學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精宿遷市2016~2017學年度第二學期期末考試高二數學試卷(考試時間120分鐘，試卷滿分160分）參考公式：；,其中,．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．不需寫出解題過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上．1．已知復數滿足(是虛數單位)，則的值為▲．2．已知點A的極坐標為，則點A的直角坐標為▲．3．若直線的參數方程為（為參數）,則直線在軸上的截距是▲．4．已知向量，若，則實數的值是▲．5．甲、乙、丙三人獨立地翻譯一密碼，若每人譯出此密碼的概率均為，則該密碼被譯出的概率為▲．6．設矩陣的一個特征值為2,則實數的值為▲．7．若3名學生報名參加數學、物理、化學、計算機四科興趣小組，每人選報一科，則不同的報名方法有▲種．8．設，則的值為▲．9．在極坐標系下，點P是曲線：上的動點,點Q是直線上的動點,則線段PQ長的最小值是▲．OABC（第11題）NM10．已知OABC（第11題）NM11．在四面體中，已知點分別在棱上,且,，則的值為▲．12．兩位同學參加一項比賽,通過綜合分析，兩人獲得一等獎的概率分別為，且他們是否獲得一等獎相互獨立．若這兩位同學中恰有一位獲得一等獎的概率為，則的值為▲．13．已知函數，數列滿足,對于任意都滿足,且．若，則的值為▲．14．祖暅原理：兩個等髙的幾何體，若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．利用祖暅原理可以求旋轉體的體積．如：設半圓方程為,半圓與軸正半軸交于點,作直線，交于點，連接（為原點)，利用祖暅原理可得：半圓繞y軸旋轉所得半球的體積與△繞軸旋轉一周形成的幾何體的體積相等．類比這個方法,可得半橢圓繞軸旋轉一周形成的幾何體的體積是▲．解答題：本大題共6小題,共計90分．請在答題卡指定區域內作答,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分14分）已知復數,，其中是虛數單位，且為純虛數．（1)求復數;(2）若復數(b∈R）在復平面內對應的點在第四象限,求b的取值范圍．16．(本小題滿分14分)已知矩陣的逆矩陣．（1）求矩陣；（2）已知曲線，在矩陣對應的變換作用下得到曲線，求曲線的方程．17．(本小題滿分14分）PABCDE(第17題)在四棱錐中，平面,底面為直角梯形，,且，點為PABCDE(第17題)(1）求與所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值．18．（本小題滿分16分）某商場為刺激消費，讓消費達到一定數額的消費者參加抽獎活動．抽獎方案是：顧客從一個裝有2個紅球，3個黑球,5個白球的袋子里一次取出3只球，且規定抽到一個紅球得3分,抽到一個黑球得2分,抽到一個白球得1分，按照抽獎得分總和設置不同的獎項．記某位顧客抽獎一次得分總和為X．(1）求該顧客獲得最高分的概率；（2）求X的分布列和數學期望．19．（本小題滿分16分）已知函數，其中，．（1）若，求展開式中含項的系數；（2)若；求展開式中含項的系數；（3)當i為奇數時，,當i為偶數時，,n為正偶數．求證：當時,為正整數．20．（本小題滿分16分）如圖，由若干個數組成的n行三角形數陣,第一行有1個數，第二行有2個數，依此類推，第i行有i個數．除最后一行外，各行中每個數都等于它下方兩個數之和，如：．記第i行的第j個數為aij（，）．（1)若n=4，當最后一行從左向右組成首項為1，公差為2的等差數列時,求a11；（2)若第n行從左向右組成首項為1，公比為2的等比數列，求a11（用含有n的式子表示）;（3）是否存在等差數列{xn},使得？若存在，則求出該等差數列的通項公式；若不存在，則說明理由．aa43a44a33a41a42a31a32a21a22a11第1行第2行第4行第3行……第n行an1an2an(n-1)annan3…（第20題）數學參考答案及評分細則一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．不需寫出解題過程,請把答案直接填寫在答題卡相應位置上．1．；2．;3．7；4．;5．;6．2；7．64或；8．16；9．1；10．；11．;12．；13．；14．.二、解答題:本大題共6小題,共計90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（1)，……3分因為為純虛數，所以所以。……7分(2），……9分由已知……11分解得，所以b的取值范圍為。……14分16．（1）設矩陣，則，即，……2分故,解得,………………4分所以矩陣。…………………6分(2）設是曲線C上任一點,在矩陣對應的變換下，在曲線上的對應的點為，則，………………10分即∴,………………12分代入曲線C得,所以曲線的方程為.………14分17。解：（1）以為原點,建立空間直角坐標系，如圖所示，PABCDE(PABCDE(第17題)zxyx則，設,則，由得，……4分所以,則，又因為，,………6分所以,故與所成角的余弦值為.………8分（2），設平面的一個法向量為，由得，令得，所以,………10分由條件知平面，所以平面的一個法向量為，則，………12分所以，所以二面角的余弦值為.………14分18解：（1)該顧客抽獎一次，當抽到2個紅球1個黑球時，得分總和最高為8分，…2分得分為8分的概率為,……………4分（2）由題意知,袋子中共有10個球，，,，，,……………13分（X=3，4，8時算對一種得1分,X=5,6，7時算對一種得2分)所以X的數學期望。………15分答：（1）該顧客獲得高分的概率是；（2）X的數學期望為5.1。…16分19解：（1）若,展開式的第r+1項為,∴系數為;……4分(2)若,則,方法1：在8個括號中任選兩個，展開式中項的系數為所有任選的兩個括號中x項的系數之積的和，即=1(2+3+…+8）+2(3+4+…+8）+3(4+5+…+8）+…+7×8.…10分方法2：展開式中項的系數為：.（3)由題意，……12分設=，即，當時,=，…15分為正整數，∴=為正整數，即為正整數。………………16分20解:（1）方法1：當n=4時，,則，，所以；……………3分方法2：當n=4時，==32.（2)==…=……………6分==.……………9分（3）假設存在等差數列{xn｝.令n=1，得；令n=2，得；猜想。……………11分證明如下：即證（方法一)：(用數學歸納法證明）①當n=1時，左邊==1，右邊==1。左邊=右邊.……………11分②假設當n=k時，等式成立，即，