2023-2024學年六年級數學下冊典型例題系列期中典例專練07：圓柱和圓錐應用題綜合“Ultra版”1．如圖所示，半圓柱的底面半徑是20厘米，高是35厘米，打結處用了18厘米的彩帶，包扎這樣一個禮盒需要多少彩帶？【答案】230.8厘米【分析】彩帶的長度＝2條高的長度＋4條半徑的長度＋圓的周長的一半＋打結處的長度，利用圓的周長公式：C＝，再除以2求出圓的周長的一半，把這些數據代入到數量關系中，即可求出包扎這樣一個禮盒需要多長的彩帶。【詳解】（厘米）答：包扎這樣一個禮盒需要230.8厘米的彩帶。【點睛】此題主要考查圓柱的特征以及靈活運用圓的周長公式。2．把底面半徑是6厘米，高10厘米的圓柱體切割成若干等分，拼成一個近似的長方體。（1）切拼前后體積是否發生變化？請說明理由。（2）切拼前后表面積是否發生變化？如果發生變化，請計算出增加或減少的數量。【答案】（1）體積不變，理由見詳解；（2）發生了變化；切拼后表面積比原來增加了120平方厘米【分析】（1）根據圓柱體積公式的推導過程可知，把圓柱切拼成一個近似長方體，拼成的長方體的底面積等于圓柱的底面積，拼成的長方體的高等于圓柱的高，雖然形狀變了，但是體積不變；（2）把圓柱切成若干等份，拼成一個近似的長方體后，表面積比原來的圓柱的表面積增加了兩個以圓柱的高為長和半徑為寬的長方形的面積，由此即可解答。【詳解】（1）根據圓柱的切割特點可知，切割后的體積不變。3.14×62×10＝3.14×36×10＝113.04×10＝1130.4（立方厘米）（2）表面積增加了兩個以圓柱的高和半徑為邊長的長方形的面積。6×10×2＝120（平方厘米）答：切拼后表面積比原來增加了120平方厘米。【點睛】抓住圓柱切成若干等份，拼成一個近似的長方體的方法，得出表面積中增加的是兩個以圓柱的高為長和半徑為寬的長方形的面積是解決此類問題的關鍵。3．有塊正方體木料，它的棱長是4分米。把這塊木料加工成一個最大的圓柱（如圖）。這個圓柱的表面積、體積分別是多少？【答案】表面積75.36平方分米，體積50.24立方分米【分析】根據題意，把正方體木料加工成一個最大的圓柱，那么圓柱的底面直徑和高都等于正方體的棱長；根據圓柱的表面積公式S表＝S側＋2S底，其中S側＝πdh，S底＝πr2；圓柱的體積公式V＝πr2h，代入數據計算即可。【詳解】圓柱的表面積：3.14×4×4＋3.14×（4÷2）2×2＝3.14×16＋3.14×8＝50.24＋25.12＝75.36（平方分米）圓柱的體積：3.14×（4÷2）2×4＝3.14×4×4＝3.14×16＝50.24（立方分米）答：這個圓柱的表面積是75.36平方分米，體積是50.24立方分米。【點睛】本題考查圓柱表面積、體積公式的應用，明確把正方體加工成一個最大的圓柱，找出圓柱的底面直徑和高與正方體棱長的關系是解題的關鍵。4．小明的媽媽榨了一些果汁，貯存在一個長方體容器中，果汁的高度為15厘米。小明將果汁往內直徑6厘米、深10厘米的圓柱形玻璃杯中倒了滿滿一杯后，長方體容器中果汁的高度降至12厘米，這時長方體容器中的果汁大約還有多少升？（保留一位小數）【答案】1.1升【分析】根據圓柱的容積公式：V＝πr2h，據此求出圓柱形玻璃杯中果汁的體積，此果汁的體積就是高為15－12＝3厘米長方體的容積，然后根據長方體的容積公式：V＝Sh求出長方體容器的底面積，進而求出此時長方體容器中剩下的果汁的升數。