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篇首寄語(yǔ)我們每位老師都希望把最好的教學(xué)資料留給學(xué)生,但面對(duì)琳瑯滿目的資料時(shí),總是費(fèi)時(shí)費(fèi)力才能找到自己心儀的那份,編者也常常為此苦惱。于是,編者就常想,如果是自己來創(chuàng)作一份資料又該怎樣?再結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)生實(shí)際情況后,最終創(chuàng)作出了一個(gè)既適宜課堂教學(xué)講解,又適宜課后作業(yè)練習(xí),還適宜階段復(fù)習(xí)的大綜合系列。《20232024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列》是基于教材知識(shí)點(diǎn)和常年考點(diǎn)真題總結(jié)與編輯而成的,該系列主要分為典型例題篇、專項(xiàng)練習(xí)篇、單元復(fù)習(xí)篇、分層試卷篇等四個(gè)部分。1.典型例題篇,按照單元順序進(jìn)行編輯,主要分為計(jì)算和應(yīng)用兩大部分,其優(yōu)點(diǎn)在于考題典型,考點(diǎn)豐富,變式多樣。2.專項(xiàng)練習(xí)篇,從高頻考題和期末真題中選取專項(xiàng)練習(xí),其優(yōu)點(diǎn)在于選題經(jīng)典,題型多樣,題量適中。3.單元復(fù)習(xí)篇,匯集系列精華,高效助力單元復(fù)習(xí),其優(yōu)點(diǎn)在于綜合全面,精煉高效,實(shí)用性強(qiáng)。4.分層試卷篇,根據(jù)試題難度和不同水平,主要分為基礎(chǔ)卷、提高卷、拓展卷三大部分,其優(yōu)點(diǎn)在于考點(diǎn)廣泛,分層明顯,適應(yīng)性廣。無足色,白璧有微瑕,如果您在使用資料的過程中有任何寶貴意見,請(qǐng)留言于我改進(jìn),歡迎您的使用,謝謝!101數(shù)學(xué)工作室2023年10月25日20232024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列第五單元圓·面積篇【十五大考點(diǎn)】專題解讀本專題是第五單元圓·面積篇。本部分內(nèi)容考察圓面積的計(jì)算與實(shí)際應(yīng)用,部分考點(diǎn)考題難度較大,可選擇性講解,總體來說,建議作為本章核心內(nèi)容進(jìn)行講解,一共劃分為十五個(gè)考點(diǎn),歡迎使用。目錄導(dǎo)航目錄TOC\o"11"\h\u【考點(diǎn)一】圓與長(zhǎng)方形的拼切轉(zhuǎn)化問題(圓面積轉(zhuǎn)化推導(dǎo)公式) 3【考點(diǎn)二】圓的面積 9【考點(diǎn)三】已知周長(zhǎng),求圓的面積 11【考點(diǎn)四】半圓的面積 13【考點(diǎn)五】半圓的實(shí)際應(yīng)用 15【考點(diǎn)六】圓與正方形、長(zhǎng)方形的等長(zhǎng)轉(zhuǎn)化問題 17【考點(diǎn)七】面積的比較問題 20【考點(diǎn)八】半徑、直徑和周長(zhǎng)、面積的倍數(shù)關(guān)系 22【考點(diǎn)九】半徑、直徑和周長(zhǎng)、面積的比例關(guān)系 25【考點(diǎn)十】半徑、直徑和周長(zhǎng)、面積的增減變化問題 30【考點(diǎn)十一】長(zhǎng)方形與最圓問題 33【考點(diǎn)十二】外方內(nèi)圓與外圓內(nèi)方(正方形與最圓問題) 35【考點(diǎn)十三】圓面積與指針問題 44【考點(diǎn)十四】圓環(huán)的面積問題其一:整圓環(huán) 46【考點(diǎn)十五】圓環(huán)的面積問題其二:半圓環(huán) 49典型例題【考點(diǎn)一】圓與長(zhǎng)方形的拼切轉(zhuǎn)化問題(圓面積轉(zhuǎn)化推導(dǎo)公式)。【方法點(diǎn)撥】把一個(gè)圓割成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形,割拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的一半,用字母πr表示,寬相當(dāng)于圓的半徑,用字母r表示,因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬,所以圓的面積=πr2。【典型例題1】基礎(chǔ)型。把圓按下圖所示的順序逐步細(xì)分,拼成長(zhǎng)方形的樣子。這樣細(xì)分下去,圓的面積就是a和b的積。從圖中可以看出:
(1)a是圓的()。(2)b是圓的()。(3)如果a=2厘米,這個(gè)圓的面積為()。【答案】(1)半徑(2)周長(zhǎng)的一半(3)12.56平方厘米【分析】根據(jù)題圖可知,一個(gè)圓被平均分成的份數(shù)越多,拼成的圖形越接近長(zhǎng)方形。長(zhǎng)方形的寬a就是圓的半徑,長(zhǎng)方形的長(zhǎng)b就是圓周長(zhǎng)的一半。根據(jù)“S=πr2”求出圓的面積即可。【詳解】(1)a是圓的半徑。(2)b是圓的周長(zhǎng)的一半。(3)3.14×42=12.56(平方厘米)【點(diǎn)睛】熟練掌握?qǐng)A面積的推導(dǎo)過程是解答本題的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】把一個(gè)圓平均分成若干份,正好可以拼成寬為4cm的長(zhǎng)方形,這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是()cm,原來圓的面積是()cm2。【答案】12.5650.24【分析】已知把一個(gè)圓剪拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形,那么長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓的周長(zhǎng)的一半,寬等于圓的半徑;根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式C=2πr,圓的面積公式S=πr2,代入數(shù)據(jù)計(jì)算求解。【詳解】2×3.14×4÷2=12.56(cm)3.14×42=3.14×16=50.24(cm2)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是12.56cm,原來圓的面積是50.24cm2。【點(diǎn)睛】本題考查圓的面積公式推導(dǎo)過程的應(yīng)用,明確把一個(gè)圓剪拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方形時(shí),長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬與圓的周長(zhǎng)、半徑的關(guān)系是解題的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】將一個(gè)圓沿半徑剪開,拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形(如下圖),圓的面積是()cm2。
【答案】12.56【分析】將一個(gè)圓沿半徑剪開,拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形,這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓的周長(zhǎng)的一半,根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式:C=2πr,據(jù)此求出圓的半徑,再根據(jù)圓的面積公式:S=πr2,據(jù)此計(jì)算即可。【詳解】6.28÷3.14=2(cm)3.14×22=3.14×4=12.56(cm2)則圓的面積是12.56cm2。【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長(zhǎng)和面積,熟記公式是解題的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖,將一個(gè)圓形紙片等分成若干份,拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形,周長(zhǎng)比原來圓周長(zhǎng)多8厘米,圓形紙片的半徑是()厘米,這張圓形紙片的面積是()平方厘米。
【答案】450.24【分析】根據(jù)圓面積公式的推導(dǎo)過程可知,把一個(gè)圓平均分成若干份,沿半徑剪開,再拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方形,這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓周長(zhǎng)的一半,寬等于圓的半徑,拼成的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)比圓的周長(zhǎng)增加了兩條半徑的長(zhǎng)度,據(jù)此可以求出圓的半徑,再根據(jù)圓的面積公式:;把數(shù)據(jù)代入公式解答。【詳解】8÷2=4(厘米)3.14×42=3.14×16=50.24(平方厘米)圓形紙片的半徑是4厘米,這張圓形紙片的面積是50.24平方厘米。【點(diǎn)睛】此題考查的目的是理解掌握?qǐng)A面積公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用,圓的周長(zhǎng)的意義及應(yīng)用。【典型例題2】拓展型。把圓剪開,拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形,長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為41.4cm,這個(gè)圓的面積是()。【答案】78.5平方厘米/78.5cm2【分析】將圓剪開拼接成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形,,如圖所示,長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=圓的周長(zhǎng)+兩個(gè)半徑,據(jù)此等量關(guān)系列方程求出圓的半徑,再代入圓的面積公式即可。