2023-2024學年九年級數學上學期期末滿分沖刺A卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）1．的半徑是6，點O到直線a的距離為5，則直線a與的位置關系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．內含【答案】C【詳解】解：∵的半徑是6，點O到直線a的距離為5，，∴直線a與的位置關系為相交．故選：C．2．下列函數中，屬于二次函數的是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】A、是一次函數，不是二次函數，故此選項不符合題意；B、符合二次函數的定義，是二次函數，故此選項符合題意；C、是一次函數，不是二次函數，故此選項不符合題意；D、不是二次函數，故此選項不符合題意．故選：B．3．下列花朵的圖片中，既屬于中心對稱圖形又屬于軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：A．該圖是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；B．該圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；C．該圖既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故此選項符合題意；D．該圖既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意．故選：C．4．在反比例函數圖象的每一條曲線上，都隨的增大而增大，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題意得：，∴故選：C5．已知線段的長度為，點是線段的黃金分割點，則的長度為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【詳解】解：設，則，當時，∵點是線段的黃金分割點，∴，即，解得，（不合，舍去），∴；當時，∵點是線段的黃金分割點，∴，即，解得，，∵，∴不合，舍去，∴；綜上，或，故選：．6．在中，，如果，那么等于（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：，∴，故選：B．7．二次函數的圖象是一條拋物線，自變量x與函數y的部分對應值如下表：x…0123…y…00…有如下結論：①拋物線的開口向上②拋物線的對稱軸是直線③拋物線與y軸的交點坐標為④由拋物線可知的解集是其中正確的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】D【詳解】解：由表格可知，該函數的對稱軸是直線，∵時，y隨x的增大而增大，∴拋物線的開口向上，故選項①②正確；∵當時，，∴拋物線與y軸的交點坐標為，故選項③正確；∵和時，，∴當，，的解集是，故選項④正確，故選：D．8．如圖，由邊長為1的小正方形構成的網格中，點A，B，C都在格點上，以為直徑的圓經過點C，D，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖，連接、．和所對的弧長都是，根據圓周角定理的推論知，．在中，根據銳角三角函數的定義知，，，，，，．故選：D．9．已知，，，，點從點出發以每秒1個單位長度的速度，沿運動，時間為何值時，以點、、為頂點的三角形與相似．（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【詳解】解：由勾股定理得，，由題意知，分當在上，在上兩種情況求解：當在上時，，由題意知，，∴，即，解得，；當在上時，，由題意知，，∴，即，解得，；綜上所述，的值為或，故選：D．10．規定：若點在某一個函數的圖象上，且點的橫縱坐標互為相反數，則稱點為這個函數的“互反點”．若關于的二次函數對于任意的常數，恒有兩個“互反點”，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：令得，整理得，由題意知，有兩個不相等的實數根，，不等式成立，關于n的一元二次方程無解，，整理得，解得，故選D．填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．在直角坐標平面中，將拋物線，先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，那么平移后的拋物線表達式是．【答案】【詳解】解：將拋物線，先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，那么平移后的拋物線表達式是，故答案為：．12．某商品進價為元，現在的售價為每件元，每星期可賣出件，經市場調查反映，每漲價元，每星期要少賣出件，則在漲價的情況下，可獲得最大利潤元．【答案】【詳解】解：設漲價時，∴每星期售出商品的利潤為：，∵，∴當時，有最大值，最大值為，此時定價為：（元），∴每件商品定價為元時利潤最大，最大利潤為元．故答案為：．13．在中，如果、均為銳角，且滿足，那么．【答案】/90度【詳解】解析∵，∴，，∴，，∴，，∴．