【詳解】3.14×（6÷2）2×10÷（15－12）＝3.14×9×10÷3＝282.6÷3＝94.2（平方厘米）94.2×12＝1130.4（立方厘米）＝1.1304（立方分米）≈1.1（升）答：這時長方體容器中的果汁大約還有1.1升。【點睛】本題考查圓柱和長方體的容積，熟記公式是解題的關鍵。5．有一個零件，如下圖，零件的下面是一個大圓柱體，底面直徑是6厘米，高10厘米。上面是一個小圓柱體，直徑是4厘米，高5厘米。如果將這個零件接觸空氣的部分涂上防銹漆，你知道一共要涂多少平方厘米嗎？【答案】307.72平方厘米【分析】觀察圖形可知，需要涂防銹漆的面積＝上面圓柱的表面積＋下面圓柱的表面積－兩個上面圓柱的底面積，根據圓柱的表面積公式：S＝2πr2＋πdh，據此進行計算即可。【詳解】2×3.14×（6÷2）2＋3.14×6×10＝56.52＋188.4＝244.92（平方厘米）2×3.14×（4÷2）2＋3.14×4×5＝25.12＋62.8＝87.92（平方厘米）244.92＋87.92－3.14×（4÷2）2×2＝332.84－25.12＝307.72（平方厘米）答：一共要涂307.72平方厘米。【點睛】本題考查圓柱的表面積，熟記公式是解題的關鍵。6．在一個圓柱形儲水桶里，把一段底面半徑是5厘米的圓鋼全部放入水中，水面就上升10厘米，把圓鋼豎著拉出水面8厘米長后，水面就下降4厘米，求圓鋼的體積。【答案】1570厘米【分析】把圓鋼全部放入水中，水面就上升10厘米，說明整個圓鋼的體積等于水桶中10厘米高的水的體積；如果把圓鋼豎著拉出水面8厘米后，水面就下降4厘米，說明8厘米高的圓鋼的體積等于水桶中4厘米高的水的體積；如果水桶中的水下降10厘米，那么整個圓鋼就被拿出水面了，這時豎著拿出圓鋼的高度是（8÷4×10），也就是圓鋼的高度；最后根據圓柱的體積＝底面積×高，代入數值計算即可解答。【詳解】（立方厘米）答：圓鋼的體積是1570立方厘米。【點睛】解答本題的關鍵是根據題意計算出圓鋼的高度。7．一個底面周長是62.8厘米的圓柱形玻璃容器里盛有一些水，恰好占容器容積的。將一個實心鐵塊放入容器，全部沒入水中，這時水面上升2厘米，正好與容器口齊平。這個玻璃容器的容積是多少升？【答案】6.28升【分析】已知水占容積的，水的高度也占容器高度的，把容器高度看作單位“1”，放入鐵塊后，水面上升2厘米，正好與容器口齊平，說明2厘米的高度是容器高度的（1－），則容器的高度是2÷（1－）＝20（厘米），已知圓柱的底面周長62.8厘米，則底面半徑是62.8÷3.14÷2＝10（厘米），然后根據圓柱的體積公式求出玻璃容器的容積即可。【詳解】容器的高：2÷（1－）＝2÷＝20（厘米）容器的底面半徑：62.8÷3.14÷2＝20÷2＝10（厘米）容器的體積：3.14×10×10×20＝314×20＝6280（立方厘米）6280立方厘米＝6.28升答：這個玻璃容器的容積是6.28升。【點睛】本題考查了圓柱體積公式的靈活應用，注意最后單位要換算成升。8．在一個底面直徑是10厘米，高是10厘米的圓柱形杯內倒入水，水面高是6厘米，把一個圓錐形小鐵塊全部浸入杯內，水滿后還溢出了9.42毫升，這個圓錐形小鐵塊的體積是多少立方厘米？【答案】323.42立方厘米【分析】根據題干分析可得，這個小鐵塊的體積是水面上升10－6＝4厘米高的水的體積，再加上溢出的水的體積，據此計算即可解答。