2.1函數的概念及表示命題形式本專題內容一般不會命制單一知識點的考題,常綜合函數的單調性、奇偶性、周期性

命題,或將函數的性質融入函數的圖象進行考查,函數的零點是考查的熱點之一,需要結

合導數、不等式等知識進行求解.針對本專題的知識特點,備考時首先將學習重點放在以下幾方面:函數的基本性

質、二次函數與冪函數、指數函數與對數函數、函數的零點與方程的根、函數模型

及綜合應用.其次對常見的結論或方法要加強記憶與理解,例如:①基本初等函數的解析

式;②常見函數定義域的求法;③函數解析式的求法;④函數圖象的變換;⑤周期函數的

常用結論;⑥函數零點的常見求法等.最后,要注重函數知識與不等式、方程、導數知識

的綜合問題,對于函數模型及綜合應用,則需掌握解題思路與常見的幾類函數模型.考點1函數的概念及表示1.函數的有關概念函數的概念一般地,設A,B是非空的實數集,如果對于集合A中的任意一個數x,按照某種確定的對應關系f,在集合B中都有唯一確定的數y和它對應,那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數函數的記法y=f(x),x∈A,x叫做自變量,與x的值相對應的y值叫做函數值定義域x的取值范圍A叫做函數y=f(x)的定義域值域函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域提醒

直線x=a(a為常數)與函數y=f(x)的圖象有0或1個交點.2.函數的三要素:定義域,對應關系,值域.提醒

1.若判斷兩個函數是不是同一個函數,只要看定義域與對應關系是否完全相同

即可.盡管有的兩個函數的值域和對應關系相同,但兩個函數仍不是同一個函數,例如,

函數f(x)=|x|,x∈[0,2]與函數f(x)=|x|,x∈[-2,0].2.判斷兩個函數是不是同一個函數時,若解

析式可以化簡,則要注意化簡過程的等價性.3.函數的常用表示方法:解析法、圖象法、列表法.考點2分段函數若函數在其定義域內,對于自變量x的不同取值區間,有著不同的對應關系,這樣的

函數稱為分段函數.提醒

分段函數是一個函數,而不是幾個函數,分段函數的定義域是各段定義域的并集,

值域是各段值域的并集.即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯的打“?”)(1)對于函數f:A→B,其值域是集合B.

(

)(2)兩個函數的定義域和值域分別對應相同就表示同一個函數.

(

)(3)函數y=f(x)的圖象與直線x=1最多有一個交點.

(

)2.已知f(x)=

+

,若f(-2)=0,則a的值為

.3.函數f(x)=

的定義域是

.4.已知f(x)=

則f(f(-3))=

.××√1(-∞,1)

-1題型一函數的定義域角度1求給定解析式的函數的定義域以函數解析式中所含式子(運算)有意義為準則,列出不等式或不等式組求解.對于實際

問題,定義域應使實際問題有意義.典例1若函數f(x)=

的定義域為集合M,則M=

(

)A.[2,+∞)

B.(3,+∞)C.[2,3)

D.[2,3)∪(3,+∞)D解析

由已知得

解得x≥2且x≠3,故M=[2,3)∪(3,+∞).故選D.角度2求抽象函數定義域的方法1.若函數f(x)的定義域為[a,b],則復合函數f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出;2.若函數f(g(x))的定義域為[a,b],則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a,b]上的值域.典例2若函數f(x)的定義域為[0,4],則函數g(x)=f(x+2)的定義域為

(

)A.[-2,2]

B.[0,2]

C.[2,6]

D.[2,4]A解析

因為函數f(x)的定義域為[0,4],所以0≤x+2≤4,解得-2≤x≤2,所以函數g(x)=f(x+2)的定

義域為[-2,2].故選A.變式訓練1-1已知函數y=f(x+1)的定義域為[1,2],則函數y=f(2x-1)的定義域為

(

)A.

B.

C.[-1,1]

D.[3,5]B解析

由函數y=f(x+1)的定義域為[1,2]知2≤x+1≤3.因此函數y=f(x)的定義域為[2,3].在函數y=f(2x-1)中,2≤2x-1≤3,解得

≤x≤2,故選B.變式訓練1-2若函數f(x)的定義域為[-2,4],則y=

的定義域為

(

)A.(1,8]

B.[-4,1)∪(1,8]C.(1,2]

D.[-1,1)∪(1,2]D解析

由題意得

解得-1≤x≤2且x≠1.故選D.題型二函數的解析式函數解析式的求法1.待定系數法.若已知函數的類型(如一次函數、二次函數等),則可用待定系數法.2.換元法.主要適用于求解:已知f(g(x))的解析式,求函數f(x)的解析式.其求解的步驟如

