學(xué)霸筆記：20212022學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列（人教版）六上第五單元《圓》重難點(diǎn)題型（3）（解析版）【題型15圓的面積（剪切后的面積）】【例15】在一個(gè)長方形紙片上剪出兩個(gè)大小一樣的圓后，正好又剪出一個(gè)正方形（如圖）。已知圓的半徑是5cm，那么這個(gè)長方形的面積是多少？剪下的正方形的面積是多少？解：正方形的邊長：5×2×2=20（cm），原長方形長：20+5×2=30（cm），面積：30×20=600（cm2），剪下的正方形面積：20×20=400（cm2）。答：原來長方形鐵皮的面積是600cm2，剪下的正方形的面積是400cm2。點(diǎn)撥：圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系：正方形邊長=兩個(gè)圓的直徑，長方形長=正方形邊長+一個(gè)圓直徑，長方形寬=正方形邊長。【變式151】把一張圓形紙片剪成兩個(gè)相等的半圓，它的周長增加了10cm，這個(gè)圓的面積是多少？解：圓的半徑：10÷2÷2=2.5（厘米），圓的面積：3.14×2.52=3.14×6.25=19.625（cm2）答：這個(gè)圓的面積是19.625平方厘米。點(diǎn)撥：題目中隱含條件，一個(gè)圓剪成兩個(gè)相等的半圓后，周長增加兩條直徑。【變式152】在一個(gè)邊長是10厘米的正方形中剪一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的面積是正方形面積的______%。解：3.14×（10÷2）2=3.14×25=78.5（平方厘米）；正方形的面積為：10×10=100（平方厘米），所以78.5÷100=78.5%；答：這個(gè)圓的面積是正方形面積的78.5%．故答案為：78.5。【變式153】（方中圓）（1）在正方形內(nèi)剪一個(gè)最大的圓，圓的面積占正方形面積的（π4）（填分?jǐn)?shù)）（圓中方）（2）在一個(gè)圓內(nèi)剪一個(gè)最大的正方形，正方形的面積占圓面積的（2π）（填分?jǐn)?shù)）解：假設(shè)圓的半徑為r，（1）圓面積：πr2，正方形面積：4r2，所以，圓面積正方形面積=π（2）圓面積：πr2，正方形面積：2r2，所以，正方形面積圓面積=2【題型16圓環(huán)的面積及應(yīng)用】【例16】如圖，已知陰影部分的面積是5cm2，求圓環(huán)的面積。解：12R212r12（R2r2）R2r2=103.14×10=31.4（cm2）；答：圓環(huán)的面積是31.4平方厘米。點(diǎn)撥：圖形隱含的等量關(guān)系：大圓、小圓半徑的平方差，等于陰影部分面積的2倍。【變式161】校園里有一個(gè)直徑是8.4米的圓形花圃，在它的周圍鋪一條寬1米的小路，這條小路的面積是多少平方米？解：3.14×(8.4÷2+1)2－3.14×(8.4÷2)2=84.905655.3896=29.516（平方米）。答：這條小路的面積是29.516平方米。點(diǎn)撥：求小路的面積，實(shí)際上是求圓環(huán)的面積。【變式162】劉叔叔承包了一個(gè)半徑為40米的圓形養(yǎng)魚池，養(yǎng)魚池中間有一個(gè)直徑為6米的小島。養(yǎng)魚池的水面面積是多少？解：3.14×4023.14×(6÷2)2=3.14×16003.14×9=502428.26=4995.74（平方米）；答：能夠養(yǎng)魚的水面面積是4995.74平方米。點(diǎn)撥：能夠養(yǎng)魚的水面是環(huán)形，環(huán)形面積=外圓面積內(nèi)圓面積。【變式163】一個(gè)圓環(huán)的外圓直徑是內(nèi)圓直徑的2倍，這個(gè)圓環(huán)面積是內(nèi)圓面積的幾倍？