第十九節：典型應用題（四）雞兔同籠問題列表法和畫圖法【例1】雞兔同籠，有10個頭，26條腿，笑笑用取中列表法在下面填了一次就找出答案了。你怎么樣使用表格法，求出雞、兔各多少只呢？請解答。雞的只數兔的只數腿的總條數55思路引導一只雞有2條腿，一只兔子4條腿。已知雞和兔子一共有10只，根據“雞的只數×2＋兔的只數×4＝腿的總條數”用列表法計算。表中已經列出腿的總條數是30條，比26條多4條。把一只雞當作兔子，腿數就多算了2條。4÷2＝2（只），則雞的只數需要加上2，兔的只數減去2，這樣腿的總條數就是26條。正確解答：雞的只數兔只數腿的總條數55737×2＋3×4＝26答：雞有7只，兔有3只。本題考查雞兔同籠問題。要理解“把一只雞當作兔子，腿數就多算了2條”，從而得出多算的4條腿是把2只雞當作兔來算。【變式1】（2021五下·浙江麗水）1.五年級1班48名同學去公園劃船，每條大船限坐6人，每條小船限坐4人，他們一共租了10條船，每條船都坐滿。大船租了幾條？小船租了幾條？（用列表法解決）總人數大船小船【答案】大船4條，小船6條；見詳解【解析】【分析】根據每條大船限坐人數×大船的條數＋每條小船限坐人數×小船的條數＝總人數，列表解答即可。【詳解】（1）0＋4×10＝40（人）（2）6×1＋4×9＝6＋36＝42（人）（3）6×2＋4×8＝12＋32＝44（人）（4）6×3＋4×7＝18＋28＝46（人）（5）6×4＋4×6＝24＋24＝48（人）總人數大船小船400104219442846374846答：大船租了4條，小船租了6條。【點睛】此題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關鍵是根據題意進行分析，填寫表格進而得出結論。【例2】雞、兔關同一籠子里，共有10個頭，28條腿，籠里有幾只雞幾只兔？（用畫圖法）思路引導我們用“○”表示頭，畫10個“○”；用“|”表示腿，雞有兩條腿，兔子有四條腿，雞的腿數比兔子的少。先全畫成雞：從圖中可以看出，10只雞只有20條腿，而條件說“共有28條腿”，顯然少了28﹣20﹦8（條）腿，這樣，在雞圖上一只加兩條腿，把它變成兔子，8條腿添改4次即可。正確解答：由圖可知，有6只雞，4只兔答：籠里有6只雞，4只兔。數據較小時，可以用畫圖法解答，畫圖時一定要注意結合題意，及時調整。【變式2】（2022六下·山西臨汾）2.一輛自行車有2個輪子，一輛三輪車有3個輪子．車棚里放著自行車和三輪車共10輛，數數車輪共有26個．問自行車幾輛，三輪車幾輛？【答案】共有6輛三輪車，4輛自行車。【解析】【分析】按照雞兔同籠問題解答．【詳解】發揮想像力和創造力，你可以畫一個簡圖代表車身，見圖（1）、（2）、（3）．①先畫10個車身：②在每個車身下配上兩個輪子，它就成了自行車：③數一數共20個車輪，比題中給出的輪子數少2620=6個輪子，在自行車下面添輪子，每添一個輪子，這個自行車就成了三輪車．邊添邊湊數，湊出26個輪子出來．最后數一數，共有6輛三輪車，4輛自行車．注意，用這種畫圖湊數法解題，很直觀，也比較快，為了使解題速度更快，可以把三個步驟合起來，就能得出答案．假設法【例3】雞兔同關在一只籠里，共48個頭，100只腳。問：雞有多少只？兔有多少只？思路引導假設全是兔子，那么就有48×4＝192只腳，這就比已知的100只腳多出了192－100＝92只腳，因為1只兔比1只雞多4－2＝2只腳，由此即可求得雞的只數，進而求得兔的只數。正確解答：假設全是兔子，則雞的只數：（48×4－100）÷（4－2）＝92÷2＝46（只）兔子的只數：48－46＝2（只）答：雞有46只，兔子有2只。