7.1空間幾何體的結構特征、表面積和體積命題形式本專題內容為高考必考內容之一.考查重點主要有空間幾何體的表面積與體積的計算,

線面位置關系的判定和證明、距離、翻折、存在性等比較綜合性的問題.若為選擇題

或填空題,則多考查空間幾何體的表面積與體積的計算,涉及空間幾何體的結構特征、

判斷線面關系等內容,要求考生有較強的空間想象能力和計算能力,能用轉化與化歸的

思想解題;若為解答題,則考查利用立體幾何的知識證明線、面關系,利用空間向量解決

立體幾何問題(如空間中的位置關系、空間角與距離等),解題時應熟練掌握空間向量

的坐標表示和坐標運算,把空間立體幾何問題轉化為空間向量問題.考點1空間幾何體的結構特征1.多面體的結構特征名稱棱柱棱錐棱臺底面有兩個,是平行且全等的

多邊形有一個,是多邊形有兩個,是平行且相似的

多邊形側棱平行且相等相交于一點,不一定相等延長線交于一點側面形狀平行四邊形三角形梯形提醒

(1)要掌握棱柱、棱錐各部分的結構特征,計算問題往往轉化到一個三角形中進

行.(2)臺體可以看成是由錐體截得的,但一定要知道截面與底面平行.2.旋轉體的結構特征名稱圓柱圓錐圓臺母線平行、相等且垂直于底

面相交于一點延長線交于一點軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形側面展開圖矩形扇形扇環提醒

(1)球是旋轉體,球面不能展開,球的截面是圓面;(2)球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面;(3)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關系為r=

.3.斜二測畫法下幾何體的直觀圖(1)原圖與直觀圖中的“三變”與“三不變”原則:

(2)用斜二測畫法畫出的水平放置的平面圖形的直觀圖的面積是原圖形面積的

.考點2空間幾何體的表面積和體積1.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式

圓柱圓錐圓臺側面展開圖

側面積公式S圓柱側=2πrlS圓錐側=πrlS圓臺側=π(r1+r2)l2.空間幾何體的表面積與體積公式

表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側+2S底V=S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側+S底V=

S底h臺體(棱臺和圓臺)S表面積=S側+S上+S下V=

(S上+S下+

)h球S=4πR2V=

πR3即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯的打“?”)(1)有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.

(

)(2)有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.

(

)(3)上、下兩個底面平行且是相似四邊形的幾何體是四棱臺.

(

)(4)若長方體的相鄰三個面的面積分別為2,6,9,則長方體的體積是6

.

(

)(5)正方形的直觀圖是正方形.

(

)2.(易錯題)已知正方體的棱長為2,則該正方體的內切球的體積為

(

)A.4

π

B.

π

C.

π

D.

π×××√×D3.(人教A版必修第二冊P120·T3改編)一個封閉的正三棱柱容器的高為2a,內裝水若干

(如圖1,底面處于水平狀態).將容器放倒(如圖2,—個側面處于水平狀態),若此時水面與

各棱的交點E,F,F1,E1分別為所在棱的中點,則圖1中水面的高度為

.

a題型一空間幾何體表面積與體積的求解方法典例1

(2024天津,9,5分)在如圖所示的五面體中,棱AD,BE,CF互相平行,且兩兩之間距

離均為1.若AD=1,BE=2,CF=3,則該五面體的體積為

(

)

A.

B.

+

C.

D.

-

C解析

解法一:補形法用一個和原五面體完全相同的五面體與該五面體相嵌,使得D與N,E與M,F與L重合,如

圖1,因為AD∥BE∥CF,且兩兩之間距離為1,AD=1,BE=2,CF=3,則形成的幾何體為三棱柱ABC-JIH,側棱長為1+3=2+2=3+1=4,該三棱柱的直截面(與側棱垂直的截面)是邊長為1的等邊三角形,(三棱柱的體積即為直

截面面積乘側棱長)所以該五面體的體積=

VABC-JIH=

×

×1×1×

×4=

.故選C.

