專題02：整式的乘除（二）考點1：整式的乘法題型一：單項式乘以單項式例1.計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】見詳解【分析】（1）直接利用積的乘方與冪的乘方運算法則化簡，再合并同類項得出答案；（2）直接利用積的乘方與冪的乘方運算法則化簡，再合并同類項得出答案；（3）直接利用積的乘方與冪的乘方運算法則化簡，再合并同類項得出答案；（4）直接利用積的乘方與冪的乘方運算法則、同底數(shù)冪的乘法運算法則分別化簡，再合并同類項得出答案；【詳解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．【點睛】此題主要考查了積的乘方與冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法、合并同類項，正確運用相關運算法則是解題關鍵．【練習1】（1）計算：．【答案】【分析】根據(jù)單項式乘單項式法則：系數(shù)與系數(shù)相乘的積作為積的系數(shù)，相同字母底數(shù)不變，指數(shù)相加，單獨的字母不變，仍作為積的一個因式．根據(jù)法則運算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查單項式乘單項式，熟練掌握單項式乘單項式法則是解題的關鍵．（2）計算：．【答案】【分析】先利用冪的乘方和積的乘方運算法則計算乘方，然后再根據(jù)單項式乘單項式的運算法則計算乘法．【詳解】解：原式，故答案為：．【點睛】本題考查整式的混合運算，掌握冪的乘方，積的乘方運算法則是解題關鍵．【練習2】計算（1）（2）（3）（4）【答案】見詳解【分析】根據(jù)整式的運算法則即可求出答案．【詳解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；【點睛】本題考查整式的運算，解題的關鍵是熟練運用整式的運算法則，本題屬于基礎題型．題型二：單項式乘以多項式例2.計算：（1）（2）【答案】見詳解【分析】根據(jù)單項式乘多項式法則去括號，然后根據(jù)單項式乘以單項式法則進行計算即可．【詳解】解：（1）原式（2）原式【點睛】本題考查了單項式乘以多項式、單項式乘以單項式法則的熟練運用，解題時注意符號的確定．例3.化簡：（1）；（2）．【答案】見詳解【分析】（1）根據(jù)單項式乘多項式的運算法則計算；（2）根據(jù)單項式乘多項式、積的乘方法則計算．【詳解】解：（1）；（2）．【點睛】本題考查的是單項式乘多項式、冪的乘方與積的乘方，掌握它們的運算法則是解題的關鍵．【練習3】（1）計算：A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，進而得出答案．【詳解】解：．故選：．【點睛】此題主要考查了單項式乘多項式，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．（2）計算：．【答案】【分析】直接利用單項式乘多項式運算法則計算得出答案．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】此題主要考查了單項式乘多項式運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．（3）若三角形的底邊為，高為，則此三角形的面積為．【答案】【分析】直接利用三角形面積公式計算得出答案．【詳解】解：三角形的底邊為，高為，此三角形的面積為：．故答案為：．【點睛】此題主要考查了單項式乘以多項式，正確把握運算公式是解題關鍵．【練習4】（1）計算：【答案】見詳解【分析】直接利用單項式乘以多項式運算法則計算得出答案．【詳解】解：．【點睛】此題主要考查了單項式乘以多項式，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．（2）計算：．【答案】見詳解【分析】原式利用單項式乘多項式法則計算即可得到結果．【詳解】解：原式．【點睛】此題考查了單項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．（3）計算：．【答案】見詳解【分析】根據(jù)單項式乘多項式和冪的乘方與積的乘方法則分別進行計算即可得出答案．【詳解】解：．【點睛】此題考查了單項式乘多項式以及冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．題型三：多項式乘以多項式例4.（1）計算：．