【詳解】解:設(shè)圓的半徑為r厘米。2×3.14×r+2r=41.46.28r+2r=41.48.28r=41.48.28r÷8.28=41.4÷8.28r=5圓的面積:3.14×52=3.14×25=78.5(平方厘米)這個(gè)圓的面積是78.5平方厘米。【點(diǎn)睛】此題考查圓的面積公式,明確圓拼接成長(zhǎng)方形周長(zhǎng)會(huì)多兩個(gè)半徑是解題的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】把一個(gè)圓切割后拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形,這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為24.84厘米,原來這個(gè)圓的面積是()平方厘米。【答案】28.26【分析】把一個(gè)圓剪開后拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形,這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就等于這個(gè)圓的周長(zhǎng)的一半,寬相當(dāng)于圓的半徑,據(jù)此先求出圓的半徑,再根據(jù)圓的面積公式計(jì)算即可【詳解】解:設(shè)圓的半徑為r,則長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是πr,寬是r。πr+r=24.84÷24.14r=12.42r=33.14×32=28.26(平方厘米)則原來這個(gè)圓的面積是28.26平方厘米。【點(diǎn)睛】考查了圓的周長(zhǎng)和圓的面積公式的推導(dǎo),注意圓的周長(zhǎng)是拼成近似的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的2倍。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】把一個(gè)圓沿著半徑剪開,再拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形(如右圖)。已知這個(gè)近似長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是24.84厘米,這個(gè)圓的面積是()平方厘米。(π取3.14)【答案】28.26【分析】把一個(gè)圓形紙片剪開后,拼成一個(gè)寬等于半徑,面積相等的近似長(zhǎng)方形。這個(gè)近似長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)就比圓的周長(zhǎng)多了圓半徑的2倍,可求出圓的半徑,然后根據(jù)圓面積公式求出面積即可。【詳解】圓的半徑是:24.84÷(2+3.14×2)=24.84÷(2+6.28)=24.84÷8.28=3(厘米)圓的面積是:3.14×32=3.14×9=28.26(平方厘米)【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)圓面積公式求圓面積以及把一個(gè)圓形剪開,拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方形,解答此題應(yīng)注意這個(gè)近似長(zhǎng)方形的周長(zhǎng),就比圓的周長(zhǎng)多了圓半徑的2倍的知識(shí)。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如下圖,把一個(gè)圓等分后拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方形,這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是33.12厘米,那么這個(gè)圓的面積是()平方厘米。【答案】50.24【分析】把圓等分后拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方形,長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是圓形周長(zhǎng)加直徑,由此算出圓的半徑,代入圓的面積公式即可算出。【詳解】設(shè)圓的半徑為r厘米2r+2πr=33.12解:2r+2×3.14r=33.122r+6.28r=33.128.28r=33.12r=33.12÷8.28r=4圓的面積:3.14×42=3.14×16=50.24(平方厘米)【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是知道圓的周長(zhǎng)與近似長(zhǎng)方形周長(zhǎng)關(guān)系,求出圓的半徑,解答問題。【考點(diǎn)二】圓的面積。【方法點(diǎn)撥】圓的面積S=πr2。【典型例題】用圓規(guī)畫圓時(shí),圓規(guī)兩腳間的距離是4cm,所畫出圓面積是()cm2。【答案】50.24【分析】圓規(guī)兩腳間的距離是4cm,即圓的半徑是4cm,再根據(jù)圓的面積公式:S=,代入數(shù)據(jù)即可求出所圓的面積。【詳解】3.14×42=3.14×16=50.24(cm2)即所畫出圓面積是50.24cm2。【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是知道圓規(guī)兩腳間的距離是半徑,然后通過圓的面積公式計(jì)算得到答案。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)圓形游泳池的半徑是5m,它的周長(zhǎng)是()m,面積是()m2。【答案】31.478.5【分析】圓的周長(zhǎng),圓的面積,把半徑5m分別代入圓的周長(zhǎng)、面積公式計(jì)算即可。【詳解】2×3.14×5=31.4(m)3.14×52=3.14×25=78.5(m2)所以它的周長(zhǎng)是31.4m,面積是78.5m2。【點(diǎn)睛】在計(jì)算圓的面積時(shí),不要把當(dāng)成計(jì)算,應(yīng)是。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】小明用圓規(guī)畫一個(gè)圓,圓規(guī)兩腳張開的距離是3厘米,畫出的圓的周長(zhǎng)是()厘米,面積是()平方厘米。【答案】18.8428.26【分析】圓規(guī)兩腳張開的距離是圓的半徑,即=3厘米。圓的周長(zhǎng),圓的面積,把半徑3厘米分別代入圓的周長(zhǎng)公式、面積公式計(jì)算即可。【詳解】2×3.14×3=2×3×3.14=6×3.14=18.84(厘米)3.14×32=3.14×9=28.26(平方厘米)所以畫出的圓的周長(zhǎng)是18.84厘米,面積是28.26平方厘米。【點(diǎn)睛】在計(jì)算圓的面積時(shí),不要把當(dāng)成計(jì)算,應(yīng)是。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】圓的半徑是3米,它的直徑是()米,周長(zhǎng)是()米,面積是()平方米。(π取3.14)【答案】618.8428.26【分析】根據(jù)直徑和半徑的關(guān)系:d=2r,圓周長(zhǎng)公式:C=πd,圓面積公式:S=πr2,代入數(shù)據(jù)解答即可。【詳解】3×2=6(米)3.14×6=18.84(米)3.14×32=3.14×9=28.26(平方米)圓的半徑是3米,它的直徑是6米,周長(zhǎng)是18.84米,面積是28.26平方米。【點(diǎn)睛】本題主要考查了直徑和半徑的關(guān)系、圓面積公式、圓周長(zhǎng)公式的靈活應(yīng)用,要熟練掌握相關(guān)公式。【考點(diǎn)三】已知周長(zhǎng),求圓的面積。【方法點(diǎn)撥】已知圓的周長(zhǎng),先求出圓的半徑,再根據(jù)圓的面積公式求面積。【典型例題】用圓規(guī)畫一個(gè)周長(zhǎng)是15.7厘米的圓,圓規(guī)兩腳間叉開的距離應(yīng)是()厘米,該圓的面積是()平方厘米。【答案】2.519.625【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式:C=,代入圓的周長(zhǎng)的數(shù)據(jù),求出圓的半徑,即圓規(guī)兩腳間叉開的距離;再根據(jù)圓的面積公式:S=,代入數(shù)據(jù)即可求出該圓的面積。【詳解】15.7÷2÷3.14=7.85÷3.14=2.5(厘米)3.14×2.52=3.14×6.25=19.625(平方厘米)即圓規(guī)兩腳間叉開的距離應(yīng)是2.5厘米,該圓的面積是19.625平方厘米。【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用圓的周長(zhǎng)和圓的面積公式求解。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】畫一個(gè)周長(zhǎng)62.8厘米的圓,圓規(guī)兩腳間的距離是()厘米,畫成的圓的面積是()平方厘米。【答案】10314【分析】圓規(guī)兩腳間的距離是指這個(gè)圓的半徑,由此利用“圓的周長(zhǎng)公式為:”,求出這個(gè)圓的半徑,再根據(jù)圓的面積公式:,解題即可。【詳解】62.8÷3.14÷2=20÷2=10(cm)3.14×102=3.14×100=314(cm2)所以,畫一個(gè)周長(zhǎng)62.8厘米的圓,圓規(guī)兩腳間的距離是10厘米,畫成的圓的面積是314平方厘米。【點(diǎn)睛】此題考查了圓的周長(zhǎng)和面積公式的靈活應(yīng)用。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)圓形鐵板的周長(zhǎng)是12.56米,它的半徑是()米,面積是()平方米。【答案】212.56【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式:C=,代入數(shù)據(jù)求出圓的半徑,再根據(jù)圓的面積公式:S=,代入數(shù)據(jù)即可求出圓的面積。【詳解】12.56÷2÷3.14=6.28÷3.14=2(米)3.14×22=3.14×4=12.56(平方米)即圓的半徑是2米,面積是12.56平方米。