PAGE1-第7節生活中的圓周運動1．火車轉彎處，外軌略高于內軌，使得火車所受支持1．火車轉彎處，外軌略高于內軌，使得火車所受支持力和重力的合力供應向心力。當火車以合適的速率通過彎道時，可以避開火車輪緣對內、外軌的擠壓磨損。2．汽車過拱形橋時，在凸形橋的橋頂上，汽車對橋的壓力小于汽車重力，汽車在橋頂的平安行駛速度小于eq\r(gR)；汽車在凹形橋的最低點處，汽車對橋的壓力大于汽車的重力。3．繞地球做勻速圓周運動的航天器中，宇航員具有指向地心的向心加速度，處于完全失重狀態。4．做圓周運動的物體，當合外力突然消逝或不足以提供向心力時，物體將做離心運動；當合外力突然大于所需向心力時，物體將做近心運動。一、鐵路的彎道1．火車在彎道上的運動特點火車在彎道上運動時做圓周運動，具有向心加速度，由于其質量巨大，因此須要很大的向心力。2．轉彎處內外軌一樣高的缺點假如轉彎處內外軌一樣高，則由外軌對輪緣的彈力供應向心力，這樣鐵軌和車輪極易受損。3．鐵路彎道的特點(1)轉彎處外軌略高于內軌。(2)鐵軌對火車的支持力不是豎直向上的，而是斜向彎道內側。(3)鐵軌對火車的支持力與火車所受重力的合力指向軌道的圓心，它供應了火車以規定速度行駛時的向心力。二、拱形橋汽車過凸形橋汽車過凹形橋受力分析向心力Fn＝mg－FN＝meq\f(v2,r)Fn＝FN－mg＝meq\f(v2,r)對橋的壓力FN′＝mg－meq\f(v2,r)FN′＝mg＋meq\f(v2,r)結論汽車對橋的壓力小于汽車的重量，而且汽車速度越大，對橋的壓力越小汽車對橋的壓力大于汽車的重量，而且汽車速度越大，對橋的壓力越大三、航天器中的失重現象及離心運動1．航天器在近地軌道的運動(1)對航天器，在近地軌道可認為地球的萬有引力等于其重力，重力充當向心力，滿意的關系為Mg＝Meq\f(v2,R)。(2)對航天員，由重力和座椅的支持力供應向心力，滿意的關系為mg－FN＝meq\f(v2,r)，由此可得FN＝0，航天員處于完全失重狀態，對座椅壓力為零。(3)航天器內的任何物體之間均沒有壓力。2．對失重現象的相識航天器內的任何物體都處于完全失重狀態，但并不是物體不受地球引力。正因為受到地球引力的作用才使航天器連同其中的乘員做勻速圓周運動。3．離心運動(1)定義：物體沿切線飛出或做漸漸遠離圓心的運動。(2)緣由：向心力突然消逝或外力不足以供應所需向心力。1．自主思索——判一判(1)火車轉彎時的向心力是車軌與車輪間的擠壓供應的。(×)(2)火車通過彎道時具有速度的限制。(√)(3)汽車在拱形橋上行駛，速度較小時，對橋面的壓力大于車重；速度較大時，對橋面的壓力小于車重。(×)(4)汽車過凹形橋底部時，對橋面的壓力肯定大于車重。(√)(5)繞地球做勻速圓周運動的航天器中的宇航員及全部物體均處于完全失重狀態。(√)(6)航天器中處于完全失重狀態的物體不受重力作用。(×)2．合作探究——議一議(1)地球可以看做一個巨大的拱形橋，橋面半徑等于地球半徑，試探討：地面上有一輛汽車在行駛，地面對它的支持力與汽車的速度有何關系？駕駛員有什么感覺？提示：依據汽車過凸形橋的原理，地球對它的支持力FN＝mg－meq\f(v2,r)，隨v的增大，FN減小，所以駕駛員有失重的感覺。(2)雨天，當你旋轉自己的雨傘時，會發覺水滴沿著傘的邊緣切線飛出(如圖所示)，你能說出其中的緣由嗎？提示：旋轉雨傘時，水滴也隨著運動起來，但傘面上的水滴受到的力不足以供應其做圓周運動的向心力，水滴由于慣性要保持其原來的速度方向而沿切線方向飛出。火車轉彎問題1．火車車輪的特點：火車的車輪有凸出的輪緣，火車在鐵軌上運行時，車輪與鐵軌有水平與豎直兩個接觸面，這種結構特點，主要是避開火車運行時脫軌，如圖所示。2．圓周平面的特點：彎道處外軌高于內軌，但火車在行駛過程中，重心高度不變，即火車的重心軌跡在同一水平面內，火車的向心加速度和向心力均沿水平面指向圓心。