山東省聊城市2023屆高三下學期第二次模擬考試數學（考試時間：90分鐘，滿分：100分）一、選擇題（共5小題，每小題4分，滿分20分）1.若復數$z=(a+bi)^3$，其中$a,b\in\mathbb{R}$，且$|z|=8$，則$ab$的值為（）A.0B.1C.2D.42.已知函數$f(x)=2\sin(x\frac{\pi}{6})+3$，則$f(x)$的最小正周期為（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\frac{2\pi}{3}$3.在等差數列$\{a_n\}$中，若$a_1+a_4+a_7=12$，則$a_5$的值為（）A.2B.3C.4D.54.若向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(k,6)$，且$\vec{a}\parallel\vec{b}$，則$k$的值為（）A.4B.3C.3D.45.若函數$y=\log_a(x+1)2$的定義域為$(0,+\infty)$，則實數$a$的取值范圍是（）A.$(0,1)$B.$(1,+\infty)$C.$(1,0)$D.$(\infty,1)$二、填空題（共5小題，每小題4分，滿分20分）6.若$\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$\sin\theta\cos\theta$的值為__________。7.已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$的焦點在$x$軸上，且長軸長為$4\sqrt{2}$，則$b^2$的值為__________。8.若函數$f(x)=x^22x+3$在區間$[m,n]$上的最小值為1，則$m+n$的值為__________。9.在等比數列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，公比$q=2$，則$a_1+a_2+\ldots+a_7$的值為__________。10.若直線$l$的方程為$y=2x+1$，則直線$l$與圓$x^2+y^2=4$的位置關系是__________。三、解答題（共2小題，每小題10分，滿分20分）11.已知函數$f(x)=\ln(x^21)2\ln(x1)$，求$f(x)$的定義域和值域。12.在$\triangleABC$中，已知$AB=AC=2\sqrt{3}$，$\angleBAC=120^\circ$，點$D$在邊$BC$上，且$\angleBAD=\angleCAD=60^\circ$，求$\triangleABC$的面積。四、證明題（共1小題，滿分10分）13.已知$a,b,c>0$，且$a+b+c=1$，證明：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{9}{2}$。五、探究題（共2小題，每小題10分，滿分20分）14.已知函數$f(x)=x^33x^2+2$，探究函數的單調性，并求出函數的極值。15.在平面直角坐標系中，已知點$A(1,2)$，點$B$在曲線$y=x^2$上運動，求線段$AB$的中點$M$的軌跡方程。【答案及解析】1.D。由復數的乘法運算和模的計算公式可得。2.B。由正弦函數的周期性可得。3.C。由等差數列的性質可得。4.D。由向量平行的條件可得。5.B。由對數函數的定義域可得。6.$\frac{1}{4}$。由同角三角函數的基本關系和平方差公式可得。7.2。由橢圓的標準方程和焦點坐標公式可得。8.3。由二次函數的性質可得。9.1093。由等比數列的求和公式可得。10.相交。由直線與圓的位置關系可得。11.定義域為$(1,+\infty)$，值域為$(\infty,\ln3]$。由對數函數的性質和復合函數的定義域可得。12.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$。由余弦定理和三角形的面積公式可得。13.證明：由基本不等式和已知條件可得。14.單調增區間為$(\infty,1)$和$(2,+\infty)$，單調減區間為$(1,2)$。極小值為1，極大值為2。由導數的性質和極值的判定條件可得。15.$y=\frac{x^2+2}{2}$。由中點坐標公式和曲線方程可得。六、計算題（共3小題，每小題10分，滿分30分）16.已知函數f(x)=x^33x^29x+5，求f(x)的零點。17.在直角坐標系中，已知點A(2,3)，點B(4,1)，求線段AB的中點坐標和長度。18.解方程組：2x+3y=7，x2y=1。七、證明題（共2小題，每小題10分，滿分20分）19.已知a,b,c為三角形ABC的三邊長，且滿足a^2+b^2=c^2，證明三角形ABC為直角三角形。20.已知函數f(x)=ln(x)，證明f'(x)=1/x。八、應用題（共2小題，每小題10分，滿分20分）21.某公司生產一種產品，每件產品的成本為100元，售價為150元。如果銷售量超過1000件，每增加一件，成本降低1元，售價不變。求銷售量超過1000件時的總利潤。22.已知某水庫的容量為1億立方米，每年的蒸發量為200萬立方米，降雨量為500萬立方米。如果每年向水庫注入水量為x萬立方米，求使水庫容量保持不變的x的值。九、拓展題（共2小題，每小題10分，滿分20分）23.已知函數f(x)=ax^2+bx+c，其中a,b,c為常數。如果f(1)=3，f(1)=5，f(2)=10，求f(x)的表達式。24.已知數列an=2^n+3^n，求an的通項公式。十、創新題（共2小題，每小題10分，滿分20分）25.設函數f(x)=x^2+2x+1，求f(f(x))的表達式。26.已知函數f(x)=sin(x)+cos(x)，求f(x)的最大值和最小值。【答案及解析】16.零點為1,1,5。由因式分解可得。17.中點坐標為(3,1)，長度為sqrt(10)。由中點坐標公式和距離公式可得。18.解為x=2,y=1。由消元法可得。19.由勾股定理可得。20.由對數函數的導數公式可得。21.總利潤為y=(x1000)(50x)。由利潤公式可得。22.x=200。由水庫容量公式可得。23.f(x)=x^2+2x+3。由待定系數法可得。24.an=52^(n1)。由等比數列的通項公式可得。25.f(f(x))=(x+1)^4。由函數的復合可得。26.最大值為sqrt(2)，最小值為sqrt(2)。由輔助角公式和三角函數的性質可得。一、選擇題1.D2.B3.C4.A5.B二、填空題6.27.58.49.1010.6三、解答題11.定義域為(1,infty)，值域為(infty,ln3]。12.frac3sqrt3213.證明：由基本不等式和已知條件可得。14.單調增區間為(infty,1)和(2,infty)，單調減區間為(1,2)。極小值為1，極大值為2。15.yfracx222六、計算題16.零點為1,1,5。17.中點坐標為(3,1)，長度為sqrt(10)。18.解為x2,y1。七、證明題19.由勾股定理可得。20.由對數函數的導數公式可得。八、應用題21.總利潤為y(x1000)(50x)。22.x200。九、拓展題23.f(x)x22x3。24.an52(n1)。十、創新題25.f(f(x))(x1)4。26.最大值為sqrt(2)，最小值為sqrt(2)。1.復數：復數的運算和性質。2.三角函數：正弦函數、余弦函數的性質，輔助角公式。3.數列：等差數列、等比數列的通項公式和求和公式。4.導數：導數的定義，導數的運算規則，導數的幾何意義。5.不等式：基本不等式，不等