【點(diǎn)睛】此題主要考查圓的周長(zhǎng)和圓的面積公式的靈活運(yùn)用。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】大戲院門店有一根圓柱子,柱子的外圍周長(zhǎng)是314cm,它的橫截面面積是()cm2。【答案】7850【分析】根據(jù)圓的半徑=周長(zhǎng)÷π÷2,圓的面積=πr2,列式計(jì)算即可。【詳解】314÷3.14÷2=50(cm)3.14×502=3.14×2500=7850(cm2)它的橫截面面積是7850cm2。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用圓的周長(zhǎng)和面積公式。【考點(diǎn)四】半圓的面積。【方法點(diǎn)撥】半圓的面積:S半圓=πr2÷2。【典型例題】一個(gè)半圓半徑為3厘米,它的面積是()平方厘米,周長(zhǎng)是()厘米。【答案】14.1315.42【分析】根據(jù)半圓的面積、半圓周長(zhǎng)的意義,半圓的面積等于該圓面積的一半,半圓的周長(zhǎng)等于該圓周長(zhǎng)的一半加上一條直徑的長(zhǎng)度,根據(jù)半圓的面積公式:S=πr2÷2,半圓的周長(zhǎng)公式:C=πr+2r,把數(shù)據(jù)代入公式解答。【詳解】3.14×32÷2=3.14×9÷2=28.26÷2=14.13(平方厘米)3.14×3+3×2=9.42+6=15.42(厘米)則它的面積是14.13平方厘米,周長(zhǎng)是15.42厘米。【點(diǎn)睛】此題主要考查半圓的面積公式、半圓的周長(zhǎng)公式的靈活運(yùn)用,關(guān)鍵是熟記公式。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】直徑是4厘米的半圓,它的周長(zhǎng)是(),面積是()。【答案】10.28厘米/10.28cm6.28平方厘米/6.28cm2【分析】周長(zhǎng)是指封閉圖形一周的長(zhǎng)度,據(jù)此得出半圓的周長(zhǎng)=圓周長(zhǎng)的一半+直徑,根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式C=πd求解;半圓的面積=圓的面積÷2,根據(jù)圓的面積公式S=πr2求解。【詳解】半圓的周長(zhǎng):3.14×4÷2+4=6.28+4=10.28(厘米)半圓的面積:3.14×(4÷2)2÷2=3.14×4÷2=6.28(平方厘米)直徑是4厘米的半圓,它的周長(zhǎng)是10.28厘米,面積是6.28平方厘米。【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長(zhǎng)、圓的面積公式的運(yùn)用,掌握半圓的周長(zhǎng)、半圓的面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】把一張周長(zhǎng)是18.84dm的圓形紙片對(duì)折成半圓,這個(gè)半圓的周長(zhǎng)是()dm,面積是()dm2。【答案】15.4214.13【分析】由圓的周長(zhǎng)可知:,據(jù)此用18.84÷3.14÷2求出圓的半徑;再根據(jù)半圓的周長(zhǎng)求出這個(gè)半圓的周長(zhǎng),即3.14×3+2×3;根據(jù)圓的面積求出圓的面積,再用圓的面積÷2求出半圓的面積,即3.14×32÷2。【詳解】18.84÷3.14÷2=6÷2=3(dm)3.14×3+2×3=9.42+6=15.42(dm)3.14×32÷2=3.14×9÷2=28.26÷2=14.13(dm2)所以這個(gè)半圓的周長(zhǎng)是15.42dm,面積是14.13dm2。【點(diǎn)睛】解決此題時(shí)應(yīng)注意半圓的周長(zhǎng)并不等于圓周長(zhǎng)的一半。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)周長(zhǎng)為20.56cm的半圓,它半徑是()cm,面積是()cm2。【答案】425.12【分析】半圓周長(zhǎng)=πr+2r,所以半圓的半徑=半圓的周長(zhǎng)÷(π+2);半圓的面積=πr2÷2,據(jù)此列式計(jì)算。【詳解】20.56÷(3.14+2)=20.56÷5.14=4(cm)3.14×42÷2=3.14×16÷2=25.12(cm2)一個(gè)周長(zhǎng)為20.56cm的半圓,它半徑是4cm,面積是25.12cm2。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用半圓的周長(zhǎng)和面積公式。【考點(diǎn)五】半圓的實(shí)際應(yīng)用。【方法點(diǎn)撥】半圓的面積:S半圓=πr2÷2。【典型例題】李奶奶用15.7米長(zhǎng)的籬笆靠墻圍成一個(gè)半圓形的菜園,這個(gè)菜園的面積是()。解析:15.7÷3.14=5(米)3.14××52÷2=3.14×25÷2=39.25(平方米)【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】李奶奶家的養(yǎng)雞場(chǎng)(如圖),一面靠墻,一面用竹籬笆圍成半圓,它的半徑是6m。(1)修這個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)用了多長(zhǎng)的竹籬笆?(2)李奶奶要擴(kuò)建這個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng),把它的半徑增加2m。養(yǎng)雞場(chǎng)的面積會(huì)增加多少?解析:(1)3.14×6×2÷2=18.84×2÷2=18.84(米)答:修這個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)用了18.84米的竹籬笆。(2)3.14×(6+2)2÷2-3.14×62÷2=3.14×32-3.14×18=3.14×14=43.96(平方米)答:養(yǎng)雞場(chǎng)的面積會(huì)增加43.96平方米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】東東家有一個(gè)一面靠墻,另一面用籬笆圍成的半圓形養(yǎng)雞場(chǎng),這個(gè)半圓的直徑是8米,籬笆長(zhǎng)多少米?雞場(chǎng)占地多少平方米?解析:籬笆長(zhǎng)12.56米,雞場(chǎng)占地50.24平方米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】王奶奶用78.5米長(zhǎng)的籬笆靠墻圍成了一個(gè)半圓形的養(yǎng)雞場(chǎng)。這個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)的占地面積是多少平方米?解析:r=78.5÷3.14=25(米)3.14×252÷2=981.25(平方米)答:這個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)的占地面積是981.25平方米。【考點(diǎn)六】圓與正方形、長(zhǎng)方形的等長(zhǎng)轉(zhuǎn)化問題。【方法點(diǎn)撥】用同一根鐵絲圍成正方形、正方形或圓,周長(zhǎng)不變,借此求面積。【典型例題1】等長(zhǎng)轉(zhuǎn)化其一。一根鐵絲圍成了一個(gè)邊長(zhǎng)7.85厘米的正方形(接頭不計(jì)),如果把這根鐵絲圍成最大的圓(接頭不計(jì)),圓的周長(zhǎng)是()厘米,圓的面積是()平方厘米。【答案】31.478.5【分析】用一根鐵絲圍成了一個(gè)正方形,那么鐵絲的長(zhǎng)度等于正方形的周長(zhǎng);根據(jù)正方形的周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4,求出這根鐵絲的長(zhǎng)度;又用這根鐵絲圍成最大的圓,那么圓的周長(zhǎng)等于這根鐵絲的長(zhǎng)度,根據(jù)r=C÷π÷2,求出圓的半徑,再根據(jù)圓的面積S=πr2,即可求出圓的面積。【詳解】正方形的周長(zhǎng)(圓的周長(zhǎng)):7.85×4=31.4(厘米)圓的半徑:31.4÷3.14÷2=5(厘米)圓的面積:3.14×52=3.14×25=78.5(平方厘米)圓的周長(zhǎng)是31.4厘米,面積是78.5平方厘米。【點(diǎn)睛】本題考查正方形的周長(zhǎng)、圓的周長(zhǎng)、圓的面積公式的靈活運(yùn)用,明確用一根鐵絲圍成一個(gè)圖形,鐵絲長(zhǎng)度等于這個(gè)圖形的周長(zhǎng)。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】一根鐵絲可以圍成一個(gè)邊長(zhǎng)為1.57dm的正方形,如果用這根鐵絲圍成一個(gè)圓形,那么這個(gè)圓形的面積是()dm2。【答案】0.19625【分析】根據(jù)題意,圍成正方形的周長(zhǎng)即是圍成圓的周長(zhǎng),可根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式:C=2πr,進(jìn)行計(jì)算即可得到圍成圓的半徑的長(zhǎng)度,然后根據(jù)圓的面積公式,列式解答即可得到答案。【詳解】1.57÷3.14÷2=0.5÷2=0.25(dm)3.14×0.252=3.14×0.0625=0.19625(平方分米)【點(diǎn)睛】此題主要考查的是圓的周長(zhǎng)和面積公式的應(yīng)用。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】?jī)筛瑯娱L(zhǎng)的鐵絲分別圍成一個(gè)正方形和一個(gè)圓,已知正方形的邊長(zhǎng)是6.28厘米,圓的半徑是()厘米,面積是()平方厘米。【答案】450.24【分析】用6.28×4求出正方形的周長(zhǎng),也是圓的周長(zhǎng),再根據(jù)“r=c÷π÷2”、“s=πr2”求出圓的半徑和面積即可。【詳解】6.28×4÷3.14÷2=25.12÷3.14÷2=4(厘米);3.14×42=50.24(平方厘米)【點(diǎn)睛】明確正方形和圓的周長(zhǎng)相等是解答本題的關(guān)鍵,熟練掌握的圓的周長(zhǎng)和面積公式。