試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級數學中考三輪沖刺訓練旋轉綜合題（幾何變換）專題練1．如圖1，在中，，，點、分別在邊、上，，連接，點、、分別為、、的中點．(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數量關系是，位置關系是；(2)探究證明：把繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：把繞點A在平面內自由旋轉，若，，直接寫出面積的最大值．2．已知正方形邊長為1，對角線相交于點O，過點O作射線，分別交于點E，F，且．(1)如圖1，當時，求證：四邊形是正方形；(2)如圖2，將射線繞著點O進行旋轉．①在旋轉過程中，判斷線段與的數量關系，并給出證明；②四邊形的面積為；(3)如圖3，在四邊形中，，連接．若，請直接寫出四邊形的面積．3．在平面直角坐標系中，點，點在x軸的負半軸上，．將繞點順時針旋轉，得，點旋轉后的對應點為．記旋轉角為．

(1)如圖①，當時，求與的交點的坐標；(2)如圖②，連接，當經過點A時，求的長；(3)設線段的中點為，連接，求線段的長的取值范圍(直接寫出結果即可)．4．如圖，在和中，，，，，將繞著點旋轉一定的角度．(1)當時①如圖1，連接，，求證：．②將旋轉到圖2位置，連接，，若，求點到直線的距離．(2)當時，將旋轉到、、三點共線，求的面積．5．如圖，中，，，為點在射線上，點在射線上，，將線段繞點逆時針旋轉，點落在點處，連接．(1)求證四邊形是平行四邊形；(2)設，四邊形的面積是，關于的函數圖像如圖所示，點是函數圖像上一點①；②過點在上方作線段，使得，且（尺規作圖）；③連接，說明點是定點；④點在點左側的函數圖像上，點在點右側的函數圖像上，且直線與軸構成的銳角的正切值是，求的值．6．如圖①，和都是等腰直角三角形，，當點在線段上，點在線段上時，我們很容易得到，不需證明．(1)如圖②，將繞點逆時針旋轉，連接和，此時是否依然成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，說明理由；(2)如圖③，當繞點逆時針旋轉，使得點恰好落在的延長線上，連接．若，，求線段的長；(3)若為中點，連接，，，當繞點逆時針旋轉時，最大值為，最小值為，則的值為______．7．已知：在中，，，，點為射線上一動點，連接，將繞點逆時針旋轉，使點落在邊上的點處，為點的對應點，連接．(1)如圖，當點在線段上時，連接．填空：的形狀為_____；與的數量關系為____．(2)如圖，在（1）的基礎上，當時，判斷四邊形的形狀，并說明理由．(3)如圖，連接，當時，直接寫出的長．8．在菱形中，，，動點M在射線上運動．(1)如圖（1），將點A繞著點M順時針旋轉，得到對應點，連接，．求證：；(2)如圖（2），在（1）條件下，若射線經過邊中點E，求的值；(3)連接，將線段繞著點M逆時針旋轉一個固定角α，，點A落在點F處，射線交射線于G，若是等腰三角形，求的值．9．綜合與實踐——探究圖形旋轉中的問題，問題背景：在一次綜合實踐活動課上，同學們以兩個菱形為對象，研究相似菱形旋轉中的數學問題．已知菱形菱形，它們各自對角線的交點重合于點，且，，，

觀察發現：（1）如圖1，若，連接，，則與的數量關系是；操作探究：（2）保持圖1中的菱形不動，將菱形從圖1的位置開始繞點O順時針旋轉，設旋轉角為α．①當時，得到圖2．此時（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；②小穎發現，在菱形繞點O順時針旋轉到圖3位置時，連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由；③當菱形繞點O旋轉至A，，三點共線時，直接寫出此時線段的長．10．如圖，在中，，將繞點C旋轉一定的角度得到，點D恰好落在邊上．

