第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年上海市寶山區行知中學高一（下）期中考試數學試卷一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設平面向量a=(4,2)，b=(m,?1)，若a與b不能作為平面向量的一組基底，則a?A.2 B.?10 C.?6 D.02.已知i為虛數單位，若復數(a+i)2i為正實數，則實數a的值為A.2 B.1 C.0 D.?13.已知函數f(x)=cos(2x+π4)，將y=f(x)的圖象上所有的點的橫坐標縮短為原來的12倍，縱坐標不變；再把所得的圖象向右平移|φ|A.3π4 B.3π8 C.5π164.已知f(x)是定義在R上的偶函數，若任意x1，x2∈[0,+∞)且x1>x2時，f(x1)?f(A.[?6,0] B.[0,1] C.[?3,2] D.[?2,2]二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。5.函數f(x)=1x2的導數f′(x)=6.已知i為虛數單位，復數z滿足z=2i，則z?=7.若sinθ=23，則cos(θ+π8.已知全集U={x|y=log2x}，A=[1,5]9.已知向量a=(1,3)，b=(2,?4)，則a在b上的數量投影是______．10.若扇形的面積為4，且弧長為其半徑的兩倍，則該扇形的半徑為______．11.已知向量a=(?2,3)，點A(2,?1)，若向量AB與a方向相同，且|AB|=21312.若關于x的方程x2?x+m=0的一個虛根的模為2，則實數m的值為______．13.若函數f(x)=2x(x+a)?1在區間(0,1)上有零點，則實數a14.在△ABC中，過中線AD的中點E作一條直線分別交AB、AC于M、N兩點，若AM=xAB，AN=yAC(x>0,y>0)15.設z1，z2∈C且z1=iz216.若對任意的x∈R，存在θ∈(0,π2)滿足不等式|x+1|+|x?a|≥1sin三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

已知函數f(x)=log2(4x+1)?kx是偶函數．

(1)求k的值；

18.(本小題14分)

已知復數z1=a+2+(a2?3)i,z2=2?(3a+1)i(a∈R,i是虛數單位)．

(1)若復數z1?z2?在復平面上對應點落在第一象限，求實數a的取值范圍；

(2)設a=119.(本小題14分)

設△ABC三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知C=π3，且2cos2A+4cos(B+C)+3=0．

(1)求角A的大小；

(2)如圖，D是BC延長線上的一點，在△ABC的外角∠ACD內取一點P，使得PC=4.過點P分別作直線CA，CD的垂線PM，PN，垂足分別是M，N.設∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此時α20.(本小題14分)

已知函數f(x)=sinx?cosx．

(1)求方程f(x)=cos2x在[0,π]上的解集；

(2)設函數F(x)=f(x)+2lnx；

①證明：y=F(x)在區間(π4,π2)上有且只有一個零點；

②記函數21.(本小題14分)

對于一組向量a1,a2,a3,?,an(n∈N,n≥3)，記Γn={a1,a2,a3,?an}，令Sn=a1+a2+a3+?+an，如果存在ap(p∈{1,2,3,?,n})，使得|ap|≥|Sn+kap|,(k∈Z)，那么稱ap是Γn的“k向量”．

(1)設an=(n,x?n)，n∈N且n>0，若a3是Γ3的“?3向量”，求實數x的取值范圍；

(2)若an=(sinnπ參考答案1.B

2.D

3.D

4.A

5.?26.2i

7.?28.(5,+∞)

9.?10.1

11.(?2,5)

12.4

13.(?114.5415.[0,416.{a|a≥3或a≤?5}

17.解：(1)因為f(x)=log2(4x+1)?kx是偶函數，且定義域為R，

所以f(?x)=f(x)恒成立，

即log2(4?x+1)+kx=log2(4x+1)?kx，

則2kx=log2(4x+1)?log2(4?x+1)=log21+4x1+4?x=log24x18.解：(1)由復數z1=a+2+(a2?3)i，z2=2?(3a+1)i，

得z2?=2+(3a+1)i，則z1?z2?=a+(a2?3a?4)i，

第一象限需滿足：a>0a2?3a?4>0，解得

a>4．

則實數a的取值范圍是(4,+∞)；

(2)當

a=1

時，點

A(3,?2)，B(2,?4)，OA=(3,?2),OB=(2,?4)，

設OA,OB的夾角為θ，則θ∈[0,π]，

且cosθ=1413?25=765,θ=arccos76565．

19.解：(1)因為A+B+C=π，所以B+C=π?A，所以cos(B+C)=cos(π?A)=?cosA，

因為2cos2A+4cos(B+C)+3=0，又cos2A=2cos2A?1，

所以4cos2A?4cosA+1=0，即(2cosA?1)2=0，

所以20.解：(1)因為sinα?cosα=cos2α=cos2α?sin2α，

因此(sinα+cosα+1)(cosα?sinα)=0，

因此cosα?sinα=0或sinα+cosα=?1，

當cosα?sinα=0時，cosα≠0，那么tanα=1，

又α∈[0,π]，因此α=π4，

當sinα+cosα=?1，那么sin(α+π4)=?22，

又α∈[0,π]，所以α+π4∈[π4,5π4]，

因此α+π4=5π4，因此α=π，

因此f(α)=cos2x在[0,π]上的解集為{π4,π}．

(2)①證明：F(x)=sinx?cosx+2lnx=2sin(x?π4)+2lnx，

當x∈(π4,π2)時，那么可得x?π4∈(0,π4)，

此時函數y=2sin(x?π4)在區間(π4,π2)上單調遞增，

y=2lnx在區間21.解：(1)由題意可得：|a3|≥|S3?3a3|，即|a3|≥|a1+a2?2a3|，

因為an=(n,x?n)，則a1=(1,x?1)，a2=(2,x?2)，a3=(3,x?3)，

可得a1+a2?2a3=(?3,?3)，則9+(x?3)2≥9+9，

解得x≥6或x≤0，所以實數x的取值范圍(?∞,0]∪[6,+∞)．

(2)存在“?1向量”，且“?1向量”為a2，a6，理由如下：

由題意得|an|=sin2nπ2+cos2nπ2=1.若存在“?1