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文檔簡介
學霸筆記:20212022學年六年級數學上冊舉一反三系列(人教版)六上第五單元《圓》重難點題型(3)(解析版)【題型15圓的面積(剪切后的面積)】【例15】在一個長方形紙片上剪出兩個大小一樣的圓后,正好又剪出一個正方形(如圖)。已知圓的半徑是5cm,那么這個長方形的面積是多少?剪下的正方形的面積是多少?解:正方形的邊長:5×2×2=20(cm),原長方形長:20+5×2=30(cm),面積:30×20=600(cm2),剪下的正方形面積:20×20=400(cm2)。答:原來長方形鐵皮的面積是600cm2,剪下的正方形的面積是400cm2。點撥:圖形中隱含的數量關系:正方形邊長=兩個圓的直徑,長方形長=正方形邊長+一個圓直徑,長方形寬=正方形邊長。【變式151】把一張圓形紙片剪成兩個相等的半圓,它的周長增加了10cm,這個圓的面積是多少?解:圓的半徑:10÷2÷2=2.5(厘米),圓的面積:3.14×2.52=3.14×6.25=19.625(cm2)答:這個圓的面積是19.625平方厘米。點撥:題目中隱含條件,一個圓剪成兩個相等的半圓后,周長增加兩條直徑。【變式152】在一個邊長是10厘米的正方形中剪一個最大的圓,這個圓的面積是正方形面積的______%。解:3.14×(10÷2)2=3.14×25=78.5(平方厘米);正方形的面積為:10×10=100(平方厘米),所以78.5÷100=78.5%;答:這個圓的面積是正方形面積的78.5%.故答案為:78.5。【變式153】(方中圓)(1)在正方形內剪一個最大的圓,圓的面積占正方形面積的(π4)(填分數)(圓中方)(2)在一個圓內剪一個最大的正方形,正方形的面積占圓面積的(2π)(填分數)解:假設圓的半徑為r,(1)圓面積:πr2,正方形面積:4r2,所以,圓面積正方形面積=π(2)圓面積:πr2,正方形面積:2r2,所以,正方形面積圓面積=2【題型16圓環的面積及應用】【例16】如圖,已知陰影部分的面積是5cm2,求圓環的面積。解:12R212r12(R2r2)R2r2=103.14×10=31.4(cm2);答:圓環的面積是31.4平方厘米。點撥:圖形隱含的等量關系:大圓、小圓半徑的平方差,等于陰影部分面積的2倍。【變式161】校園里有一個直徑是8.4米的圓形花圃,在它的周圍鋪一條寬1米的小路,這條小路的面積是多少平方米?解:3.14×(8.4÷2+1)2-3.14×(8.4÷2)2=84.905655.3896=29.516(平方米)。答:這條小路的面積是29.516平方米。點撥:求小路的面積,實際上是求圓環的面積。【變式162】劉叔叔承包了一個半徑為40米的圓形養魚池,養魚池中間有一個直徑為6米的小島。養魚池的水面面積是多少?解:3.14×4023.14×(6÷2)2=3.14×16003.14×9=502428.26=4995.74(平方米);答:能夠養魚的水面面積是4995.74平方米。點撥:能夠養魚的水面是環形,環形面積=外圓面積內圓面積。【變式163】一個圓環的外圓直徑是內圓直徑的2倍,這個圓環面積是內圓面積的幾倍?解:設內圓的半徑為r,外圓半徑為2r,圓形面積內圓面積=答:這個圓環面積是內圓面積的3倍.點撥:先運用圓環的面積公式求出圓環的面積,最后用圓環的面積比內圓面積即可。【題型17圓的面積及應用(動物活動范圍問題)】【例17】如圖,一只羊被4米長的繩子拴在長為3米,寬為2米的長方形水泥臺的一個頂點上,水泥臺的周圍都是草地,問這頭羊能吃到草的草地面積是多少?(結果精確到0.01平方米)解:270360×3.14×42+14×3.14×(42)2+14×3.14×(4=34×3.14×16+14×3.14×4+1=37.68+3.14+0.785=41.605≈41.61(平方米)。答:這頭羊能吃到草的草地面積約為41.61平方米。點撥:如下圖,羊可以吃到草的范圍可以分成三部分:半徑為4米,圓心角為360°90°=270°的扇形的面積部分;半徑為42=2米的14圓的面積;半徑為43=1(米)的14圓的面積【變式171】圖中,一只小狗被系在邊長為4米的等邊三角形建筑物的墻角上,繩長6米,這只小狗最多能到達的總面積是多少平方米?