2024年小升初數學典型例題系列專題03：數的認識·因數和倍數專項訓練一、填空題。1．（因數與倍數的認識）40的因數有()，這些因數中，是2的倍數的有()個，是5的倍數的有()個，奇數有()個。【答案】1、2、4、5、8、10、20、406/六4/四2/二【分析】若整數a能夠被b整除，a叫做b的倍數，b就叫做a的因數．因數與倍數是相互依存的，據此解答。【詳解】40的因數有1、2、4、5、8、10、20、40，這些因數中，是2的倍數的有2、4、8、10、20、40，共計6個，是5的倍數的有5、10、20、40，共計4個，奇數有1、5，共計2個。【點睛】本題主要考查了因數、奇數的意義及能夠被2、5整除數的特征，要靈活掌握。2．（質數與分解質因數）63的因數中有()個質數，把63分解質因數是()。【答案】263＝3×3×7【分析】先確定63的所以因數，再判斷質數的個數，質數的含義：在自然數中，除了1和它本身外，沒有別的因數的數為質數；分解質因數就是把一個合數寫成幾個質數的連乘積形式，用短除法分解質因數。【詳解】63的因數：1、3、7、9、21、63，其中質數有3、7，所以63的因數中有2個質數；所以把63分解質因數是63＝3×3×7。3．（求因數與倍數）27的因數有()；一個非零整數的倍數個數有()。【答案】1，3，9，27無數個【分析】找一個數的因數的方法：列乘法算式找因數，按照從小到大的順序，一組一組地寫出所有積是這個數的乘法算式，乘法算式中的兩個因數就是這個數的因數。一個數的因數的個數是有限的，最小因數是1，最大因數是它本身；一個數的倍數的個數是無限的，最小倍數是它本身，沒有最大倍數。【詳解】27的因數有1，3，9，27；一個非零整數的倍數個數有無數個。4．（因數與倍數的應用）小明用18個邊長1厘米的小正方形拼成長方形，可以把18個放一排，拼成長方形的長()厘米，寬()厘米；還可以拼成長()厘米，寬()厘米；還可以拼成長()厘米，寬()厘米的長方形，小明發現這些數都是18的()。【答案】1819263因數【分析】長方形的面積＝長×寬，而18＝1×18＝2×9＝3×6，據此以每組數為長和寬即可拼成長方形，在整數除法中，如果商是整數而沒有余數，我們就說被除數是除數和商的倍數，除數和商是被除數的因數；據此解答。【詳解】由分析可得：小明用18個邊長1厘米的小正方形拼成長方形，可以把18個放一排，拼成長方形的長18厘米，寬1厘米；還可以拼成長9厘米，寬2厘米；還可以拼成長6厘米，寬3厘米的長方形，小明發現這些數都是18的因數。5．（倍數的特征）從4張數字卡片1、0、6、5中選出兩張組成一個兩位數，分別滿足下面的條件：(1)3的倍數有()（盡量填全哦）。(2)同時是2、3和5的倍數()。(3)60和50的公因數()。【答案】(1)15、51、60(2)60(3)10【分析】（1）3的倍數的特征：一個數各個數位上的數字的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。（2）2，3，5的倍數的特征：個位上的數字是0，各個數位上的數字的和是3的倍數的數。（3）公因數是一個能被若干個整數同時均整除的整數。【詳解】（1）3的倍數有15、51、60。（2）同時是2、3和5的倍數60。（3）60和50的公因數10。6．（倍數的特征、質數與合數）根據要求填一填。杭州奧體中心體育場，又名“大蓮花”，總建筑面積21.6()，占地面積430畝。10月8日，第19屆亞運會閉幕式在“大蓮花”舉行，中國隊獲得了201枚金牌、111枚銀牌和71枚銅牌，位居獎牌總數第1名。本次亞運會中國代表團成員共1329名，其中運動員886名，630人為首次參加亞運會。福建隊可牛了，在只有39人參賽的情況下拿到了25金。（1）在括號內填上合適的面積單位。（2）以上□中的數字是質數的有()，既不是質數也不是合數的是()，3的倍數有()，同時是2、3、5的倍數的是()。【答案】（1）公頃；（2）19、71；1；201、111、1329、630、39；630【分析】（1）一個體育場的面積用公頃做單位，1公頃是邊長為100米的正方形的大小。（2）質數是因數只有1和它本身兩個數，在以上□中19和71的因數除了1和它本身，沒有其他的因數；1既不是質數也不是合數；3的倍數的特點是各個數位的和是3的倍數，這個數就是3的倍數；同時2、3、5倍數的特點首先末尾是0，再將各位數位上加起來和能被3整除就是同時2、3、5的倍數。