PAGEPAGE1第28講數列的概念與簡潔表示法課時達標一、選擇題1．已知數列{an}的通項公式an＝2n－4，n∈N*，若它的第k項滿意2<ak<5，則k＝()A．2 B．3C．4 D．5C解析數列{an}的第k項滿意2<ak<5，即2<2k－4<5，解得3<k<4.5.因為k∈N*，所以k＝4.故選C.2．若數列{an}的前n項和Sn滿意Sn＝4－an(n∈N*)，則a5＝()A．16 B.eq\f(1,16)C．8 D.eq\f(1,8)D解析當n＝1時，a1＝S1＝4－a1，所以a1＝2；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，所以an＝eq\f(1,2)an－1，所以數列{an}是以2為首項，以eq\f(1,2)為公比的等比數列，所以a5＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(1,8).故選D.3．數列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，則ap－aq＝()A．10 B．15C．－5 D．20D解析當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5；當n＝1時，a1＝S1＝－1也符合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4(p－q)＝20.4．函數f(x)由下表定義：x25314f(x)12345若a0＝5，an＋1＝f(an)(n∈N)，則a2018的值為()A．1 B．2C．4 D．5A解析因為a0＝5，an＋1＝f(an)，所以a1＝f(a0)＝f(5)＝2，a2＝f(a1)＝f(2)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝4，a4＝f(a3)＝f(4)＝5，a5＝f(a4)＝f(5)＝2，…，所以a1＝a5.所以{an}是以4為周期的周期數列．所以a2018＝a2＝1.5．(2024·翼州中學聯考)若數列{an}的通項公式是an＝(－1)n(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a10等于()A．15 B．12C．－12 D．－15A解析由題意知a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.6．數列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則數列{an}的前12項和等于()A．76 B．78C．80 D．82B解析由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1，①得an＋2＋(－1)n＋1an＋1＝2n＋1，②由①②得an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1,5,9及n＝2,6,10，結果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.故選B.二、填空題7．若數列的前4項分別是eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,5)，則此數列的一個通項公式為________．解析數列的前4項分別是eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,5)，可得奇數項為正數，偶數項為負數，第n項的肯定值等于eq\f(1,n＋1)，故此數列的一個通項公式為eq\f(－1n＋1,n＋1).答案eq\f(－1n＋1,n＋1)(答案不唯一)8．數列{an}滿意an＝eq\f(1,1－an－1)(n≥2，且n∈N*)，a7＝2，則a1＝________.解析當a7＝2時，a7＝eq\f(1,1－a6)，a6＝eq\f(1,2)，所以eq\f(1,1－a5)＝eq\f(1,2)，a5＝－1，所以eq\f(1,1－a4)＝－1，a4＝2，所以a7＝a4，數列{an}是周期數列，故a1＝a4＝2.答案29．(2024·山東重點中學聯考)傳聞古希臘畢達哥拉斯學派的數學家常常在沙灘上面畫點或用小石子表示數．他們探討過如圖所示的三角形數：將三角形數1,3,6,10，…記為數列{an}，則數列{an}的通項公式為________．解析由圖可知an＋1－an＝n＋1，a1＝1，由累加法可得an＝eq\f(nn＋1,2).答案an＝eq\f(nn＋1,2)三、解答題10．數列{an}的通項公式是an＝n2－7n＋6(n∈N*)．(1)這個數列的第4項是多少？(2)150是不是這個數列的項？若是這個數列的項，它是第幾項？(3)該數列從第幾項起先各項都是正數？解析(1)當n＝4時，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是這個數列的第16項．(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍去)．所以從第7項起各項都是正數．11．(2024·云南昆明一模)已知數列{an}的前n項和Sn＝n2＋1，數列{bn}滿意bn＝eq\f(2,an＋1)，且前n項和為Tn.設cn＝T2n＋1－Tn.(1)求數列{bn}的通項公式；(2)推斷數列{cn}的增減性．解析(1)a1＝S1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，所以bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，n＝1，,\f(1,n)，n≥2.))(2)因為cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n＋1)，所以cn＋1－cn＝eq\f(1,2n＋2)＋eq\f(1,2n＋3)－eq\f(1,n＋1)＝－eq\f(1,2n＋22n＋3)<0，即cn＋1<cn，所以數列{cn}是遞減數列．12．(2024·開封模擬)已知數列{an}中，an＝1＋eq\f(1,a＋2n－1)(n∈N*，a∈R且a≠0)．(1)若a＝－7，求數列{an}中的最大項和最小項的值；(2)若對隨意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍．解析(1)因為an＝1＋eq\f(1,a＋2n－1)(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又a＝－7，所以an＝1＋eq\f(1,2n－9)(n∈N*)．結合函數f(x)＝1＋eq\f(1,2x－9)的單調性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)．所以數列{an}中的最大項為a5＝2，最小項為a4＝0.(2)an＝1＋eq\f(1,a＋2n－1)＝1＋eq\f(\f(1,2),n－\f(2－a,2))，已知對隨意的n∈N*，都有an≤a6成立，結合函數f(x)＝1＋eq\f(\f(1,2),x－\f(2－a,2))的單調性，可知5＜eq\f(2－a,2)＜6，即－10＜a＜－8.13．[選做題](2024·山西師大附中月考)定義：稱eq\f(n,P1＋P2＋…＋Pn)為n個正數P1，P2，…，Pn的“均倒數”．若數列{an}的前n項的“均倒數”為eq\f(1,2n－1)，則數列{an}的通項公式為()A．an＝2n－1 B．an＝4n－1C．an＝4n－3 D．an＝4n－5C解析因為eq\f(n,a1＋