專題04勾股定理（六大題型，60題）（原卷版）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、題型一：勾股數(shù)問題，難度三星，10題 1二、題型二：以直角三角形三邊為邊長的圖形面積，難度四星，10題 2三、題型三：勾股定理與折疊問題，難度四星，10題 5四、題型四：勾股定理的證明方法，難度三星，10題 8五、題型五：以弦圖為背景的計算題，難度四星，10題 11六、題型六：用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題，難度三星，10題 14一、題型一：勾股數(shù)問題，難度三星，10題1．（23-24八年級·甘肅張掖·階段練習）下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的是（

）A．2，3，4 B．10，14，15 C．8，11，12 D．6，8，102．（23-24八年級·廣東佛山·階段練習）在下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（

）A． B．4，5，6 C． D．10，24，263．（22-23八年級·廣東茂名·期中）下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（

）A．5，12，13 B．6，8，10 C．12，16，20 D．4．（23-24八年級·四川巴中·期末）勾股定理最早出現(xiàn)在《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，弦隅五”，觀察下列勾股數(shù)：，，；，，；，，；這類勾股數(shù)的特點如下：勾為奇數(shù)，弦與股相差，柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差的一類勾股數(shù)，如：，，；，，；若此類勾股數(shù)的勾為（，為正整數(shù)），則弦是（結(jié)果用含的式子表示）（

）A． B． C． D．5．（23-24八年級·山東棗莊·階段練習）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（

）A．4，5，6 B．0.5，1.2，1.3 C．1，2，3 D．5，12，136．（23-24八年級·河南洛陽·階段練習）下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）A． B． C． D．7．（23-24八年級·廣東佛山·階段練習）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（

）A．1.5，2，2.5 B．，， C．3，4，5 D．，，8．（21-22八年級·河南鄭州·期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．0.6，0.8，1 B．，， C．6，8，10 D．1，2，9．（23-24八年級·河北承德·期末）如圖是“畢達哥拉斯樹”的“生長”過程：如圖1，一個邊長為a的正方形，經(jīng)過第一次“生長”后在它的上側(cè)長出兩個小正方形，面積分別為6和8，且三個正方形所圍成的三角形是直角三角形，則a的值為；再經(jīng)過一次“生長”后變成了圖2．如此繼續(xù)“生長”下去，第2024次“生長”后，這棵“畢達哥拉斯樹”上所有正方形的面積之和為（填數(shù)字）．10．（23-24八年級·湖北恩施·期末）觀察下列表格中數(shù)組的規(guī)律．組別數(shù)字等式13，4，525，12，1337，24，2549，40，41………根據(jù)上表的規(guī)律，寫出第組的三個數(shù)字滿足的等式：．二、題型二：以直角三角形三邊為邊長的圖形面積，難度四星，10題11．（23-24八年級·浙江寧波·期末）如圖，在中，，以的各邊為邊作三個正方形，點落在上，若，空白部分面積為10，則的長為（

）A． B． C． D．12．（23-24八年級·江蘇南通·階段練習）分別以的三條邊向外作三個正方形，連接，，若設，，，則，，之間的關(guān)系為(

)A． B．C． D．13．（21-22八年級下·浙江杭州·期末）如圖，在邊長為6的正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別記為，，則的值為（

）A．6 B．12 C．16 D．1714．（22-23八年級下·貴州遵義·期中）有一個邊長為1的大正方形，經(jīng)過2次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過1次“生長”后，形成的圖形如圖所示，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，那么“生長”了2023次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是()A．2024 B．2023 C． D．15．（23-24八年級·浙江寧波·期末）如圖，在中，于點．分別以為邊向外作正方形，得到較大的三個正方形的面積分別為，那么最小的正方形面積為（）A．5 B．6 C．7 D．16．（2024八年級·全國·競賽）如圖，分別以直角三角形的三邊為直徑的三個半圓的面積從小到大依次為，則之間的關(guān)系正確的是（