【詳解】（1）杭州奧體中心體育場，又名“大蓮花”，總建筑面積21.6公頃，占地面積430畝。（2）19的因數：1、19；71的因數：1、71201÷3＝67；111÷3＝37；1329÷3＝443；630÷3＝210；39÷3＝13630÷2＝315；630÷5＝126則以上□中的數字是質數的有19、71，既不是質數也不是合數的是1，3的倍數有201、111、1329、630、39，同時是2、3、5的倍數的是630。7．（倍數的特征）淘氣家的門牌號既是3的倍數又是5的倍數，而且是與703相鄰的奇數，淘氣家的門牌號是()。【答案】705【分析】個位是1、3、5、7、9的數都是奇數，與703鄰的奇數有兩個，分別是701和705，即是3的倍數又是5的倍數，數的末尾是0或5，并且各數位數字相加之和是3的倍數。根據5的倍數的特征，一個數的個位是0或5，這個數就是5的倍數；根據3的倍數的特征，一個數各位上數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數；要想同時是3、5的倍數，先根據能被5整除的數的特征，能判斷出個位數是0或者5，進而根據能被3整除的數的特征，各位上的數的和是3的倍數；據此解答即可。【詳解】7＋0＋1＝7＋1＝88不是3和5的倍數；7＋0＋5＝7＋5＝1212÷3＝410÷5＝212既是3的倍數又是5的倍數，符合題意。淘氣家的門牌號是705。8．（倍數的特征）要使三位數40同時是2，3，5的倍數，“”可以填的數字有()個。【答案】3【分析】同時是2、3、5的倍數的數的特征：個位上是0；各數位上的數字的和是3的倍數。據此解答。【詳解】40的個位上是0；百位和個位的數字之和是4＋0＝4，而4＋2＝6，4＋5＝9，4＋8＝12，6、9、12是3的倍數，則“”可以填的數字有2、5、8，一共有3個。9．（奇數與偶數）一串數排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，到這串數的第1000個數為止，共有()個偶數。【答案】333【分析】首先分析這串數的組成規律和奇、偶情況。1＋1＝2，2＋3＝5，3＋5＝8，5＋8＝13，……，這串數的規律是：從第三項起，每一個數等于前兩個數的和。這串數的奇偶性是：奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，……容易看出，這串數是按“奇，奇，偶”每三個數為一組周期變化的；用1000÷3，取整數部分即可求出這串數中偶數的個數。【詳解】由分析可得：1000÷3＝333……1，這串數的前1000個數有333組又1個數，每組的三個數中有1個偶數，并且是第3個數，所以這串數到第1000個數時，共有333個偶數。10．（奇數與偶數的運算性質）兩個質數的和是31，這兩個質數的乘積是()。【答案】58【分析】因為奇數＋奇數＝偶數，奇數＋偶數＝奇數。而題中已知這兩個質數的和是31，31是奇數，所以這兩個質數中一定有一個質數是偶數，偶數中只有2是質數，由此即可求出另外一個質數，進而求得它們的乘積。【詳解】31＝2＋292×29＝58即這兩個質數的乘積是58。【點睛】此題根據和的奇偶性先確定其中一個質數是解題的關鍵。11．（最大公因數與最小公倍數）m÷10＝n（m和n為非0自然數，n＞10），那么m和n的最大公因數是()，最小公倍數是()。【答案】nm【分析】如果兩個數是倍數關系，最大公因數是較小的數，最小公倍數為較大的數；如果兩個數是互質數，最大公因數是1，最小公倍數是這兩個數的積。【詳解】因m÷10＝n所以m÷n＝10，由此可以斷定m是n的倍數，n是m的因數。因為m、n是不為0的自然數，所以m和n的最大公因數是（n），最小公倍數是（m）。【點睛】此題主要考查最大公因數和最小公倍數的理解與求取方法。12．（最大公因數與最小公倍數）已知A＋1＝B（A、B都是非零的自然數），那么A和B的最大公因數是()，最小公倍數是()。【答案】1AB【分析】已知A＋1＝B，即A、B是兩個相鄰的非零自然數，它們是互質數；根據兩個數是互質數時，它們的最大公因數是1，最小公倍數是兩數的乘積；據此解答。