3．向心力的來源分析：火車速度合適時，火車受重力和支持力作用，火車轉彎所需的向心力完全由重力和支持力的合力供應，合力沿水平方向，大小F＝mgtanθ。4．規定速度分析：若火車轉彎時只受重力和支持力作用，不受軌道壓力，則mgtanθ＝meq\f(v02,R)，可得v0＝eq\r(gRtanθ)。(R為彎道半徑，θ為軌道所在平面與水平面的夾角，v0為轉彎處的規定速度)5．軌道壓力分析(1)當火車行駛速度v等于規定速度v0時，所需向心力僅由重力和彈力的合力供應，此時火車對內外軌道無擠壓作用。(2)當火車行駛速度v與規定速度v0不相等時，火車所需向心力不再僅由重力和彈力的合力供應，此時內外軌道對火車輪緣有擠壓作用，詳細狀況如下。①當火車行駛速度v>v0時，外軌道對輪緣有側壓力。②當火車行駛速度v<v0時，內軌道對輪緣有側壓力。[典例]有一列重為100t的火車，以72km/h的速率勻速通過一個內外軌一樣高的彎道，軌道半徑為400m。(g取10m/s2)(1)試計算鐵軌受到的側壓力大小；(2)若要使火車以此速率通過彎道，且使鐵軌受到的側壓力為零，我們可以適當傾斜路基，試計算路基傾斜角度θ的正切值。[審題指導](1)問中，外軌對輪緣的側壓力供應火車轉彎所須要的向心力。(2)問中，重力和鐵軌對火車的支持力的合力供應火車轉彎的向心力。[解析](1)v＝72km/h＝20m/s，外軌對輪緣的側壓力供應火車轉彎所須要的向心力，所以有：FN＝meq\f(v2,r)＝eq\f(105×202,400)N＝1×105N由牛頓第三定律可知鐵軌受到的側壓力大小等于1×105N。(2)火車過彎道，重力和鐵軌對火車的支持力的合力正好供應向心力，如圖所示，則mgtanθ＝meq\f(v2,r)。由此可得tanθ＝eq\f(v2,rg)＝0.1。[答案](1)105N(2)0.1火車轉彎問題的解題策略(1)對火車轉彎問題肯定要搞清合力的方向，指向圓心方向的合外力供應火車做圓周運動的向心力，方向指向水平面內的圓心。(2)彎道兩軌在同一水平面上時，向心力由外軌對輪緣的擠壓力供應。(3)當外軌高于內軌時，向心力由火車的重力和鐵軌的支持力以及內、外軌對輪緣的擠壓力的合力供應，這還與火車的速度大小有關。1．[多選]在鐵路轉彎處，往往使外軌略高于內軌，這是為了()A．增加火車輪子對外軌的擠壓B．增加火車輪子對內軌的擠壓C．使火車車身傾斜，利用重力和支持力的合力供應轉彎所需的向心力D．限制火車向外脫軌解析：選CD火車軌道建成外高內低，火車轉彎時，軌道的支持力與火車的重力兩者的合力指向弧形軌道的圓心，為火車轉彎供應了(部分)向心力，減輕了輪緣與外軌的擠壓，同時在肯定程度上限制了火車轉彎時發生離心運動，即限制火車向外脫軌，故C、D正確。2.鐵路在彎道處的內外軌道高度是不同的，如圖所示，已知內外軌道平面對水平面傾角為θ，彎道處的圓弧半徑為R，在轉彎時的速度為下列狀況時，說法正確的是()A．v＝eq\r(gRtanθ)，火車在轉彎時不擠壓軌道B．v>eq\r(gRtanθ)，火車在轉彎時擠壓內軌道C．v<eq\r(gRtanθ)，火車在轉彎時擠壓外軌道D．無論速度為多少，火車都將擠壓內軌道解析：選A火車以某一速度v通過彎道時，內、外軌道均不受側壓力作用，其所受的重力和支持力的合力供應向心力，F合＝mgtanθ(θ為軌道平面與水平面的夾角)，合力等于向心力，故有：mgtanθ＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(gRtanθ)，當v＝eq\r(gRtanθ)，火車在轉彎時不擠壓軌道，故A正確。當v＞eq\r(gRtanθ)，重力和支持力的合力不夠供應向心力，則火車轉彎時會擠壓外軌。