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】用一根長(zhǎng)15.7厘米的鐵絲圍成一個(gè)正方形,正方形的面積是()平方厘米;如果用這根鐵絲圍成一個(gè)圓,這個(gè)圓的面積是()平方厘米。【答案】15.405625,19.625【詳解】試題分析:(1)用一根長(zhǎng)15.7厘米的鐵絲圍成一個(gè)正方形,這個(gè)正方形的周長(zhǎng)就是15.7厘米,用它除以4,求出這個(gè)正方形的邊長(zhǎng),再根據(jù)正方形的面積公式,求出它面積,(2)用一根長(zhǎng)15.7厘米的鐵絲圍成一個(gè)圓,這個(gè)圓的周長(zhǎng)就是15.7,用它除以2,再除以π,求出這個(gè)圓的半徑,再根據(jù)圓的面積公式求出圓的面積.解:(1)15.7÷4=3.925(厘米),3.925×3.925=15.405625(平方厘米).(2)15.7÷2÷3.14=2.5(厘米),3.14×2.52=3.14×6.25=19.625(平方厘米).故答案為15.405625,19.625.點(diǎn)評(píng):本題的關(guān)鍵是求出這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)和圓的半徑,再根據(jù)正方形和圓的面積公式進(jìn)行解答.【典型例題2】等長(zhǎng)轉(zhuǎn)化其二。一根鐵絲剛好能圍成一個(gè)長(zhǎng)8厘米,寬4.56厘米的長(zhǎng)方形。如果將這根鐵絲圍成一個(gè)圓,這個(gè)圓的面積有多少平方厘米?【答案】50.24平方厘米【分析】長(zhǎng)方形周長(zhǎng)=(長(zhǎng)+寬)×2,據(jù)此先求出長(zhǎng)方形的周長(zhǎng),即圍成圓的周長(zhǎng)。將圓的周長(zhǎng)除以2再除以圓周率3.14,求出圓的半徑。圓的面積S=πr2,將數(shù)據(jù)代入其中,求出圍成圓的面積。【詳解】(8+4.56)×2=12.56×2=25.12(厘米)25.12÷2÷3.14=12.56÷3.14=4(厘米)3.14×42=50.24(平方厘米)答:這個(gè)圓的面積有50.24平方厘米。【點(diǎn)睛】本題考查了圓的周長(zhǎng)和面積,熟記圓的周長(zhǎng)和面積公式是解題的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】一段鐵絲剛好能圍成一個(gè)長(zhǎng)10.5厘米、寬2.06厘米的長(zhǎng)方形,用同樣長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)最大的圓,這個(gè)圓的面積是多少平方厘米?【答案】50.24平方厘米【分析】通過長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=(長(zhǎng)+寬)×2,代入長(zhǎng)和寬的數(shù)據(jù),求出鐵絲的長(zhǎng)度,再根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式:C=,可得r=C÷2÷,代入數(shù)據(jù),求出圓的半徑之后,根據(jù)圓的面積公式:S=即可求出這個(gè)圓的面積。【詳解】(10.5+2.06)×2=12.56×2=25.12(厘米)25.12÷2÷3.14=4(厘米)3.14×4×4=50.24(平方厘米)答:這個(gè)圓的面積是50.24平方厘米。【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是抓住鐵絲的長(zhǎng)度不變,靈活運(yùn)用長(zhǎng)方形和圓的周長(zhǎng)公式,最后再利用圓的面積公式求出結(jié)果。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一根鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)10cm,寬5.7cm的長(zhǎng)方形,用這根鐵絲再圍成一個(gè)最大的圓形,這個(gè)圓形的面積是多少?【答案】78.5cm2【詳解】(10+5.7)×2÷2÷3.14=5(cm)3.14×=78.5(cm2)【考點(diǎn)七】面積的比較問題。【方法點(diǎn)撥】周長(zhǎng)相等的圖形(長(zhǎng)方形、正方形、圓)中,圓的面積最大。【典型例題】有一根628厘米長(zhǎng)的鐵絲,如果用它正好圍成一個(gè)長(zhǎng)方形(長(zhǎng)和寬自己確定),面積是多少?要圍成一個(gè)正方形,面積是多少?圍成圓呢?圍成的圖形中,哪種面積最大?【答案】22800平方厘米,24649平方厘米,31400平方厘米,圓的面積最大【詳解】試題分析:周長(zhǎng)一定,分別依據(jù)長(zhǎng)方形、正方形和圓的周長(zhǎng)公式求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬,正方形的邊長(zhǎng),圓的半徑,進(jìn)而分別求出其面積.解:長(zhǎng)方形:628÷2=314(厘米),假設(shè)長(zhǎng)為200厘米,則寬為114厘米,其面積是200×114=22800(平方厘米),正方形:628÷4=157(厘米),其面積為157×157=24649平方厘米),圓:628÷2π=100(厘米),其面積為3.14×1002=31400(平方厘米),答:長(zhǎng)方形的面積是22800平方厘米,正方形的面積是24649平方厘米,圓的面積是31400平方厘米;由以上可知圓的面積最大.點(diǎn)評(píng):此題主要考查長(zhǎng)方形、正方形及圓的面積公式,將數(shù)據(jù)代入公式即可.【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】用三根同樣長(zhǎng)的鐵絲分別圍成一個(gè)圓、一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)正方形,其中()的面積最大。【答案】圓【分析】根據(jù)題意可知,鐵絲的長(zhǎng)度是圍成圖形的周長(zhǎng),此題用舉例法解答,先假設(shè)正方形、長(zhǎng)方形和圓形的周長(zhǎng)都是16米,分別求出圓、正方形、長(zhǎng)方形的面積,然后比較大小即可。【詳解】假設(shè)正方形、長(zhǎng)方形和圓形的周長(zhǎng)都是16米,則圓的面積為:π×()2≈20.38(平方米);正方形的邊長(zhǎng)為:16÷4=4(米),面積為:4×4=16(平方米);長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬越接近,面積越大,就取長(zhǎng)為5米、寬為3米,面積為:5×3=15(平方米),當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬最接近時(shí)面積也小于16平方米;所以周長(zhǎng)相等的正方形、長(zhǎng)方形和圓形,圓面積最大。【點(diǎn)睛】所以周長(zhǎng)相等,圓面積>正方形面積>長(zhǎng)方形面積。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】把一根24分米長(zhǎng)的鐵絲平均截成3段,一段圍成正方形,一段圍成長(zhǎng)方形,另一段圍成一個(gè)圓.其中,()面積最大,()面積最小。【答案】圓;長(zhǎng)方形【詳解】試題分析:由題意得:三種圖形的周長(zhǎng)相等,是24÷3=8(分米),分別計(jì)算出面積,再比較大小.解:①正方形面積為:(8÷4)×(8÷4)=4(平方分米);②長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的和是:8÷2=4(分米),面積最大為:1×3=3(平方分米);③圓的半徑為:8÷2÷3.14≈1.3(分米),圓的面積為:3.14×1.32=5.3066(平方分米);所以:3<4<5.3066,即圓的面積最大,長(zhǎng)方形的面積最小.故答案為圓;長(zhǎng)方形.點(diǎn)評(píng):此題主要考查正方體、長(zhǎng)方形、圓的面積計(jì)算,明確它們的周長(zhǎng)相等時(shí),圓的面積最大,長(zhǎng)方形面積最小.【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】把一根24分米長(zhǎng)的鐵絲平均截成3段,一段圍成正方形,一段圍成長(zhǎng)方形,另一段圍成一個(gè)圓.其中,()面積最大,()面積最小。【答案】圓;長(zhǎng)方形【詳解】試題分析:由題意得:三種圖形的周長(zhǎng)相等,是24÷3=8(分米),分別計(jì)算出面積,再比較大小.解:①正方形面積為:(8÷4)×(8÷4)=4(平方分米);②長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的和是:8÷2=4(分米),面積最大為:1×3=3(平方分米);③圓的半徑為:8÷2÷3.14≈1.3(分米),圓的面積為:3.14×1.32=5.3066(平方分米);所以:3<4<5.3066,即圓的面積最大,長(zhǎng)方形的面積最小.故答案為圓;長(zhǎng)方形.點(diǎn)評(píng):此題主要考查正方體、長(zhǎng)方形、圓的面積計(jì)算,明確它們的周長(zhǎng)相等時(shí),圓的面積最大,長(zhǎng)方形面積最小.【考點(diǎn)八】半徑、直徑和周長(zhǎng)、面積的倍數(shù)關(guān)系。【方法點(diǎn)撥】在同一個(gè)圓里,半徑擴(kuò)大或縮小多少倍,直徑和周長(zhǎng)也擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù),面積擴(kuò)大倍數(shù)的平方倍。【典型例題1】倍數(shù)關(guān)系其一。圓的半徑擴(kuò)大3倍,它的面積就擴(kuò)大(),周長(zhǎng)就擴(kuò)大()倍。【答案】9倍3【詳解】略【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)圓的半徑擴(kuò)大4倍,周長(zhǎng)擴(kuò)大()倍,面積擴(kuò)大()倍。【答案】416【分析】一個(gè)圓的半徑擴(kuò)大到原來的幾倍,周長(zhǎng)也擴(kuò)大到原來的幾倍;面積擴(kuò)大倍數(shù)是半徑擴(kuò)大倍數(shù)的平方,據(jù)此解答即可。