(1)求證：平分；(2)連接，若，，求的長．11．已知等邊三角形的邊長為4．(1)如圖，在邊上有一個動點，在邊上有一個動點，滿足，求證：；

(2)如圖，若點在射線上運動，點在直線上，滿足，當時，求的長；

(3)在（2）的條件下，將點繞點逆時針旋轉到點，求的面積．12．問題背景：已知的頂點在的邊上（不與，重合）．交所在直線于點，交所在直線于點．記的面積為，的面積為．

（1）初步嘗試：如圖①，當是等邊三角形，，，且，時，則；類比探究：在（1）的條件下，先將點沿平移，使，再將繞點旋轉至如圖②所示位置，求的值；（2）延伸拓展：當為等腰三角形時，設．（Ⅰ）如圖③，當點在線段上運動時，設，，則的表達式為（結果用，和的三角函數表示）．（Ⅱ）如圖④，當點在的延長線上運動時，設，，求的表達式，寫出解答過程．13．已知是等腰直角三角形，，直線m是過點C的任一條直線，于點E，于點D；

(1)如圖（1），求證：；(2)當直線m繞點C旋轉到如圖（2）時，上述（1）中結論是否還成立？若不成立，請寫出AE與DE和BD的正確數量關系，并加以證明．(3)當直線m繞點C旋轉到如圖（3）時，請直接寫出AE與DE和BD的數量關系．14．如圖①，，以的頂點A為頂點作正，延長邊與的邊交于E點，在邊上截取一點D，使得，并連結．

(1)求證：；(2)①將正繞頂點A按順時針旋轉，使頂點B落在內部，如圖②，請確定，，之間的數量關系，并說明理由；②將圖②中的正繞頂點A繼續按順時針旋轉，使頂點B落在射線下方，如圖③，請確定，，之間的數量關系，不必說明理由；(3)在（1）和（2）的條件下，若，，求的長．15．問題探究將幾何圖形按照某種法則或規則變換成另一種幾何圖形的過程叫做幾何變換．旋轉變換是幾何變換的一種基本模型．經過旋轉，往往能使圖形的幾何性質明白顯現．題設和結論中的元素由分散變為集中，相互之間的關系清楚明了，從而將求解問題靈活轉化．

問題提出：如圖1，是邊長為1的等邊三角形，P為內部一點，連接、、，求的最小值．方法分析：通過轉化，把由三角形內一點發出的三條線段（星型線）轉化為兩定點之間的折線（化星為折），再利用“兩點之間線段最短”求最小值（化折為直）．問題解決：如圖2，將繞點逆時針旋轉至，連接，記與交于點，易知．由，可知為正三角形，有．故．因此，當共線時，有最小值是．學以致用：(1)如圖3，在中，為內部一點，連接，則的最小值是________．(2)如圖4，在中，為內部一點，連接，求的最小值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級數學中考三輪沖刺訓練旋轉綜合題（幾何變換）專題練》參考答案1．(1)，(2)是等腰直角三角形(3)【分析】（1）根據三角形中位線定理得，，，，從而得出，；（2）首先利用證明，得，，再由（1）同理說明結論成立；（3）先判斷出最大時，的面積最大，進而求出，，即可得出最大，最后用面積公式即可得出結論．【詳解】（1）解：點，是，的中點，，，點，是，的中點，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：，；（2）解：是等腰直角三角形．理由如下：由旋轉知，，，，，，，利用三角形的中位線得，，，，是等腰三角形，同（1）的方法得，，，同（1）的方法得，，，，，，，，是等腰直角三角形；（3）解：如圖，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，連接，∵，∴當點三點共線時，最大，如圖：最大時，的面積最大，最大，在中，，，∴由勾股定理得：，∵點M為中點，，在中，，同上可求，，同上可得：，∴，．【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形中位線定理，三角形的三邊關系和旋轉的性質等知識，證明是等腰直角三角形是解題的關鍵．2．(1)見解析(2)①，證明見解析；②(3)【分析】（1）根據正方形的性質證明四邊形是矩形，再得，即可解決問題；（2）①證明，可得即可；②先根據正方形的性質得，則，，所以，由得，則，即可證明，于是得，根據四邊形的面積的面積正方形的面積，即可解決問題；（3）延長至點G，使，連接，證明，可得，，所以為等腰直角三角形，所以四邊形的面積等腰直角三角形的面積，進而可以解決問題．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴，∴四邊形是正方形；（2）解：①，證明：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴；②∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的面積的面積，∴四邊形的面積的面積正方形的面積；（3）解：如圖，延長至點G，使，連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∵，∴四邊形的面積等腰直角三角形的面積．【點睛】此題是四邊形的綜合題，考查正方形的性質，全等三角形的判定與性質，旋轉的性質，根據正方形性質求出三角形全等的條件是解題的關鍵．3．(1)(2)(3)【分析】（1）過點作軸，利用，可得，利用和可得點D是OB的中點，從而得知點D的橫坐標，利用和是等邊三角形可得，即點D的縱坐標，從而得解；（2）過點作軸，垂足為，推導，從而得出，再計算，用勾股定理得，從而得解；（3）取線段的中點N，連接、，則，用中位線定理求，用勾股定理求，最后利用求范圍．【詳解】（1）解：如圖，過點作軸，垂足為．