解：設(shè)內(nèi)圓的半徑為r，外圓半徑為2r，圓形面積內(nèi)圓面積=答：這個(gè)圓環(huán)面積是內(nèi)圓面積的3倍.點(diǎn)撥：先運(yùn)用圓環(huán)的面積公式求出圓環(huán)的面積，最后用圓環(huán)的面積比內(nèi)圓面積即可。【題型17圓的面積及應(yīng)用（動(dòng)物活動(dòng)范圍問題）】【例17】如圖，一只羊被4米長的繩子拴在長為3米，寬為2米的長方形水泥臺(tái)的一個(gè)頂點(diǎn)上，水泥臺(tái)的周圍都是草地，問這頭羊能吃到草的草地面積是多少？（結(jié)果精確到0.01平方米）解：270360×3.14×42+14×3.14×（42）2+14×3.14×（4=34×3.14×16+14×3.14×4+1=37.68+3.14+0.785=41.605≈41.61（平方米）。答：這頭羊能吃到草的草地面積約為41.61平方米。點(diǎn)撥：如下圖，羊可以吃到草的范圍可以分成三部分：半徑為4米，圓心角為360°90°=270°的扇形的面積部分；半徑為42=2米的14圓的面積；半徑為43=1（米）的14圓的面積【變式171】圖中，一只小狗被系在邊長為4米的等邊三角形建筑物的墻角上，繩長6米，這只小狗最多能到達(dá)的總面積是多少平方米？（狗的長度不計(jì)，計(jì)算過程中取π≈3）解：3×62×300360+3×(64)2×120360=3×36×56+3×4×13=90+8=98（平方米）。答：這只小狗最多能到達(dá)的總面積是98平方米。點(diǎn)撥：小狗所能到的地方的總面積是半徑是6米，圓心角是300°的扇形面積加上兩個(gè)半徑是（64）米，圓心角是120°的扇形面積的和。【變式172】如圖，一頭羊被7米長的繩子拴在正五邊形建筑物的一個(gè)頂點(diǎn)上，建筑物邊長3米，周圍都是草地，這頭羊能吃到草的草地面積可達(dá)多少平方米？（π=3）解：π×72×252360+π×42×72360×2+π×12×72=34.3π+6.4π+0.4π=41.1π=129.05（平方米）。答：羊能吃到草的草地面積可達(dá)129.05平方米。點(diǎn)撥：首先要分析羊可以吃到的草的最大面積由三部分組成，第一部分：以點(diǎn)A為圓心，以7米長為半徑，圓心角為252°的扇形面積；

第二部分：分別以點(diǎn)B和點(diǎn)E為圓心，以4米長為半徑，圓心角為72°的兩個(gè)扇形面積；第三部分：分別以點(diǎn)C和D為圓心，以1米長為半徑，圓心角為72°的兩個(gè)扇形面積；再結(jié)合扇形的面積公式，將以上三部分的面積相加，即可得到羊能吃到草的面積。【變式173】如圖，有一只狗被拴在一建筑物的墻角上，這個(gè)建筑物的地基是邊長600厘米的正方形，拴狗的繩長20米。現(xiàn)在狗從A點(diǎn)出發(fā)，將繩拉緊順時(shí)針跑，可跑多少米？解：600厘米=6米，20×2×3.14×14+2×3.14×（206）×14+2×3.14×（2066）×14+2×3.14×（20666=31.4+21.98+12.56+3.14=69.08（米），答：可以跑69.08米。點(diǎn)撥：首先統(tǒng)一長度單位，600厘米=6米；狗先跑了以20米為半徑的14圓的周長的長度；又跑了以（206）米為半徑的14圓的周長的長度；再以（2066）米為半徑的14圓的周長的長度；最后跑了以（20666）米為半徑的14圓的周長的長度；由此根據(jù)圓的周長公式C=2π【題型18陰影部分的面積（容斥原理的應(yīng)用）】【例18】圖中正方形的邊長是10cm，求陰影部分的面積。解：2×3.14×（10÷2）2102=2×3.14×25100=157100=57（平方厘米）。答：陰影部分的面積為57平方厘米。點(diǎn)撥：陰影部分的面積=2個(gè)直徑為10厘米的圓的面積邊長為10厘米的正方形的面積。【變式181】如圖所示，一塊邊長為8m的正方形草地，在圖中相對(duì)的頂點(diǎn)處各拴有一只羊，拴羊的繩長都是8m．