2.3函數的奇偶性、周期性和對稱性考點1函數的奇偶性奇偶性滿足的充要條件圖象特征奇函數設函數f(x)的定義域為D,如果?x

∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x)關于原點對稱偶函數設函數f(x)的定義域為D,如果?x

∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x)關于y軸對稱常用結論

1.函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的前提條件.2.若f(x)≠0,則奇(偶)函數定義的等價形式如下:(1)f(x)為奇函數?f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0?

=-1.(2)f(x)為偶函數?f(-x)=f(x)?f(-x)-f(x)=0?

=1.3.如果一個奇函數f(x)在x=0處有定義,那么一定有f(0)=0.4.如果函數f(x)是偶函數,那么f(x)=f(|x|).5.奇函數在關于原點對稱的區間上具有相同的單調性;偶函數在關于原點對稱的區間

上具有相反的單調性.6.若y=f(x+a)是奇函數,則f(-x+a)=-f(x+a);若y=f(x+a)是偶函數,則f(-x+a)=f(x+a).考點2函數的周期性1.周期函數的定義:一般地,設函數f(x)的定義域為D,如果存在一個非零常數T,使得對每

一個x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函數f(x)就叫做周期函數.非零常數T叫做這個

函數的周期.2.最小正周期的定義:如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小正數,那么這個正

數就叫做f(x)的最小正周期.提醒

并非所有周期函數都有最小正周期.知識拓展

關于函數周期性的幾個常見結論1.若f(x+a)=-f(x),則f(x)的周期是T=2|a|.2.若f(x+a)=

或f(x+a)=-

,其中f(x)≠0,則f(x)的周期是T=2|a|.考點3函數的對稱性1.函數的圖象自對稱性(1)函數y=f(x),若其圖象關于直線x=a對稱(a=0時,f(x)為偶函數),則f(a+x)=f(a-x)?f(2a

+x)=f(-x)?f(2a-x)=f(x).(2)函數y=f(x),若其圖象關于點(a,0)中心對稱(a=0時,f(x)為奇函數),則f(a+x)=-f(a-x)?f(2a+x)=-f(-x)?f(2a-x)=-f(x).(3)函數y=f(x),若其圖象關于點(a,b)中心對稱,則f(a+x)+f(a-x)=2b?f(2a+x)+f(-x)=2b?f(2a-x)+f(x)=2b.2.兩個函數的圖象互相對稱性(1)若函數y=f(x)與y=g(x)的圖象關于直線x=a對稱,則g(x)=f(2a-x).(2)若函數y=f(x)與y=g(x)的圖象關于點(a,b)對稱,則g(x)=2b-f(2a-x).知識拓展

1.關于函數圖象的對稱中心或對稱軸的常用結論:(1)若函數f(x)滿足關系f(a+x)=f(b-x),則函數f(x)的圖象關于直線x=

對稱;(2)若函數f(x)滿足關系f(a+x)=-f(b-x),則函數f(x)的圖象關于點

對稱;(3)若函數f(x)滿足關系f(a+x)+f(b-x)=c,則函數f(x)的圖象關于點

對稱.2.對稱性與周期性之間的常用結論:(1)若函數f(x)的圖象關于直線x=a和x=b對稱,則函數f(x)的周期T=2|b-a|(a≠b);(2)若函數f(x)的圖象關于點(a,0)和點(b,0)對稱,則函數f(x)的周期T=2|b-a|(a≠b);(3)若函數f(x)的圖象關于直線x=a和點(b,0)對稱,則函數f(x)的周期T=4|b-a|(a≠b).即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯的打“?”)(1)對于函數f(x),若存在x0,使得f(-x0)=-f(x0),則f(x)是奇函數.

(

)(2)偶函數圖象不一定過原點,奇函數的圖象一定過原點.

(

)(3)若T是函數f(x)的一個周期,則2T也是函數f(x)的周期.

