板塊五概率與統計微專題29概率高考定位主要考查古典概型、條件概率、相互獨立事件的概率以及全概率公式的基本應用，以選擇題、填空題為主，也可能出現在解答題的一個小題中，難度中等或偏下.【

真題體驗

】1.(2021·新高考Ⅰ卷)有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則 A.甲與丙相互獨立

B.甲與丁相互獨立 C.乙與丙相互獨立

D.丙與丁相互獨立√由題意可知，兩點數之和為8的樣本點為(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，兩點數和為7的樣本點為(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，∴P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丙)P(丁)，因此事件甲與丁相互獨立.2.(多選)(2023·新高考Ⅱ卷)在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立.發送0時，收到1的概率為α(0<α<1)，收到0的概率為1－α；發送1時，收到0的概率為β(0<β<1)，收到1的概率為1－β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發送1次；三次傳輸是指每個信號重復發送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼(例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1). A.采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為 (1－α)(1－β)2 B.采用三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1的概率為β(1－β)2 C.采用三次傳輸方案，若發送1，則譯碼為1的概率為β(1－β)2＋(1－β)3 D.當0<α<0.5時，若發送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率√√√由題意，發0收1的概率為α，發0收0的概率為1－α；發1收0的概率為β，發1收1的概率為1－β.對于A，發1收1的概率為1－β，發0收0的概率為1－α，所以所求概率為(1－α)(1－β)2，故A選項正確；對于B，相當于發了1，1，1，收到1，0，1，則概率為(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B選項正確；對于C，相當于發了1，1，1，收到1，1，0或1，0，1或0，1，1或1，1，1，對于D，發送0，采用三次傳輸方案譯碼為0，相當于發0，0，0，收到0，0，1或0，1，0或1，0，0或0，0，0，發送0，采用單次傳輸方案譯碼為0的概率P2＝1－α.當0<α<0.5時，P1－P2＝3α(1－α)2＋(1－α)3－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，故D選項正確.綜上，選ABD.3.(2024·天津卷)A，B，C，D，E五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到A的概率為________；已知乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為________.記“乙選擇A活動”為事件M，“乙選了A活動再選擇B活動”為事件N，4.(2024·新高考Ⅰ卷)甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8.兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的卡片在此后的輪次中不能使用).則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為________.因為甲出卡片1一定輸，出其他卡片有可能贏，所以四輪比賽后，甲的總得分最多為3.若甲的總得分為3，則甲出卡片3，5，7時都贏，所以只有1種組合：3－2，5－4，7－6，1－8.若甲的總得分為2，有以下三類情況：第一類，當甲出卡片3和5時贏，只有1種組合，為3－2，5－4，1－6，7－8；第二類，當甲出卡片3和7時贏，有3－2，7－4，1－6，5－8或3－2，7－4，1－8，5－6或3－2，7－6，1－4，5－8，共3種組合；第三類，當甲出卡片5和7時贏，有5－2，7－4，1－6，3－8或5－2，7－4，1－8，3－6或5－4，7－2，1－6，3－8或5－4，7－2，1－8，3－6或5－2，7－6，1－4，3－8或5－2，7－6，1－8，3－4或5－4，7－6，1－2，3－8，共7種組合.綜上，甲的總得分不小于2共有12種組合，而所有不同的組合共有4×3×2×1＝24(種)，精準強化練熱點一古典概型熱點二條件概率與全概率公式熱點三事件的獨立性與n重伯努利試驗熱點突破熱點一古典概型利用公式法求解古典概型問題的步驟(1)(2024·梅州模擬)某學校為參加辯論比賽，選出8名學生，其中3名男生和5名女生，為了更好備賽和作進一步選拔，現將這8名學生隨機地平均分成兩隊進行試賽，那么兩隊中均有男生的概率是例1√法一由已知，8名學生要平均分成兩隊，即8名學生任選4名為第一隊，又因為男生有3名，要想兩隊均有男生，則還余下6名學生(1男5女)，再任選3人進第一隊，法二由已知，8名學生要平均分成兩隊，兩隊中均有男生，則一隊必然是1男3女，另一隊必然是2男2女，(2)(2024·西安模擬)甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、黃、白、藍4種顏色的運動服中選擇1種，則他們選擇不同顏色運動服的概率為√甲，乙兩名運動員各自等可能地從紅、黃、白、藍4種顏色的運動服中選擇1種的樣本空間的樣本點的個數為4×4＝16.他們選擇相同顏色運動服有4個樣本點，即(紅，紅)，(黃，黃)，(白，白)，(藍，藍)，1.古典概型的樣本點個數的探究方法：(1)枚舉法；(2)樹狀圖法；