兩只羊都能吃到草的草地面積（陰影部分）是多少平方米？解：3.14×82×14×2﹣82＝100.48﹣64＝36.48（平方米）。答：兩只羊都能吃到草的面積是36.48平方米。點(diǎn)撥：陰影部分的面積=1個(gè)直徑為8厘米的半圓的面積邊長為8厘米的正方形的面積。【變式182】已知等腰直角三角形ABC面積是12平方厘米，求陰影部分的面積。解：設(shè)等腰直角三角形ABC的直角邊為a，則12a2=12，解得a2=24扇形ABD的面積：18πa2=3π=9.42空白部分BCD的面積：129.42=2.58（平方厘米），半圓面積：12π（a÷2）2=18×3.14×陰影面積：9.422.58=6.84（平方厘米）。答：陰影部分面積是6.84平方厘米。點(diǎn)撥：陰影部分的面積=半圓面積里面的空白面積=半圓面積（三角形面積扇形面積）=半圓面積三角形面積+扇形面積。【變式183】如圖，正方形的邊長10厘米，那么圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？解：陰影部分面積：12×3.14×52+18×3.14×10212=28.5（平方厘米）。答:陰影部分的面積是28.5平方厘米。點(diǎn)撥：陰影部分面積=半圓面積+扇形面積直角三角形面積。【題型19陰影部分的面積（割補(bǔ)法）】【例19】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，圓的半徑是4cm，求陰影部分的面積。解：把半圓內(nèi)的陰影部分從左邊割下補(bǔ)到右邊，陰影部分即成為一個(gè)底為半圓直徑，高是半圓半徑的三角形，12×4×2×4=16（cm2）答：陰影部分的面積為16cm2。點(diǎn)撥：把半圓內(nèi)的陰影部分從左邊割下補(bǔ)到右邊，陰影部分即成為三角形；接著分析出三角形的底和高的值，根據(jù)面積公式即可求出結(jié)果。【變式191】已知圖中是一個(gè)等腰直角三角形，直角邊長8厘米，求圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）解：8÷2=4（厘米），陰影部分的面積：（3.14×42×90360﹣4×4÷2）×=（12.56﹣8）×2=4.56×2=9.12（平方厘米）。答：陰影部分的面積是9.12平方厘米。點(diǎn)撥：【分析】如圖，O是圓心，連接半徑OA，OB，連接AB，則AB把陰影部分的面積平均分成了2份，其中一份正好是扇形AOB的面積與三角形AOB的面積之差，由此利用扇形和三角形的面積公式即可求出陰影部分的面積的一半，再乘2即可解答。【變式192】如圖，四邊形ABCD是邊長為10cm的正方形，且AB是半圓的直徑，則陰影部分的面積是多少平方厘米？解：10×10÷4=25（cm2）答：陰影部分的面積是25平方厘米。【變式193】如圖，A為半圓圓周的中點(diǎn)，求陰影部分的面積。（單位：厘米）解：過A點(diǎn)作BC的垂線，交BC于F，則陰影部分的面積等于圖形的總面積的一半減去△ABF的面積。S陰影=[3.14×（102）2÷2+10×10]÷2（10+10÷2）×（10÷2）÷2=32.125（cm2點(diǎn)撥：陰影部分的面積=12圖形的總面積△【題型20陰影部分的面積（面積與旋轉(zhuǎn)）】【例20】如圖，是一個(gè)直徑為3的半圓，讓這個(gè)半圓以點(diǎn)A為軸沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60度，此時(shí)B點(diǎn)移動(dòng)到B′點(diǎn)，求陰影部分的面積。（圖中長度單位為cm，圓周率按3計(jì)算）解：60360×3×=1.5×3=4.5（平方厘米）。答：圖中陰影部分的面積是4.5平方厘米。點(diǎn)撥：陰影部分的面積=以AB′為直徑的半圓的面積+扇形ABB′的面積以AB′為直徑的半圓的面積=扇形ABB′的面積。