奧數拓展第八講：數與形數學五年級上冊人教版一、選擇題1．……第5個點陣有（

）個點。A．16 B．18 C．212．在2022年元旦聯歡會上，五（1）班舉行了用火柴棒擺“金魚”比賽。按照下面的規律擺下去，擺8條“金魚”需要（

）根火柴棒。A．50 B．38 C．26 D．623．用黑白兩顏色的正六邊形地面磚按如右圖所示的規律拼成若干個圖案：像這樣繼續擺下去，擺第n幅圖案共用（

）個白色地面磚。A．6n B．4n－1 C．1＋4n D．2＋4n4．按照下面的規律擺圖形，第n幅圖需要小棒（

）根。A． B． C． D．5．擺一個三角形用3根小棒，增加1個三角形，多用2根小棒。擺a個三角形共用（

）根小棒。A．3＋2a B．2a＋1 C．1＋3a6．如下圖，淘氣用小棒擺圖形，他擺一個五邊形用了5根小棒，擺2個五邊形用了9根小棒……，照這樣擺下去，擺n個五邊形需要（

）根小棒。A．5n B．4n C．5n－1 D．4n＋1二、填空題7．…笑笑像這樣擺10個，需要()根小棒。8．如下表所示，用若干個相同的小正方體擺在一起，按照這樣的擺法，請完成下表。正方體個數1234…n（n＞3）圖形

……

露在外面小正方形的個數5913()…()9．觀察下面每個圖中圓的排列規律，再填空。1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝()＝()×()。10．先觀察下列圖形的規律，再填空。第8個圖形由（

）個小三角形組成的。11．如下圖是用棋子擺成的“上”字，如果照這樣的規律擺下去，擺第5個“上”字需要()枚棋子，擺第20個“上”需要()枚棋子，126枚棋子擺的是第()個“上”字。12．填一填。(1)觀察下面每個圖形中小正方形的排列規律，并填空。

1＋2＋1＝4＝2×2

1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3

1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝()＝()×()(2)根據發現的規律，計算1＋2＋3＋4＋…＋48＋49＋50＋49＋48＋…＋4＋3＋2＋1＝()。13．一列分數：、、、、、、…，按規律，是這列分數中的第()個。14．下面是按照一定規律畫出的一列“樹型”圖。……經觀察可以發現：圖（2）比圖（1）多出2個“樹枝”，圖（3）比圖（2）多出5個“樹枝”，圖（4）比圖（3）多出10個“樹枝”，照此規律，圖（7）比圖（6）多出()個“樹枝”。三、解答題15．如果每個正方形的邊長均為3厘米，那么如下圖搭6層后圖形的周長是多少？如果搭20層，那么周長又是多少呢？16．餐桌中的規律。……（1）根據擺放規律完成。桌子張數1234…7可坐人數（

）（

）（

）（

）…（

）（2）按照上面的擺放規律，28人聚餐，應擺放多少張桌子？17．用小棒按照下圖中的方式擺圖形。（1）擺1個八邊形需要多少根小棒？擺2個呢？擺3個呢？（2）照這樣擺下去，擺20個八邊形需要多少根小棒？（3）295根小棒可以擺多少個八邊形？18．按下圖中的方式擺放三角形積木，如果最下層放21塊，那么共需放幾層？19．淘氣和笑笑用小棒按下圖的順序擺八邊形。