(3)排列組合法.2.當所求概率的事件較復雜時，可把其分解為若干個互斥事件的和求解.規律方法訓練1√從1，2，3，4，5中隨機選取三個不同的數，取法有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共有10個樣本點，其中三個數之積為偶數的樣本點有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共9個，所以從1，2，3，4，5中隨機選取三個不同的數，√將甲、乙、丙等7名志愿者分到A，B，C三個地區，熱點二條件概率與全概率公式(多選)(2024·廣州模擬)甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和2個白球(兩箱中的球除顏色外沒有其他區別)，先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別用事件A1和A2表示從甲箱中取出的球是紅球和白球；再從乙箱中隨機取出兩球，用事件B表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則例2√√√利用全概率公式的思路：首先按照確定的標準，將一個復合事件分解為若干個互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)，然后求P(Ai)和所求事件B在各個互斥事件Ai發生的條件下的概率P(B|Ai)，代入全概率公式計算.規律方法(1)(2024·洛陽調研)某校有演講社團、籃球社團、乒乓球社團、羽毛球社團、獨唱社團共五個社團，甲、乙、丙、丁、戊五名同學分別從五個社團中選擇一個報名，記事件A為“五名同學所選項目各不相同”，事件B為“只有甲同學選籃球”，則P(A|B)＝訓練2√√(2)(2024·湖北四市聯考)長時間玩手機可能影響視力.據調查，某校學生大約30%的人近視，而該校大約有20%的學生每天玩手機超過1小時，這些人的近視率約為60%，現從每天玩手機不超過1小時的學生中任意調查一名學生，則他近視的概率為設事件A1＝“玩手機時間超過1h的學生”，A2＝“玩手機時間不超過1h的學生”，B＝“任意調查一人，此人近視”，則Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，P(A1)＝0.2，P(A2)＝0.8，P(B|A1)＝0.6，P(B)＝0.3，依題意，知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.2×0.6＋0.8×P(B|A2)＝0.3，熱點三事件的獨立性與n重伯努利試驗例3√設該運動員射擊一次，擊中目標的概率為p，(2)(多選)先后拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，記向上的點數分別為x，y，設事件A1＝“x＋y＝5”，事件A2＝“y＝x2”，事件A3＝“x＋2y為奇數”，則√先后兩次拋擲一枚質地均勻的骰子，得到向上的點數分別為x，y，√√則樣本點為(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36個，滿足事件A1的樣本點有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)共4個，滿足事件A2的樣本點有(1，1)，(2，4)，共2個，滿足事件A3的樣本點有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，共18個.則P(A1A3)＝P(A1)P(A3)，所以A1與A3相互獨立，C正確；因為P(A2A3)＝P(A2)P(A3)，所以A2與A3相互獨立，D正確.1.相互獨立事件同時發生的概率等于它們各自發生的概率之積.2.當正面計算較復雜或難以入手時，可以從其對立事件入手計算.規律方法訓練3√設事件A＝“甲猜對”，B＝“乙猜對”，C＝“幾何隊至少猜對一個成語”，√(2)(多選)(2024·青島模擬)袋子中有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中隨機取出兩個球，設事件A＝“取出的球的數字之積為奇數”，事件B＝“取出的球的數字之積為偶數”，事件C＝“取出的球的數字之和為偶數”，則 A.事件A與B是互斥事件 B.事件A與B是對立事件 C.事件B與C是互斥事件 D.事件B與C相互獨立對于A，B，取出的球的數字之積為奇數和取出的球的數字之積為偶數不可能同時發生，且必有一個發生，故事件A與B是互斥事件，也是對立事件，A，B正確；√對于C，如果取出的數為2，4，則事件B與事件C均發生，不互斥，C錯誤；則P(B)P(C)≠P(BC)，即事件B與C不相互獨立，D錯誤.【精準強化練】√√根據題意，甲運動員前5場內需要贏3場，第6場甲勝，√3.(2024·南陽模擬)黨的二十大報告提出：“深化全民閱讀活動.”今天，我們思索讀書的意義、發掘知識的價值、強調閱讀的作用，正是為了更好地滿足人民群眾精神文化生活新期待.某市把圖書館、博物館、美術館、文化館四個公共文化場館面向社會免費開放，開放期間需要志愿者參與協助管理.現有A、B、C、D、E共5名志愿者，每名志愿者均參與本次志愿者服務工作，每個場館至少需要一名志愿者，每名志愿者到各個場館的可能性相同，則A、B兩名志愿者不在同一個場館的概率為√由甲開始傳球，則前3次傳球中，乙恰好有1次接到球的情況可分為：只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，√設事件A為“任意調查一名學生，每天玩手機超過1h”，6.(2024·鄭州模擬)在某次測試中，若甲、乙、丙三人獲得優秀等級的概率分別是0.5，0.6和0.7，且三人的測試結果相互獨立，測試結束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒有達到優秀等級的條件下，乙達到優秀等級的概率為分別記甲、乙、丙三人獲得優秀等級為事件A，B，C，√記甲、乙、丙三人中恰有兩人沒有達到優秀等級為事件D，由題知，P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.7，＝0.5×0.4×0.3＋0.5×0.6×0.3＋0.5×0.4×0.7＝0.29，7.有四個禮盒，前三個里面分別僅裝有中國結、記事本、筆袋，第四個禮盒里面上述三種禮品都有裝，現從中任選一個禮盒.設事件A為“所選禮盒中有中國結”，事件B為“所選禮盒中有記事本”，事件C為“所選禮盒中有筆袋”，則下列說法中正確的是 A.事件A與事件B互斥