當v＜eq\r(gRtanθ)，重力和支持力的合力大于向心力，則火車轉彎時會擠壓內軌，故B、C、D錯誤。豎直平面內的圓周運動1．輕繩和輕桿模型概述在豎直平面內做圓周運動的物體，運動至軌道最高點時的受力狀況可分為兩類。一是無支撐(如球與繩連接，沿內軌道的“過山車”等)，稱為“輕繩模型”；二是有支撐(如球與桿連接，小球在彎管內運動等)，稱為“輕桿模型”。2．兩類模型對比輕繩模型輕桿模型情景圖示彈力特征彈力可能向下，也可能等于零彈力可能向下，可能向上，也可能等于零受力示意圖力學方程mg＋FT＝meq\f(v2,r)mg±FN＝meq\f(v2,r)臨界特征FT＝0，即mg＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(gr)v＝0，即F向＝0，此時FN＝mgv＝eq\r(gr)的意義物體能否過最高點的臨界點FN表現為拉力還是支持力的臨界點[典例]長度為0.5m的輕桿OA繞O點在豎直平面內做圓周運動，A端連著一個質量m＝2kg的小球。求在下述的兩種狀況下，通過最高點時小球對桿的作用力的大小和方向。(g取10m/s2)(1)桿做勻速圓周運動的轉速為2.0r/s；(2)桿做勻速圓周運動的轉速為0.5r/s。[思路點撥](1)小球用輕桿固定在豎直平面內做圓周運動，桿對球的彈力有支持力和拉力兩種可能狀況。(2)可先計算小球在最高點時桿恰好無彈力的轉速，再針對給定的轉速對桿對小球的作用力的方向作出推斷。[解析]小球在最高點的受力如圖所示：(1)桿的轉速為2.0r/s時，ω＝2π·n＝4πrad/s。由牛頓其次定律得F＋mg＝mLω2，故小球所受桿的作用力F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)N≈138N，即桿對小球供應了138N的拉力。由牛頓第三定律知小球對桿的拉力大小為138N，方向豎直向上。(2)桿的轉速為0.5r/s時，ω′＝2π·n＝πrad/s。同理可得小球所受桿的作用力F＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)N≈－10N。力F為負值表示它的方向與受力分析中所假設的方向相反，故小球對桿的壓力大小為10N，方向豎直向下。[答案](1)小球對桿的拉力為138N，方向豎直向上(2)小球對桿的壓力為10N，方向豎直向下兩類模型的對比(1)繩模型和桿模型中小球做的都是變速圓周運動，在最高點、最低點時由小球豎直方向所受的合力充當向心力。(2)繩模型和桿模型在最低點的受力特點是一樣的，在最高點桿模型可以供應豎直向上的支持力，而繩模型不能。1.如圖所示，過山車的軌道可視為豎直平面內半徑為R的圓軌道。質量為m的游客隨過山車一起運動，當游客以速度v經過圓軌道的最高點時()A．處于超重狀態B．向心加速度方向豎直向下C．速度的大小不能超過eq\r(gR)D．座位對游客的作用力為meq\f(v2,R)解析：選B游客做圓周運動，在最高點，受重力和軌道的壓力，合外力供應向心力，合外力向下，加速度方向豎直向下，游客處于失重狀態，故A錯誤，B正確；在最高點，依據向心力公式得：mg＋N＝meq\f(v2,R)，解得N＝meq\f(v2,R)－mg，只有當N＝0時，v＝eq\r(gR)，故C、D錯誤。2.如圖所示，質量可以不計的細桿的一端固定著一個質量為m的小球，另一端能繞光滑的水平軸O轉動，讓小球在豎直平面內繞軸O做半徑為r的圓周運動，小球通過最高點時的線速度大小為v。下列說法中錯誤的是()A．小球能過最高點的臨界條件是v＝0B．v＝eq\r(gr)時，小球與細桿之間無彈力作用C．v大于eq\r(gr)時，小球與細桿之間的彈力隨v增大而增大D．