解決這類問題的關鍵：理解假設之后，多出腳數與對應的雞（或兔）的只數關系。此類題目可以假設全是雞也可以假設全是兔。當假設全是雞時，兔的只數＝（總腿數－總頭數×2）÷2，雞的只數＝總頭數－兔的只數；當假設全是兔時，雞的只數＝（4×總頭數－總腿數）÷2，兔的只數＝總頭數－雞的只數。【變式3】3.張洪正好用20元錢買了2元的郵票和5角的郵票，一共16張，問這兩種郵票各有多少張？【答案】2元的郵票8張；5角的郵票8張【解析】【分析】先根據進率：1元＝10角，把5角換算成0.5元；已知2元的郵票和5角的郵票，一共16張，設2元的郵票有張，則0.5元的郵票有（16－）張；根據“單價×數量＝總價”可得等量關系：每張2元的郵票×張數＋每張0.5元的郵票×張數＝買2元的郵票和5角的郵票的總價錢，據此列出方程，并求解。【詳解】5角＝0.5元解：設2元的郵票有張，則0.5元的郵票有（16－）張。2＋0.5（16－）＝202＋8－0.5＝201.5＋8＝201.5＋8－8＝20－81.5＝121.5÷1.5＝12÷1.5＝816－8＝8（張）答：2元的郵票有8張，5角的郵票有8張。【點睛】本題考查列方程解決問題，根據單價、數量、總價之間關系得出等量關系，按等量關系列出方程。方程法【例4】雞兔同籠，雞比兔多10只，但雞腳卻比兔腳少60只，問雞兔各多少只？思路引導解設兔有x只，則雞有（10＋x）只，根據等量關系：兔的腳數－雞的腳數＝60只，列方程解答即可。正確解答：解：設兔有x只，則雞有（10＋x）只，4x－2（10＋x）＝604x－20－2x＝602x＝80x＝4040＋10＝50（只）答：雞有50只，兔有40只。解決此類問題關鍵是找到等量關系：兔的腳數－雞的腳數＝60只，再根據等量關系列方程。【變式4】（2022六下·四川眉山）4.現在有相同只數的雞、兔同籠，已知兔腳比雞腳多56只，問雞、兔各有多少只？【答案】雞28只；兔28只【解析】【分析】根據題意，雞、兔的只數相同，設雞、兔各有只；等量關系：每只兔的腳數×兔的只數－每只雞的腳數×雞的只數＝兔腳比雞腳多的只數，據此列出方程，并求解。【詳解】解：設雞、兔各有只。4－2＝562＝562÷2＝56÷2＝28答：雞、兔各有28只。【點睛】本題考查列方程解決問題，從題目中找到等量關系，按等量關系列出方程。一、選擇題5.雞兔同籠，有7個頭，20條腿，雞、兔各有幾只？笑笑的弟弟采用猜測法，列表解決，從一只雞開始嘗試，一只一只增加，他一共要嘗試（）次才能得到正確答案。雞只數兔只數腿條數1626………………A.3 B.4 C.5 D.7【答案】B【解析】【分析】假設雞有1只，兔有6只，共有2＋6×4＝26條腿，比20條腿多，那么就要增加雞的只數，減少兔的只數，直至得到正確的雞和兔的只數。【詳解】雞只數兔只數腿條數1626252434224320故答案為：B【點睛】解答此題的關鍵是根據假設法分析、調整進而得出正確答案。6.雞兔同籠，有20個頭，70條腿，雞與兔的只數比是（）。A.3∶1 B.3∶2 C.1∶3 D.2∶3【答案】C【解析】【分析】假設全是雞，則有腿（2×20）條，比實際少了（70－2×20）條，而每只兔有4條腿，少算了2條，然后用除法求出兔的只數，再求出雞的只數，再根據比的意義，用雞的只數∶兔的只數，即可解答。【詳解】兔子：（70－2×20）÷（4－2）＝（70－40）÷2＝30÷2＝15（只）雞：20－15＝5（只）5∶15＝（5÷5）∶（15÷5）＝1∶3故答案為：C【點睛】本題的關鍵是求出雞與兔的只數，然后將比進行化簡。