【詳解】一個(gè)圓的半徑擴(kuò)大到原來的4倍,周長(zhǎng)也擴(kuò)大到原來的4倍,面積擴(kuò)大到原來的16倍。【點(diǎn)睛】明確半徑、周長(zhǎng)和面積之間擴(kuò)大倍數(shù)之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)圓的周長(zhǎng)擴(kuò)大5倍,它的直徑擴(kuò)大到原來的()倍,面積擴(kuò)大到原來的()倍。【答案】525【解析】略【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)圓的半徑擴(kuò)大a倍,直徑擴(kuò)大()倍,周長(zhǎng)擴(kuò)大()倍,面積擴(kuò)大()倍。【答案】aaa2【分析】假設(shè)圓原來的半徑為2,則擴(kuò)大后圓的半徑為2a,直徑由原來的4變?yōu)?a,周長(zhǎng)由原來的4π變?yōu)?aπ,面積由π×22=4π變?yōu)棣小粒?a)2=4πa2,由此解答即可。【詳解】一個(gè)圓的半徑擴(kuò)大a倍,直徑擴(kuò)大a倍,周長(zhǎng)擴(kuò)大a倍,面積擴(kuò)大a2倍。【點(diǎn)睛】本題采用了假設(shè)法,假設(shè)法使題目變得具體化,簡(jiǎn)單化。【典型例題2】倍數(shù)關(guān)系其二。大圓的半徑是小圓的半徑的2倍,則小圓周長(zhǎng)是大圓周長(zhǎng)的(),大圓面積是小圓面積的()倍。【答案】4【分析】根據(jù)半徑的倍數(shù)等于周長(zhǎng)的倍數(shù),倍數(shù)×倍數(shù)是面積之間的倍數(shù),據(jù)此分析。【詳解】2×2=4,大圓的半徑是小圓的半徑的2倍,則小圓周長(zhǎng)是大圓周長(zhǎng)的,大圓面積是小圓面積的4倍。【點(diǎn)睛】圓的周長(zhǎng)=πd=2πr,圓的面積=πr2。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】有大小兩個(gè)圓,大圓直徑是小圓直徑的3倍,那么大圓周長(zhǎng)是小圓周長(zhǎng)的()倍;小圓面積是大圓面積的()。(填幾分之幾)【答案】3【分析】根據(jù)大圓的直徑是小圓直徑的3倍,可知大圓的半徑是小圓半徑的3倍,進(jìn)而代入周長(zhǎng)和面積公式,先分別求出它們的周長(zhǎng)和面積,進(jìn)而得解。【詳解】(1)大圓周長(zhǎng):小圓周長(zhǎng):大圓周長(zhǎng)小圓周長(zhǎng)(2)大圓面積:小圓面積:小圓面積是大圓面積的:【點(diǎn)睛】考查了圓的周長(zhǎng)公式或,圓的面積公式運(yùn)用。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】大圓半徑是小圓半徑的4倍,大圓周長(zhǎng)是小圓周長(zhǎng)的()倍,小圓面積是大圓面積的()。【答案】4【詳解】小圓的周長(zhǎng)C=2πr,大圓半徑是小圓半徑的4倍,大圓的周長(zhǎng)=2π×4r,小圓的面積S=πr2,大圓半徑是小圓半徑的4倍,大圓的面積S=π×4r×4r=16πr2,由此可知答案.【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】大圓半徑是小圓半徑的5倍,大圓周長(zhǎng)是小圓周長(zhǎng)的()倍,大圓面積是小圓面積的()倍。【答案】525【分析】由題意可知,假設(shè)小圓的半徑是1,則大圓的半徑是5,根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式C=2πr,圓的面積公式S=πr2,據(jù)此解答即可。【詳解】假設(shè)小圓的半徑是1,則大圓的半徑是5,(2π×5)÷2π=10π÷2π=5π×52÷π×12=25π÷π=25則大圓周長(zhǎng)是小圓周長(zhǎng)的5倍,大圓面積是小圓面積的25倍。【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長(zhǎng)和面積,熟記公式是解題的關(guān)鍵。【考點(diǎn)九】半徑、直徑和周長(zhǎng)、面積的比例關(guān)系。【方法點(diǎn)撥】1.兩個(gè)圓的半徑比等于直徑比等于周長(zhǎng)比,而面積比等于以上比的平方。2.圓周長(zhǎng)和直徑的比是π:1,比值是π;圓周長(zhǎng)和半徑的比是2π:1,比值是2π。【典型例題1】比例關(guān)系其一。兩圓的半徑之比,它們的面積之比是(),周長(zhǎng)之比是()。【答案】9∶253∶5【分析】圓的周長(zhǎng),圓的面積,根據(jù)圓的周長(zhǎng)和面積公式可知,兩圓的面積之比等于半徑的平方之比,兩圓的周長(zhǎng)之比等于半徑之比,據(jù)此解答即可。【詳解】?jī)蓤A的半徑之比3:5,它們的面積之比是9∶25,周長(zhǎng)之比是3∶5。【點(diǎn)睛】本題考查比、圓的周長(zhǎng)和面積,解答本題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)和面積計(jì)算公式。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】?jī)蓚€(gè)圓的半徑之比是4∶3,它們的直徑之比是(),周長(zhǎng)之比是(),面積之比是(),如果較大的圓的周長(zhǎng)是12.56cm,則較小的圓的周長(zhǎng)是()cm。【答案】4∶34∶316∶99.42【分析】由題意可知,兩個(gè)圓的半徑之比是4∶3,則假設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為4和3,根據(jù)直徑=半徑×2,圓的周長(zhǎng)公式:C=πd,圓的面積公式:S=πr2,據(jù)此求出它們的直徑之比、周長(zhǎng)之比和面積之比;根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式求出較大的圓的直徑,進(jìn)而求出較小的圓的直徑,最后求出較小的圓的周長(zhǎng)。【詳解】假設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為4和3(4×2)∶(3×2)=8∶6=(8÷2)∶(6÷2)=4∶34π∶3π=4∶342π∶32π=16π∶9π=16∶912.56÷3.14=4(cm)4÷4×3=1×3=3(cm)3.14×3=9.42(cm)則兩個(gè)圓的半徑之比是4∶3,它們的直徑之比是4∶3,周長(zhǎng)之比是4∶3,面積之比是16∶9,如果較大的圓的周長(zhǎng)是12.56cm,則較小的圓的周長(zhǎng)是9.42cm。【點(diǎn)睛】本題考查比的意義,結(jié)合圓的周長(zhǎng)和面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】小圓直徑8厘米,大圓半徑6厘米,小圓和大圓直徑之比是();小圓和大圓周長(zhǎng)比是();小圓和大圓的面積比是()。【答案】2∶32∶34∶9【分析】根據(jù)d=2r,先求出大圓的直徑,然后寫出比,化簡(jiǎn)比即可;根據(jù)兩個(gè)圓的直徑比=周長(zhǎng)比,面積比=直徑比的平方,據(jù)此直接寫出比即可。【詳解】根據(jù)分析:直徑比和周長(zhǎng)比:8∶(6×2)=8∶12=2∶3面積比:(2×2)∶(3×3)=4∶9所以,小圓直徑8厘米,大圓半徑6厘米,小圓和大圓直徑之比是(2∶3);小圓和大圓周長(zhǎng)比是(2∶3);小圓和大圓的面積比是(4∶9)。【點(diǎn)睛】此題考查了圓的周長(zhǎng)以及面積計(jì)算,關(guān)鍵熟記:兩個(gè)圓的直徑比=周長(zhǎng)比,面積比=直徑平方的比。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】已知小圓半徑是大圓半徑的,則小圓與大圓的周長(zhǎng)之比是(),如果小圓面積是,則大圓面積是()。【答案】1∶328.26【分析】已知小圓半徑是大圓半徑的,利用比與分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系,可得小圓和大圓的半徑之比是1∶3,根據(jù)圓的周長(zhǎng)=×2×半徑,因此兩個(gè)圓的周長(zhǎng)比等于這兩個(gè)圓的半徑比,即可求出小圓與大圓的周長(zhǎng)之比。再根據(jù)圓的面積=,因此兩個(gè)圓的面積比等于這兩個(gè)圓的半徑的平方比,可求得小圓和大圓的面積之比是1∶9,把小圓的面積看作1份,大圓的面積看作9份,用小圓的面積除以1,求出1份量是多少,再乘9即可求出大圓的面積。【詳解】根據(jù)分析得,小圓和大圓的半徑之比是1∶3,所以小圓與大圓的周長(zhǎng)之比是1∶3。小圓與大圓的面積之比是12∶32=1∶9。3.14÷1×9=28.26(cm2)即大圓面積是28.26cm2。【點(diǎn)睛】此題主要考查比的應(yīng)用以及圓的周長(zhǎng)、面積公式的熟練運(yùn)用。【典型例題2】比例關(guān)系其二。如圖:大圓半徑為8厘米,小圓半徑為4厘米,則大圓與小圓的直徑之比是(),周長(zhǎng)之比是(),面積之比是()。現(xiàn)在讓小圓沿著大圓的外側(cè)滾動(dòng)一周后回到原處,那么小圓的圓心移動(dòng)的長(zhǎng)度是()厘米。【答案】2∶12∶14∶175.36【分析】根據(jù)圓的直徑d=2r,圓的周長(zhǎng)C=2πr,圓的面積S=πr2,可知兩個(gè)圓的直徑之比、周長(zhǎng)之比等于它們的半徑之比,兩個(gè)圓的面積之比等于它們的半徑的平方比。從圖中可知,小圓的圓心移動(dòng)的長(zhǎng)度是以(8+4)厘米為半徑的圓的周長(zhǎng),根據(jù)圓的周長(zhǎng)C=2πr,代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求解。【詳解】大圓與小圓的直徑之比是8∶4=(8÷4)∶(4÷4)=2∶1;大圓與小圓的周長(zhǎng)之比是8∶4=(8÷4)∶(4÷4)=2∶1;大圓與小圓的面積之比是82∶42=64∶16=(64÷16)∶(16÷16)=4∶1;2×3.14×(8+4)=2×3.14×12=75.36(厘米)小圓的圓心移動(dòng)的長(zhǎng)度是75.36厘米。【點(diǎn)睛】本題考查圓的直徑、周長(zhǎng)、面積公式的運(yùn)用以及比的意義、比的化簡(jiǎn)。