(狗的長度不計,計算過程中取π≈3)解:3×62×300360+3×(64)2×120360=3×36×56+3×4×13=90+8=98(平方米)。答:這只小狗最多能到達的總面積是98平方米。點撥:小狗所能到的地方的總面積是半徑是6米,圓心角是300°的扇形面積加上兩個半徑是(64)米,圓心角是120°的扇形面積的和。【變式172】如圖,一頭羊被7米長的繩子拴在正五邊形建筑物的一個頂點上,建筑物邊長3米,周圍都是草地,這頭羊能吃到草的草地面積可達多少平方米?(π=3)解:π×72×252360+π×42×72360×2+π×12×72=34.3π+6.4π+0.4π=41.1π=129.05(平方米)。答:羊能吃到草的草地面積可達129.05平方米。點撥:首先要分析羊可以吃到的草的最大面積由三部分組成,第一部分:以點A為圓心,以7米長為半徑,圓心角為252°的扇形面積;
第二部分:分別以點B和點E為圓心,以4米長為半徑,圓心角為72°的兩個扇形面積;第三部分:分別以點C和D為圓心,以1米長為半徑,圓心角為72°的兩個扇形面積;再結合扇形的面積公式,將以上三部分的面積相加,即可得到羊能吃到草的面積。【變式173】如圖,有一只狗被拴在一建筑物的墻角上,這個建筑物的地基是邊長600厘米的正方形,拴狗的繩長20米。現在狗從A點出發,將繩拉緊順時針跑,可跑多少米?解:600厘米=6米,20×2×3.14×14+2×3.14×(206)×14+2×3.14×(2066)×14+2×3.14×(20666=31.4+21.98+12.56+3.14=69.08(米),答:可以跑69.08米。點撥:首先統一長度單位,600厘米=6米;狗先跑了以20米為半徑的14圓的周長的長度;又跑了以(206)米為半徑的14圓的周長的長度;再以(2066)米為半徑的14圓的周長的長度;最后跑了以(20666)米為半徑的14圓的周長的長度;由此根據圓的周長公式C=2π【題型18陰影部分的面積(容斥原理的應用)】【例18】圖中正方形的邊長是10cm,求陰影部分的面積。解:2×3.14×(10÷2)2102=2×3.14×25100=157100=57(平方厘米)。答:陰影部分的面積為57平方厘米。點撥:陰影部分的面積=2個直徑為10厘米的圓的面積邊長為10厘米的正方形的面積。【變式181】如圖所示,一塊邊長為8m的正方形草地,在圖中相對的頂點處各拴有一只羊,拴羊的繩長都是8m.兩只羊都能吃到草的草地面積(陰影部分)是多少平方米?解:3.14×82×14×2﹣82=100.48﹣64=36.48(平方米)。答:兩只羊都能吃到草的面積是36.48平方米。點撥:陰影部分的面積=1個直徑為8厘米的半圓的面積邊長為8厘米的正方形的面積。【變式182】已知等腰直角三角形ABC面積是12平方厘米,求陰影部分的面積。解:設等腰直角三角形ABC的直角邊為a,則12a2=12,解得a2=24扇形ABD的面積:18πa2=3π=9.42空白部分BCD的面積:129.42=2.58(平方厘米),半圓面積:12π(a÷2)2=18×3.14×陰影面積:9.422.58=6.84(平方厘米)。答:陰影部分面積是6.84平方厘米。點撥:陰影部分的面積=半圓面積里面的空白面積=半圓面積(三角形面積扇形面積)=半圓面積三角形面積+扇形面積。【變式183】如圖,正方形的邊長10厘米,那么圖中陰影部分的面積是多少平方厘米?解:陰影部分面積:12×3.14×52+18×3.14×10212=28.5(平方厘米)。答:陰影部分的面積是28.5平方厘米。點撥:陰影部分面積=半圓面積+扇形面積直角三角形面積。【題型19陰影部分的面積(割補法)】【例19】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,圓的半徑是4cm,求陰影部分的面積。解:把半圓內的陰影部分從左邊割下補到右邊,陰影部分即成為一個底為半圓直徑,高是半圓半徑的三角形,12×4×2×4=16(cm2)答:陰影部分的面積為16cm2。點撥:把半圓內的陰影部分從左邊割下補到右邊,陰影部分即成為三角形;接著分析出三角形的底和高的值,根據面積公式即可求出結果。【變式191】已知圖中是一個等腰直角三角形,直角邊長8厘米,求圖中陰影部分的面積。(單位:厘米)解:8÷2=4(厘米),陰影部分的面積:(3.14×42×90360﹣4×4÷2)×=(12.56﹣8)×2=4.56×2=9.12(平方厘米)。