(

)(4)若函數f(x)滿足f(1+x)=2-f(3-x),則函數f(x)的圖象關于點(2,1)對稱.

(

)2.(易錯題)已知f(x)=ax2+bx是定義在[a-1,2a]上的偶函數,那么a+b的值是

.3.已知f(x)是定義域為R的奇函數,當x>0時,f(x)=x+1,則f(-1)的值為

.4.已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,且f(x+2)=-f(x),且當-1≤x<0時,f(x)=-x2+2,則f(2025)=

.××√√-2-1題型一函數奇偶性的判斷判斷函數奇偶性的方法(1)定義法:(2)圖象法:

(3)性質法:在公共定義域內有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.典例1

(多選)(2024湖南長沙適應性考試,9)下列函數中,是奇函數的是

(

)A.y=ex-e-x

B.y=x3-x2C.y=tan2x

D.y=log2

ACD解析

對于A,令f(x)=y=ex-e-x,定義域為R,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),故f(x)為奇函數,A符合題意;對于B,令f(x)=y=x3-x2,定義域為R,f(-x)=(-x)3-(-x)2=-x3-x2≠-f(x),f(x)不是奇函數,B不符合題意;對于C,令f(x)=y=tan2x,定義域為

,關于原點對稱,f(-x)=tan(-2x)=-tan2x=-f(x),f(x)為奇函數,C符合題意;對于D,令f(x)=y=log2

,由

>0,解得-1<x<1,即函數的定義域為(-1,1),關于原點對稱,f(-x)=log2

=-log2

=-f(x),f(x)為奇函數,D符合題意.故選ACD.變式訓練1-1

(圖象法)已知函數f(x)=x|x|-2x,則下列結論正確的是

(

)A.f(x)是偶函數,且單調遞增區間是(-∞,0)B.f(x)是偶函數,且單調遞減區間是(-∞,1)C.f(x)是奇函數,且單調遞減區間是(-1,1)D.f(x)是奇函數,且單調遞增區間是(0,+∞)C解析

f(x)=x|x|-2x=

作出函數f(x)的圖象,如圖所示,由圖可知,函數f(x)的圖象關于原點對稱,故函數f(x)為奇函數,且f(x)的單調遞減區間為(-1,1),單調遞增區間為(-∞,-1),

(1,+∞).故選C.

變式訓練1-2

(性質法)已知f(x)=x3g(x)為定義在R上的偶函數,則g(x)的解析式可以為

(

)A.g(x)=

-3x

B.g(x)=x3+x2C.g(x)=

+3x

D.g(x)=x2-x3A解析

因為f(x)=x3g(x)為定義在R上的偶函數,又因為y=x3為奇函數,所以由奇×奇=偶知g(x)為

奇函數.在四個選項中,只有A選項中的函數g(x)=

-3x是奇函數,B,C,D選項中的函數都不是奇函數.故選A.歸納總結

常見具有奇偶性的函數類型1.常見的奇函數:(1)函數f(x)=m·

(x≠0)或函數f(x)=m·

;(2)函數f(x)=±(ax-a-x);(3)函數f(x)=loga

=loga

或函數f(x)=loga

=loga

;(4)函數f(x)=loga(

±mx)(m≠0).2.常見的偶函數:函數f(x)=±(ax+a-x).(以上各式中a>0,且a≠1)題型二函數奇偶性的應用角度1利用奇偶性求值(或解析式)典例2