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】下圖是由一個(gè)大圓和一個(gè)小圓組成的,點(diǎn)O是大圓的圓心。小圓與大圓的半徑之比是(),周長(zhǎng)之比是(),面積之比是()。【答案】1∶21∶21∶4【分析】可以假設(shè)小圓的半徑為r,大圓的半徑為2r,分別求出大小圓的半徑、大小圓的周長(zhǎng)、大小圓的面積,再寫出比并化簡(jiǎn)即可。【詳解】根據(jù)題意,設(shè)小圓的半徑為r,則大圓的半徑為2r,小圓與大圓的半徑之比:r∶2r=1∶2周長(zhǎng)之比:2πr∶2π(2r)=1∶2面積之比:πr2∶π(2r)2=πr2∶4πr2=1∶4已知小圓的直徑等于大圓的半徑,那么小圓與大圓的半徑之比是1∶2,周長(zhǎng)之比是1∶2,面積之比是1∶4。【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長(zhǎng)、面積公式及比的意義與化簡(jiǎn)比。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】三個(gè)同心圓(如圖),已知OA:AB:BC的比是1:2:3,那么這三個(gè)圓(從小到大)的周長(zhǎng)之比是(),面積之比是()。【答案】1:3:61:9:36【詳解】由分析得:這三個(gè)圓的周長(zhǎng)的比等于半徑的比,面積的比等于半徑平方的比,所以,這三個(gè)圓(從小到大)的周長(zhǎng)之比是1:3:6,面積的比是1:9:36.故答案為1:3:6,1:9:36.【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】(如圖)如果大圓的半徑和小圓的直徑相等,那么大圓面積與小圓面積之比是()。A.2∶1 B.4∶1 C. D.【答案】B【分析】假設(shè)出小圓的半徑,大圓的半徑=小圓的半徑×2,利用“”表示出大圓的面積和小圓的面積,最后根據(jù)比的意義求出大圓和小圓的面積比,據(jù)此解答。【詳解】假設(shè)小圓的半徑為r厘米,則大圓的半徑為2r厘米。小圓的面積:(平方厘米)大圓的面積:=(平方厘米)大圓的面積∶小圓的面積=∶=4∶1所以,大圓面積與小圓面積之比是4∶1。故答案為:B【點(diǎn)睛】掌握?qǐng)A的面積計(jì)算公式和比的意義是解答題目的關(guān)鍵。【考點(diǎn)十】半徑、直徑和周長(zhǎng)、面積的增減變化問題。【方法點(diǎn)撥】1.周長(zhǎng)的變化:算出增加后圓的周長(zhǎng)和原來的周長(zhǎng)進(jìn)行相減得到周長(zhǎng)增加的部分。當(dāng)一個(gè)圓的半徑增加a厘米時(shí),它的周長(zhǎng)就增加2πa厘米;當(dāng)一個(gè)圓的直徑增加a厘米時(shí),它的周長(zhǎng)就增加πa厘米。2.面積的變化:算出增加后圓的面積和原來的面積進(jìn)行相減得到面積增加的部分。【典型例題】一個(gè)半徑是3dm的圓,如果半徑增加1dm,那么周長(zhǎng)增加()dm,面積增加()dm2。【答案】6.2821.98【分析】由于半徑增加1dm,那么此時(shí)的半徑是4dm,根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式:C=2πr,圓的面積公式:S=πr2,把數(shù)代入公式求出半徑增加前的周長(zhǎng)和面積,再求出半徑增加后的周長(zhǎng)和面積,之后作差即可。【詳解】當(dāng)半徑是3dm的時(shí)候周長(zhǎng):3.14×3×2=9.42×2=18.84(dm)面積:3.14×32=3.14×9=28.26(dm2)半徑增加1dm后:3+1=4(dm)周長(zhǎng):3.14×4×2=12.56×2=25.12(dm)面積:3.14×42=3.14×16=50.24(dm2)則周長(zhǎng)增加:25.12-18.84=6.28(dm)面積增加:50.24-28.26=21.98(dm2)所以一個(gè)半徑為3dm的圓,如果半徑增加1dm,那么周長(zhǎng)增加6.28dm,面積增加21.98dm2。【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的周長(zhǎng)和面積公式,應(yīng)熟練掌握它們的公式并靈活運(yùn)用。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】圓的半徑由4cm增加到5cm,它的周長(zhǎng)增加()cm,它的面積增加()cm2。(π取3.14)【答案】6.2828.26【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式:C=,和圓的面積公式:S=,代入前后半徑的數(shù)據(jù),分別求出增加前和增加后的圓的周長(zhǎng)及圓的面積,再相減即可求出增加的圓的周長(zhǎng)和增加的圓的面積。【詳解】2×3.14×5-2×3.14×4=31.4-25.12=6.28(cm)3.14×52-3.14×42=3.14×25-3.14×16=78.5-50.24=28.26(cm2)即圓的周長(zhǎng)增加6.28cm,它的面積增加28.26cm2。【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用圓的周長(zhǎng)和圓的面積公式解決實(shí)際的問題。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)圓的半徑是6m,周長(zhǎng)是()m,面積是()m2;如果這個(gè)圓的半徑增加1m,則周長(zhǎng)增加()m,面積增加()m2。【答案】37.68113.046.2840.82【分析】根據(jù)“”“”分別求出這個(gè)圓的周長(zhǎng)和面積,以及半徑增加后圓的周長(zhǎng)和面積,最后求出它們的差,據(jù)此解答。【詳解】2×3.14×6=6.28×6=37.68(m)3.14×62=3.14×36=113.04(m2)6+1=7(m)2×3.14×7-37.68=6.28×7-37.68=43.96-37.68=6.28(m)3.14×72-113.04=3.14×49-113.04=153.86-113.04=40.82(m2)所以,一個(gè)圓的半徑是6m,周長(zhǎng)是37.68m,面積是113.04m2;如果這個(gè)圓的半徑增加1m,則周長(zhǎng)增加6.28m,面積增加40.82m2。【點(diǎn)睛】熟練掌握并靈活運(yùn)用圓的周長(zhǎng)和面積的計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】用籬笆圍一個(gè)半圓形養(yǎng)雞場(chǎng),一面靠墻,籬笆長(zhǎng)15.7米。如果將養(yǎng)雞場(chǎng)半徑增加1米,需要增加圍欄()米,則面積增加()平方米。【答案】3.1417.27【分析】先用15.7×2求出整圓的周長(zhǎng),然后算出養(yǎng)雞場(chǎng)原來的半徑,再算出增加1米后的半徑以及籬笆長(zhǎng)度,和之前的籬笆長(zhǎng)相減,求出增加的圍欄長(zhǎng)度;分別根據(jù)增加前后的半徑求出半圓的面積,最后把它們相減求出增加的面積即可。【詳解】原來半徑:15.7×2÷2÷3.14=15.7÷3.14=5(米)后來半徑:5+1=6(米)后來籬笆長(zhǎng):6×2×3.14÷2=6×3.14=18.84(米)增加的圍欄長(zhǎng)度:18.84-15.7=3.14(米)增加的面積:3.14×6×6÷2-3.14×5×5÷2=3.14×18-3.14×12.5=56.52-39.25=17.27(平方米)如果將養(yǎng)雞場(chǎng)半徑增加1米,需要增加圍欄3.14米,則面積增加17.27平方米。【點(diǎn)睛】靈活運(yùn)用圓的周長(zhǎng)和面積公式是解題的關(guān)鍵。【考點(diǎn)十一】長(zhǎng)方形與最圓問題。【方法點(diǎn)撥】在長(zhǎng)方形內(nèi)畫最大的圓,圓的直徑等于長(zhǎng)方形的寬。【典型例題】在一張長(zhǎng)6cm,寬4cm的長(zhǎng)方體紙上畫一個(gè)最大的圓,那么圓規(guī)兩腳間的距離是()厘米;所畫圓的面積是()平方厘米。【答案】212.56【分析】根據(jù)題意可知,在這張長(zhǎng)方形紙上畫一個(gè)最大的圓,這個(gè)圓的直徑等于長(zhǎng)方形的寬,所以圓規(guī)兩腳間的距離是(4÷2)厘米,根據(jù)圓的面積公式:S=r2,把數(shù)據(jù)代入公式解答。【詳解】4÷2=2(厘米)3.14×22=3.14×4=12.56(平方厘米)圓規(guī)兩腳間的距離是2厘米,所畫圓的面積是12.56平方厘米。【點(diǎn)睛】考查圓的特點(diǎn)以及圓的面積計(jì)算,重點(diǎn)是能夠熟練掌握?qǐng)A的面積計(jì)算方法。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】在一塊長(zhǎng)8分米、寬6分米的長(zhǎng)方形鐵板上,剪掉一個(gè)最大的圓,剩下部分的面積是()平方分米。【答案】19.74【分析】長(zhǎng)方形里剪掉一個(gè)最大的圓,圓的直徑=長(zhǎng)方形的寬,長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬,圓的面積=πr2,長(zhǎng)方形面積-圓的面積=剩下部分的面積,據(jù)此列式計(jì)算。【詳解】8×6-3.14×(6÷2)2=48-3.14×32=48-3.14×9=48-28.26=19.74(平方分米)剩下部分的面積是19.74平方分米。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用長(zhǎng)方形和圓的面積公式,理解長(zhǎng)方形和圓之間的關(guān)系。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】在長(zhǎng)8cm,寬0.6dm的長(zhǎng)方形紙上畫一個(gè)最大的圓,這個(gè)圓的周長(zhǎng)是()cm,面積是()cm2。【答案】18.8428.26【分析】在長(zhǎng)方形中畫一個(gè)最大的圓,則這個(gè)圓的直徑相當(dāng)于長(zhǎng)方形的寬,根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式:C=πd,圓的面積公式:S=πr2,據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可。