4.3.1三角函數中ω的范圍問題高考解讀

在三角函數的圖象與性質中,ω的求解一直是高考的一個熱點內容,該問題

通常會與三角函數的圖象和性質綜合考查,通常利用零點個數、圖象、周期、對稱等

相關知識來求ω的范圍,在復習中,要予以重視.高考溯源利用零點個數或極值點個數求ω范圍(2022全國甲,11,5分)設函數f(x)=sin

在區間(0,π)恰有三個極值點、兩個零點,則ω的取值范圍是

(

)A.

B.

C.

D.

C解析

當ω<0時,不能滿足在區間(0,π)極值點比零點多,所以ω>0.因為x∈(0,π),所以ωx+

∈

,又y=sinx,x∈

的圖象如圖所示:

要使函數f(x)在區間(0,π)恰有三個極值點、兩個零點,(注意極值點與零點的區別)需滿足

<ωπ+

≤3π,解得

<ω≤

,即ω∈

.故選C.技巧

解答該類問題關鍵有兩點:一是把相位看作一個整體,例如本題中將ωx+

看作一個整體,二是找準區間端點的取值范圍,即本題中根據題意結合三角函數的圖象

得出不等式

<ωπ+

≤3π,即可得出ω的取值范圍.高考仿真已知函數f(x)=

cosωx-sinωx(ω>0)在區間[0,π]上恰有三個極值點和三個零點,則ω的取值范圍是

.解析

f(x)=

cosωx-sinωx=2

=2

=2sin

,∵0≤x≤π,∴

≤ωx+

≤ωπ+

.設t=ωx+

,

≤t≤ωπ+

,則y=2sint

有三個極值點和三個零點,觀察圖象可得

<ωπ+

<4π,∴

<ω<

.高考變式1.利用單調區間求ω范圍典例1

(2024福建廈門外國語學校期中,5)將函數f(x)=sin

(ω>0)的圖象向左平移

個單位長度后,得到g(x)的圖象,若函數g(x)在

上單調遞減,則ω的取值范圍為(

)A.(0,3]

B.(0,2]

C.

D.

D解析

將f(x)=sin

(ω>0)的圖象向左平移

個單位長度后,得g(x)=sin

=sin

的圖象,當x∈

時,ωx+

∈

,因為g(x)在

上單調遞減,所以觀察圖象可得

+

≤

,解得ω≤

,又ω>0,故ω∈

.故選D.技巧

通過單調區間來確定ω的取值范圍,仍然可以借助函數圖象,確定單調區間

的端點應該在什么范圍,從而找到限定ω的不等式,進而求出ω的范圍,要注意端點處能

否取等號.2.利用對稱中心或對稱軸求ω范圍典例2

(多選)將函數f(x)=sin

(ω>0)的圖象向右平移

個單位長度后得到函數g(x)的圖象,若F(x)=f(x)g(x)的圖象關于點

對稱,則ω可取的值為

(

)A.

B.

C.1

D.4CD解析

將函數f(x)的圖象向右平移

個單位長度,得到函數g(x)=sin

=sin

=cos

的圖象,則F(x)=sin

cos

=

sin

.又因為F(x)的圖象關于點

對稱,所以2ω·

+

=kπ,k∈Z,所以ω=

,k∈Z,又因為ω>0,所以結合選項知CD正確.3.利用函數最值求ω范圍典例3已知函數f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,|φ|≤

,-

為f(x)的零點,且f(x)≤

恒成立,f(x)在區間

上有最小值,無最大值,則ω的最大值是

(

)A.11

B.13

C.15

D.17C解析

由題意,知f(x)在x=

處取得最值,又f

=0,所以

-

=

·T(n∈N*),即

=

·

,解得ω=2n-1,n∈N*,又f(x)在區間

上有最小值,無最大值,所以T≥

-

=

,即

≥

,解得ω≤16,故ω的最大值為15.技巧

正、余弦函數的最值一定在對稱軸處取到,零點和極值點間的距離一定是

·T(n∈N*),且正、余弦函數在一個周期內必有一個最大值和最小值,若在某個區間上只有一個最值,則這個區間比一個周期小,若在某個區間上無最值,則這個區間比半個

周期小.4.綜合利用三角函數的多種性質求ω范圍典例4

(2023浙江強基聯盟2月統測)已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)

,f(x)≤

,f(x)+f

=0,f(x)在

上單調,則正整數ω的最大值為

.

7解析

∵f(x)≤

,∴直線x=

為f(x)圖象的對稱軸.∵f(x)+f

=0,∴f(x)圖象的對稱中心為

,∴

T=

-

=

,k∈N*,∴T=

=

,k∈N*,∴ω=2k-1,k∈N*.又f(x)在

上單調,∴

≥

-

=

.∴T=

≥

,ω∈N