∵點，∴．∵，∴．在中，．∵，∴．∴．∴，∴是等邊三角形，∵，軸∴．∴．∴點的坐標為．（2）解：如圖，過點作軸，垂足為．

由旋轉得，．∴．∴．∴．∴．∴．在中，．（3）解：取線段的中點N，連接、，則

∵點M是線段的中點，點N是線段的中點，∴由旋轉的性質得：，∴∴即【點睛】本題考查旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，含角的直角三角形的性質，中位線定理，勾股定理等知識，掌握旋轉的性質和正確作出輔助線是解題的關鍵．4．(1)①見解析②(2)或【分析】（1）①證明，由全等三角形的性質即可證明結論；②過作，過作，交延長線于，設，則，利用勾股定理解得的值，進而確定的值，然后利用面積法計算點到直線的距離即可；（2）結合，分別求得，，；分兩種情況討論：當點在點、中間和點在點、中間，分別求解即可．【詳解】（1）①證明：∵，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴；②過作，過作，交延長線于，∵，，∴，設，則，∵，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴，又∵，，∴，，∴，分兩種情況討論：①當點在點、中間時，如圖，過作于點，∵，即，解得，∴，∴，∴，∵，∴，又∵=，∴，∴，∴=，，∴，解得，∴=；②當點在點、中間時，如圖，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴=，，∴，解得，∴．綜上所述，的面積為或．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理、圖形的旋轉、三角形面積公式等知識，解題關鍵是熟練掌握相關知識，運用分類討論的思想分析問題．5．(1)見解析(2)①；②圖見解析；③見解析；④【分析】（1）根據直角三角形的性質及旋轉的性質可知，再利用平行線的性質可知，最后利用平行四邊形的判定即可解答；（2）①根據平行四邊形的面積公式可知，再根據等腰直角三角形的性質可知進而即可解答；②根據線段垂直平分線的性質及尺規作圖法即可解答；③連接，證明，則，，則，可以看作繞點B逆時針旋轉得到的，即可證明結論成立；④根據直角三角形的判定及平行線的判定可知，再利用函數的性質即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∵將線段繞點逆時針旋轉，∴，，∵，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：由（）可知四邊形是平行四邊形，過點作于點，∴，，∵，，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵四邊形的面積是，∴，∵是函函數圖象上一點，∴，∴，故答案為；②如圖所示，線段即為所求，③連接，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴，∵∴，又∵∴∴，，∴，∴可以看作繞點B逆時針旋轉得到的，∴點是定點；④過點作軸的垂線，過點作于點，∴，∴是直角三角形，，∴，∴，∵點在點左側的函數圖像上，點在點右側的函數圖像上，∴，，∴，∵直線與軸構成的銳角的正切值是，∴，由①可知，∴，∴，，∴，解得：【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，直角三角形的判定與性質，函數的性質，矩形的判定與性質，銳角三角函數，尺規作圖法，圖形的旋轉、全等三角形的判定和性質、平行線的性質，掌握函數與幾何圖形的關系是解題的關鍵．6．(1)依然成立，理由見解析(2)(3)【分析】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，直角三角形的性質，兩點之間線段最短、二次根式的計算等知識，證明是解題的關鍵．（1）利用，證明，得．（2）證明，得，則，再利用勾股定理可得答案．