【答案】【分析】根據(jù)多項式乘多項式法則進行解答即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查多項式乘多項式，熟練掌握多項式乘多項式的法則是解題的關鍵．（2）計算：．【答案】【分析】利用多項式乘多項式的法則對所求的式子進行運算即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題主要考查多項式乘多項式，解答的關鍵是在運算中注意符號的變化．（3）計算：．【答案】見詳解【分析】根據(jù)整式的乘法運算以及加減運算法則即可求出答案．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查多項式乘多項式與單項式乘多項式，解題的關鍵熟練運用多項式乘多項式，單項式乘多項式運算法則，本題屬于基礎題型．（4）計算：．【答案】見詳解【分析】先去括號，然后再合并同類項．【詳解】解：．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，單項式乘以多項式，準確熟練的計算是解題的關鍵．【練習5】（1）乘積的計算結果是．【答案】【分析】利用多項式乘多項式的法則是進行運算即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題主要考查多項式乘多項式，解答的關鍵是在運算時注意符號的變化．（2）計算的結果為．【答案】【分析】利用多項式乘多項式的法則及去括號的法則對所求的式子進行運算即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題主要考查多項式乘多項式，去括號，解答的關鍵是去括號時注意符號的變化．（3）計算：．【答案】見詳解【分析】利用多項式乘多項式的法則，單項式乘多項式的法則進行運算即可．【詳解】解：．【點睛】本題主要考查多項式乘多項式，單項式乘多項式，解答的關鍵是去括號運算時注意符號的變化．（4）．【答案】見詳解【分析】根據(jù)多項式乘多項式和單項式乘多項式的法則進行計算，然后合并同類項即可得出答案．【詳解】解：．【點睛】此題考查了多項式乘多項式和單項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．題型四：含參問題中的求值運算例5.（1）已知與的積與是同類項，求A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】直接利用單項式乘單項式運算法則得出：，再利用同類項的定義得出，的值，即可得出答案．【詳解】解：，與的積與是同類項，，，解得：，，．故選：．【點睛】此題主要考查了單項式乘單項式，正確得出，的值是解題關鍵．（2）已知，則代數(shù)式的值為．【答案】6【分析】利用單項式乘多項式計算出結果為，再利用代入原式中求值即可．【詳解】解：原式故答案為6【點睛】本題主要考查了單項式乘多項式以及因式分解，難度較低，熟練掌握單項式乘多項式和因式分解的方法是解題的關鍵．（3）若的運算結果中，的系數(shù)為，那么的值是A．4 B． C．8 D．【答案】C【分析】先運用多項式的乘法法則進行計算，再根據(jù)運算結果中的系數(shù)是，列出關于的等式求解即可．【詳解】解：；運算結果中的系數(shù)是，，解得，故選：．【點睛】本題考查了多項式的乘法，解題的關鍵是運用運算結果中的系數(shù)是，列方程求解．【練習6】（1）若與的積是，則．【答案】8【分析】根據(jù)單項式乘單項式的乘法法則即可得到結論．【詳解】解：，，，，，，故答案為：8．【點睛】本題考查了單項式乘單項式，熟記法則是解題的關鍵．（2）若，則代數(shù)式．【答案】4【分析】根據(jù)單項式與多項式相乘的運算法則把原式化簡，代入計算即可．【詳解】解：，當時，原式，故答案為：4．【點睛】本題考查的是單項式乘多項式，單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．（3）若，則、的值分別為A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】已知等式左邊利用多項式乘多項式法則計算，利用多項式相等的條件求出與的值即可．【詳解】解：，，．故選：．【點睛】此題考查了多項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．題型五：“不含”、“無關”類問題例6．（1）若要使恒成立，則，的值分別是A．， B．2，2 C．2， D．，2【答案】C【分析】將已知等式左邊展開，再比較等式左右兩邊對應項系數(shù)即可．【詳解】解：恒成立，，，解得．故選：．【點睛】本題考查了整式混合運算的運用，等式恒成立，等式左右兩邊對應項系數(shù)相等是解題的關鍵．