【變式201】一個(gè)直徑為3厘米的半圓，讓A點(diǎn)不動(dòng)，把整個(gè)半圓順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，此時(shí)點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)B1處（如圖），求圖中陰影部分的面積。解：60360×3.14×3×=16×3.14×3×=4.71（平方厘米）。答：圖中陰影部分的面積是4.71平方厘米。點(diǎn)撥：陰影部分的面積等于以AB1為直徑的半圓的面積加扇形ABB1的面積以AB為直徑的半圓的面積；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的知識(shí)可知，以AB為直徑的半圓的面積和以AB1為直徑的半圓的面積是相等的，因此陰影部分的面積就等于扇形ABB1的面積；根據(jù)扇形的面積公式求出結(jié)果即可。【變式202】如圖，直角三角形ABC的斜邊AB為10厘米，∠ABC＝60°，此時(shí)BC為5厘米，以點(diǎn)B為中心，將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，點(diǎn)A，C分別到達(dá)點(diǎn)E，D的位置，求AC邊掃過的圖形即圖中陰影部分的面積。（π取3.14）解：13×3.14×(10252)＝78.5(平方厘米)答：AC邊掃過的面積為78.5平方厘米。點(diǎn)撥：如圖，把左邊的那部分移到右邊來，變成了圓心角為120度的圓環(huán)。【變式203】奧運(yùn)會(huì)的會(huì)徽是五環(huán)圖，一個(gè)五環(huán)圖是由內(nèi)圓直徑為6厘米，外圓直徑為8厘米的五環(huán)組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形(陰影部分)的面積都相等，已知五個(gè)圓環(huán)蓋住的面積是77.1平方厘米，求每個(gè)小曲邊四邊形的面積。解：一個(gè)圓環(huán)面積為：3.14×[(8÷2)2(6÷2)2]，=3.14×7，=21.98(平方厘米)，所以一個(gè)小曲邊四邊形面積為：(21.98×577.1)÷8，=(109.977.1)÷8，=32.8÷8，=4.1(平方厘米)．答：每個(gè)小曲邊四邊形的面積是4.1平方厘米．點(diǎn)撥：五個(gè)圓環(huán)蓋住的面積=5個(gè)圓環(huán)的面積之和8個(gè)小曲邊四邊形面積，根據(jù)圓環(huán)面積=π(大圓半徑的平方小圓半徑的平方)，計(jì)算出一個(gè)圓環(huán)的面積，再乘5就是5個(gè)圓環(huán)面積，所以一個(gè)小曲邊四邊形面積=(5個(gè)圓環(huán)的面積之和77.1)÷8，代數(shù)計(jì)算即可。【題型21陰影部分的面積（蝴蝶定理等）】【例21】下圖中兩個(gè)正方形的邊長分別是8厘米和10厘米，求陰影部分的面積。解：圖中進(jìn)行點(diǎn)標(biāo)注，并連接小正方形對(duì)角線，陰影部分面積=14×3.14×10=78.5（平方厘米）。答：陰影部分的面積為78.5平方厘米。點(diǎn)撥：在梯形ABCD中，△AOB面積=△COD面積；陰影部分的面積=半徑為10厘米圓面積的四分之一。【變式211】求下圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）解：3.14×52×145×5×12+4×5=19.62512.5+10=17.125（平方厘米）。答：陰影部分的面積是17.125平方厘米。點(diǎn)撥：陰影部分可分解成一個(gè)弓形和一個(gè)鈍角三角形。弓形的面積=14個(gè)半徑為5厘米的圓的面積直角邊長為5厘米的等腰直角三角形的面積。三角形的面積=底×高×12，本題中鈍角三