（3）連接連接、，先根據勾股定理和直角三角形的性質求得，當繞點逆時針旋轉時，點在以為圓心，為半徑的圓上運動，所以當點在直線上時，有最大和最小值，由圖可得的最大值為，最小值為，即．【詳解】（1）解：依然成立，理由如下：∵和都是等腰直角三角形，∴，，∵將繞點逆時針旋轉，∴，∴，∴．（2）解：∵∴又∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．（3）解：如圖，連接、，∵，∴，∵點是的中點，∴，∴點在以為圓心，為半徑的圓上運動，∴當點在直線上時，有最大值和最小值，∴由圖可得的最大值為，最小值為，∴，故答案為：．7．(1)等邊三角形，(2)菱形，理由見詳解(3)【分析】（1）由旋轉的性質可得，所以，，，，又因為，，所以，，又因為，所以是等邊三角形．因為，，，所以，，又因為，，所以，，因為，，故的形狀為等邊三角形，與的數量關系為．（2）由（1）得，，因為，，，所以，因為，所以，，，因為，，所以四邊形是平行四邊形，又因為，所以四邊形是菱形．（3）延長，交于點，由上可得為等邊三角形，，又因為，，和均是等腰直角是等腰直角三角形，，，即，，因為，，，即，因為，，所以，，因為，，所以，，因為，所以，，，因為，，所以，所以．【詳解】（1）解：由旋轉的性質可得，∴，，，，又∵，，∴，∴，又∵，∴是等邊三角形．∵，，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，故的形狀為等邊三角形，與的數量關系為．（2）四邊形是菱形．理由：由（1）得，，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形．（3）延長，交于點，如圖所示：由上可得為等邊三角形，，又∵，，∴和均是等腰直角是等腰直角三角形，，，即，，∵，∴，，即，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，旋轉的性質，等腰三角形的判定和性質、等邊三角形的性質和判定，菱形的判定，解直角三角形的相關計算，熟練掌握以上性質是解題的關鍵．8．(1)見解析(2)(3)或【分析】（1）可證得，從而，進而得出；（2）連接，交于點O，作于點F，先求出，，，，設，則，可證得，從而，從而得出，求得x的值，進一步得出結果；（3）分為兩種種情形：當點G在上，且時，同樣得出點A、B、G、M共圓，從而，，進而得出和設，作于H，作于點N，可求得，，從而表示出，，，根據列出，進而求得結果當時，作于點H，可得出和設，表示出，，根據列出，求得x的值，進一步得出結果；可判定出，進而得出結果．【詳解】（1）證明：在菱形中，，，∵，∴，∴，∵，，∴；（2）解：如圖1，連接，交于點O，作于點F，∵四邊形是菱形，∴，，，∴，，∴，，∴，，設，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴x1=，（舍去），∴，∴；（3）解：如圖2，當點G在上，且時，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴點A、B、G、M共圓，∴，∵，∴，∵，∴，設，作于H，作于點N，由得，AN=，∴，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，如圖3，當時，作于點H，由上知：，∴，設，∴，∵，∴，∴，∴，當點G在的延長線上時，，∴，∴，∴，綜上所述：或．【點睛】本題考查了菱形的性質，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，確定圓的條件等知識，解決問題的關鍵是正確分類，畫出圖形，找出相等關系列方程．9．（1）；（2）①結論仍然成立，理由見解析；②四邊形是平行四邊形，理由見解析；③【分析】（1）可得出，，從而、、共線，、、共線，進而得出，進一步得出結果；（2）①連接，，，，可推出，，從而，從而得出，進一步得出結論；②連接，，由四邊形和四邊形是菱形得出，，從而得出四邊形是平行四邊形；③分為：當在上時，作，可求得，，，從而，，進而得出，進一步得出結果；當在的延長線上時，作于，可得，，進一步得出結果．【詳解】解：（1）如圖1，