（2）若多項式和的乘積中不含和的項，求的值．【答案】見詳解【分析】利用多項式的乘法法則將兩個多項式的乘積展開，令項和項的系數(shù)為0，結論可得．【詳解】解：由題意：．乘積中不含和的項，，．，．．【點睛】本題主要考查了多項式乘以多項式，正確使用法則進行運算是解題的關鍵．【練習7】（1）如果多項式與多項式的乘積中不含的一次項，則的值為A． B． C．5 D．【答案】B【分析】先去括號，合并同類項，再根據(jù)多項式中不含有哪一項時，應讓這一項的系數(shù)為0，列方程，解得．【詳解】解：，多項式的乘積中不含的一次項，，；故選：．【點睛】本題主要考查了合并同類項、多項式乘多項式的運算，注意當要求多項式中不含有哪一項時，應讓這一項的系數(shù)為0．（2）若恒成立，求的值．【答案】見詳解【分析】根據(jù)單項式乘多項式的法則，可去括號，根據(jù)合并同類項，可化簡整式，根據(jù)整式相等，可得次數(shù)相等的項的系數(shù)相等，可得、、的值，根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案．【詳解】解：化簡，得．若恒成立，得，解得．當，，時，．【點睛】本題考查了單項式乘多項式，多項式相等恒成立得出次數(shù)相等的項的系數(shù)相等是解題關鍵．考點2：平方差公式題型一：直接運用平方差公式例7．（1）下列運算正確的是A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平方差公式逐一計算即可判斷．【詳解】解：、，錯誤；、，錯誤；、，正確；、，錯誤；故選：．【點睛】本題主要考查平方差公式，解題的關鍵是掌握平方差公式，并加以靈活運用．（2）．【答案】【分析】根據(jù)平方差公式計算即可．【詳解】解：原式．故答案為：．【點睛】本題考查平方差公式，找到原式中的相同項和相反項是求解本題的關鍵．（3）．【答案】【分析】利用平方差公式計算即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查了平方差公式的運用，熟記平方差公式是解題的關鍵．平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差，即．（4）計算的結果是．【答案】4【分析】利用平方差公式計算即可．【詳解】解：．故答案為：4．【點睛】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式的結構特點是解答本題的關鍵．（5）若，且，則．【答案】5【分析】將變形為，再代入計算即可．【詳解】解：，而，，故答案為：5．【點睛】本題考查平方差公式，掌握是正確應用的前提．【練習8】（1）下列各式中，能用平方差公式進行計算的是A． B． C． D．【答案】B【分析】運用平方差公式時，關鍵要找相同項和相反項，其結果是相同項的平方減去相反項的平方．【詳解】解：、不存在互為相反數(shù)的項，不能運用平方差公式計算，故此選項不符合題意；、是相同的項，互為相反項是與，符合平方差公式的要求，故此選項符合題意；、不存在相同的項，不能運用平方差公式計算，故此選項不符合題意；、不存在相同的項和相反數(shù)的項，不能運用平方差公式計算，故此選項不符合題意．故選：．【點睛】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵．（2）已知，，則．【答案】72【分析】利用平方差公式計算即可．【詳解】解：，，，故答案為：72．【點睛】本題考查了平方差，熟練掌握平方差公式的結構特征是解題的關鍵．（3）計算：．【答案】1【分析】根據(jù)平方差公式解決此題．【詳解】解：．【點睛】本題主要考查平方差公式的運用，熟練掌握平方差公式是解決本題的關鍵．（4）若，，則的值為A．5 B．2 C．10 D．無法計算【答案】A【分析】，即，把代入即可求得答案．【詳解】解：，，，．故選：．【點睛】本題考查了平方差公式，運用平方差公式計算時，關鍵要找相同項和相反項，其結果是相同項的平方減去相反項的平方．題型二：靈活運用平方差公式例8．（1）．【答案】見詳解【分析】把當成一個整體，利用兩數(shù)的和與這兩數(shù)的差的積，等于它們的平方差計算．【詳解】解：，．【點睛】本題主要考查平方差公式，把看成一個整體當作相反項是利用公式求解的關鍵．（2）【答案】見詳解【分析】原式前兩項利用平方差公式化簡，再利用平方差公式計算即可得到結果．【詳解】解：原式．【點睛】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵．例9．