（1）根據上圖填表。八邊形的數量12345…n小棒的數量81522（

）（

）…（

）（2）如果擺成7個八邊形，需要（

）根小棒。（3）當n＝20時，需要多少根小棒？用85根小棒能擺多少個八邊形？20．點陣中的規律。

第1個

第2個

第3個

第4個

第5個2×1

2×2

2×3

（

）

（

）（1）請畫出后面的圖形并填空。（2）想一想，第12個圖形一共有（

）個點。（3）是否存在某個圖形有62個點，若存在，求出是第幾個圖形；若不存在，請說明理由。

參考答案：1．B【分析】觀察可知，點陣有3行，下邊1行比上邊1行多1個點，第幾個點陣就從幾開始依次3個數相加，據此分析。【詳解】5＋6＋7＝18（個）第5個點陣有18個點。故答案為：B【點睛】數和圖形的規律是相對應的，圖形的排列有什么變化規律，數的排列就有相應的變化規律。2．A【分析】通過觀察，一個“金魚”用2＋6＝8（根）火柴棒，兩個“金魚”用2＋6＋6＝14（根）火柴棒，三個“金魚”用2＋6＋6＋6＝20（根）火柴棒，……以此類推，即可得解。【詳解】按照以上規律，擺n個“金魚”需用火柴棒的根數為（2＋6n）；所以擺8條“金魚”需要火柴棒：2＋6×8＝2＋48＝50（根）擺8條“金魚”需要50根火柴棒。故答案為：A【點睛】認真觀察，發現規律是解決此題的關鍵。3．D【分析】由圖可知，第一個圖案有6個白色地磚，第二個圖案有6＋4個白色地磚，第三個圖案有6＋4＋4個地磚，據此可以推斷每次只需要增加4個白色地磚，第n個圖案需要6＋4（n－1）個白色地磚。【詳解】6＋4（n－1）＝6＋4n－4＝4n＋2（個）擺第n幅圖案共用（4n＋2）個白色地磚故答案為：D【點睛】此題考查學生的歸納總結能力以及含有字母的式子的化簡。4．C【分析】觀察圖形，第1幅圖搭一個小正方形需要4根小棒，第2幅圖搭兩個小正方形需要（4＋3）根小棒，第3幅圖搭三個小正方形需要（4＋3×2）根小棒，每搭一個正方形，小棒數量比前一個多3根，依次類推，求出第n幅圖搭n個這樣的小正方形需要[4＋3×（n?1）]根小棒。【詳解】4＋3×（n?1）＝4＋3n－3×1＝4－3＋3n＝（3n＋1）根即第n幅圖需要小棒（3n＋1）根。故答案為：C【點睛】此題的解題關鍵是利用數與形的結合，通過觀察圖形，把圖形中變化的規律轉化成數字，多多練習，培養數感。5．B【分析】觀察圖形可知，擺1個三角形用3根小棒，3＝1＋1×2；擺2個三角形用5根小棒，5＝1＋2×2；擺3個三角形用7根小棒，7＝1＋3×2；擺4個三角形用9根小棒，9＝1＋4×2……，由此可得：小棒的根數＝1＋三角形的個數×2，據此解答。【詳解】小棒的根數＝1＋三角形的個數×2，則擺a個三角形共用：（1＋2a）或（2a＋1）根小棒。故答案為：B【點睛】本題考查數形結合問題。通過觀察分析，發現小棒的根數和三角形的個數之間的關系是解題的關鍵。6．D【分析】看圖，每多擺一個五邊形，需要再加4根小棒。擺一個五邊形需要1＋4×1＝5（根）小棒，擺2個五邊形需要1＋4×2＝9（根）小棒，擺3個五邊形需要1＋4×3＝13（根）小棒，那么可以推測，擺n個五邊形需要（1＋4n）根小棒。【詳解】1＋4×n＝4n＋1所以，照這樣擺下去，擺n個五邊形需要（4n＋1）根小棒。故答案為：D【點睛】本題考查了圖形的變化規律，有一定觀察總結能力是解題的關鍵。7．31【分析】擺需要1＋3＝4（根）小棒；擺需要1＋3×2＝7（根）小棒；擺需要1＋3×3＝10（根）小棒；……由此發現規律：擺n個需要（1＋3n）根小棒。所以求擺10個需要的小棒根數，列式為1＋3×10。【詳解】1＋3×10＝1＋30＝31（根）所以擺10個需要31根小棒。【點睛】在運用數形結合的方法探究數學規律時，一定要把圖形和數一一對應。8．174n＋1【分析】觀察可知，1個小正方體露出5個小正方形，2個小正方體露出（5＋4）個小正方形，3個小正方體露出（5＋4×2）個小正方形……每增加1個小正方體就增加4個小正方形，那么n個小正方體露出[5＋4×（n－1）]個小正方形，最后求出n＝4時式子的值，據此解答。【詳解】n個小正方體露出小正方形的數量：5＋4×（n－1）＝5＋4n－4＝4n＋5－4＝（4n＋1）個當n＝4時。4n＋1＝4×4＋1＝16＋1＝17（個）正方體個數1234…n（n＞3）圖形

