20242025學(xué)年度江蘇省高一下學(xué)期《平面向量》專題期末綜合復(fù)習(xí)一、考點(diǎn)概述1、向量的基本概念：包括向量的定義、模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量等。2、向量的線性運(yùn)算：加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，以及它們的幾何意義和運(yùn)算律。3、向量的數(shù)量積：定義、幾何意義、運(yùn)算律，以及數(shù)量積與向量夾角、模的關(guān)系。4、向量的坐標(biāo)表示：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量平行與垂直的坐標(biāo)表示，向量模的坐標(biāo)公式。5、向量的應(yīng)用：用向量解決平面幾何問題、物理問題等。二、易錯點(diǎn)分析1、概念理解錯誤：如對零向量的方向、單位向量的模等概念模糊。零向量方向是任意的，單位向量模長為1。2、運(yùn)算錯誤：向量運(yùn)算律的錯誤應(yīng)用，例如向量乘法不滿足結(jié)合律。在進(jìn)行向量線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算時，易出現(xiàn)符號、系數(shù)等計算錯誤。3、夾角問題：求向量夾角時，要注意向量的方向，夾角范圍是[0,\pi]。若兩向量起點(diǎn)不同，需平移至同起點(diǎn)再求夾角。4、忽略特殊情況：在討論向量平行或垂直問題時，要考慮零向量的特殊情況。零向量與任意向量平行。三、二級結(jié)論總結(jié)1.極化恒等式平行四邊形模式：＝證明：不妨設(shè)，則，①②上面兩式相減，得：＝————極化恒等式2.極化恒等式之矩形大法如圖，在矩形中，若對角線和交于點(diǎn)，為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，有以下兩個重要的向量關(guān)系：=1\*GB3①；=2\*GB3②證明：=1\*GB3①連接PO，根據(jù)極化恒等式a2+b2=2a+b=2\*GB3②根據(jù)極化恒等式a?b=a+b23、雞爪定理已知M，P，N是平面上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)A是此平面上任意一點(diǎn)，則“M，P，N三點(diǎn)共線”的充要條件是“存在實(shí)數(shù)，使得”．此結(jié)論往往稱為向量的雞爪定理．【證明】先證充分性．若，則，，即，，故M，P，N三點(diǎn)共線．再證必要性．若M，P，N三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，，故．綜上知，結(jié)論成立．4.等和線定理平面內(nèi)一組基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量，＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若點(diǎn)P′在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線．(1)當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時，k＝1；(2)當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時，k∈(0,1)；(3)當(dāng)直線AB在O點(diǎn)和等和線之間時，k∈(1，＋∞)；(4)當(dāng)?shù)群途€過O點(diǎn)時，k＝0；(5)若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對稱，則定值k1，k2互為相反數(shù)；(6)定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比5、三角形“四心”的向量表示（1）三角形四“心”向量形式的充要條件設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，角所對邊長分別為，則（1）為的外心?|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2sinA).（2）為的重心.（3）為的垂心.（4）為的內(nèi)心.②為的重心，特別地為的重心；③為的垂心；④向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；⑤的內(nèi)心6.奔馳定理奔馳定理：設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)，,,的面積分別記作,,則.奔馳定理推論：x?OA=1\*GB3①S?BOC:S=2\*GB3②S?BOCS?ABC=xx+y+z，S四、解題策略1、向量運(yùn)算問題：可根據(jù)向量的運(yùn)算法則，將向量用已知向量表示，再進(jìn)行運(yùn)算。若已知向量坐標(biāo)，可直接利用坐標(biāo)運(yùn)算求解。2、向量夾角與模的問題：求夾角可利用公式及向量平行與垂直問題：3、向量應(yīng)用問題：解決平面幾何問題時，先將幾何問題中的線段轉(zhuǎn)化為向量，再利用向量的運(yùn)算和性質(zhì)求解；解決物理問題時，要明確向量在物理中的實(shí)際意義，如力、速度、位移等都是向量，根據(jù)物理情境建立向量模型求解。考點(diǎn)一：向量的線性運(yùn)算例1、如圖，在中，已知，，P是線段AD與BE的交點(diǎn)，若，則m＋n的值為（

）A． B． C． D．1考點(diǎn)二：向量的數(shù)乘運(yùn)算例2、已知所在平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則．變式：已知與為非零向量，，若三點(diǎn)共線，則.考點(diǎn)三：三點(diǎn)共線定理（雞爪定理）的應(yīng)用例3、如圖所示，在中，是邊邊上中線，為中點(diǎn)，過點(diǎn)點(diǎn)直線交邊，于，兩點(diǎn)，設(shè)，，（，與點(diǎn)，不重合）(1)證明：為定值；(2)求的最小值，并求此時的，的值.考點(diǎn)四：向量的數(shù)量積運(yùn)算例4、設(shè)是兩個不共線的向量，是在上的投影向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．變式1、已知△ABC是邊長為1的正三角形，是BN上一點(diǎn)且，則（