解法二:由已知可得,三條平行線中的任意一條到另外兩條確定的平面的距離d=

.連接BD,CD,如圖2,則五面體的體積V=V三棱錐C-ABD+V四棱錐D-BCFE,其中V三棱錐C-ABD=

S△ABD·d=

×

×1×1×

=

,V四棱錐D-BCFE=

S梯形BCFE·d=

×

×(2+3)×1×

=

,所以V=V三棱錐C-ABD+V四棱錐D-BCFE=.歸納總結

1.空間幾何體表面積的求解方法(1)求多面體的表面積時,把各個面的面積相加即可.(2)求簡單旋轉體的表面積時,代入公式直接求解.(3)求組合體的表面積時,注意重合部分的處理.2.空間幾何體體積的求解方法(1)公式法:當所給幾何體是常見的柱、錐、臺等規則的幾何體時,可以直接代入各自幾

何體的體積公式中進行計算.(2)割補法:求不規則幾何體的體積時,可以將所給幾何體分割(補)成若干個常見的幾何

體,然后利用求和(作差)的方法得出所求幾何體的體積.(3)等體積轉化法:利用三棱錐的特性,即任意一個面都可以作為底面,從而進行換底換

高計算,此種方法充分體現了數學的轉化思想.變式訓練1-1

(情境模型變式)側面都是等腰直角三角形的正三棱錐,底面邊長為a時,

該三棱錐的表面積是

(

)A.

a2

B.

a2

C.

a2

D.

a2A解析

如圖,PA,PB,PC兩兩垂直且PA=PB=PC,△ABC為等邊三角形,AB=a,則PA=PB=PC=

a,

∴此三棱錐的表面積為

×a2+

×

×3=

a2+

a2=

a2.故選A.變式訓練1-2

(已知條件變式)如圖,在正四棱錐P-ABCD中,B1為PB的中點,D1為PD的中

點,則棱錐A-B1CD1與棱錐P-ABCD的體積之比是

(

)

A.1∶4

B.3∶8

C.1∶2

D.2∶3A解析

轉化法如圖,棱錐A-B1CD1的體積可以由正四棱錐P-ABCD的體積減去棱錐B1-ABC、D1-ACD、

C-PB1D1、A-PB1D1這四個小棱錐的體積得到.

連接BD,設點P到平面ABCD的距離為h,因為B1為PB的中點,D1為PD的中點,所以B1,D1到平面ABCD的距離為

h,又S△ABC=S△ACD=

S正方形ABCD,所以

=

=

×

S正方形ABCD·

h=

VP-ABCD.易知在正四棱錐中,AC⊥平面PBD,所以VP-ABCD=2VP-BCD=2VC-PBD=2×

·S△PBD·

AC=

S△PBD·AC,

=

=

·

·

AC=

×

S△PBD·

AC=

VP-ABCD.則

=VP-ABCD-

VP-ABCD=

VP-ABCD,則

∶VP-ABCD=1∶4.故選A.題型二與球有關的切、接問題的求解方法角度1幾何體的外接球(1)公式法:正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點,半徑為體對角線長的

一半.(2)補形法(補形為長方體或正方體)①垂直模型

②對棱相等模型(3)雙面定球心法如圖,在三棱錐P-ABC中,①選底面△ABC,確定△ABC外接圓圓心O1,②選側面△PAB,確定△PAB外接圓圓心O2,③分別過O1作平面ABC的垂線,過O2作平面PAB的垂線,兩垂線交點即為外接球球心O.

典例2

(側棱垂直底面模型)已知三棱錐S-ABC,SA⊥平面ABC,AB=AC=2,∠BAC=120°,

若三棱錐外接球的表面積為28π,則此三棱錐的體積為

(

)

A.1

B.2

C.3

D.4B解析

因為AB=AC=2,∠BAC=120°,所以∠ABC=∠ACB=30°,S△ABC=

AB·ACsin∠BAC=

×2×2×

=

,設三角形ABC外接圓的半徑為r,則2r=

=

=4,即r=2,設三棱錐外接球的半徑為R,由4πR2=28π,解得R=

(舍負).因為SA⊥平面ABC,所以R2=r2+

,即7=4+

,解得SA=2

(舍負),所以VS-ABC=

S△ABC·SA=

×

×2

=2.故選B.典例3

(雙面定球心)在菱形ABCD中,AB=2,AC=2

,將△ABC沿對角線AC折起,使點B到達B'的位置,且二面角B'-AC-D為直二面角,則三棱錐B'-ACD的外接球的表面積為

(

)A.5π

B.16π

C.20π

D.100πC解析

如圖1所示,在菱形ABCD中,AC,BD互相垂直且平分,點E為垂足,AB=BC=CD=DA=2,EC=EA=

AC=

,由勾股定理得BE=DE=

=

=1,所以∠ADC=

,設點O1為△ACD外接圓的圓心,則△ACD外接圓的半徑為r1=O1D=

=

=2,O1E=O1D-DE=2-1=1,設點O2為△ACB'外接圓的圓心,同理可得△ACB'外接圓的半徑為r2=O2B'=2,O2E=O2B'-B'E=2-1=1,如圖2所示,