觀察下列各式：；；；；（1）用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：，；（2）用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行計算：．【答案】見詳解【分析】（1）先根據(jù)平方差公式進行變形，再求出答案即可；（2）先根據(jù)得出的規(guī)律展開，再根據(jù)有理數(shù)的乘法法則求出答案即可．【詳解】解：（1），，故答案為：，，，；（2）原式．【點睛】本題考查了平方差公式和數(shù)字的變化類，能根據(jù)計算結果得出規(guī)律是解此題的關鍵．【練習9】（1）已知，，求的值．【答案】見詳解【分析】原式利用平方差公式分解，變形后將已知等式代入計算即可求出值．【詳解】解：，，．【點睛】此題考查了平方差公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵．（2）．【答案】5050【分析】先分組，再利用平方差公式分解因式，最計算可得答案．【詳解】解：原式．故答案為：5050．【點睛】此題考查的是平方差公式及數(shù)字的變化規(guī)律，能夠對原式利用平方差公式進行變形是解決此題關鍵．【練習10】回答下列問題：（1）填空：；；．（2）猜想：．（其中為正整數(shù)，且；（3）利用（2）猜想的結論計算：①；②．【答案】見詳解【分析】（1）利用多項式乘以多項式法則計算即可得到結果；（2）歸納總結得到一般性規(guī)律，寫出即可；（3）利用得出的規(guī)律將原式變形，計算即可求出值．【詳解】解：（1）①；②；③；（2）猜想：；（3）①原式；②，故答案為：（1）；；；（2）．【點睛】此題考查了數(shù)字的規(guī)律和多項式乘以多項式，弄清題中的規(guī)律是解本題的關鍵．題型三：平方差公式的幾何意義例10．如圖1，邊長為的大正方形中有一個邊長為的小正方形，把圖1中的陰影部分裁剪拼成一個長方形（如圖2所示）．（1）如圖1，陰影部分的面積為；（2）如圖2，陰影部分（長方形）的寬為，長為，面積為；（3）比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到公式：；（4）請應用這個公式完成下列各題：①已知，，求的值；②計算：．【答案】見詳解【分析】（1）陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積；（2）長方形的面積等于長乘以寬；（3）根據(jù)陰影部分的面積相等得到公式；（4）①根據(jù)平方差公式展開，將整體代入求值即可；②將5寫成，然后連續(xù)使用平方差公式，化簡即可．【詳解】解：（1）大正方形的面積為，小正方形的面積為，陰影部分的面積為．故答案為：；（2）陰影部分的寬為，長為，面積為，故答案為：；；；（3）根據(jù)陰影部分面積相等得，故答案為：；（4）①，，；②原式．【點睛】本題考查了平方差公式，將5寫成，變成平方差公式的形式是解題的關鍵．【練習11】（1）育英學校四初二數(shù)學興趣小組的小桃桃同學提出這樣一個問題：如圖，從邊長為的正方形紙片中剪去一個邊長為的正方形，剩余部分沿虛線剪開，拼成一個長方形（不重疊無縫隙），你認為長方形的面積為．【答案】【分析】根據(jù)平方差公式進行計算即可．【詳解】解：拼成的長方形的面積為，故答案為：．【點睛】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結構特征是正確應用的前提．（2）如圖甲，在邊長為的正方形中挖去一個邊長為的小正方形，把余下的部分剪拼成一個矩形如圖乙，通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，則這個等式是A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求得兩幅圖形中陰影部分的面積，然后依據(jù)陰影部分的面積相等可得到答案．【詳解】解：圖甲的面積大正方形的面積空白處正方形的面積；圖乙中矩形的長，寬，圖乙的面積．所以．故選：．【點睛】本題主要考查的是平方差公式的幾何背景，依據(jù)兩個圖形中陰影部分面積相等求解是解題的關鍵．1．計算的結果是A． B． C． D．【答案】C【分析】利用單項式乘單項式的法則對所求的式子進行運算即可．【詳解】解：．故選：．【點睛】本題主要考查單項式乘單項式，解答的關鍵是對單項式乘單項式的法則的掌握與應用．2．若，則常數(shù)的值為A．8 B． C．4 D．【答案】C【分析】直接利用積的乘方運算法則以及單項式乘單項式運算法則，得出關于，的等式，進而求出答案．