……

露在外面小正方形的個數591317…4n＋1【點睛】本題主要考查數形結合思想的應用，找出小正方體的數量和露出小正方形的數量之間的關系是解答題目的關鍵。9．4977【分析】第一幅圖有1個圓，用1＝1×1表示；第二幅圖有4個圓，由第一幅圖加3個圓，用1＋3＝4＝2×2表示；第三幅圖9個圓，由第二幅圖加5個圓，用1＋3＋5＝9＝3×3表示……。由此可知，第n幅圖有（n×n）個圓。根據加數的個數，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13是第7幅，有（7×7）個圓。【詳解】通過分析可得：第n幅圖有（n×n）個圓，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13是第7幅，有（7×7）個圓。則1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝49＝7×7。【點睛】本題考查數形結合問題。結合圖形和算式，發現圖形的序數與圓的個數之間的關系是解題的關鍵。10．5；5；7；64【分析】觀察圖形可知，第一個圖中有1個三角形，可以寫成12；第二個圖形有1＋3＝4個三角形，可以寫成22；第三個圖形有1＋3＋5＝9個三角形，可以寫成32；第四個圖形中有1＋3＋5＋7＝16個三角形，可以寫成42…第n個圖形有n2個三角形，據此解答即可。【詳解】由分析可知：第3個圖形：1＋3＋5；第4個圖形：1＋3＋5＋7；第8個圖形：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝82＝64（個）【點睛】主要考查了學生通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力。對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的，通過分析找到各部分的變化規律后直接利用規律求解。11．228231【分析】第1個圖形中有6枚棋子；第2個圖形中有6＋4＝10枚棋子；第3個圖形中有6＋2×4＝14枚棋子；據此歸納出一般規律，解答即可。【詳解】第1個圖形中有6枚棋子；第2個圖形中有6＋4＝10枚棋子；第3個圖形中有6＋2×4＝14枚棋子；第4個圖形中有6＋3×4＝18枚棋子；第5個圖形中有6＋4×4＝22枚棋子；第n個圖形中有6＋（n－1）×4＝4n＋2；第20個圖形中有4×20＋2＝80＋2＝82（枚）4n＋2＝1264n＝124n＝31【點睛】考查圖形的規律性問題；判斷出變化的量及不變的量是解決本題的突破點。12．(1)1644(2)2500【分析】1＋2＋1＝4＝2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3由此可知，從1開始，連續自然數升序排列后再降序排列，它們的和是算式中最大自然數的平方，由此進行解答。【詳解】（1）1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，最大的是4；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4（2）1＋2＋3＋4＋…＋48＋49＋50＋49＋48＋…＋4＋3＋2＋1中，最大的數是50；1＋2＋3＋4＋…＋48＋49＋50＋49＋48＋…＋4＋3＋2＋1＝2500【點睛】根據圖形和算式，找出它們的規律是解答本題的關鍵。13．28【分析】觀察數列可知，分母是2的分數有1個，分母是3的分數有2個，分母是4的分數有3個，發現分母是n的分數有（n－1）個，分子從1到n－1依次排列，據此解答即可。【詳解】由分析可知：分母是2的分數有1個，分母是3的分數有2個，分母是4的分數有3個，分母是5的分數有4個，分母是6的分數有5個，分母是7的分數有6個，分母是8的分數有7個；1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝（1＋2＋7）＋（4＋6）＋（3＋5）＝10＋10＋8＝20＋8＝28則按規律，是這列分數中的第28個。【點睛】本題考查數列的排列規律，發現規律，利用規律是解題的關鍵。14．