故答案為：14．如圖，在中，，，，點為中點，點為上的動點，將點繞點逆時針旋轉得到點，連接，當線段的最小時，則．【答案】【詳解】解：如圖所示，過作于，則，由旋轉可得，，，，在和中，，，，點的運動軌跡是平行的直線，當點與點重合，的值最小，的最小值為3，此時，∴，故答案為：．三、解答題（本大題共9小題，滿分90分）15．（8分）如圖1，將邊長為的大正方形剪去一個邊長為的小正方形，剩余部分的面積為，并將剩余部分沿虛線剪開得到兩個小長方形，再將這兩個小長方形拼成如圖2所示的寬為的大長方形，請分別求出大正方形和小正方形的邊長．【答案】大正方形的邊長為，小正方形的邊長為【詳解】解：依題意得解得答：大正方形的邊長為，小正方形的邊長為．16．（8分）如圖，點D，E分別在的邊，上，．求證：．【答案】見解析【詳解】證明：，，，在和中，，，．17．（8分）如圖，是一塊三角形的紙板，要從這塊紙板上裁下一塊圓形的用料，并使圓形用料的面積最大，請你確定此圓的圓心，并畫出該圓．（尺規作圖，保留痕跡，不寫作法和證明．）【答案】見解析【詳解】解：分別作三角形任意兩個內角的角平分線交于一點，即，點即為所要求圓的圓心，作于點，以為圓心，為半徑作．如圖所示：與三角形三邊都相切時圓的半徑最大，故此時圓的面積最大．18．（8分）如圖，在中，為上一點，且，，．(1)求證：；(2)若的面積為18，求的面積．【答案】(1)見解析(2)10【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，，∴，∵，∴；（2）解：∵，，∵，，．19．（10分）智能飲水機接通電源后開始自動加熱，水溫每分鐘上升，加熱到時，飲水機自動停止加熱，水溫開始下降，在水溫開始下降的過程中，水溫與通電時間成反比例關系．當水溫降至室溫時，飲水機再次自動加熱，重復上述過程．設某天水溫和室溫均為，接通電源后，水溫與通電時間之間的關系如圖所示．(1)求當時，y與x之間的函數表達式；(2)加熱一次，水溫不低于的時間有多長？【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：設反比例函數的表達式為，將點代入得：，則與之間的函數表達式為，當時，，即與之間的函數表達式為．（2）解：設當時，與之間的函數表達式為，將點代入得：，解得，則，當時，，解得，對于，當時，，因為，所以加熱一次，水溫不低于的時間為．20．（10分）湘江是湖南最大的河流，湖南的簡稱“湘”因此而來，她流經永州、衡陽、株洲、湘潭、長沙等市，至岳陽注入洞庭湖，干流全長844公里，流域面積94660平方公里．在一次數學活動課上，老師帶領學生去測量湘江某段的寬度（假設兩岸是平行的），如圖，某學生在河東岸點處觀測河對岸的點，測得在北偏西30°的方向上，沿河岸向北前行500米到達處，測得在北偏西60°的方向上．(1)求的長；(2)求此段湘江的寬度．（參考數據：，）【答案】(1)500米(2)433米【詳解】（1）過點作，交的延長線于點，由題意得，，，（米），，，（米）即的長為500米．（2）由（1）得，（米），在中，，解得：（米）．21．（12分）如圖，在等腰中，，以為直徑的與交于點，，垂足為的延長線與的延長線交于點．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為，，求的長．【答案】(1)見解析(2)．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴∴，即，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：連接，∵是直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．22．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸交于、兩點，且，頂點為點(1)求、點坐標，并根據圖象直接寫出當時的取值范圍；(2)求這個拋物線解析式；(3)將拋物線進行平移，使點恰好落在頂點的位置，請求出平移后拋物線的解析式.【答案】(1)點坐標為，點坐標為，或時，(2)(3)【詳解】（1）∵，∴拋物線對稱軸為直線，又∵，∴，，∴點坐標為，點坐標為，∵拋物線開口向上，∴當或時，（2）將代入得，解得，∴這個拋物線解析式為；（3），拋物線頂點坐標為，∵將點向左平移4個單位，再向下平移個單位后得到點，∴平移后的拋物線解析式為；∴平移后拋物線的解析式為23．（14分）等腰直角三角形和如圖放置，，，的半徑為，圓心與直線的距離為現以的速度向右移動，同時的邊長、又以的速度沿、方向增大．(1)當的邊邊除外與圓第一次相切時，點移動了多少距離(2)若在移動的同時，也以的速度向右移動，則從開始移動，到它的邊邊除外與圓最后一次相切，一共經過了多長時間(3)在（2）的條件下，是否存在某一時刻，使與的公共部分等于的面積若存在，求出恰好符合條件時兩個圖形移動的時間．若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)不存在，理由見解析【詳解】（1）解：設第一次相切時，三角形移至三角形處，與相切于點，連接并延長交于點，設與直線相切于點，連接，如圖所示：則：，設，∵∴，∵∴∵∴，解得：，∴∴點運