v小于eq\r(gr)時，小球與細桿之間的彈力隨v減小而減小解析：選D由于桿能支撐小球，所以小球通過最高點時最小速度為零，故A說法正確；當v＝eq\r(gr)時，依據圓周運動公式：F＋mg＝meq\f(v2,r)，解得F＝0，說明小球與細桿之間無彈力作用，故B說法正確；當v大于eq\r(gr)時，桿對小球有向下的拉力，依據牛頓其次定律得：F＋mg＝meq\f(v2,r)，可知v增大時，F增大，故C說法正確；當v小于eq\r(gr)時，桿對小球有向上的支持力，依據牛頓其次定律得：mg－F＝meq\f(v2,r)，可知v減小時，F增大，故D說法錯誤。3.如圖所示，一根跨越光滑定滑輪的輕繩，兩端各連有一雜技演員(可視為質點)，甲站于地面，乙從圖示的位置由靜止起先向下搖擺，運動過程中繩始終處于伸直狀態，當演員乙擺至最低點時，甲剛好對地面無壓力，則演員甲的質量與演員乙的質量之比為()A．1∶1 B．2∶1C．3∶1 D．4∶1解析：選B當演員乙擺到最低點時，依據機械能守恒得：m乙gl(1－cos60°)＝eq\f(1,2)m乙veq\o\al(2,乙)，依據牛頓其次定律得：F－m乙g＝m乙eq\f(v\o\al(2,乙),l)，解得F＝2m乙g。對演員甲，因為甲剛好對地面無壓力，則F＝m甲g，則m甲∶m乙＝2∶1。故B正確，A、C、D錯誤。離心運動的理解1．離心運動的實質離心現象的本質是物體慣性的表現。做圓周運動的物體，由于慣性，總是有沿著圓周切線飛出去的趨向，之所以沒有飛出去，是因為受到向心力的作用。從某種意義上說，向心力的作用是不斷地把物體從圓周運動的切向方向拉回到圓周上來。2．離心運動的條件做圓周運動的物體，供應向心力的外力突然消逝或者合外力不能供應足夠大的向心力。3．離心運動、近心運動的推斷如圖所示，物體做圓周運動是離心運動還是近心運動，由實際供應的向心力Fn與所需向心力eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m\f(v2,r)或mrω2))的大小關系確定。(1)若Fn＝mrω2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或m\f(v2,r)))即“供應”滿意“須要”，物體做圓周運動。(2)若Fn>mrω2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或m\f(v2,r)))即“供應”大于“須要”，物體做半徑變小的近心運動。(3)若Fn<mrω2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或m\f(v2,r)))即“供應”不足，物體做離心運動。1.[多選]如圖所示，光滑水平面上，質量為m的小球在拉力F作用下做勻速圓周運動。若小球運動到P點時，拉力F發生改變，下列關于小球運動狀況的說法中正確的是()A．若拉力突然變大，小球將沿軌跡Pb做離心運動B．若拉力突然變小，小球將沿軌跡Pb做離心運動C．若拉力突然消逝，小球將沿軌跡Pa做離心運動D．若拉力突然變小，小球將沿軌跡Pc做近心運動解析：選BC若拉力突然變大，則小球將做近心運動，不會沿軌跡Pb做離心運動，A項錯誤。若拉力突然變小，則小球將做離心運動，但由于力與速度有肯定的夾角，故小球將做曲線運動，B項正確，D項錯誤。若拉力突然消逝，則小球將沿著P點處的切線運動，C項正確。2.[多選]如圖所示，洗衣機的脫水桶采納帶動衣物旋轉的方式脫水，下列說法中正確的是()A．脫水過程中，衣物是緊貼桶壁的B．水會從桶中甩出是因為水滴受到的向心力很大的原因C．加快脫水桶轉動的角速度，脫水效果會更好D．