專題03幾何中的特殊三角形壓軸題綜合全攻略類型一、等腰三角形壓軸題綜合例1．（等腰三角形）（2022下·四川成都·八年級四川省成都市石室聯合中學校考階段練習）已知：如圖，在中，，為邊的垂直平分線，以為邊作等邊三角形，與在直線的異側，直線交的延長線于點，連接交于點．(1)求證：．(2)求的度數．(3)猜想線段，，之間的數量關系，并證明你的結論．例2．（等邊三角形）（2023下·四川成都·八年級校考期中）已知是等邊三角形．

(1)如圖1，也是等邊三角形．點A、B、E三點不共線，求證：；(2)如圖2，點D是外一點，且，請證明結論；(3)如圖3，點D是等邊三角形外一點，若．試求的度數．【變式訓練1】．（2021下·四川成都·八年級統考期末）如圖1，在等邊三角形中，于于與相交于點O．(1)求證：；(2)如圖2，若點G是線段上一點，平分，，交所在直線于點F．求證：．(3)如圖3，若點G是線段上一點（不與點O重合），連接，在下方作，邊交所在直線于點F．猜想：三條線段之間的數量關系，并證明．【變式訓練2】．（1）【感悟】如圖1，是的高線，，若，，求的長．小明同學的解法是：將沿折疊，則點C剛好落在邊上的點E處．請你畫出圖形并寫出完整的解題過程；（2）【探究】如圖2，，為的外角的平分線，交的延長線于點D，則線段、、又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想并證明；（3）【拓展】如圖3，在四邊形中，平分，，，，則的長為__________．類型二、直角三角形壓軸題綜合例1．（直角三角形）（2021下·四川成都·八年級石室中學校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，點O為斜邊AC的中點，點E、點F為直角邊上的動點（點E在點F的右側），且∠EOF＝60°(1)如圖1，當點E、點F分別在邊BC和AB上，且BE＝AF時，求∠OEC的度數．(2)如圖2，若點E、點F都在邊BC上，當∠OFC＝75°時，說說BF與CE有什么數量關系？并加以證明．(3)如圖3，當E、F均在邊BC上運動時，做E點關于直線OF的對稱點P，若AB＝4，為AB中點，求當PQ最短時，線段PE的長度．例2．（等腰直角三角形）（2022下·四川成都·八年級校考階段練習）為等腰直角三角形，，點在邊上（不與點、重合），以為腰作等腰直角，．(1)如圖，作于，求證：≌；(2)在圖中，連接交于，如圖，求的值；(3)如圖，過點作交的延長線于點，過點作，交于點，連接，當點在邊上運動時，探究線段，與之間的數量關系，并證明你的結論．【變式訓練1】．（2023下·四川成都·八年級統考期末）如圖，中，，，點是邊上一動點，將繞點逆時針旋轉得到，交邊于點，連接，過點作平分交邊于點，連接．

(1)求證：；(2)判斷與的數量關系并證明；(3)當時，若，求的面積．【變式訓練2】．在中，，．(1)如圖1，點E為外一點，，過B作，垂足分別為E、F．求證：；(2)如圖2，點D是上一點，，于E，求證：．(3)如圖3，點D為上一點，，過點A作，且，連接．若，求的長度．【課后訓練】1．（2023下·四川成都·八年級統考期末）已知，與均為等腰直角三角形，且，，其中，繞著A點逆時針進行旋轉，連接，．

(1)若旋轉至圖1位置時，求證：；(2)若旋轉至圖2位置時，發現B，D，E三點恰好共線，證明：；(3)若旋轉至圖3位置時，線段恰好垂直于，此時的延長線與交于點F，點F恰好為中點，若，求線段的長．2．（2022下·四川成都·八年級校考階段練習）△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝90°，點D在AB邊上（不與點A、B重合），以CD為腰作等腰直角△CDE，∠DCE＝90°．(1)如圖1，作EF⊥BC于F，求證：△DBC≌△CFE；(2)在圖1中，連接AE交BC于M，如圖2，求的值；(3)如圖，3，過點E作EH⊥CE交CB的延長線于點H，過點D作DG⊥DC，交AC于點G，連接GH，當點D在邊AB上運動時，探究線段HE，HG與DG之間的數量關系，并證明你的結論．3．【問題背景】如圖①，在正方形的內部，作，根據三角形全等的條件，易得，從而得到四邊形是正方形．【類比探究】如圖②，在正三角形的內部，作兩兩相交于三點．(1)是否全等？如果是，請選擇其中一對進行證明；(2)是否為正三角形？請說明理由；(3)進一步探究發現：的三邊存在一定的數量關系，設，請探索之間滿足的數量關系．4．在等腰中，，點和點分別為和邊上的點，，與相交于點．(1)當時，①如圖1，直接寫出的度數；________．②如圖2，若，作，垂足為點，連接，求證：．(2)當時，如圖3，若取得最小值，求出的值．5