）A． B． C． D．1變式2、向量，滿足，，向量與的夾角為，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)五：向量的模、向量的夾角例5、已知平面向量，且.(1)求與的夾角的值；(2)當(dāng)取得最小值時，求實(shí)數(shù)的值.考點(diǎn)六：向量的投影、投影向量．例6、已知向量滿足.(1)若向量的夾角為，求的值；(2)若，求的值；(3)若，求在方向上的投影向量.考點(diǎn)七：極化恒等式的應(yīng)用例7、．如圖，已知正方形的邊長為4，若動點(diǎn)在以為直徑的半圓上（正方形內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．變式、在邊長為2的正方形中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則的取值范圍是（）A． B． C． D．考點(diǎn)八：三角形四心在向量中的應(yīng)用例8、已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，下列命題正確的是（

）A．若，則點(diǎn)是的重心B．若點(diǎn)是的外心，則C．若，則點(diǎn)是的垂心D．若點(diǎn)是的垂心，則考點(diǎn)九：奔馳定理在向量中的應(yīng)用例9、所在平面上一點(diǎn)滿足為常數(shù)，若的面積為6，則的面積為（

）A．6 B．9 C．12 D．24變式、設(shè)M為內(nèi)一點(diǎn)，且，則與的面積之比為（）A． B． C． D．考點(diǎn)十：平面向量范圍與最值問題例10、如圖，在梯形中，，分別為的中點(diǎn)，是線段上的動點(diǎn)．(1)若，求證：三點(diǎn)共線；(2)若，求的最小值．變式、在中，為的中點(diǎn)，在邊上，交于，且，設(shè)．(1)用表示；(2)，求；(3)若在上，且設(shè)，若，求的范圍．一、單選題1．（2324高一下·江蘇常州·期末）已知△ABC的頂點(diǎn)，，，則（

）A． B． C． D．2．（2324高一下·江蘇南通·期末）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．3．（2324高一下·江蘇鹽城·期末）已知向量，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2324高一下·江蘇·期末）已知平面向量與滿足：在方向上的投影向量為在方向上的投影向量為，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2324高一下·江蘇南京·期末）向量與不共線，，()，若與共線，則應(yīng)滿足（

）A． B． C． D．6．（2324高一下·江蘇常州·期末）已知向量和滿足，，向量在向量上的投影向量為，則（

）A．3 B． C．4 D．127．（2324高一下·江蘇徐州·期末）以等邊三角形每個頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形稱為“勒洛三角形”．在如圖所示的勒洛三角形中，已知，點(diǎn)在上，且，則（

）A． B． C． D．8．（2324高一下·江蘇無錫·期末）設(shè)點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)：①若，則點(diǎn)是邊的中點(diǎn)；②若，則點(diǎn)在邊的延長線上；③若，且，則是面積的一半；④若，則直線一定過的內(nèi)心．則上述說法正確的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題9．（2324高一下·江蘇南京·期末）已知向量，，，下列說法正確的是（

）A．若，則B．與一定不是平行向量C．的最大值為D．若，且在上的投影向量為，則與的夾角為10．（2324高一下·江蘇淮安·期末）如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，其中，分別是與x軸，y軸正方向同向的單位向量，若，則有序數(shù)對叫做向量在夾角為的坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，記為.已知，則（

）

A． B．C．為等腰三角形 D．11．（2324高一下·江蘇無錫·期末）“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個問題.該問題是：“在一個三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最小”.意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于120°時，使得的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于120°時，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).下列說法正確的是（

）A．正三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是正三角形的中心B．若P為的費(fèi)馬點(diǎn),且，則一定為正三角形C．若三邊長分別為，則該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到各頂點(diǎn)距離之和為D．的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，若點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則三、填空題12．（2324高一下·江蘇常州·期末）已知，，且，則實(shí)數(shù)．13．（2324高一下·江蘇無錫·期末）已知向量的夾角為，且，則.14．（2324高一下·江蘇鹽城·期末）已知梯形中，，，，，，若，，，則的取值范圍為.四、解答題15．（2324高一下·江蘇常州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，為直線上的動點(diǎn)．(1)若四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求的取值范圍．16．（2324高一下·江蘇南京·期末）已知，，與的夾角為.(1)若與共線，求實(shí)數(shù)的值；(2)求的值；(3)若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17．（2324高一下·江蘇無錫·期末）在直角梯形中，已知，，，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一個動點(diǎn)（含端點(diǎn)）.

(1)若，求，的夾角的余弦值；(2)求的取值范圍.18．（2324高一下·江蘇蘇州·期末）如圖，在平行四邊形中，已知，，，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.記.(1)若，求線段EF的長；(2)若