靠近中心的衣物的脫水效果不如周邊的衣物的脫水效果好解析：選ACD脫水過程中，衣物做離心運動而甩向桶壁，所以衣物是緊貼桶壁的，故選項A正確；水滴依附的附著力是肯定的，當水滴因做圓周運動所需的向心力大于該附著力時，水滴被甩掉，故B錯誤；F＝ma＝mω2R，ω增大會使向心力F增大，而轉筒有洞，不能供應足夠大的向心力，水滴就會被甩出去，增大向心力，會使更多水滴被甩出去，故C正確；靠近中心的衣服，R比較小，當角速度ω相同時向心力小，脫水效果差，故D正確。1．在水平路面上轉彎的汽車，供應向心力的是()A．重力和支持力的合力B．靜摩擦力C．滑動摩擦力D．重力、支持力和牽引力的合力解析：選B汽車在水平路面上轉彎時，與線速度方向垂直且指向圓心的靜摩擦力供應汽車轉彎所需的向心力。2．關于鐵軌轉彎處內、外軌間的高度關系，下列說法中正確的是()A．內、外軌一樣高，以防列車傾倒造成翻車事故B．因為列車轉彎處有向內傾倒的可能，故一般使內軌高于外軌，以防列車翻倒C．外軌比內軌略高，這樣可以使列車順當轉彎，削減車輪對鐵軌的擠壓D．以上說法均不正確解析：選C外軌略高于內軌，這樣軌道對火車的支持力垂直于軌道平面對上，它與火車的重力的合力沿水平方向指向圓心，消退或減小車輪和軌道間的側向擠壓，有效地愛護了軌道和車輪。3．如圖所示，在盛滿水的試管中裝有一個小蠟塊，小蠟塊所受浮力略大于重力，當用手握住A端讓試管在豎直平面內左右快速搖擺時，關于蠟塊的運動，以下說法正確的是()A．與試管保持相對靜止B．向B端運動，可以到達B端C．向A端運動，可以到達A端D．無法確定解析：選C試管快速搖擺，試管中的水和浸在水中的蠟塊都有做離心運動的趨勢(盡管試管不是做完整的圓周運動，且運動的方向也不斷改變，但并不影響問題的實質)，但因為蠟塊的密度小于水的密度，蠟塊被水擠壓向下運動。只要搖擺速度足夠大且時間足夠長，蠟塊就能始終運動到手握的A端，故C正確。4．一汽車通過拱形橋頂點時速度為10m/s，車對橋頂的壓力為車重的eq\f(3,4)，假如要使汽車在橋頂對橋面沒有壓力，車速至少為()A．15m/s B．20m/sC．25m/s D．30m/s解析：選B當FN＝eq\f(3,4)G時，因為G－FN＝meq\f(v2,r)，所以eq\f(1,4)G＝meq\f(v2,r)，當FN＝0時，G＝meq\f(v′2,r)，所以v′＝2v＝20m/s。5.如圖所示，是從一輛在水平馬路上行駛著的汽車后方拍攝的汽車后輪照片。從照片來看，汽車此時正在()A．直線前進 B．向右轉彎C．向左轉彎 D．不能推斷解析：選C從汽車后方拍攝的后輪照片可以看到汽車的后輪發生變形，汽車不是正在直線前進，而是正在轉彎，依據慣性、圓周運動和摩擦力學問，可推斷出地面給車輪的靜摩擦力水平向左，所以汽車此時正在向左轉彎，應選C。6．以下情景描述不符合物理實際的是()A．火車軌道在彎道處設計成外軌高內軌低，以便火車勝利的轉彎B．汽車通過拱形橋最高點時對橋的壓力小于汽車重力，但汽車通過凹面時超重C．在軌道上飛行的航天器中的物體處于“完全失重狀態”，懸浮的液滴是平衡狀態D．離心趨勢也是可以利用的，洗衣機脫水時利用離心運動把附著在衣物上的水份甩掉解析：選C火車軌道在彎道處設計成外軌高內軌低，以便火車勝利的轉彎，故A正確；汽車通過拱形橋最高點時：mg－FN＝meq\f(v2,r)，可得：FN＝mg－meq\f(v2,r)<mg，即對橋的壓力小于汽車重力，但汽車通過凹面時：FN－mg＝meq\f(v2,r)，解得：FN＝meq\f(v2,r)＋mg>mg，即處于超重，故B正確；在軌道上飛行的航天器中的物體處于“完全失重狀態”，懸浮的液滴也受向心力不是處于平衡狀態，故C錯誤；離心趨勢也是可以利用的，洗衣機脫水時利用離心運動把附著在衣物上的水份甩掉，故D正確。7.[多選]乘坐如圖所示游樂園的過山車時，質量為m的人隨車在豎直平面內沿圓周軌道運動，說法正確的是()A．車在最高點時人處于倒坐狀態，若沒有保險帶，人肯定會掉下去B．