【詳解】3.14×（10÷2）2×（10－6）＋9.42＝3.14×25×4＋9.42＝78.5×4＋9.42＝314＋9.42＝323.42（立方厘米）答：這個圓錐形小鐵塊的體積是323.42立方厘米。【點睛】此題主要考查了利用排水法計算不規則物體的體積的方法。9．一個擰緊瓶蓋的瓶子里裝有一些水（如圖），由圖中的數據可推知瓶子的容積是多少毫升？【答案】100.48毫升【分析】由于瓶子倒立過來后其中水的體積不變，所以空氣部分的體積也不變，從圖中可以看出，瓶中的水是由高為6厘米的圓柱構成，空氣部分是由高為（10－8）厘米的圓柱構成，瓶子的容積為這兩部分體積之和，再根據圓柱的體積公式，即可求出瓶子的容積。【詳解】3.14×（4÷2）2×6＋3.14×（4÷2）2×（10－8）＝3.14×22×6＋3.14×22×2＝3.14×4×6＋3.14×4×2＝75.36＋25.12＝100.48（立方厘米）＝100.48（毫升）答：瓶子的容積是100.48毫升。【點睛】解答此題的關鍵是確定瓶子的容積等于瓶子里的水和空氣的體積之和。10．把一個圓柱形木塊按兩種方式鋸開。如果沿底面直徑縱向鋸成4塊（下圖左），表面積會增加192平方厘米；如果橫向鋸兩次形成3個小圓柱（下圖右），表面積會增加50.24平方厘米，原來這個圓柱形木塊的體積是多少立方厘米呢？【答案】150.72立方厘米【分析】如下右圖中橫向鋸兩次形成3個小圓柱，則表面積是增加了4個圓柱底面積，據此求出一個底面積是12.56平方厘米，根據圓形面積公式可得：r2＝12.56÷3.14＝4，因為22＝4，所以這個圓柱的半徑是2厘米；再根據左圖中沿底面直徑縱向鋸成4塊，表面積增加了8個以底面半徑和高為邊長的長方形，用增加面積192平方厘米除以8求得一個長方形，再除以半徑2厘米，求得圓柱的高，最后再用圓柱的體積計算公式求出體積。【詳解】50.24÷4＝12.56（平方厘米）12.56÷3.14＝4，22＝4，所以這個圓柱的底面半徑是2厘米192÷8÷2＝24÷2＝12（厘米）3.14×22×12＝12.56×12＝150.72（立方厘米）答：原來這個圓柱形木塊的體積是150.72立方厘米。【點睛】抓住圓柱的兩種切割特點，根據增加的表面積分別求出這個圓柱的底面半徑和高是解答的關鍵。11．一個圓錐形麥堆的底面周長是12.56米，高是3米。如果把這堆小麥裝入一個圓柱形糧囤里，只占糧囤容積的。糧囤的底面積是7平方米，該糧囤的高是多少米？【答案】3.14米【分析】先根據圓錐形麥堆的底面周長求出底面半徑，并利用“”求出麥堆的體積，再把圓柱形糧囤的容積看作單位“1”，根據“量÷對應的分率”求出糧囤的容積，最后利用“高＝圓柱的容積÷圓柱的底面積”求出糧囤的高，據此解答。【詳解】半徑：12.56÷3.14÷2＝4÷2＝2（米）圓錐的體積：×3.14×22×3＝（×3）×（3.14×22）＝1×12.56＝12.56（立方米）糧囤的容積：12.56÷＝21.98（立方米）糧囤的高：21.98÷7＝3.14（米）答：該糧囤的高是3.14米。【點睛】熟練掌握圓柱和圓錐的體積計算公式是解答題目的關鍵。12．王叔叔裝修新房，運來一堆沙子。這堆沙子成圓錐形，底面直徑是4米，高1.5米。王叔叔新房室內面積是120平方米，這些沙子計劃在室內平均鋪5厘米厚，上面再鋪地板磚。這些沙子夠不夠用？