【詳解】解：，，，，解得：，故．故選：．【點睛】此題主要考查了積的乘方運算以及單項式乘單項式運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．3．計算的結果是A． B． C． D．【答案】D【分析】利用單項式乘多項式的運算法則進行求解即可．【詳解】解：．故選：．【點睛】本題主要考查單項式乘多項式，解答的關鍵是熟記單項式乘多項式的法則．4．已知，，，則代數(shù)式的值是A．5 B． C．6 D．【答案】C【分析】先利用整式的混合計算化簡，再代入數(shù)值解答即可．【詳解】解：，把，代入，故選：．【點睛】此題考查了整式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．5．如與的乘積中不含的一次項，則的值為A． B．3 C．0 D．1【答案】A【分析】先用多項式乘以多項式的運算法則展開求它們的積，并且把看作常數(shù)合并關于的同類項，令的系數(shù)為0，得出關于的方程，求出的值．【詳解】解：，又與的乘積中不含的一次項，，解得．故選：．【點睛】本題主要考查了多項式乘多項式的運算，根據(jù)乘積中不含哪一項，則哪一項的系數(shù)等于0列式是解題的關鍵．6．已知，，則的值是A．8 B．3 C． D．10【答案】C【分析】根據(jù)平方差公式解答即可．【詳解】解：，，．故選：．【點睛】本題主要考查了平方差公式，熟記公式是解答本題的關鍵．7．（1）計算：．【答案】【分析】直接利用積的乘方運算法則化簡，再利用單項式乘單項式計算得出答案．【詳解】解：原式．故答案為：．【點睛】此題主要考查了積的乘方運算、單項式乘單項式，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．（2）已知單項式與的積為，那么．【答案】【分析】將兩單項式相乘后利用待定系數(shù)即可取出與的值．【詳解】解：，，，故答案為：【點睛】本題考查單項式乘以單項式，解題的關鍵是熟練運用整式的乘法法則，本題屬于基礎題型．8.（1）計算：．【答案】【分析】用單項式去乘多項式的每一項，然后把所得的結果相加，即可得出答案．【詳解】解：=．故答案為：．【點睛】此題考查了單項式乘多項式，熟練掌握單項式乘多項式的運算法則是解題的關鍵．（2）已知，那么的值是．【答案】【分析】直接利用已知變形，進而代入原式求出答案．【詳解】解：，，．故答案為：．【點睛】此題主要考查了單項式乘以多項式，正確將原式變形是解題關鍵．9．若中，不含的三次項，則．【答案】1【分析】原式利用單項式乘以多項式法則計算，整理后根據(jù)結果不含的三次項，求出的值即可．【詳解】解：原式，由結果不含的三次項，得到，．故答案為：1．【點睛】此題考查了單項式乘多項式的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．10．若，則．【答案】4【分析】已知等式左邊利用多項式乘以多項式法則計算，利用多項式相等的條件求出與的值，即可確定出所求式子的值．【詳解】解：已知等式整理得：，可得，，解得：，，則原式．故答案為：4．【點睛】此題考查了多項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．11．（1）若，，則．【答案】3【分析】根據(jù)平方差公式得出，代入求出即可．【詳解】解：，，，，．故答案為：3．【點睛】本題考查了平方差公式．解題的關鍵是掌握平方差公式，能夠正確運用整體代入思想．平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差，即．（2）化簡：．【答案】【分析】根據(jù)平方差公式計算即可，平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查了多項式乘多項式，掌握平方差公式是解答本題的關鍵．12．計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】見詳解【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則進行計算，然后合并同類項即可；（2）根據(jù)積的乘方、同底數(shù)冪的乘法法則進行計算，然后合并同類項即可；（3）根據(jù)單項式乘單項式、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方法則進行計算，然后合并同類項即可；（4）根據(jù)單項式乘單項式、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方法則