人在最高點時對座位可能產生壓力，且壓力有可能大于mgC．人在最高點和最低點時的向心加速度大小相等D．人在最低點時對座位的壓力大于mg解析：選BD在最高點時，若恰好mg＝meq\f(v2,R)，即v＝eq\r(gR)，不用平安帶，人恰好不掉下來，A錯誤，若速度v>eq\r(gR)，人對座位有壓力作用，壓力有可能大于mg，B正確；由于從最高點向最低點運動時，速度會增大，在最低點速度大，依據a＝eq\f(v2,R)，人在最高點和最低點時的向心加速度大小不等，C錯誤；在最低點FN－mg＝meq\f(v2,R)，支持力肯定大于重力，依據牛頓第三定律，人對座位的壓力大于重力，D正確。8.汽車車廂頂部懸掛一根輕質彈簧，彈簧下端拴一個質量為m的小球。當汽車以某一速率在水平面上勻速行駛時彈簧的長度為L1，當汽車以同一速率勻速通過一個橋面為圓弧形的凸橋最高點時，彈簧長度為L2，則下列選項中正確的是()A．L1＝L2 B．L1>L2C．L1<L2 D．前三種狀況都有可能解析：選B當汽車在水平面上做勻速直線運動時，設彈簧原長為L0，勁度系數為k依據平衡得：mg＝k(L1－L0)，解得：L1＝eq\f(mg,k)＋L0…①當汽車以同一速率勻速通過一個橋面為圓弧形凸形橋的最高點時，由牛頓其次定律得：mg－k(L2－L0)＝meq\f(v2,R)，解得：L2＝eq\f(mg,k)＋L0－eq\f(mv2,kR)…②①②兩式比較可得：L1＞L2，故A、C、D錯誤，B正確。9.[多選]如圖所示，木板B托著木塊A在豎直平面內逆時針方向做勻速圓周運動，則下列說法中正確的是()A．從水平位置a到最高點b的過程中A的向心加速度越來越大B．從水平位置a到最高點b的過程中B對A的摩擦力越來越小C．在a處時A對B的壓力等于A的重力，A所受的摩擦力達到最大值D．在過圓心的水平線以下A對B的壓力肯定大于A的重力解析：選BCD由于木塊A在豎直平面內做勻速圓周運動，A的向心加速度大小不變，A錯誤；從水平位置a到最高點b的過程中，A的向心加速度沿水平方向的重量漸漸減小，即此過程B對A的摩擦力越來越小，B正確；在a處時A的向心加速度水平向左，豎直方向上A處于平衡，A對B的壓力等于A的重力，A所受的摩擦力達到最大值，C正確；在過圓心的水平線以下有向上的加速度的重量，此時A處于超重狀態，A對B的壓力大于A的重力，D正確。10．在云南省某些地方到現在還要依靠滑鐵索過江，如圖甲。把滑鐵索過江簡化成圖乙的模型，鐵索的兩個固定點A、B在同一水平面內，AB間的距離為L＝80m，繩索的最低點離AB間的垂直距離為H＝8m，若把繩索看做是一段圓弧，已知一質量m＝52kg的人借助滑輪(滑輪質量不計)滑到最低點時速度為10m/s，重力加速度g取10m/s2，那么()A．人在整個繩索上運動可看成是勻速圓周運動B．可求得繩索的圓弧半徑為102mC．人滑到最低點時對繩索的壓力為470ND．人滑到最低點時對繩索的壓力為570N解析：選D人在下滑過程中速度大小改變，不能看成勻速圓周運動，A錯誤；設繩索的圓弧半徑為r，則由幾何學問得r2＝(r－H)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2)))2，代入解得r＝104m，B錯誤；對人探討：依據牛頓其次定律得N－mg＝meq\f(v2,r)，得到N＝mg＋meq\f(v2,r)，代入解得人在滑到最低點時繩索對人支持力N＝570N，依據牛頓第三定律得知，人在滑到最低點時對繩索的壓力為570N，C錯誤，D正確。11.如圖所示，一光滑的半徑為R的半圓形軌道固定在水平面上，一個質量為m的小球以某一速度沖上軌道，然后小球從軌道口B處飛出，最終落在水平面上，已知小球落地點C距B處的距離為3R。求小球對軌道口B處的壓力為多大？