7.在池塘邊，有幾只青蛙正和鴨子們一起玩耍。數一數，共有15個頭，48只腳，那么一共有（）只青蛙。A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】假設青蛙有x只，則鴨子有（15－x）只，一只青蛙有4只腳，一只鴨子有2只腳，根據等量關系：青蛙的只數×一只青蛙的腳數＋鴨子的只數×一只鴨子的腳數＝48只，列方程解答即可。【詳解】解：設青蛙有x只，則鴨子有（15－x）只，x×4＋（15－x）×2＝484x＋15×2－2x＝482x＋30＝482x＋30－30＝48－302x＝182x÷2＝18÷2x＝9即青蛙有9只。故答案為：B【點睛】解決此類問題關鍵是找到等量關系：青蛙的腳數＋鴨子的腳數＝48只，再根據等量關系列方程。二、填空題8.“雞兔同籠”問題出自唐代的《孫子算經》，是我國古代的數學名題之一。書中：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”下面是六年級三位同學展示的不同方法：你理解他們的想法嗎？（1）小軍選擇列表的方法：先假設雞和兔的只數，再調整。請你根據小軍的想法補充表格，完成解答。雞的只數兔的只數腳的總個數和94個腳比較171834＋72＝106（2）小強選擇列方程：首先設雞有x只，那么兔有（35－x）只。請你幫他列出方程：（）（只列方程不解答）（3）小梅選擇假設的策略：假設35只全是雞。（請你幫她寫出剩下的算式）。第一步：35×2＝70（個）94－70＝24（個）第二步：（）第三步：（）答：雞有（）只，兔有（）只。【答案】（1）見詳解；（2）2x＋（35－x）×4＝94；（3）24÷（4－2）＝12（只）；35－12＝23（只）；23；12【解析】【分析】（1）運用列表方法，調整雞和兔的只數，據此填表即可；（2）設雞有x只，那么兔有（35－x）只，根據“雞的只數×每只雞的腳數＋兔的只數×每只兔的腳數＝總腳數”列出方程即可；（3）運用假設法，假設35只全是雞，則應有2×35＝70（個）腳，實際只有94個。這個差值是因為實際上不全是雞，每只雞比兔少2個腳，因此用除法求出假設比實際少的個數里面有多少個2，就是有多少只兔。用總只數減去兔的只數就是雞的只數。【詳解】（1）雞的只數兔的只數腳的總個數和94個腳比較171834＋72＝106大于231246＋48＝94等于（2）小強選擇列方程：首先設雞有x只，那么兔有（35－x）只。列出方程：2x＋（35－x）×4＝94（3）小梅選擇假設的策略：假設35只全是雞。第一步：35×2＝70（個）94－70＝24（個）第二步：24÷（4－2）＝12（只）第三步：35－12＝23（只）答：雞有23只，兔有12只。【點睛】此題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關鍵是用假設法進行分析，進而得出結論；也可以用列表或方程進行解答。9.雞兔同籠，有頭15個，腳50只．雞（）兔（）．解決這個問題我運用了（）策略．【答案】①.5②.10③.假設法（答案不唯一）【解析】【分析】假設籠中的全是雞，則應有腳15×2=30只，實際有50只，實際就比假設多了5030=20只腳，這是因為每只兔子比雞多了42=2只腳。據此求出兔的只數。用15減去兔的只數，就是雞的只數。據此解答【詳解】（5015×2）÷（42）=20÷2=10（只）1510=5（只）答：雞有5只，兔有10只。解決這個問題我運用了假設法的策略。故答案為：5；10；假設法。