專題（十七）方程思想的應用選點內容1.求角度中的方程思想2.生活中應用問題的方程模型典型例題（一）求角度中的方程思想【典例1】如圖，，點E、F分別在直線AB、CD上，點O在直線AB、CD之間，

求的值；

如圖2，直線MN交、的角平分線分別于點M、N，求的值；

如圖3，EG在內，，F(xiàn)K在內，直線MN交FK、EG分別于點M、N，若，則n的值是______.

【解析】證明：過點O作，

，

，

，，

，

即，

，

；

解：過點M作，過點N作，

平分，F(xiàn)N平分，

設，，

，

，

，，，

，

，，，

，

故的值為；

如圖，設直線FK與EG交于點H，F(xiàn)K與AB交于點K，

，

，

，

，

，

，

即，

，F(xiàn)K在內，

，

，

，

，

，

即，

，

解得

【變式一】在如圖1，，E為直線CD下方一點，BF平分

試說明：

如圖2，EG平分，過點B作，當時，的度數(shù)為______.

如圖3，CN平分，若BF的反向延長線和CN的反向延長線交于點M，且，求的度數(shù)．

【解析】證明：過點E作，如圖1所示

，

，

，

；

解：、EG分別平分、，

，，

設，，

，

，

，

由知，，

即，

；

，

故答案為；

解：、BF分別平分、，

，，

設，，

由知：，

即，

過M作，

，

，

則，，

，

，

，

，

【重難點剖析】對于平行線中求角度的問題，熟練掌握平行線的性質，過拐點作輔助平行線是解題的關鍵，同時可以運用方程的思想建立平行線中角的等量關系。

（二）生活中應用問題的方程模型【典例2】某商家預測一種應季襯衫能暢銷市場，就用13200元購進了一批這種襯衫，面市后果然供不應求，商家又用21600元購進了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進量的倍，但單價貴了10元．

該商家購進的第一批襯衫是多少件？

若兩批襯衫按相同的標價銷售，最后剩下50件按八折優(yōu)惠賣出，如果兩批襯衫全部售完后利潤率不低于不考慮其他因素，那么每件襯衫的標價至少是多少元？【解析】解：設該商家購進的第一批襯衫是x件，則購進第二批這種襯衫是件，依題意有

，

解得，

經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意．

答：該商家購進的第一批襯衫是120件．

，

設每件襯衫的標價y元，依題意有

，

解得

答：每件襯衫的標價至少是150元．【變式一】坐火車從上海到婁底，高鐵G1329次列車比快車K575次列車要少9小時，已知上海到婁底的鐵路長約1260千米，G1329的平均速度是K575的倍．

求K575的平均速度；

高鐵G1329從上海到婁底只需幾小時？【解析】解：設K575的平均速度為x千米/小時，則G1329的平均速度是千米/小時，

由題意得，，

解得，，

檢驗：當時，，

是原方程的根，

答：K575的平均速度為84千米/小時；

高鐵G1329從上海到婁底需要：小時，

答：高鐵G1329從上海到婁底只需6小時．【變式二】某學校2017年在某商場購買甲、乙兩種不同足球，購買甲種足球共花費2000元，購買乙種足球共花費1400元，購買甲種足球數(shù)量是購買乙種足球數(shù)量的2倍．且購買一個乙種足球比購買一個甲種足球多花20元；

求購買一個甲種足球、一個乙種足球各需多少元；

年這所學校決定再次購買甲、乙兩種足球共50個．恰逢該商場對兩種足球的售價進行調整，甲種足球售價比第一次購買時提高了，乙種足球售價比第一次購買時降低了如果此次購買甲、乙兩種足球的總費用不超過2910元，那么這所學校最多可購買多少個乙種足球？【解析】設購買一個甲種足球需要x元，則購買一個乙種籃球需要元，

根據(jù)題意得：，

解得：，

經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，

答：購買一個甲種足球需要50元，購買一個乙種籃球需要70元．

設可購買m個乙種足球，則購買個甲種足球，

根據(jù)題意得：

解得：

答：這所學校最多可購買20個乙種足球．【重難點剖析】弄清題意并找出題中的數(shù)量關系并列出方程是解題的關鍵．在信息量較大的題目中，我們可以通過列表法幫助我們梳理題中的量以及量和量之間的關系。

【典例3】在車站開始檢票時，有名旅客在候車室排隊等候檢票進站，檢票開始后，仍有旅客繼續(xù)前來排隊檢票進站，設旅客按固定的速度增加，檢票口檢票的速度也是固定的，若開放一個撿票口，則需30分鐘才可將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢；若開放兩個檢票口，則只需10分鐘便可將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢；設旅客按固定的速度增加，檢票口檢票的速度，與有何關系？如果要在4分鐘內將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢，以使后來到站的旅客能隨到隨檢，至少要同時開放幾個檢票口？【解析】解：設旅客按固定的速度增加，檢票口檢票的速度，由題意可得：

，

解得：，

設開放n個檢票口，得，

所以【變式一】春節(jié)期間，某客運站旅客流量不斷增大，旅客往往需要很長時間排隊等候購票．經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，每天開始售票時，約有400人排隊購票，同時又有新的旅客不斷進入售票廳排隊等候購票，售票時售票廳每分鐘新增購票人數(shù)4人，每分鐘每個售票窗口出售票數(shù)3張．某一天售票廳開始用四個窗口售票，過了a分鐘售票廳大約還有320人排隊等候規(guī)定每人只購一張票求a的值；若要在開始售票后半小時內讓所有排隊的旅客都能購到票，以便后來到站的旅客隨到隨購，售票開始時至少需要增加幾個售票窗口？【解析】解：由題意，得，

解得設還需要