答:陰影部分的面積是9.12平方厘米。點撥:【分析】如圖,O是圓心,連接半徑OA,OB,連接AB,則AB把陰影部分的面積平均分成了2份,其中一份正好是扇形AOB的面積與三角形AOB的面積之差,由此利用扇形和三角形的面積公式即可求出陰影部分的面積的一半,再乘2即可解答。【變式192】如圖,四邊形ABCD是邊長為10cm的正方形,且AB是半圓的直徑,則陰影部分的面積是多少平方厘米?解:10×10÷4=25(cm2)答:陰影部分的面積是25平方厘米。【變式193】如圖,A為半圓圓周的中點,求陰影部分的面積。(單位:厘米)解:過A點作BC的垂線,交BC于F,則陰影部分的面積等于圖形的總面積的一半減去△ABF的面積。S陰影=[3.14×(102)2÷2+10×10]÷2(10+10÷2)×(10÷2)÷2=32.125(cm2點撥:陰影部分的面積=12圖形的總面積△【題型20陰影部分的面積(面積與旋轉)】【例20】如圖,是一個直徑為3的半圓,讓這個半圓以點A為軸沿逆時針方向旋轉60度,此時B點移動到B′點,求陰影部分的面積。(圖中長度單位為cm,圓周率按3計算)解:60360×3×=1.5×3=4.5(平方厘米)。答:圖中陰影部分的面積是4.5平方厘米。點撥:陰影部分的面積=以AB′為直徑的半圓的面積+扇形ABB′的面積以AB′為直徑的半圓的面積=扇形ABB′的面積。【變式201】一個直徑為3厘米的半圓,讓A點不動,把整個半圓順時針旋轉60°,此時點B移動到點B1處(如圖),求圖中陰影部分的面積。解:60360×3.14×3×=16×3.14×3×=4.71(平方厘米)。答:圖中陰影部分的面積是4.71平方厘米。點撥:陰影部分的面積等于以AB1為直徑的半圓的面積加扇形ABB1的面積以AB為直徑的半圓的面積;根據旋轉的知識可知,以AB為直徑的半圓的面積和以AB1為直徑的半圓的面積是相等的,因此陰影部分的面積就等于扇形ABB1的面積;根據扇形的面積公式求出結果即可。【變式202】如圖,直角三角形ABC的斜邊AB為10厘米,∠ABC=60°,此時BC為5厘米,以點B為中心,將△ABC順時針旋轉120°,點A,C分別到達點E,D的位置,求AC邊掃過的圖形即圖中陰影部分的面積。(π取3.14)解:13×3.14×(10252)=78.5(平方厘米)答:AC邊掃過的面積為78.5平方厘米。點撥:如圖,把左邊的那部分移到右邊來,變成了圓心角為120度的圓環。【變式203】奧運會的會徽是五環圖,一個五環圖是由內圓直徑為6厘米,外圓直徑為8厘米的五環組成,其中兩兩相交的小曲邊四邊形(陰影部分)的面積都相等,已知五個圓環蓋住的面積是77.1平方厘米,求每個小曲邊四邊形的面積。解:一個圓環面積為:3.14×[(8÷2)2(6÷2)2],=3.14×7,=21.98(平方厘米),所以一個小曲邊四邊形面積為:(21.98×577.1)÷8,=(109.977.1)÷8,=32.8÷8,=4.1(平方厘米).答:每個小曲邊四邊形的面積是4.1平方厘米.點撥:五個圓環蓋住的面積=5個圓環的面積之和8個小曲邊四邊形面積,根據圓環面積=π(大圓半徑的平方小圓半徑的平方),計算出一個圓環的面積,再乘5就是5個圓環面積,所以一個小曲邊四邊形面積=(5個圓環的面積之和77.1)÷8,代數計算即可。【題型21陰影部分的面積(蝴蝶定理等)】【例21】下圖中兩個正方形的邊長分別是8厘米和10厘米,求陰影部分的面積。解:圖中進行點標注,并連接小正方形對角線,陰影部分面積=14×3.14×10=78.5(平方厘米)。答:陰影部分的面積為78.5平方厘米。點撥:在梯形ABCD中,△AOB面積=△COD面積;陰影部分的面積=半徑為10厘米圓面積的四分之一。【變式211】求下圖中陰影部分的面積。(單位:厘米)解:3.14×52×145×5×12+4×5=19.62512.5+10=17.125(平方厘米)。答:陰影部分的面積是17.125平方厘米。點撥:陰影部分可分解成一個弓形和一個鈍角三角形。弓形的面積=14個半徑為5厘米的圓的面積直角邊長為5厘米的等腰直角三角形的面積。三角形的面積=底×高×12,本題中鈍角三
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