【詳解】0.6dm=6cm3.14×6=18.84(cm)3.14×(6÷2)2=3.14×9=28.26(cm2)則這個(gè)圓的周長(zhǎng)是18.84cm,面積是28.26cm2。【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長(zhǎng)和面積,明確這個(gè)圓的直徑相當(dāng)于長(zhǎng)方形的寬是解題的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】在一張長(zhǎng)8cm、寬6cm的長(zhǎng)方形紙板中畫出一個(gè)最大的圓,這個(gè)圓的半徑是()cm,周長(zhǎng)是()cm,面積是()cm2。【答案】318.8428.26【分析】以長(zhǎng)方形的寬為直徑的圓是長(zhǎng)方形中最大的圓,在同圓或等圓中,半徑是直徑的,直徑是半徑的2倍,利用“”求出圓的周長(zhǎng),利用“”求出圓的面積,據(jù)此解答。【詳解】半徑:6÷2=3(cm)周長(zhǎng):2×3.14×3=6.28×3=18.84(cm)面積:3.14×32=28.26(cm2)所以,這個(gè)圓的半徑是3cm,周長(zhǎng)是18.84cm,面積是28.26cm2。【點(diǎn)睛】理解最大圓的直徑等于長(zhǎng)方形的寬,并掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)和面積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。【考點(diǎn)十二】外方內(nèi)圓與外圓內(nèi)方(正方形與最圓問題)。【方法點(diǎn)撥】1.外方內(nèi)圓:在正方形里面畫最大的圓,圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng),圓的面積與正方形面積比為π:4。2.外圓內(nèi)方:在圓里面畫最大的正方形,圓的直徑等于正方形的對(duì)角線的長(zhǎng),圓的面積與正方形的面積比為π:2。【典型例題1】“外方內(nèi)圓”。如圖,在一張邊長(zhǎng)10cm的正方形紙上剪下一個(gè)最大的圓,這個(gè)圓的面積是(),剩余部分的面積是()。【答案】78.521.5【分析】由題意可知:這個(gè)最大圓的直徑應(yīng)該等于正方形的邊長(zhǎng),正方形的邊長(zhǎng)已知,于是利用圓的面積=πr2,即可求出圓的面積;再用正方形的面積減去圓的面積,即可求出剩余部分的面積。【詳解】3.14×(10÷2)2=3.14×25=78.5(平方厘米)這個(gè)圓的面積是78.5平方厘米。10×10-78.5=100-78.5=21.5(平方厘米)余下部分的面積是21.5平方厘米。【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生正方形與圓面積的計(jì)算能力,解答此題的關(guān)鍵是明白:正方形中最大圓的直徑應(yīng)該等于正方形的邊長(zhǎng),即可求得圓面積和余下的面積。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】在一個(gè)面積為40平方厘米的正方形里,剪下一個(gè)最大的圓,圓的面積是()平方厘米。【答案】31.4【分析】由題意可知,從正方形中剪下一個(gè)最大的圓,則該圓的直徑相當(dāng)于正方形的邊長(zhǎng),圓的半徑的平方等于正方形的面積的,再根據(jù)圓的面積公式:S=πr2,據(jù)此計(jì)算即可。【詳解】40×=10(平方厘米)3.14×10=31.4(平方厘米)則圓的面積是31.4平方厘米。【點(diǎn)睛】本題考查圓的面積,明確圓的半徑的平方等于正方形的面積的是解題的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】在一張周長(zhǎng)20分米的正方形上剪下一個(gè)最大的圓,則剩余部分的面積是()平方分米。【答案】5.375【分析】周長(zhǎng)20分米的正方形的邊長(zhǎng)是5分米,則這個(gè)最大的圓的直徑就是5分米,據(jù)此利用圓的面積公式求出這個(gè)最大的圓的面積,再用正方形的面積減去圓的面積即可。【詳解】20÷4=5(分米)5×5-3.14×(5÷2)2=25-3.14×6.25=25-19.625=5.375(平方分米)剩余部分的面積是5.375平方分米。【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是:弄清楚陰影部分的面積可以由哪些圖形的面積的和或差求得,再利用面積公式計(jì)算即可解答問題。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】數(shù)學(xué)課上,小明用邊長(zhǎng)8cm的正方形紙,小華用邊長(zhǎng)10cm的正方形紙,各剪了一個(gè)最大的圓,小明和小華所剪的圓的周長(zhǎng)之比是(),面積之比是()。【答案】4∶516∶25【分析】正方形的邊長(zhǎng)為圓的直徑,根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式:可知,圓的周長(zhǎng)之比等于半徑之比;根據(jù)圓的面積公式:可知,圓的面積之比等于半徑的平方之比。【詳解】小明剪的圓的半徑為:8÷2=4(cm),小華剪的圓的半徑為:10÷2=5(cm);所以小明和小華所剪的圓的周長(zhǎng)之比為:4∶5;小明和小華所剪的圓的面積之比為:=16∶25【點(diǎn)睛】此題考查的是圓的面積公式和圓的周長(zhǎng)公式。【典型例題2】“外圓內(nèi)方”。在一個(gè)圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正方形,這個(gè)正方形的面積是72平方厘米,那么這個(gè)圓的面積是()平方厘米,周長(zhǎng)是()厘米。【答案】113.0437.68【分析】在一個(gè)圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正方形,如圖,正方形的對(duì)角線=圓的直徑,設(shè)圓的半徑是r厘米,根據(jù)2r×r×2÷2=正方形面積,確定r,再根據(jù)圓的面積=πr2,圓的周長(zhǎng)=2πr,求出圓的面積和周長(zhǎng)。【詳解】解:設(shè)圓的半徑是r厘米。2r×r×2÷2=722r×r=722r×r÷2=72÷2r×r=36r=63.14×62=3.14×36=113.04(平方厘米)2×3.14×6=37.68(厘米)這個(gè)圓的面積是113.04平方厘米,周長(zhǎng)是37.68厘米。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用圓的周長(zhǎng)和面積公式。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】把一個(gè)圓形紙片折成一個(gè)最大的正方形,這個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)8cm,那么這個(gè)圓形紙片的面積是()平方厘米,折起來的部分的面積是()平方厘米。【答案】50.2418.24【分析】把一個(gè)圓形紙片折成一個(gè)最大的正方形,這個(gè)正方形的對(duì)角線=圓的直徑,根據(jù)圓的面積=πr2,求出圓形紙片的面積;圓的面積-正方形面積=折起來的面積,正方形的面積=兩個(gè)三角形面積和,據(jù)此列式計(jì)算。【詳解】3.14×(8÷2)2=3.14×42=3.14×16=50.24(平方厘米)50.24-8×(8÷2)÷2×2=50.24-8×4÷2×2=50.24-32=18.24(平方厘米)這個(gè)圓形紙片的面積是50.24平方厘米,折起來的部分的面積是18.24平方厘米。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用圓的面積公式,靈活計(jì)算正方形面積。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】在一個(gè)周長(zhǎng)是18.84厘米的圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正方形,這個(gè)正方形的面積是()平方厘米,這個(gè)正方形的面積與這個(gè)圓的面積最簡(jiǎn)單整數(shù)比是()∶()。【答案】18100157【分析】圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正方形,正方形對(duì)角線=圓的直徑,根據(jù)圓的直徑=周長(zhǎng)÷π,求出圓的直徑,即正方形對(duì)角線,將正方形平均分成2個(gè)等腰直角三角形,根據(jù)三角形面積=底×高÷2,求出正方形面積;圓的面積=πr2,根據(jù)比的意義,寫出正方形與圓的面積比,化簡(jiǎn)即可。【詳解】18.84÷3.14=6(厘米)6×(6÷2)÷2×2=6×3÷2×2=18(平方厘米)3.14×(6÷2)2=3.14×32=3.14×9=28.26(平方厘米)18∶28.26=1800∶2826=300∶471=100∶157在一個(gè)周長(zhǎng)是18.84厘米的圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正方形,這個(gè)正方形的面積是18平方厘米,這個(gè)正方形的面積與這個(gè)圓的面積最簡(jiǎn)單整數(shù)比是100∶157。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用圓的周長(zhǎng)和面積公式以及正方形面積公式,理解比的意義,掌握化簡(jiǎn)比的方法。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖,在周長(zhǎng)是18.84厘米的圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正方形,陰影部分的面積是()平方厘米。【答案】10.26【分析】以圓的直徑為對(duì)角線的正方形是圓內(nèi)面積最大的正方形,連接正方形的兩條對(duì)角線,正方形被分成4個(gè)形狀相同的等腰直角三角形,先根據(jù)圓的周長(zhǎng)求出圓的半徑,再利用“”表示出圓的面積,并根據(jù)“”表示出正方形的面積,陰影部分的面積=圓的面積-正方形的面積,據(jù)此解答。