【詳解】已知A＋1＝B（A、B都是非零的自然數），那么A和B的最大公因數是1，最小公倍數是AB。二、選擇題。13．（因數與倍數）a、b是兩個不為0的自然數，若a＝10b，則a是b的()。A．因數 B．倍數 C．合數【答案】B【分析】a＝10b，所以a÷b＝10，那么a和b是倍數關系，a是b的倍數，b是a的因數；據此解答。【詳解】若a＝10b，則a÷b＝10，a是b的倍數。故答案為：B14．（因數和倍數綜合）小數學迷設計了一個游戲過關密碼，它由ABCDEF六個非0自然數組成：A是最小的合數，B是最小的質數，C是最小的奇數，D是8的最大因數，E是5的最小倍數，F是9和12的最大公因數，這個密碼是()。A．421853 B．234059 C．431456 D．431453【答案】A【分析】除了1和它本身以外不再有其他因數，這樣的數叫質數；除了1和它本身以外還有其他因數，這樣的數叫合數。整數中，是2的倍數的數叫偶數，不是2的倍數的數叫奇數。一個數的最大因數和最小倍數都是它本身。全部共有的質因數（公有質因數）相乘的積就是這幾個數的最大公因數。【詳解】最小的合數是4，A是4，最小的質數是2，B是2，最小的奇數是1，C是1，8的最大因數是8，D是8，5的最小倍數是5，E是5，9＝3×3，12＝2×2×3，9和12的最大公因數是3，F是3，這個密碼是421853。故答案為：A15．（倍數的特征）下面是四個用字母表示的五位數，其中a、b各代表一個數字，且，。那么一定既是3的倍數又是5的倍數的是()。A． B． C． D．【答案】C【分析】3的倍數特征：各個數位上的數字之和是3的倍數，這個數字就是3的倍數；5的倍數特征：末尾數字是0或5的數是5的倍數；若這個數是5的倍數，則這個五位數的個位數字一定是a，且5位數相加的和是3的倍數，即3b。據此解答即可。【詳解】A．的個位數字是b，不符合題意；B．的個位數字是b，不符合題意；C．的個位數字是a，且有3個b，符合題意；D．的個位數字是a，但只有2個b，不符合題意。故答案為：C16．（因數和倍數綜合）奇思的日記本有密碼鎖，密碼是一個五位數。第一個數字是最小的質數，第二個數字既是偶數又是3的倍數，第三個數字是7，第四個數字是最小的合數，第五個數字是質數中最大的一位數，這個密碼是()。A．16729 B．26747 C．16749 D．26729【答案】B【分析】第一個數字是最小的質數，最小的質數是2，所以第一個數是2，第二個數字既是偶數又是3的倍數，因為一個位上只有一個數字，所以第二個數是6，第三個數字是7，第四個數字是最小的合數，最小的合數是4，所以第四個數是4，第五個數字是質數中最大的一位數，一位數中最大的質數是7，所以這個數是26747。【詳解】密碼是一個五位數。第一個數字是最小的質數2，第二個數字既是偶數又是3的倍數6，第三個數字是7，第四個數字是最小的合數4，第五個數字是質數中最大的一位數7，這個密碼是26747。故答案為：B17．（奇數與偶數）明明和奇思下棋，通過擲骰子決定誰先走（骰子的6個面分別標有1～6）。公平的游戲規則是()。A．大于3，明明先走；小于3，奇思先走B．奇數，明明先走；偶數，奇思先走C．是3的倍數，明明先走；不是3的倍數，奇思先走D．質數，明明先走；合數，奇思先走【答案】B【分析】游戲規則的公平性就是指對游戲的雙方來說，機會是均等的，也就是雙方獲勝的可能性的大小相等。整數中，是2的倍數的數叫做偶數，不是2的倍數的數叫做奇數。3的倍數特征：一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。一個數，如果只有1和它本身兩個因數，那么這樣的數叫做質數。一個數，如果除了1和它本身還有別的因數，那么這樣的數叫做合數。【詳解】A．大于3的有：4、5、6；共3個；小于3的有：1、2；共2個；3＞2，明明先走的可能性大，所以游戲規則不公平；B．奇數有：1、3、5；共3個；偶數有：2、4、6；共3個；3＝3，明明、奇思先走的可能性一樣大，所以游戲規則公平；C．3的倍數有：3、6；共2個；不是3的倍數有：1、2、4、5；共4個；2＜4，奇思先走的可能性大，所以游戲規則不公平；D．質數有：2、3、5；共3個；合數有：4、6；共2個；3＞2，明明先走的可能性大，所以游戲規則不公平。故答案為：B18．