解析：設小球經過B點時的速度為v，小球平拋運動的水平位移x＝eq\r(3R2－2R2)＝eq\r(5)R，豎直方向上2R＝eq\f(1,2)gt2。故v＝eq\f(x,t)＝eq\f(\r(5)R,\r(\f(4R,g)))＝eq\f(\r(5gR),2)。在B點依據牛頓其次定律：F＋mg＝meq\f(v2,R)所以F＝eq\f(1,4)mg，依據牛頓第三定律：小球對軌道口B處的壓力F′＝F＝eq\f(1,4)mg。答案：eq\f(1,4)mg12.如圖所示，長為L的輕桿，兩端各連接一個質量都是m的小球，使它們以輕桿中點為軸在豎直平面內做勻速圓周運動，周期T＝2πeq\r(\f(L,g))，求它們通過豎直位置時桿分別對上下兩球的作用力，并說明是拉力還是支持力。解析：對小球受力分析，得在最低點處F1－mg＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2·eq\f(L,2)，所以F1＝eq\f(3,2)mg，方向向上，為拉力。在最高點處，設球受桿拉力為F2，F2＋mg＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2·eq\f(L,2)。所以F2＝－eq\f(1,2)mg，故知F2方向向上，為支持力。答案：最低點：eq\f(3,2)mg，拉力最高點：eq\f(1,2)mg，支持力圓周運動圓周運動1．[多選]關于北京和廣州兩地隨地球自轉的向心加速度，下列說法中正確的是()A．它們的方向都沿半徑指向地心B．它們的方向都在平行于赤道的平面內指向地軸C．北京的向心加速度比廣州的向心加速度大D．北京的向心加速度比廣州的向心加速度小解析：選BD因為地球自轉時，地面上的一切物體都在垂直于地軸的平面內繞地軸做勻速圓周運動，它們轉動中心(圓心)都在地軸上，而不是地球球心，所以它們的向心加速度都指向地軸。地球上各點的角速度相等，依據a＝ω2r，ω肯定時，a與r成正比，由于廣州和北京都在北半球，且廣州緯度比北京的低，所以北京的向心加速度比廣州的小。2．關于質點做勻速圓周運動，下列說法中正確的是()A．線速度大，向心加速度肯定大B．角速度大，向心加速度肯定大C．周期大，向心加速度肯定大D．加速度大，速度肯定改變快解析：選D由an＝eq\f(v2,r)＝ω2r＝eq\f(4π2r,T2)可知，當r肯定時，an與線速度v的平方成正比，與角速度ω的平方成正比，與周期T的平方成反比，選項A、B、C錯誤；加速度是描述速度改變快慢的，加速度越大，速度改變越快，選項D正確。3．下列關于離心現象的說法中，正確的是()A．當物體所受的離心力大于向心力時產生離心現象B．做勻速圓周運動的物體，當它所受的一切力都消逝時，它將做遠離圓心的圓周運動C．做勻速圓周運動的物體，當它所受的一切力都突然消逝時，它將沿圓周運動的切線做直線運動D．做勻速圓周運動的物體，當它所受的一切力都突然消逝時，它將做曲線運動解析：選C向心力是按效果命名的力，并非物體實際受到的力，離心力并不存在，故A錯誤。物體所受指向圓心的合力突然消逝或小于向心力時，物體將做離心運動；原來運動的物體不受力時將做勻速直線運動，故C正確，B、D錯誤。4．在質量為M的電動機飛輪上固定著一個質量為m的重物，重物到轉軸的距離為r，如圖所示，為了使放在地面上的電動機不會跳起，電動機飛輪的角速度不能超過()A.eq\f(M＋m,mr)g B.eq\r(\f(M＋m,mr)g)C.eq\r(\f(M－m,mr)g) D.eq\r(\f(Mg,mr))解析：選B重物轉到飛輪的最高點，電動機剛要跳起時，重物對飛輪的作用力F恰好等于電動機的重力Mg，即F＝Mg。以重物為探討對象，由牛頓其次定律得Mg＋mg＝mω2r，解得ω＝eq\r(\f(M＋m,mr)g)。