下:(1)先令g(x)=t,求出t的取值范圍;(2)反解出x,用含t的代數式表示x;(3)將f(g(x))中的x換為用t來表示,可求得f(t)的解析式,從而求得f(x).3.配湊法.由已知條件f(g(x))=F(x),可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式,然后以x替代g(x),

便得f(x)的解析式.4.方程組法.主要適用于:已知f(x)與f(-x)、f

、f

等之間的關系,求f(x)解析式.例如:若條件是關于f(x)與f

的方程式,把

替代x得到第二個式子,與原式聯立,通過解方程組的方法,求出f(x)的解析式.5.賦值法.f(x)是關于x,y兩個變量的方程式,可對變量賦值求出f(x).典例3

(1)已知f(x)是二次函數,且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,則f(x)=

.(2)若f(

+1)=x+2

,則f(x)的解析式為

.x2-x+1f(x)=x2-1(x≥1)解析

(1)由f(x)是二次函數設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1,得c=1.由f(x+1)-f(x)=2x,得a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-1=2x,整理得2ax+a+b=2x,則有

解得

所以f(x)=x2-x+1.(2)解法一:換元法令

+1=t,則x=(t-1)2,t≥1.所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),所以函數f(x)的解析式為f(x)=x2-1(x≥1).解法二:配湊法f(

+1)=x+2

=x+2

+1-1=(

+1)2-1.因為

+1≥1,所以函數f(x)的解析式為f(x)=x2-1(x≥1).變式訓練2-1

(方程組法)已知函數f(x)對不為0的實數x均滿足2f(x)+f

=3x,則f(x)的

解析式為

.

f(x)=2x-

(x≠0)解析

由2f(x)+f

=3x(x≠0)①,得2f

+f(x)=

(x≠0)②,由2×①-②得3f(x)=6x-

(x≠0),所以f(x)=2x-

(x≠0).變式訓練2-2

(賦值法)已知f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)對任意實數x,y恒成立,且f(0)=1,則f(x)

的解析式為

.f(x)=x2+x+1解析

令y=x,則f(0)=f(x)-x(2x-x+1)=f(x)-x(x+1),因為f(0)=1,所以f(x)-x(x+1)=1,所以f(x)=x2+x+1.題型三分段函數的解題策略角度1分段函數的求值問題1.已知自變量求函數值:判斷自變量所在區間,然后代入對應的解析式.2.已知函數值求自變量:根據自變量x的取值范圍選擇解析式,利用函數值列方程求解.典例4設f(x)=

則f(9)的值為

(

)A.9

B.11

C.28

D.14B解析

f(9)=f(f(14))=f(2×14-15)=f(13)=2×13-15=11.故選B.變式訓練3-1函數f(x)=

當f(f(a))=8時,實數a=

.8解析

令f(a)=t,當t≤1時,t2+2t=8,解得t=-4或t=2(舍去),當t>1時,

-5=8,解得t=

(舍去),因此t=-4,所以f(a)=-4,當a≤1時,a2+2a=(a+1)2-1≥-1,故a2+2a=-4無解,舍去,當a>1時,

-5=-4,解得a=8,符合題意.綜上所述,a=8.角度2與分段函數有關的方程或不等式問題根據分段函數中自變量取值范圍的界定,代入相應的解析式求解.典例5已知f(x)=

則使f(x)≥-1成立的x的取值范圍是

(

)A.[-2,2]

B.[-2,0]

C.[-2,2)

D.(0,2]A解析

當x≤0時,f(x)=2x+3,不等式f(x)≥-1可化為2x+3≥-1,解得x≥-2,又x≤0,所以-2≤x≤0;當

x>0時,f(x)=-(x-1)2,不等式f(x)≥-1可化為-(x-1)2≥-1,解得0≤x≤2,又x>0,所以0<x≤2.綜

上,使不等式f(x)≥-1成立的x的取值范圍是[-2,2].故選A.變式訓練3-2已知a≠0,f(x)=

若f(1-a)=f(1+a),則a的值為

.-

解析

f(1-a)=f(1+a)可化為

或

解得

或

因此a=-

.故實數a的值為-

.角度3分段函數值域的求法1.根據自變量的不同范圍,求出每段函數的值域,每段函數的值域的并集就是函數的值

域.2.借助函數的圖象,確定函數的值域,解含有參數的值域問題常用此法.典例6

已知函數f(x)=

在[0,a]上的值域為[0,1],則實數a的取值范圍是

.[1,1+

]解析

f(x)=

的圖象如圖,

由x2-2x