（奇數與偶數的運算性質）在非0自然數中，〇表示一個奇數，□表示一個偶數，下列算式()的結果一定是合數。A．〇＋□ B．〇－□ C．〇×□ D．□×□【答案】D【分析】不能被2整除的數為奇數，因此任何奇數都可表示為2n＋1的形式；能被2整除的數為偶數，因此任何偶數都可表示為2n的形式，則可以設偶數為□＝2k，奇數為〇＝2k＋1（k為整數），將它們相加、相減、相乘、相除可得出結果。【詳解】偶數為□＝2k，奇數為○＝2k＋1（k為整數），〇＋□＝2k＋2k＋1＝4k＋1，4k是偶數，4k＋1一定是奇數，不一定是合數；〇－□＝2k＋1－2k＝1，1是既不是質數，也不是合數；〇×□＝2k×（2k＋1）＝2[k（2k＋1）]，是偶數，不一定是合數；□×□＝2k×2k＝4k2，4是合數，所以4k2一定是合數；故答案為：D【點睛】本題考查了奇數和偶數、質數與合數，掌握相關概念是解題的關鍵。19．（分解質因數）把30分解質因數是()。A．30＝5×6 B．30＝1×2×3×5 C．30＝2×3×5 D．2×3×5＝30【答案】C【分析】分解質因數就是把一個合數寫成幾個質數的連乘積形式，一般先從簡單的質數試著分解。【詳解】A．30＝5×6，6可以繼續分解成2×3，所以分解質因數錯誤；B．30＝1×2×3×5，其中1既不是質數，也不是合數，所以分解質因數錯誤；C．30＝2×3×5，分解質因數正確；D．2×3×5＝30，此題是求幾個數的積的運算，不是合數分解質因數，所以錯誤。故答案為：C20．（最大公因數與最小公倍數）用若干個長5厘米、寬3厘米的長方形拼成一個正方形，這個正方形的邊長至少是()厘米，面積是()平方厘米。A．8，64 B．15，225 C．30，900【答案】B【分析】根據題意，拼成的正方形的邊長至少是5和3的最小公倍數。再根據“正方形面積＝邊長×邊長”求出它的面積即可。【詳解】5×3＝15（厘米）15×15＝225（平方厘米）所以，這個正方形的邊長至少是15厘米，面積是225平方厘米。故答案為：B【點睛】本題考查了最小公倍數和正方形的面積，掌握最小公倍數的求法、正方形的面積公式是解題的關鍵。三、解答題。21．（因數與倍數）光明小學三年級組織了一次交通安全知識檢測，一班共50人全部參加，其中90分以上的超過了40人，已知一班超過90分以上的人數同時是2、3、4的倍數，請問一班90分以上的同學有多少人？【答案】48人【分析】同時是2、3、4的倍數有：12、24、36、48、60…，再根據一班共50人全部參加，其中90分以上的超過了40人可知這個數要大于40且小于等于50。據此解答即可。【詳解】同時是2、3、4的倍數有：12、24、36、48、60…因為班級一共50人，且90分以上的超過了40人，說明這個數要大于40且小于等于50，即這個數是48。答：一班90分以上的同學有48人。22．（探究）“哥德巴赫猜想”被譽為“數學皇冠上的明珠”，內容是“任何大于2的偶數都可以表示成兩個質數的和。”請你試舉幾例證明這一猜想，并把例子寫在下面。【答案】4＝2＋2；8＝3＋5；10＝3＋7（答案不唯一）【分析】能被2整除的數是偶數，大于2的偶數有4，6，8，10……；質數是指在大于1的自然數中，除了1和它本身以外不再有其他因數的自然數，比如2，3，5，7，11，13，17，19……。據此舉例解答。【詳解】4＝2＋2；8＝3＋5；10＝3＋7（答案不唯一）通過示例能夠證明“任何大于2的偶數都可以表示成兩個質數的和”這一猜想。23．（最大公因數與最小公倍數）王老師每3天去一次圖書館，張老師每4天去一次圖書館。12月3日，他們在圖書館相遇，12月份他們還會在哪幾日相遇？【答案】12月15日和12月27日【分析】兩數互質，最小公倍數是兩數的積。求出兩人間隔時間的最小公倍數是兩人同時去圖書館的間隔時間，12月份有31天，根據起點時間＋經過時間＝終點時間，推算出12月份同時去圖書館的日期即可。【詳解】3×4＝12（天）3＋12＝15（日）15＋12＝27（日）答：12月份他們還會在12月15日和12月27日相遇。24．（最大公因數與最小公倍數）五年級一班的學生進行隊列表演，每行16人或12人都正好是整行。已知這個班的學生人數不超過50人，你能算出這個班有多少人參加隊列表演嗎？【答案】48人【分析】求這個班有多少人參加隊列表演，就是求16和12