80【分析】由于圖（2）比圖（1）多出2個“樹枝”，圖（3）比圖（2）多出5個“樹枝”，5＝2×2＋1；圖（4）比圖（3）多出10個“樹枝”，10＝2×2×2＋2，即24－1＋23－3則圖（5）比圖（4）會多出：2×2×2×2＋2×1＝20個即25－1＋25－3；由此即可知道圖（7）比圖（6）多出：27－1＋27－3，據此即可求解。【詳解】由分析可知：圖（7）比圖（6）多出27－1＋27－3＝26＋24＝80（個）所以圖（7）比圖（6）多出80個樹枝。【點睛】本題主要考查圖形的變化規律，關鍵是找準它的變化規律是解題的關鍵。15．72厘米；240厘米【分析】通過平移的方法求周長，根據可知，1層的周長是由邊長為3厘米的正方形周長組成，2層的周長是由邊長為（3×2）厘米的正方形周長組成，3層的周長是由邊長為（3×3）厘米的正方形周長組成，……以此類推，n層的周長是由邊長為（3×n）厘米的正方形周長組成。根據正方形的周長公式，用3×n×4即可求出n層的周長，據此解答。【詳解】3×n×4＝12n（厘米）根據題意可知，n層的周長是12n厘米。當n＝6時，12×6＝72（厘米）當n＝20時，12×20＝240（厘米）答：搭6層后圖形的周長是72厘米；如果搭20層，那么周長是240厘米。【點睛】本題主要考查數與形結合的規律，關鍵根據圖示發現這組圖形的規律，并運用規律做題。16．（1）見詳解（2）12張【分析】（1）根據圖示，第一張桌子，有6個座位，第二張桌子，有8個座位，第三張桌子有10個座位，之后每增加一張桌子就增加2個座位，由此可得規律進行計算即可；（2）將28人代入上一問求出的規律，進行計算即可。【詳解】由分析可得：（1）第一張桌子座位數：6個第二張桌子座位數：6＋（2－1）×2＝6＋1×2＝6＋2＝8（個）第三張桌子座位數：6＋（3－1）×2＝6＋2×2＝6＋4＝10（個）第四張桌子座位數：6＋（4－1）×2＝6＋3×2＝6＋6＝12（個）由此得出規律，桌子數量為：6＋（n－1）×2＝6＋2n－2＝2n＋4據此填表：桌子張數1234…7可坐人數681012…2n＋4（2）28人聚餐，所以需要28個座位，即：2n＋4＝282n＋4－4＝28－42n＝242n÷2＝24÷2n＝12答：應擺放12張桌子。【點睛】本題主要考查數與形結合的規律，發現座位個數的變化規律，再根據規律去解決問題。17．（1）8根；15根；22根；（2）141根；（3）42個【分析】根據圖示發現：擺1個八邊形需要小棒：8根；擺2個八邊形需要小棒（8＋7）根；擺3個八邊形需要小棒（8＋7＋7）根；……擺n個八邊形需要小棒的根數是8＋7（n－1）。據此解答。【詳解】（1）8＋7＝15（根）15＋7＝22（根）答：擺1個八邊形需要小棒8根；擺2個八邊形需要小棒15根；擺3個八邊形需要小棒22根。（2）根據分析可知，擺n個八邊形需要小棒：8＋7（n－1）＝8＋7n－7＝（7n＋1）根當n＝20時，20×7＋1＝140＋1＝141（根）答：擺20個八邊形需要141根小棒。（3）7n＋1＝295解：7n＋1－1＝295－17n＝2947n÷7＝294÷7n＝42答：295根小棒可以擺42個八邊形。【點睛】本題主要考查數與形結合的規律，關鍵根據圖示發現這組圖形的規律，并運用規律做題。18．11層【分析】觀察題意可知，2層的最下層有（2＋1）個小三角形，3層的最下層有（3＋2）個三角形；4層的最下層有（4＋3）個小三角形……以此類推，n層的最下層小三角形個數是n＋（n－1）。據此解答。【詳解】n＋（n－1）＝n＋n－1＝（2n－1）個根據分析可知，n層的最下層是（2n－1）個小三角形。2n－1＝21解：2n－1＋1＝21＋12n＝222n÷2＝22÷2n＝11答：共需放11層。【點睛】本題主要考查數與形結合的規律，關鍵根據圖示發現這組圖形的規律，并運用規律做題。19．（1）見詳解（2）50（3）141根；12個【分析】（1）根據圖分析，擺一個八邊形用了8根小棒，擺兩個八邊形就多用了7根小棒，擺三個八邊形就多了（7×2）根小棒，由此找到規律，據此填表；（2）7個八邊形，就是n＝7，將其代入規律計算即可；（3）當n＝20時，將其代入規律計算即可；把85代入計算即可。【詳解】由分析可得：（1）1個八邊形小棒數量：8根2個八邊形小棒數量：8＋7＝15（根）3個八邊形小棒數量：8＋7×2＝8＋14＝22（根）……n個八邊形小棒數量：8＋7（n－1）＝8＋7n－7＝7n＋14個八邊形，即n＝4，代入7n＋1：7×4＋1＝28＋1＝29（根）5個八邊形，即n＝5，代入