(2022全國乙文,16,5分)若f(x)=ln

+b是奇函數,則a=

,b=

.-ln2解析

解法一:利用奇函數的定義求參f(x)=ln

+b=ln

+b=ln

+b,且f(-x)=ln

+b,又∵函數f(x)為奇函數,∴f(x)+f(-x)=ln

+ln

+2b=0,∴ln

+2b=0恒成立,因此有

=

,則2a+1=0,解得a=-

,-2b=ln

=-2ln2?b=ln2,∴a=-

,b=ln2.解法二:∵f(x)是奇函數,∴f(x)的定義域關于原點對稱.由已知得x≠1,∴x≠-1,即當x=-1時,

=0,∴a+

=0,∴a=-

,此時f(x)=ln

+b,∵f(x)為奇函數且在x=0處有意義,∴f(0)=0,即ln

+b=ln

+b=0,∴b=-ln

=ln2,此時f(x)=ln

+ln2=ln

,滿足題意.綜上可知,a=-

,b=ln2.歸納總結

函數奇偶性應用的兩個方向1.求函數值或函數解析式:將所求值或解析式對應的自變量利用奇偶性轉化到已知解

析式的區間,構造方程(組).2.求參數:由定義或定義的等價關系式f(x)+f(-x)=0(奇函數)與f(x)-f(-x)=0(偶函數)得到恒

等式,再利用系數相等構造方程(組).變式訓練2-1

(問題結論變式)(2025屆江蘇宿遷中學質檢,5)函數f(x)是定義在R上的奇

函數.若x≥0時,f(x)=x2+2x,則f(-2)等于

(

)A.8

B.4

C.-8

D.0C解析

∵x≥0時,f(x)=x2+2x,∴f(2)=8,∵f(x)是定義在R上的奇函數,∴f(-2)=-f(2)=-8.故選C.變式訓練2-2

(關鍵元素變式)(2025屆四川南充閬中中學開學考,7)已知定義在R上的

函數f(x)對任意的實數x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),則f(ln2025)+f

=

(

)A.2025

B.-2025

C.0

D.1C解析

定義在R上的函數f(x)對任意的實數x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=0,可得f(0)=2f(0),即f(0)=0,令y=-x,則f(0)=f(x)+f(-x)=0,則f(ln2025)+f

=f(ln2025)+f(-ln2025)=0.故選C.角度2利用奇偶性解不等式典例3

(2023河北邯鄲統考,7)已知函數f(x)=

-ex-2,若f(a-2)+f(2a2)>0,則實數a的取值范圍是

(

)A.(2,+∞)

B.

C.

D.(-2,+∞)B解析

令g(x)=f(x+2)=

-ex,x∈R,則g(-x)=

-e-x=-

=-g(x),所以g(x)為奇函數,則g(x)的圖象關于原點對稱,所以f(x)的圖象關于點(2,0)對稱,則f(x)+f(4-x)=0,因為y=

在定義域R上單調遞減,y=ex-2在定義域R上單調遞增,所以f(x)=

-ex-2在定義域R上單調遞減,(減-增=減)則不等式f(a-2)+f(2a2)>0,即f(2a2)>-f(a-2),所以f(2a2)>f(6-a),則2a2<6-a,解得-2<a<

,即實數a的取值范圍是

.故選B.技巧

利用函數奇偶性求解不等式需注意:1.奇函數在原點兩側的單調性相同,若在定義域上連續則在定義域上單調;若在定義域

上不連續,結合函數零點運用圖象解不等式.2.偶函數的常見示意圖.

如圖1,由f(x1)<f(x2)可得|x1|<|x2|;如圖2,由f(x1)<f(x2)可得|x1|>|x2|.變式訓練2-3

(結論拓展變式)(2025屆重慶南開中學第一次質檢,3)f(x)是定義在R上的

奇函數,當x>0時,f(x)=-x2+x,則不等式(x-1)·f(x)>0的解集為

(

)A.(-∞,-1)

B.(-1,0)C.(0,1)

D.(1,+∞)B解析

f(x)是定義在R上的奇函數,當x>0時,f(x)=-x2+x.當x<0時,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(-x2-x)=x2+x,且f(0)=0,x>0時,由f(x)=-x2+x>0得x∈(0,1),由f(x)=-x2+x<0得x∈(1,+∞),x<0時,由f(x)=x2+x>0得x∈(-∞,-1),由f(x)=x2+x<0得x∈(-1,0),由(x-1)f(x)>0得

或

當

時,無解,當

時,x∈(-1,0),故選B.變式訓練2-4

(情境模型變式)已知函數f(x)的定義域為R,y=f(x-4)-1是偶函數,當x≤-4

時,f(x)=(x+4)2-2,則不等式f(3x-5)>f(2x-4)的解集為

.