B正確。5.[多選]質量相等的A、B兩物體，放在水平轉臺上，A離軸O的距離是B離軸O距離的一半。如圖所示，當轉臺旋轉時，A、B都無滑動，則下列說法正確的是()A．因為an＝ω2r，而rB>rA，所以B的向心加速度比A的大B．因為an＝eq\f(v2,r)，而rB>rA，所以A的向心加速度比B的大C．A的線速度比B的大D．B的線速度比A的大解析：選ADA、B兩物體在同一轉臺上，且無滑動，所以角速度相同，由v＝ωr，rB>rA，得B的線速度大于A的線速度，C錯誤，D正確；又由an＝ω2r，得aB>aA，A正確，B錯誤。6.質量為M的物體內有光滑圓形軌道，現有一質量為m的小滑塊沿該圓形軌道的豎直面做圓周運動，A、C為圓周的最高點和最低點，B、D與圓心O在同一水平線上。小滑塊運動時，物體M保持靜止，關于物體M對地面的壓力N和地面對物體M的摩擦力，下列說法正確的是()A．滑塊運動到A點時，N＞Mg，摩擦力方向向左B．滑塊運動到B點時，N＜Mg，摩擦力方向向右C．滑塊運動到C點時，N＝(M＋m)g，M與地面無摩擦力D．滑塊運動到D點時，N＝Mg，摩擦力方向向左解析：選D小滑塊運動到A點時，滑塊對M的作用力豎直向上，系統在水平方向不受力的作用，所以沒有摩擦力的作用，A錯誤；小滑塊運動到B點時，須要的向心力向右，所以M對滑塊有向右的支持力的作用，對M受力分析可知，地面要對物體M有向右的摩擦力的作用，在豎直方向上，物體M由于沒有加速度，物體受力平衡，所以物體M對地面的壓力N＝Mg，B錯誤；小滑塊運動到C點時，滑塊的向心力向上，所以滑塊對物體M的壓力要大于滑塊的重力，故M受到的滑塊的壓力大于mg，那么M對地面的壓力就要大于(M＋m)g，C錯誤；小滑塊運動到D點須要的向心力向左，所以M對滑塊有向左的支持力的作用，即滑塊對M有向右的作用力，地面要對M有向左的摩擦力的作用，在豎直方向上，由于物體M沒有加速度，物體受力平衡，所以物體M對地面的壓力N＝Mg，D正確。7.一種玩具的結構如圖所示，豎直放置的光滑圓環的半徑為R＝20cm，環上有一穿孔的小球m，小球僅能沿環做無摩擦滑動。假如圓環圍著通過環心的豎直軸O1O2以10rad/s的角速度旋轉，則小球相對環靜止時和環心O的連線與O1O2的夾角為(g取10m/s2)()A．30° B．45°C．60° D．75°解析：選C小球受到重力mg和圓環的支持力FN兩個力的作用，兩個力的合力供應向心力，依據牛頓其次定律有mgtanθ＝mω2r，又r＝Rsinθ，所以cosθ＝eq\f(g,ω2R)＝eq\f(1,2)，故θ＝60°，選項C正確。8.如圖所示，靜止在地球表面的a、b兩物體隨地球的自轉而做勻速圓周運動。下列說法正確的是()A．物體b的線速度比物體a的線速度小B．物體a、b所受合力都指向地心C．物體a、b的角速度一樣大D．物體b的向心加速度比物體a向心加速度小解析：選Ca與b均繞地軸做勻速圓周運動，相同時間轉過的角度相等，由角速度的定義式知a、b的角速度相等；角速度與線速度關系式為v＝ωr，b轉動半徑較大，所以b的線速度較大，A錯誤，C正確；它們受到的合外力供應做勻速圓周運動的加速度，可知它們的合力都指向各自做圓周運動的軌道的圓心，B錯誤；由a＝ω2r可知物體a的轉動半徑較小，角速度相同，物體a的向心加速度較小，即物體b的向心加速度的大小大于物體a的向心加速度的大小，D錯誤。9．[多選]質量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質木架上的A點和C點。如圖所示，當輕桿繞軸BC以角速度ω勻速轉動時，小球在水平面內做勻速圓周運動，繩a在豎直方向，繩b在水平方向。當小球運動到圖示位置時，繩b被燒斷的同時木架停止轉動，則()A．繩a對小球拉力不變B．繩a