【點睛】本題考查了數學廣角中的雞兔同籠問題，除了假設法還可以用列表法進行解答。10.喜迎建黨100周年，隨州市某小學舉行黨史知識競賽，共30道題，每道題都給出4個答案，其中只有一個答案是正確的。每答對一題得4分，答錯或者不答每題扣2分。張麗同學最后得分是84分，她答對了（）道題。【答案】24【解析】【分析】答錯或者不答每題扣2分，實際上就是從答對題的得分中減去2分。數量關系式：答對題的總分－答錯題的總分＝最后得分。可用方程來解。【詳解】解：設答對了x道題，則答錯了（30－x）道題。4x－2（30－x）＝846x＝144x＝24【點睛】假設好未知數，并能找出數量關系式，這是解決此題的關鍵。11.體育課上有30個同學在12張乒乓球桌上同時進行乒乓球單打和雙打比賽，其中進行單打比賽的乒乓球桌有（）張。【答案】9【解析】【分析】根據題意，每張單打乒乓球桌有2人，每張雙打乒乓球桌有4人，等量關系：每張單打乒乓球桌的人數×單打乒乓球桌的數量＋每張雙打乒乓球桌的人數×雙打乒乓球桌的數量＝總人數，據此列出方程，并求解。【詳解】解：設單打比賽的乒乓球桌有張。2＋4（12－）＝302＋48－4＝3048－2＝302＝48－302＝18＝18÷2＝9【點睛】本題考查列方程解決問題，要從題目中找到等量關系，按等量關系列出方程。12.李軍參加答題比賽，答對一道題得10分，答錯一道題扣5分，不可以不答，共10道題，他最終得70分。李軍答對了（）道題。【答案】8【解析】【分析】假設題目全部答對，應該得（10×10）分，實際得分為70分，總分與實際得分的差值就是答錯題目比答對題目少得的分值，答錯題目的數量＝答錯題目的分值÷答錯一道題比答對一道題少得的分值，答對題目的數量＝題目的總數量－答錯題目的數量，據此解答。【詳解】（10×10－70）÷（10＋5）＝（100－70）÷（10＋5）＝30÷15＝2（道）10－2＝8（道）所以，李軍答對了8道題。【點睛】利用雞兔同籠的假設法解決問題是解答題目的關鍵。13.雞兔同籠，從上面數有8個頭，從下面數有24條腿，問雞、兔各有多少只？解：設兔有x只，則雞有（）只。解決問題的方程是：（）＝24。【答案】①.8－x②.2（8－x）＋4x【解析】【分析】把籠子里兔的只數設為未知數，一共有8個頭，說明雞和兔一共8只，雞的只數＝8－兔的只數，每只雞有2條腿，每只兔有4條腿，雞的只數×2＋兔的只數×4＝腿的總數量，據此列方程解答。【詳解】解：設兔有x只，則雞有（8－x）只。2（8－x）＋4x＝242×8－2x＋4x＝2416＋4x－2x＝2416＋（4x－2x）＝2416＋2x＝242x＝24－162x＝8x＝8÷2x＝48－4＝4（只）所以，雞和兔各有4只。【點睛】本題主要考查列方程解決實際問題，明確題目中存在的等量關系是解答本題的關鍵。三、解答題14.雞和貓一共有8只，它們的腿一共有22條。雞和貓各有多少只？（按照下面的步驟畫圖找答案）（1）畫8個圓，表示一共有8只動物。（2）假設都是雞，給每只動物畫2條腿，畫出的腿比22條少（）條。（3）一只貓比一只雞多2條腿，給其中的（）只動物添上2條腿，畫出的腿正好22條。（4）貓有（）只，雞有（）只。【答案】（1）（2）6；（3）3；（4）3；5【解析】【詳解】（1）（2）畫出的腿比22條少6條。（3）給其中的3只動物添上2條腿，畫出的腿正好22條。（4）由上面的圖可以看出：貓有3只，雞有5只。答：貓有3只，雞有5只【點睛】此題屬于典型的雞兔同籠問題，解答此題用假設法進行解答。15.雞兔同籠，頭有12個，腿有34條。