【詳解】18.84÷3.14÷2=6÷2=3(厘米)3.14×32-×3×3×4=3.14×9-×4=28.26-18=10.26(平方厘米)所以,陰影部分的面積是10.26平方厘米。【點(diǎn)睛】把正方形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積,并掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)和面積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。【典型例題3】綜合型。如圖中,在邊長(zhǎng)是2cm的正方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓,再在圓里畫一個(gè)最大的正方形,那么陰影部分的面積是()cm2。【答案】1.14【分析】根據(jù)題意,在邊長(zhǎng)是2cm的正方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓,那么這個(gè)圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng),根據(jù)圓的面積公式S=πr2,求出這個(gè)圓的面積;在圓里畫一個(gè)最大的正方形,如下圖,用正方形的一條對(duì)角線把這個(gè)正方形平均分成2個(gè)三角形,三角形的底等于圓的直徑,三角形的高等于圓的半徑,根據(jù)三角形的面積S=ah÷2,求出一個(gè)三角形的面積,再乘2,即是這個(gè)最大正方形的面積;最后用圓的面積減去最大正方形的面積,即是陰影部分的面積。【詳解】圓的半徑:2÷2=1(cm)圓的面積:3.14×1×1=3.14(cm2)圓內(nèi)最大正方形的面積:2×1÷2×2=2(cm2)陰影部分的面積:3.14-2=1.14(cm2)陰影部分的面積是1.14cm2。【點(diǎn)睛】本題考查圓的面積、三角形面積公式的運(yùn)用,關(guān)鍵是把圓內(nèi)最大正方形的面積轉(zhuǎn)化成兩個(gè)完全一樣的三角形的面積求解。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】大圓內(nèi)有一個(gè)最大的正方形,正方形內(nèi)有一個(gè)最大的圓,大圓面積和小圓面積的比是()。A.4∶1 B.200∶157 C.2∶1 D.200∶43【答案】C【分析】觀察圖形可知,設(shè)小圓的半徑是1,正方形的邊長(zhǎng)為2,利用圓的面積公式即可表示出小圓的面積為π;假設(shè)大圓的半徑為r,根據(jù)大圓和正方形的關(guān)系,正方形的面積等于2r2,據(jù)此求出r2,進(jìn)而得出大圓的面積,然后寫出大圓面積和小圓面積的比,再化簡(jiǎn)即可。【詳解】設(shè)小圓的半徑為1,則:小圓的面積是:π×1×1=π正方形的面積是:(1+1)2=22=4設(shè)大圓的半徑是r,則:2r2=42r2÷2=4÷2r2=2大圓的面積是:π×r2=2π所以大圓面積和小圓面積的比是:2π∶π=(2π÷2)∶(π÷2)=2∶1故答案為:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了組合圖形面積的計(jì)算,根據(jù)圓中取面積最大正方形的畫法,推導(dǎo)出大圓半徑和正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系,是本題解題的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖,大圓內(nèi)畫一個(gè)最大的正方形,正方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓…,如此畫下去,共畫了4個(gè)圓.那么,最大的圓的面積是最小的圓的()倍。A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【分析】首先設(shè)最小圓的半徑(最小正方形的邊心距)為x,然后利用構(gòu)造的等腰直角三角形表示出最大的正方形的半徑,然后根據(jù)面積的比等于半徑比的平方即可得到答案。【詳解】如圖:設(shè)同心圓的圓心為O,連接OA,作OC垂直于最大正方形的邊于點(diǎn)C,設(shè)最小圓的半徑(最小正方形的邊心距)為x,∵∠AOC=45°,所以∴最大圓與最小圓的面積比為:(2x)2:x2=8:1,即最大圓的面積是最小圓的面積的8倍。故選C。【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的有關(guān)計(jì)算,解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形并找到兩圓的半徑比。【考點(diǎn)十三】圓面積與指針問題。【方法點(diǎn)撥】時(shí)針和分針可看作圓的半徑,求周長(zhǎng)或面積時(shí),應(yīng)先分析出時(shí)針或分針走的圈數(shù)。【典型例題】一個(gè)鐘表的分針長(zhǎng)10厘米,時(shí)針長(zhǎng)8厘米。從1時(shí)到2時(shí),分針針尖走過了多少厘米?這時(shí)時(shí)針掃過的面積是多少平方厘米?(結(jié)果保留兩位小數(shù))【答案】62.8厘米;16.75平方厘米【分析】從1時(shí)到2時(shí),分針走了1圈,時(shí)針走了1大格,一共有12格;根據(jù)圓周長(zhǎng)公式:C=2πr,用3.14×2×10即可求出分針針尖走過了多少厘米;根據(jù)題意可知,時(shí)針掃過的面積是圓面積的;根據(jù)圓面積公式:S=πr2,用3.14×82×即可求出時(shí)針掃過的面積。【詳解】3.14×2×10=62.8(厘米)3.14×82×=3.14×64×≈16.75(平方厘米)答:分針針尖走過了62.8厘米;時(shí)針掃過的面積是16.75平方厘米。【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周長(zhǎng)公式和圓面積公式的靈活應(yīng)用,要熟練掌握相關(guān)公式。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)掛鐘的分針長(zhǎng)12厘米,經(jīng)過15分鐘,分針尖端走過的路程是多少厘米?分針掃過內(nèi)面積是多少平方厘米?【答案】18.84厘米;113.04平方厘米【分析】根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)可知,分針1小時(shí)(60分鐘)轉(zhuǎn)一圈,經(jīng)過15分鐘,分針轉(zhuǎn)了四分之一圈,根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式:C=2πr,圓的面積公式:S=πr2,把數(shù)據(jù)代入公式解答。【詳解】2×3.14×12÷4=6.28×12÷4=75.36÷4=18.84(厘米)3.14×122÷4=3.14×144÷4=452.16÷4=113.04(平方厘米)答:分針尖端走過的路程是18.84厘米,分針掃過內(nèi)面積是113.04平方厘米。【點(diǎn)睛】此題主要考查圓的周長(zhǎng)公式、面積公式的靈活運(yùn)用,關(guān)鍵是熟記公式。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】某鐘表的分針長(zhǎng)10厘米,從1時(shí)到4時(shí),分針針尖走過了多少厘米?分針掃過的面積是多少平方厘米?【答案】188.4厘米;942平方厘米【分析】根據(jù)題意可知,從1時(shí)到4時(shí),分針正好轉(zhuǎn)動(dòng)了三圈,分針走一圈,它的尖端走過的路程是一個(gè)圓,分針的長(zhǎng)度就是這個(gè)圓的半徑,根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式走一圈所走的路程,再乘3即可求出分針走過的路程;分針轉(zhuǎn)過一圈的面積,就是這個(gè)圓的面積,利用圓的面積公式求出掃一圈的面積,再乘3即可解答。【詳解】2×3.14×10×3=6.28×10×3=188.4(厘米)3.14×102×3=3.14×100×3=942(平方厘米)答:分針針尖走過了188.4厘米,分針掃過的面積是942平方厘米。【點(diǎn)睛】此題主要考查的是圓的周長(zhǎng)、面積公式的應(yīng)用。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)鐘表的時(shí)針長(zhǎng)8厘米,分針長(zhǎng)10厘米,從中午12時(shí)到下午6時(shí),時(shí)針掃過的面積是多少?一晝夜分針尖端走過的路程是多少?【答案】100.48平方厘米;1507.2厘米【分析】時(shí)針和分針的長(zhǎng)度相當(dāng)于圓的半徑,從中午12時(shí)到下午6時(shí),時(shí)針掃過鐘面的一半,根據(jù)半圓面積=πr2÷2,求出時(shí)針掃過的面積;一晝夜分針轉(zhuǎn)24圈,根據(jù)圓的周長(zhǎng)C=2πr,求出轉(zhuǎn)一圈的路程,乘24即可。【詳解】3.14×82÷2=3.14×64÷2=100.48(平方厘米)2×3.14×10×24=62.8×24=1507.2(厘米)答:從中午12時(shí)到下午6時(shí),時(shí)針掃過的面積是100.48平方厘米,一晝夜分針尖端走過的路程是1507.2厘米。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用圓的周長(zhǎng)和面積公式。【考點(diǎn)十四】圓環(huán)的面積問題其一:整圓環(huán)。【方法點(diǎn)撥】圓環(huán)的面積:S=πR2πr2。【典型例題】在一個(gè)半徑為3米的圓形花園外鋪一條寬1米的小路,小路的面積是多少?【答案】21.98平方米【分析】由題意可知,小路的面積等于半徑為(3+1)米的圓的面積減去半徑為3米的圓的面積,然后根據(jù)圓的面積公式:S=πr2,據(jù)此計(jì)算即可。【詳解】3+1=4(米)3.14×42-3.14
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