）

A．或 B．C． D．17．（23-24八年級·浙江湖州·期末）如圖，在直角三角形中，，以，，為邊作正方形，正方形，正方形．設的面積為，的面積為，的面積為，四邊形CHET的面積為，四邊形的面積為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．18．（21-22八年級下·廣西桂林·期中）如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為4和9，則b的面積為．19．（23-24八年級·廣東梅州·期末）如圖，，，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學史上稱為“希波克拉底月牙”，當，時，則陰影部分的面積為．20．（23-24八年級·山東棗莊·期末）在我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從圖1，圖2，圖3的證明方法中任選一種來證明該定理．(2)如圖4所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，，直角三角形面積為，請判斷，，的關(guān)系并證明．三、題型三：勾股定理與折疊問題，難度四星，10題21．（23-24八年級下·山東德州·階段練習）將長方形紙片如圖折疊，B，C兩點恰好重合在邊上的同一點P處折痕分別是，，若，，，分別記，，的面積為，，，則，，之間的數(shù)量關(guān)系是(

)A． B．C． D．22．（23-24八年級·江蘇徐州·階段練習）如圖，在直角坐標系中，的頂點A在軸上，頂點在軸上，，，點的坐標為，點和點關(guān)于成軸對稱，且交軸于點．則點的坐標為23．（23-24八年級·吉林長春·階段練習）如圖，在中，，，，把折疊，使落在邊所在的直線上，且點B的對應點為點，折痕為，則重疊部分（陰影部分）的面積是．24．（23-24八年級·四川成都·階段練習）如圖，一次函數(shù)分別與坐標軸交于，，點為軸上一點，把直線沿翻折，點剛好落在軸的負半軸上，則點的坐標為．25．（22-23八年級·浙江紹興·期中）如圖，是一張直角三角形的紙片，，，，現(xiàn)將折疊，使點B與點A重合，折痕為，則的長為．26．（23-24八年級·河南鄭州·階段練習）如圖，在中，，，是邊上的動點，點關(guān)于直線的對稱點為，連接交于，當為直角三角形時，的長是．27．（23-24八年級·寧夏中衛(wèi)·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，長方形的邊分別在軸、軸上，，點在邊上，將長方形沿折疊，若點的對應點恰好是邊的三等分點，則點的坐標是．28．（23-24八年級·河南鄭州·期末）如圖，中，，，點D為線段上一個動點，將沿直線翻折得到，線段交直線于點F．若為直角三角形，則的長是．29．（23-24八年級·四川成都·期末）如圖，長方形紙片中，已知，折疊紙片使邊與對角線重合，點B落在點F處，折痕為，且．(1)求的長；(2)求的長．30．（23-24八年級·山東青島·階段練習）如圖，已知，兩直角邊，，點為上一點，現(xiàn)將沿折疊，使點落在斜邊上的點處，試求的長．四、題型四：勾股定理的證明方法，難度三星，10題31．（23-24八年級·陜西榆林·期中）如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形拼成的正方形圖案，已知大正方形的面積為49，小正方形的面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩條直角邊長，下列四個說法：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④32．（23-24八年級·河北石家莊·期末）在學習勾股定理時，甲、乙兩位同學給出了不同的方案，可以利用面積驗證勾股定理的是（

）甲：由四個全等的直角三角形按圖1所示的方式拼成一個大正方形乙：如圖2，分別以直角三角形的三條邊為邊向外作三個正方形A．甲、乙均可以 B．甲可以，乙不可以C．乙可以，甲不可以 D．甲、乙均不可以33．（23-24七年級·浙江寧波·期末）勾股定理的證明方法多樣，如圖是“水車翼輪法”證明勾股定理：將正方形沿分割線，分割成四個全等四邊形，再將這四個四邊形和正方形拼成大正方形．若，則的長為．34．（23-24八年級·福建泉州·期末）把兩個全等的直角三角形拼成如圖所示的形狀，使點，，在同一條直線上，利用此圖的面積表示式可以得到一個關(guān)于，，的代數(shù)恒等式，則這個恒等式是．35．（23-24八年級·浙江溫州·期中）圖1是一幅“青朱出入圖”，運用“割補術(shù)”，通過三個正方形之間的面積轉(zhuǎn)化證明勾股定理．如圖2，小明連結(jié)后發(fā)現(xiàn)．（1）；（2）當四邊形的面積為22時，正方形的面積為．36．（22-23八年級·四川成都·期末）我國漢代數(shù)學家趙爽在證明勾股定理時，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，，，．(1)請你利用這個圖形，推導勾股定理：；(2)若直角三角形ABE的面積為54，，求小正方形EFGH的邊長．37．（23-24八年級·江蘇南京·期中）如圖，，，垂足分別為，，交于點，，．(1)求證；(2)接，若，，，通過用不同方法計算四邊形的面積，驗證勾股定理．38．（23-24八年級·河南駐馬店·期末）我國漢代數(shù)學家趙爽在證明勾股定理時，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，大正方形由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成，，，．