連接，，菱形菱形，，，，、、共線，、、共線，，，，故答案為：；（2）①如圖1，

結論仍然成立，理由如下：連接，，，，四邊形和四邊形是菱形，，，，，，，，；②如圖2，

四邊形是平行四邊形，理由如下：連接，，四邊形和四邊形是菱形，，，四邊形是平行四邊形；③如圖4，

當在上時，作，可得，，，，，，，，如圖5，

當在的延長線上時，作于，由上知：，，，，綜上所述：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，菱形的性質，平行四邊形的判定，解直角三角形等知識，解決問題的關鍵是畫出圖象，分類討論．10．(1)見詳解；(2)【分析】（1）根據旋轉的性質可得，再由“等邊對等角”可得，因此可得，即可得出平分．（2）連接，根據全等三角形的性質可得，由此可得．再根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得，又由即可證是等邊三角形，可得，再證，由此可得，根據SAS證明，則可知，在中，根據勾股定理求出的長，再在中根據勾股定理即可求出的長．【詳解】（1）∵繞點C旋轉一定的角度得到，∴，，

，∴平分．（2）

如圖，連接，，．又，，．又，，是等邊三角形，，．又，，，．在和中，

，，,，，，．∴的長為．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質、等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質，以及勾股定理，綜合性較強．正確的作出輔助線，且證明出是解題的關鍵．11．(1)見詳解(2)7(3)【分析】（1）先利用三角形的內角和得出，再用平角得出，進而得出，即可得出結論；（2）過點作于，構造出含角的直角三角形，求出的長度，再用勾股定理求出，進而求出的值，再判斷出，得出比例式即可得出結論；（3）先求出的值，進而得出的值，再構造出直角三角形求出的長度，進而得出的值，再求出的長度，最后用面積差即可得出結論．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，∴在中，，∴，∵，∴，∴；（2）如下圖，過點作于，

∴，∵是等邊三角形，邊長為4，∴，，∴，在中，，，∴，根據勾股定理得，，在中，，根據勾股定理得，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）如下圖，

由（2）知，，∵，∴，由旋轉知，，，∵，∴，，過點作于，在中，，根據勾股定理得，，過點作于，∵，∴，∴，過點作于，∵，∴，在中，根據勾股定理得，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質、旋轉的性質、勾股定理及相似三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握相關知識并靈活運用．12．（1）；類比探究：；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ），過程見解析【分析】（1）如圖，過點作于點，過點作于點，首先證明，都是等邊三角形，然后根據銳角三角函數和三角形面積公式可得，，即可求出；類比探究：如圖，過點作于點，過點作于點，設，，證明，可得，即，推出，然后由，，即可求出的值；（2）（Ⅰ）如圖，如圖，過點作于點，過點作于點，設，，證明，推出，，，即可求出的值；（Ⅱ）結論不變，解答方法類似．【詳解】解：（1）如圖，過點作于點，過點作于點，∵是等邊三角形，，，∴，，∴，∵，∴，，∴，都是等邊三角形，∵，∴，，∵，，∴，，∴，，∴，故答案為：；

類比探究：如圖，過點作于點，過點作于點，設，，∵，，∴，∵是等邊三角形，，∴，，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，，∴，∴的值為；

（2）（Ⅰ）如圖，如圖，過點作于點，過點作于點，設，，∵是等腰三角形，，，，又∵，∴，∴，∴，即，∴，∵，，∴，，∴，，∴，∴的值為，故答案為：；

（Ⅱ）如圖，過點作于點，過點作于點，設，，∵是等腰三角形，，，，又∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，∵，，∴，，∴，，∴，∴的值為．

【點睛】本題考查幾何變換綜合題，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，三角形的面積公式，銳角三角函數等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．13．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）先利用同角的余角相等判斷出，進而得出，最后用線段的和差即可得出結論；（2）先利用同角的余角相等判斷出，進而得出，最后用線段的和差即可