雞和兔各有幾只？方法一：（1）畫12個圓，表示12只雞，并且先給每只雞添上2條腿。一只雞比一只兔子少（）條腿，現在一共少了（）條腿，要在其中的（）只雞上添上一共（）條腿，就有（）只兔，（）只雞。（2）方法二：先假設雞和兔子的只數一樣多。再根據腿數量的多少進行調整。雞的只數兔子的只數共有多少條腿與34條腿比較66【答案】方法一：（1）2；10；5；10；5；7（2）方法二：36；多2條7；5；34；正好【解析】【分析】（1）根據題意先畫12個圓，每個圓上加2條腿即可。根據實際情況結合所畫圖示填空即可；（2）方法二主要是用枚舉法當腿的條數是34條時即可。【詳解】（1）畫圖如下：4－2＝2（條）一只雞比一只兔子少2條腿，34－2×12＝10（條）現在一共少了10條腿，10÷2＝5（只）要在其中的5只雞上添上一共10條腿，就有5只兔，12－5＝7只雞。（2）雞的只數兔子的只數共有多少條腿與34條腿比較6636多2條7534正好【點睛】此題屬于雞兔同籠問題，用了畫圖法和枚舉法根據題目要求填空即可。16.《鏡花緣》是清代李汝珍所著的長篇小說，書中出現了一些有趣的數學問題。下面的題目是根據其中一個問題改編的，你能解決嗎？樓上燈有兩種：甲種燈下一個大球，下綴兩個小球；乙種燈下一個大球，下綴四個小球。大球共三十六個，小球共一百二十個。問甲乙兩種燈各有多少盞？【答案】甲12盞；乙24盞【解析】【分析】假設都是甲種燈，那么小球就有36×2＝72（個），比實際少了120－72＝48（個）每盞甲種燈比每盞乙種燈少4－2＝2（個），乙種燈的數量就是：48÷（4－2）＝24（盞）；甲種燈是36－24＝12（盞）；據此列式解答。【詳解】（120－36×2）÷（4－2）＝（120－72）÷（4－2）＝48÷2＝24（盞）36－24＝12（盞）答：甲種燈有12盞，乙種燈有24盞。【點睛】此題屬于雞兔同籠問題，用假設法解答。17.古詩中，五言絕句和七言絕句都是四句詩，五言絕句每句都是五個字，七言絕句每句都是七個字。磨頭小學在誦讀經典活動中，給每位同學選定了一些詩，已知五言絕句和七言絕句共20首，五言絕句和七言絕句共464個字（題目除外），請你算一算兩種詩各多少首？【答案】五言絕句有12首，七言絕句有8首【解析】【分析】由題意可知：五言絕句每首詩是4×5＝20個字，七言絕句每首詩是4×7＝28個字；假設均是五言絕句，則應有20×20＝400個字，比實際少464－400＝64個字，少的字數是將七言絕句的每首詩看成20個字來計算，每首詩比實際少算28－20＝8個字，所以七言絕句有64÷8＝8首，五言絕句有20－8＝12首；據此解答。【詳解】4×5＝20（個）4×7＝28（個）七言絕句：（464－20×20）÷（28－20）＝（464－400）÷8＝64÷8＝8（首）20－8＝12（首）答：五言絕句有12首，七言絕句有8首。【點睛】本題主要考查雞兔同籠問題，解題時通常采用假設法進行解答。18.“夕陽紅”活動中心有象棋和跳棋共24副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，正好可以供100人進行活動。“夕陽紅”活動中心的象棋和跳棋各有多少副？【答案】11副；13副【解析】【分析】設象棋有x副，則跳棋有（24－x）副，根據象棋數量×玩的人數＋跳棋數量×玩的人數＝總人數，列出方程求出x的值是象棋數量，總數量－象棋數量＝跳棋數量。【詳解】解：設象棋有x副。2x＋6（24－x）＝1002x＋144－6x＝1004x÷4＝44÷4x＝1124－11＝13（副）答：“夕