(1)請你利用這個圖形，推導勾股定理：．(2)若直角三角形的面積為，，求小正方形的邊長．39．（23-24八年級·四川樂山·期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲！如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，斜邊為c．(1)請利用“趙爽弦圖”證明：；(2)若大正方形的面積為20，小正方形面積為4，求其中一個直角三角形的面積．40．（21-22八年級·河北石家莊·期末）【問題情境】上課時，小明用4張全等的直角三角形紙片拼成如圖1的正方形．（1）利用此圖可以驗證勾股定理嗎？如果可以，請寫出驗證過程，如果不可以，請說明理由；

【靈活運用】（2）現(xiàn)將圖1中上方的兩個直角三角形向內(nèi)折疊，如圖2，若，，此時空白部分的面積為；（3）用三張正方形紙片，按如圖3所示方式構(gòu)成圖案，下面是三張正方形紙片面積的選取情況，若要使所圍成的三角形是直角三角形，可以選取；(填序號)①1，2，3；②2，2，4；③3，4，5；④2，3，5．五、題型五：以弦圖為背景的計算題，難度四星，10題41．（23-24八年級·浙江金華·期末）趙爽是我國著名的數(shù)學家，“趙爽弦圖”是他研究勾股定理的重要成果．古人有記載“勾三，股四，則弦五”的定理．如圖，外圍四個小長方形的寬相等，且鄰長互相垂直，對長互相平行．若的長是小長方形寬的2倍，內(nèi)部小正方形面積為9，則最外圍的大正方形的邊長是（

）

A． B． C． D．42．（23-24八年級·四川成都·期中）圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．在中，若直角邊，，將四個直角三角形中邊長為的直角邊分別向外延長一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長（圖乙中的實線）是（

）A． B． C． D．43．（23-24八年級下·北京西城·開學考試）圖①是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若直角三角形的一個銳角為，將各三角形較短的直角邊分別向外延長一倍，得到圖②所示的“數(shù)學風車”．已知，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．44．（23-24八年級·河南南陽·期末）如圖是“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形拼成的圖形，若大正方形的面積是29，小正方形的面積是9，設直角三角形較長直角邊為，較短直角邊為，則的值是（

）A．5 B．6 C．7 D．845．（23-24八年級·浙江湖州·期末）四個全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形，過各較長直角邊的中點作垂線，圍成小正方形．已知為較長直角邊，問，當正方形的面積是小正方形面積的倍時，兩條直角邊與的數(shù)量關(guān)系是（

）．A． B．C． D．46．（23-24八年級·浙江溫州·期中）如圖是中國古代數(shù)學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖示意圖，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，恰好拼成一個大正方形，分別在，上取點，，使得，得四邊形．若大正方形的邊長為，且，設四邊形的面積為，正方形的面積為，則的值為（

）A． B． C． D．47．（23-24八年級·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接圖2中四條線段得到如圖3的新圖案，如果圖1中的直角三角形的長直角邊為6，短直角邊為2，圖3中陰影部分的面積為S，那么S的值為．48．（23-24八年級·四川成都·期末）如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．已知大正方形的邊長為，小正方形的邊長為1，連接四條線段得到如圖2新的圖案，則陰影部分的面積為．49．（23-24八年級·湖南長沙·期末）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的瑰寶，在如圖所示的弦圖中，大正方形是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的．若，，則的面積為．50．（2024八年級·全國·競賽）國際數(shù)學家大會的會標如圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形的面積為13，每個直角三角形兩直角邊的和是5．則中間小正方形的面積是．六、題型六：用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題，難度三星，10題51．（23-24八年級·江蘇南通·期末）如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若，，將四個直角三角形中邊長為2的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是（

）A． B． C． D．52．（23-24七年級·山東煙臺·期末）一棵大樹在一次強臺風中折斷倒下，大樹折斷前高度估計為，倒下后樹頂落在距樹根部大約處．這棵大樹離地面約（

）米處折斷A． B． C． D．53．（23-24八年級·廣東河源·期末）如圖，某學校舉辦元旦聯(lián)歡會，準備在舞臺側(cè)長，高的臺階上鋪設紅地毯，已知臺階的寬為，則共需購買紅地毯（

）

A． B． C． D．54．（23-24八年級·山東青島·期中）勾股定理