設三棱錐B'-ACD的外接球的球心、半徑分別為點O,R,故OO1⊥DE,OO2⊥B'E,由題意知AC⊥DE,AC⊥B'E,由二面角B'-AC-D為直二面角,知平

面DAC⊥平面ACB'.易知∠B'ED是二面角B'-AC-D的平面角,所以B'E⊥ED,即O2E⊥EO1,

可知四邊形O1OO2E為矩形,所以O1O=O2E=1,由勾股定理得OD2=O1O2+O1D2=5=R2,所以

三棱錐B'-ACD的外接球的表面積為S=4πR2=4π×5=20π.故選C.變式訓練2-1

(特殊幾何體的外接球)已知某正六棱柱的所有棱長均為2,則該正六棱柱

的外接球的表面積為

(

)A.6π

B.8π

C.16π

D.20πD解析

由正六棱柱的性質可得O為其外接球的球心(如圖),OO'=1.由于底面為正六邊形,所以△ABO'為等邊三角形,故AO'=2,所以AO=

=

=

,所以外接球的半徑為

,故外接球的表面積為4π(

)2=20π,故選D.變式訓練2-2

(墻角模型)已知三棱錐P-ABC的三條側棱兩兩互相垂直,且AB=

,BC=

,AC=2,則此三棱錐的外接球的體積為

(

)A.

π

B.

π

C.

π

D.

πB解析

由題意,可將三棱錐放入長方體中考慮,則長方體的外接球即為三棱錐的外接球,故球的

半徑為長方體體對角線的一半,設外接球半徑為R,PA=x,則PB2+PC2=BC2=7?5-x2+4-x2=

7?x=1,故PA=1,PB=2,PC=

?R=

=

,則此三棱錐外接球的體積為

πR3=

.變式訓練2-3

(對棱相等模型)已知四面體ABCD中,AB=CD=AC=BD=2,AD=BC,若四面

體ABCD的外接球的表面積為7π,則四面體ABCD的體積為

(

)A.1

B.2

C.

D.

A解析

將四面體ABCD放入長方體中,如圖,設長方體的長,寬,高分別為a,b,c,由7π=4πR2?4R2=7.∴

?

∴VA-BCD=abc-4×

×

×abc=

abc=1,故選A.變式訓練2-4

(側面垂直于底面模型)已知四面體ABCD的各頂點都在同一球面上,若

AB=BC=CD=DA=BD=4

,平面ABD⊥平面BCD,則該球的表面積是

(

)A.40π

B.80π

C.100π

D.160πB解析

記球心為O,△BCD的外接圓圓心為O1,△ABD的外接圓圓心為O2,BD的中點為E.因為AB

=AD,所以AE⊥BD,因為平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AE?平面ABD,

所以AE⊥平面BCD,由球的性質可知,OO1⊥平面BCD,所以OO1∥AE,同理OO2∥CE,易

知AE⊥CE,所以四邊形OO1EO2為矩形,因為AE=CE=

=6,所以O1E=O2E=2,O1C=4,所以OC=

=2

,所以外接球的表面積為4π×(2

)2=80π.故選B.角度2幾何體的內切球1.幾何體內切球問題的處理技巧(1)球心在過切點且與切面垂直的直線上;(2)球心到各面的距離相等;(3)三棱錐的內切球半徑可用r=

求解;(4)作出軸截面(截面中含切點,球心等元素),利用三角形的相似關系求解內切球的半徑.2.球的切、接問題的常用結論(1)棱長為a的正方體的外接球、內切球及與各條棱都相切的球.①外接球:球心是正方體的中心,半徑r=

a;②內切球:球心是正方體的中心,半徑r=

;③與各條棱都相切的球:球心是正方體的中心,半徑r=

a.(2)棱長為a的正四面體的外接球、內切球以及各條棱都相切的球.①外接球:球心是正四面體的中心,半徑r=

a;②內切球:球心是正四面體的中心,半徑r=

a;③與各條棱都相切的球:球心是正四面體的中心,半徑r=

a.典例4

(2020課標Ⅲ,文16,理15,5分)已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內

半徑最大的球的體積為

.π解析

解法一:圓錐內球半徑最大時的軸截面圖如圖.其中球心為O,設其半徑為r,AC=3,O1C=1,∴AO1=

=2

.∵OO1=OM=r,∴AO=AO1-OO1=2

-r,又∵△AMO∽△AO1C,∴

=

,即

=

,故3r