅用無刻度直尺在網格中完成下列畫圖．（1）畫出繞點順時針旋轉后得到的；（2）在邊上找一點，連結，使得的面積與的面積之比是2:1．（溫馨提示：請畫在答題卷相對應的圖上）易錯必刷題二十、兩個三角形相似的判定1、（2023上·河北邢臺·九年級邢臺市第七中學校聯考階段練習）在和中，已知，，如果從下列條件中增添一個條件，與仍不一定相似，那么這個條件是（

）A． B．C． D．2．（2023·黑龍江大慶·統考中考真題）在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動．有一張矩形紙片如圖所示，點在邊上，現將矩形折疊，折痕為，點對應的點記為點，若點恰好落在邊上，則圖中與一定相似的三角形是．

3．（2023上·浙江杭州·九年級校聯考階段練習）如圖，矩形中，，點是的中點，連接．將沿著折疊后得，延長交于，連接．(1)求證：平分．(2)求證：．4．（2023上·遼寧沈陽·九年級沈陽市第七中學校考階段練習）如圖，和都是的高，相交于F點，連接．

(1)求證：；(2)若點D是的中點，，則的長為__________．易錯必刷題二十一、相似三角形的性質及其應用1．（2023上·浙江寧波·九年級校考期中）如圖，在中，，，，點是的重心，則等于(

)A． B． C． D．42．（2023上·浙江寧波·九年級校考期中）如圖，是由20個邊長為1的正