【答案】夠【分析】根據題意，求出圓錐形沙子的體積，利用公式V＝πr2h，再利用底面積乘厚度求出教室鋪瓷磚需要的沙子，做比較即可。【詳解】3.14×（4÷2）2×1.5×＝3.14×4×1.5×＝12.56×1.5×＝6.28（立方米）5厘米＝0.05米120×0.05＝6（立方米）6.28立方米＞6立方米答：這些沙子夠。【點睛】本題考查了圓錐的體積公式及長方體體積公式的應用。13．把一個圓錐完全浸沒在一個底面半徑是4厘米的圓柱形水槽里，水面上升了3厘米。已知圓錐的底面積是12平方厘米，這個圓錐的高是多少厘米？（π取3.14）【答案】37.68厘米【分析】由題意得，圓錐的體積等于上升的水的體積，即可求出圓錐的體積，則圓錐的高＝體積×3÷底面積，代數計算即可。【詳解】（3.14×42×3×3）÷12＝452.16÷12＝37.68（厘米）答：圓錐的高是37.68厘米。【點睛】解決本題的關鍵是明確圓錐的體積等于上升的水的體積。14．聰聰分別以直角梯形的上底和下底所在的直線為軸，將直角梯形分別旋轉一周得到甲、乙兩個不同的幾何體（如圖）。這兩個幾何體的體積是否相等？請用合適的方法說明理由。【答案】不相等【分析】觀察圖形可知，甲圖形的體積＝圓柱的體積－圓錐的體積；乙圖形的體積＝圓柱的體積＋圓錐的體積，根據圓柱的體積公式：V＝Sh和圓錐的體積公式：V＝Sh，據此求出甲和乙圖形的體積，然后對比即可。【詳解】甲圖形的體積：3.14×32×6－×3.14×32×（6－4）＝169.56－×56.52＝169.56－18.84＝150.72（立方厘米）乙圖形的體積：3.14×32×4＋×3.14×32×（6－4）＝113.04＋×56.52＝113.04＋18.84＝131.88（立方厘米）答：這兩個幾何體的體積不相等。【點睛】本題考查圓柱和圓錐的體積，熟記公式是解題的關鍵。15．慧慧家有一根長720厘米的鐵條和一些鐵皮，準備用這根鐵條焊接成一個長方體框架并加工成養花盆。家里在討論時，爸爸說：按長寬高的比為3∶2∶1焊接框架好看，慧慧說：按長寬高的比為3∶2∶2焊接框架好看，媽媽說：不能浪費鐵條，而且為了不讓花盆氧化需要在里外都刷上油漆，慧慧說：我想在花盆里放一個最大的圓柱玻璃魚缸養魚。你覺得她們家的花盆要刷多少面積的鐵皮？最多還能裝多少泥土？（鐵皮厚度忽略不計）【答案】28800平方厘米；77220立方厘米【分析】首先求出長方體框架長、寬、高的和，再確定按哪種比分配能使長、寬、高都是整數；花盆在里外都刷上油漆，就是求長方體四個側面與－個底面的面積和的2倍；用長方體花盆的體積減去以長方形的寬為直徑且與長方體等高的圓柱的體積。【詳解】720÷4＝180（厘米）若按長、寬、高的比為3∶2∶1，則將180厘米平均分成6份，180是6的倍數，長、寬、高都是整數。若按長、寬、高的比為3∶2∶2，則將180厘米平均分成7份，180不是7的倍數，長、寬、高都不是整數。所以應該按長、寬、高的比為3∶2∶1，確定長、寬、高。180×＝90（厘米）180×＝60（厘米）180×＝30（厘米）90×60＋90×30×2＋60×30×2＝5400＋2700×2＋1800×2＝5400＋5400＋3600＝10800＋3600＝14400（平方厘米）14400×2＝28800（平方厘米）90×60×30＝5400×30＝162000（立方厘米）3.14×（60÷2）2×30＝3.14×900×30＝2826×30＝84780（立方厘米）162000－84780＝77220（立方厘米）答：花盆要刷28800平方厘米的鐵皮，最多還能裝77220立方厘米的泥土。【點睛】本題考查了按比例分配、長方體的棱長和、長方體的表面積、長方體的體積、圓柱體的體積，綜合性強，需認真分析解答。16．小軍和小紅分別以直角梯形的上底和下底為軸，將梯形旋轉一周，得到兩個立體圖形。（1）你同意（