B.事件A與事件B相互獨立 C.事件A與事件B∪C互斥

D.事件A與事件B∩C相互獨立由于第四個禮盒中既有中國結，又有記事本，若抽到第四個禮盒，√則事件A和事件B就同時發生了，因此事件A與事件B不是互斥事件，故A錯誤；因此事件A與事件B相互獨立，故B正確；由于第四個禮盒中既有中國結，又有記事本，還有筆袋，若抽到第四個禮盒，則事件A和事件B∪C就同時發生了，因此事件A與事件B∪C不是互斥事件，故C錯誤；因此事件A與事件B∩C不是相互獨立的，故D錯誤.8.寫算是一種格子乘法.例如計算89×61，將乘數89計入上行，乘數61計入右行，然后以乘數61的每位數字乘以乘數89的每一位數字，將結果計入相應的格子中，最后從右下方開始按斜行加起來，滿十向上斜行進一，如圖，即得5429.類比此法畫出354×472的格子，若從18個數字(含相同的數字，格子周邊數字不算在內)中任取2個數字，則它們之和大于10的概率為√畫出354×472的格子，如圖所示，則18個數字中不同的數字有0，1，2，3，5，6，8，其中6與8各2個，3與5各1個.它們之和大于10的樣本點為(3，8)2個，(5，6)2個，(5，8)2個，(6，8)4個，(6，6)1個，(8，8)1個，共有12個.9.(2024·石家莊調研)有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為8%，第2臺加工的次品率為3%，第3臺加工的次品率為2%，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的10%，40%，50%，從混放的零件中任取一個零件，則下列結論正確的是 A.該零件是第1臺車床加工出來的次品的概率為0.08 B.該零件是次品的概率為0.03 C.如果該零件是第3臺車床加工出來的，那么它不是次品的概率為0.98√√記事件A為“車床加工的零件為次品”，記事件Bi為“第i臺車床加工的零件”，i＝1，2，3.則P(A|B1)＝8%，P(A|B2)＝3%，P(A|B3)＝2%，P(B1)＝10%，P(B2)＝40%，P(B3)＝50%.對于A，任取一個零件，該零件是第1臺車床加工出來的次品的概率為P(AB1)＝P(A|B1)P(B1)＝8%×10%＝0.008，故A錯誤；對于B，任取一個零件，該零件是次品的概率為P(A)＝P(AB1)＋P(AB2)＋P(AB3)＝8%×10%＋3%×40%＋2%×50%＝0.03，故B正確；對于C，如果該零件是第3臺床加工出來的，對于D，如果該零件是次品，那么它不是第3臺車床加工出來的概率，可以考慮它的對立事件的概率，即如果該零件是次品，那么它是第3臺車床加工出來的概率，即P(B3|A)，10.(2024·婁底模擬)對于事件A與事件B，若A∪B發生的概率是0.72，事件B發生的概率是事件A發生的概率的2倍，下列說法正確的是 A.若事件A與事件B互斥，則事件A發生的概率為0.36 B.P(B|A)＝2P(A|B) C.事件A發生的概率的范圍為[0.24，0.36] D.若事件A發生的概率是0.3，則事件A與事件B相互獨立√√√對于A，若事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝3P(A)＝0.72，對于C，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝3P(A)－P(AB)＝0.72，若事件A與事件B互斥，則P(AB)＝0，此時P(A)取到最小值為0.24，若P(A)?P(B)，此時P(AB)＝P(A)，P(A)取到最大值為0.36，故C正確；對于D，P(A)＝0.3，則P(B)＝0.6，由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，得P(AB)＝0.3＋0.6－0.72＝0.18＝P(A)P(B)，則事件A與事件B相互獨立，故D正確.11.(2024·金華調研)已知Ω為隨機試驗的樣本空間，事件A，B滿足A?Ω，B?Ω，則下列說法正確的是√√對于C，由P(A)＝P(A|B)得事件A，B相互獨立，設事件A＝“確診了流感”，事件B＝“未