∪(1,+∞)解析

因為函數f(x)的定義域為R,y=f(x-4)-1是偶函數,所以f(-x-4)-1=f(x-4)-1,即f(-x-4)=f(x-4),所

以f(x)的圖象關于直線x=-4對稱.因為當x≤-4時,f(x)=(x+4)2-2,因此f(x)在(-∞,-4]上單調遞減,故f(x)在[-4,+∞)上單調遞增.因為f(3x-5)>f(2x-4),所以|3x-5+4|>|2x-4+4|,即|3x-1|>2|x|,即(3x-1)2>4x2,可得(x-1)(5x-1)>0,

解得x<

或x>1,故不等式f(3x-5)>f(2x-4)的解集為

∪(1,+∞).題型三函數周期性與奇偶性的綜合典例4

(多選)(2024江西上饒六校第一次聯考,10)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x)

=f(2-x),且f(x)在[-1,0]上單調遞增,則(

)A.f(x)的圖象關于點(1,0)中心對稱

B.f(x)是周期函數C.f(x)在[1,2]上單調遞減

D.

f(k)=1BC解析

因為f(x)是R上的奇函數,所以f(-x)=-f(x).因為f(x)=f(2-x),所以-f(-x)=f(2-x),則-f(x)=f(x+2),即-f(x+2)=f(x+4),則f(x)=f(x+4),故f(x)是以4為周期的函數.因為f(x)=f(2-x),所以f(x)的圖象關于直線x=1對稱.(若函數f(x)滿足f(x)=f(2a-x),則f(x)的圖

象關于直線x=a對稱)因為f(x)是R上的奇函數,且在[-1,0]上單調遞增,所以f(x)在[0,1]上單調遞增(奇函數在關于原點對稱的區間上的單調性相同),又f(x)的圖象關于直線x=1對稱,所以f(x)在[1,2]上單調遞減,f(x)的圖象關于點(2,0)中心對稱(可結合圖象觀察),故f(1)+f(3)=0.易知f(0)=0,則f(4)=0,由f(x)=f(2-x)得f(2)=f(0)=0.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,則

f(k)=f(0)+f(1)+…+f(2024)=f(0)+506(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))=0.綜上,B、C正確,A、D錯誤.變式訓練3-1

(命題推廣變式)(2023安徽合肥一六八中學模擬,8)定義在R上的函數f(x)

滿足f(x+1)=

f(x),且當x∈[0,1)時,f(x)=1-|2x-1|.若當x∈[m,+∞)時,f(x)≤

,則m的最小值為

(

)A.

B.

C.

D.

B解析

由題意知,當x∈[1,2)時,f(x)=

f(x-1)=

(1-|2x-3|);當x∈[2,3)時,f(x)=

f(x-1)=

(1-|2x-5|);……可得在區間[n,n+1)(n∈Z)上,f(x)=

[1-|2x-(2n+1)|].(提示:根據在前兩個區間上的解析式,總結在區間[n,n+1)(n∈Z)上的解析式)作函數y=f(x)的圖象,如圖所示,

當x=

時,f

=

=

>

,當x=

時,f

=

=

<

,

從[4,5)這個區間開始,后邊所有區間上的最大值都比

小

,當x∈

時,由f(x)=

(1-|2x-7|)=

,得x=

,所以當m≥

時,f(x)≤

恒成立,所以m的最小值為

.故選B.題型四函數對稱性的應用典例5

(多選)已知函數f(x)的定義域為R,對任意x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),且f(-x)=f(x),則

下列結論正確的是

(

)A.f(x)的圖象關于直線x=2對稱B.f(x)的圖象關于點(2,0)對稱C.4為f(x)