）說法。（2）甲、乙兩個立體圖形的體積比是多少？【答案】（1）小紅（2）5∶4【分析】（1）觀察圖形可知，以直角梯形上底為軸，旋轉一周得到的圖形得到圖形甲，即圓柱的體積減去圓錐的體積；以直角梯形的下底為軸，旋轉一周得到的圖形乙，即圓柱的體積和圓錐的體積之和，據此判斷即可。（2）根據圓柱的體積公式：V＝Sh和圓錐的體積公式：V＝Sh，分別求出兩個圖形的體積，然后用甲圖形的體積比上乙圖形的體積即可。【詳解】（1）由分析可知：圖形乙的體積要大于圖形甲的體積，所以小紅說的對。（2）[π×32×6－×π×32×（6－3）]∶[π×32×3＋×π×32×（6－3）]＝[54π－9π]∶[27π＋9π]＝45π∶36π＝（45π÷9π）∶（36π÷9π）＝5∶4答：甲、乙兩個立體圖形的體積比是5∶4。【點睛】本題考查圓柱和圓錐的體積，明確圖形甲和圖形乙的體積是體積的關鍵。17．如圖是一個糧囤的示意圖，它是由圓錐和圓柱兩部分組成的。（1）現要給這個糧囤的圓柱部分的側面做防水，做防水的面積是多少平方米？（2）如果每立方米糧食的質量為700千克，那么這個糧囤能裝多少千克糧食？【答案】（1）11.304平方米（2）4396千克【分析】（1）根據圓柱的側面積＝底面周長×高，底面周長＝πd，代入數據解答即可；（2）糧囤是由圓錐和圓柱兩部分組成的，根據圓錐的體積＝，圓柱的體積＝，代入數據分別求出圓錐的體積和圓柱的體積，再用圓錐的體積和圓柱的體積和乘每立方米糧食的質量即可。【詳解】（1）3.14×2×1.8＝6.28×1.8＝11.304（平方米）答：做防水的面積是11.304平方米。（2）2÷2＝1（米）3.14×12×1.8＋3.14×12×0.6×＝3.14×1.8＋1.884×＝5.652＋0.628＝6.28（立方米）6.28×700＝4396（千克）答：這個糧囤能裝4396千克糧食。【點睛】熟練掌握圓柱的側面積的求法、圓柱體積的求法和圓錐體積的計算方法是解題的關鍵。18．沙漏又稱沙鐘，是我國古代一種計量時間的儀器。（如圖）上下是兩個完全相同的圓錐形容器，其中一個裝滿細沙，利用細沙的流動性和重力作用，根據流沙從一個容器漏到另一個容器的數量來計算時間。（1）如果沙漏上部的圓錐裝滿細沙，求沙子的體積。（2）如果漏口每分鐘漏出細沙31.4立方厘米，漏完全部沙子需要幾分鐘？【答案】（1）157立方厘米（2）5分鐘【分析】（1）由圖形可以得到沙漏上部沙子的底面直徑為10厘米，高為6厘米，如此利用圓錐的體積公式即可求出答案；（2）根據上部沙漏沙子的體積可得其速度，再結合下部沙子的體積用除法求解即可。【詳解】（1）3.14×（10÷2）2×6×＝3.14×25×6×＝78.5×6×＝471×＝157（立方厘米）答：沙漏上部沙子的體積是157立方厘米。（2）157÷31.4＝5（分鐘）答：漏完全部沙子需要5分鐘。【點睛】這是一道關于圓錐應用的題目，關鍵是掌握圓錐的體積公式。19．一個密封的長方體容器裝了一些水。