8.5.1軌跡問題高考解讀

軌跡問題在歷年高考中出現的頻率較高,一方面,求軌跡方程的實質是將

“形”轉化為“數”,將“曲線”轉化為“方程”,通過對方程的研究來認識曲線的性

質;另一方面,求軌跡方程培養了學生數形結合的思想、函數與方程的思想以及轉化與

化歸的思想.軌跡方程的探求主要有兩種類型,一種是曲線類型已知,需要根據條件判斷具體是哪類

曲線;另一種是曲線類型未知,該題型常用的方法有直接法、定義法、相關點法、消參

法等.高考溯源1.常規曲線類型判斷(多選)(2020新高考Ⅰ,9,5分)已知曲線C:mx2+ny2=1.

(

)A.若m>n>0,則C是橢圓,其焦點在y軸上B.若m=n>0,則C是圓,其半徑為

C.若mn<0,則C是雙曲線,其漸近線方程為y=±

xD.若m=0,n>0,則C是兩條直線ACD解析

A.若m>n>0,則方程mx2+ny2=1可變形為

+

=1,因為m>n>0,所以0<

<

,所以此曲線表示橢圓,且焦點在y軸上(把方程化為標準方程,誰對應的分母大,焦點就在哪個軸上),

所以A正確.B.若m=n>0,則方程mx2+ny2=1可變形為x2+y2=

,所以此曲線表示圓,半徑為

,所以B不正確.C.若mn<0,則此曲線應為雙曲線,mx2+ny2=0可化為y2=-

,即y=±

x,即雙曲線的漸近線方程為y=±

x,所以C正確.D.若m=0,n>0,則方程mx2+ny2=1可化為y2=

(x∈R),即y=±

,表示兩條直線,所以D正確.故選ACD.高考仿真

(多選)已知曲線C:

+

=1,則下列說法正確的是

(

)A.若C是橢圓,則其長軸長為2

B.若m<0,則C是雙曲線C.C不可能表示一個圓D.若m=1,則C上的點到焦點的最短距離為

BC解析

由于m2+1-m=

+

>0,所以m2+1>m.對于A,當m>0時,C:

+

=1表示焦點在x軸上的橢圓,其長軸長為2

,故A錯誤.對于B,當m<0時,C是雙曲線,故B正確.對于C,因為m2+1>m,所以C不可能表示一個圓,故C正確.對于D,m=1時,C:

+y2=1,表示焦點在x軸上的橢圓,且a=

,b=1,則c=1,故橢圓上的點到焦點的最小距離為a-c=

-1,故D錯誤,故選BC.2.非常規曲線軌跡求解和判斷(多選)(2024新課標Ⅰ,11,6分,難)設計一條美麗的絲帶,其造型

可以看作圖中的曲線C的一部分.已知C過坐標原點O,且C上的點滿足橫坐標大于-2,到點F(2,0)的距離與到定

直線x=a(a<0)的距離之積為4.則

(

)A.a=-2B.點(2

,0)在C上C.C在第一象限的點的縱坐標的最大值為1D.當點(x0,y0)在C上時,y0≤

ABD解析

對于A,因為點O在曲線上,所以點O到直線x=a(a<0)的距離為-a,而|OF|=2,所以-a·2=4,即

a=-2,故A正確;對于B,由題意可知曲線C的方程為(x+2)

=4,把點(2

,0)代入,滿足方程,故B正確;對于C,y2=

-(x-2)2,令f(x)=

-(x-2)2,x>0,則f'(x)=-

-2(x-2),則f(2)=1,f'(2)=-

<0,所以在x=2的左側必存在一個區間(2-ε,2)滿足f(x)>1,因此y的最大值一定大于1,故C錯

誤;對于D,

=

-(x0-2)2≤

,x0>-2,則y0≤

,故D正確.故選ABD.一題多解

對于C,f'(x)=

,x>0,令g(x)=x3+4x2-16,x>0,則g'(x)=3x2+8x>0,所以g(x)在(0,+∞)上單調遞增,又g(1)=-11<0,g(2)=8>0,所以存在x1∈(1,2),使g(x1)=0,即f'(x1)=0,所以f(x)在(0,x1)上單調遞增,在(x1,2)上單調遞減,故存在f(x)>f(2)=1,所以ymax>1,C錯誤.高考仿真

(多選)在平面直角坐標系xOy中,曲線C是到定點A(-a,0),B(a,0)的距離之積

等于a2(a>0)的點的軌跡.若P(x0,y0)是曲線C上一點,則下列說法中正確的有

(

)A.曲線C關于原點O成中心對稱B.x0的取值范圍是[-a,a]C.曲線C上有且僅有一點P滿足|PA|=|PB|D.曲線C上所有的點P都在圓x2+y2=2a2上及其內部ACD解析

設曲線C上任意一點的坐標為(x,y),則曲線C的方程為

·

=a2.A選項,由P(x0,y0)是曲線C上一點,知

·

=a2,點P關于原點的對稱點為M(-x0,-y0),有

·

=

·

=a2,即M(-x0,-y0)在曲線C上,故A正確.B選項,由a2=

·

≥

·

=|

-a2|,得0≤

≤2a2,∴-

a≤x0≤

a,故B錯誤;C選項,若|PA|=|PB|,則點P在線段AB的垂直平分線上,∴x0=0,將P(0,y0)代入方程,得

(

)2=a2,解得y0=0,故只有P是原點時滿足|PA|=|PB|,故C正確;D選項,由

·

=a2,得(

+

+a2)2=a4+4a2

,又由

≤2a2得(

+

+a2)2≤9a4,∴

+

≤2a2,故D正確.故選ACD.高考變式1.直接法求軌跡方程典例1

(2024湖北重點高中三模,8)在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E是BC的

中點,點P是側面ABB1A1內的動點(含邊界),且tan∠APD=4tan∠EPB,則P的軌跡長度為

(

)A.

B.

C.

D.

D解析

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,DA⊥平面ABB1A1,CB⊥平面ABB1A1.如圖1,在Rt△PAD和Rt△PBE中,tan∠APD=

,tan∠EPB=

,∵tan∠APD=4tan∠EPB,BE=

BC=

AD,∴PA=

PB.在平面ABB1A1上,以A為坐標原點,以

,

的方向為x,y軸的正方向,建立平面直角坐標系,如圖2,則A(0,0),B(4,0),(將空間關系轉化為平面關系,根據已知條件可用直接法求軌

跡)設P(x,y),則由|PA|=

|PB|可得

=

,化簡可得

+y2=

,由于x≥0,y≥0,故P的軌跡是圓心為

,半徑為r=

的圓在第一象限(包括與坐標軸的交點)的弧,

由于Q

,故∠QMA=

,因此點P的軌跡長度為

×

=

.故選D.技巧

直接法求軌跡方程如果動點滿足的幾何條件是一些幾何量的等量關系且易于直接表達,那么只需把這些

關系“翻譯”成含x,y的等式,就可得到曲線的方程.用直接法求動點軌跡的一般步驟為

建系,設點,列式,化簡,證明,最后的證明可以省略,但要注意“挖”與“補”.2.定義法求軌跡方程典例2

已知A、B、C是直線l上的三點,且|AB|=|BC|=6,☉O'切直線l于點A,又過B、C作

☉O'異于l的兩切線,設這條兩切線交于點P,求點P的軌跡方程.解析

設過B、C異于l的兩切線分別切☉O'于D、E兩點,連接O'D,O'E,由切線的性質知:|BA|=|BD|,|PD|=|PE|,|CA|=|CE|,故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|BA|+|CA|=6+12=18>6=|BC|,故由橢圓的定義知,點P的軌跡是以B、C為焦點的橢圓(不含與x

軸的交點),以直線l為x軸,以線段BC的中點O為原點,建立坐標系,如圖,可求得動點P的軌跡方程為

+

=1(y≠0).提醒

利用定義法求軌跡方程應熟記各曲線的定義及簡單幾何性質.3.相關點法求軌跡方程典例3

(2024重慶名校聯盟第一次聯考,6)長為2的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸

和y軸上滑動,則點A關于點B的對稱點M的軌跡方程為

(

)A.

+

=1

B.

+

=1C.

+

=1

D.

+

=1D解析

設A(x1,0),B(0,y2),M(x,y),則有x+x1=0,y+0=2y2,即x1=-x,y2=

,由題意可得

+

=4,即(-x)2+

=4,即

+

=1.故選D.技巧

相關點法求軌跡方程有些問題中的動點滿足的條件不便于直接用等式列出,但動點是隨著另一動點(稱之為

相關點)而運動的,而相關點所滿足的條件是明顯的,這時可通過將相關點用未知點的

坐標表示出來,通過相關點所滿足的方程即可求得動點的軌跡方程.4.消參法求軌跡方程典例4在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=x2上異于坐標原點O的兩不同動點A、B滿

足AO⊥BO.求△AOB的重心G(即三角形三條中線的交點)的軌跡方程.解析

設直線OA的斜率為k,則直線OA的方程為y=kx,由

解得A(k,k2).∵OA⊥O