篇首寄語我們每位老師都希望把最好的教學資料留給學生，但面對琳瑯滿目的資料時，總是費時費力才能找到自己心儀的那份，編者也常常為此苦惱。于是，編者就常想，如果是自己來創作一份資料又該怎樣？再結合自身教學經驗和學生實際情況后，最終創作出了一個既適宜課堂教學講解，又適宜課后作業練習，還適宜階段復習的大綜合系列。《20232024學年六年級數學上冊典型例題系列》是基于教材知識點和常年考點真題總結與編輯而成的，該系列主要分為典型例題篇、專項練習篇、單元復習篇、分層試卷篇等四個部分。1.典型例題篇，按照單元順序進行編輯，主要分為計算和應用兩大部分，其優點在于考題典型，考點豐富，變式多樣。2.專項練習篇，從高頻考題和期末真題中選取專項練習，其優點在于選題經典，題型多樣，題量適中。3.單元復習篇，匯集系列精華，高效助力單元復習，其優點在于綜合全面，精煉高效，實用性強。4.分層試卷篇，根據試題難度和不同水平，主要分為基礎卷、提高卷、拓展卷三大部分，其優點在于考點廣泛，分層明顯，適應性廣。無足色，白璧有微瑕，如果您在使用資料的過程中有任何寶貴意見，請留言于我改進，歡迎您的使用，謝謝！101數學工作室2023年10月25日20232024學年六年級數學上冊典型例題系列第五單元圓·面積篇【十五大考點】專題解讀本專題是第五單元圓·面積篇。本部分內容考察圓面積的計算與實際應用，部分考點考題難度較大，可選擇性講解，總體來說，建議作為本章核心內容進行講解，一共劃分為十五個考點，歡迎使用。目錄導航目錄TOC\o"11"\h\u【考點一】圓與長方形的拼切轉化問題（圓面積轉化推導公式） 3【考點二】圓的面積 9【考點三】已知周長，求圓的面積 11【考點四】半圓的面積 13【考點五】半圓的實際應用 15【考點六】圓與正方形、長方形的等長轉化問題 17【考點七】面積的比較問題 20【考點八】半徑、直徑和周長、面積的倍數關系 22【考點九】半徑、直徑和周長、面積的比例關系 25【考點十】半徑、直徑和周長、面積的增減變化問題 30【考點十一】長方形與最圓問題 33【考點十二】外方內圓與外圓內方（正方形與最圓問題） 35【考點十三】圓面積與指針問題 44【考點十四】圓環的面積問題其一：整圓環 46【考點十五】圓環的面積問題其二：半圓環 49典型例題【考點一】圓與長方形的拼切轉化問題（圓面積轉化推導公式）。【方法點撥】把一個圓割成一個近似的長方形，割拼成的長方形的長相當于圓周長的一半，用字母πr表示，寬相當于圓的半徑，用字母r表示，因為長方形的面積=長×寬，所以圓的面積=πr2。【典型例題1】基礎型。把圓按下圖所示的順序逐步細分，拼成長方形的樣子。這樣細分下去，圓的面積就是a和b的積。從圖中可以看出：

(1)a是圓的()。(2)b是圓的()。(3)如果a＝2厘米，這個圓的面積為()。【答案】(1)半徑(2)周長的一半(3)12.56平方厘米【分析】根據題圖可知，一個圓被平均分成的份數越多，拼成的圖形越接近長方形。長方形的寬a就是圓的半徑，長方形的長b就是圓周長的一半。根據“S＝πr2”求出圓的面積即可。【詳解】（1）a是圓的半徑。（2）b是圓的周長的一半。（3）3.14×42＝12.56（平方厘米）【點睛】熟練掌握圓面積的推導過程是解答本題的關鍵。【對應練習1】把一個圓平均分成若干份，正好可以拼成寬為4cm的長方形，這個長方形的長是()cm，原來圓的面積是()cm2。【答案】12.5650.24【分析】已知把一個圓剪拼成一個近似的長方形，那么長方形的長等于圓的周長的一半，寬等于圓的半徑；根據圓的周長公式C＝2πr，圓的面積公式S＝πr2，代入數據計算求解。【詳解】2×3.14×4÷2＝12.56（cm）3.14×42＝3.14×16＝50.24（cm2）這個長方形的長是12.56cm，原來圓的面積是50.24cm2。【點睛】本題考查圓的面積公式推導過程的應用，明確把一個圓剪拼成一個近似長方形時，長方形的長、寬與圓的周長、半徑的關系是解題的關鍵。【對應練習2】將一個圓沿半徑剪開，拼成一個近似的長方形（如下圖），圓的面積是()cm2。

【答案】12.56【分析】將一個圓沿半徑剪開，拼成一個近似的長方形，這個長方形的長相當于圓的周長的一半，根據圓的周長公式：C＝2πr，據此求出圓的半徑，再根據圓的面積公式：S＝πr2，據此計算即可。【詳解】6.28÷3.14＝2（cm）3.14×22＝3.14×4＝12.56（cm2）則圓的面積是12.56cm2。【點睛】本題考查圓的周長和面積，熟記公式是解題的關鍵。【對應練習3】如圖，將一個圓形紙片等分成若干份，拼成一個近似的長方形，周長比原來圓周長多8厘米，圓形紙片的半徑是()厘米，這張圓形紙片的面積是()平方厘米。

【答案】450.24【分析】根據圓面積公式的推導過程可知，把一個圓平均分成若干份，沿半徑剪開，再拼成一個近似長方形，這個長方形的長等于圓周長的一半，寬等于圓的半徑，拼成的長方形的周長比圓的周長增加了兩條半徑的長度，據此可以求出圓的半徑，再根據圓的面積公式：；把數據代入公式解答。【詳解】8÷2＝4（厘米）3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方厘米）圓形紙片的半徑是4厘米，這張圓形紙片的面積是50.24平方厘米。【點睛】此題考查的目的是理解掌握圓面積公式的推導過程及應用，圓的周長的意義及應用。【典型例題2】拓展型。把圓剪開，拼成一個近似的長方形，長方形的周長為41.4cm，這個圓的面積是()。【答案】78.5平方厘米/78.5cm2【分析】將圓剪開拼接成一個近似的長方形，，如圖所示，長方形的周長＝圓的周長＋兩個半徑，據此等量關系列方程求出圓的半徑，再代入圓的面積公式即可。【詳解】解：設圓的半徑為r厘米。2×3.14×r＋2r＝41.46.28r＋2r＝41.48.28r＝41.48.28r÷8.28＝41.4÷8.28r＝5圓的面積：3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方厘米）這個圓的面積是78.5平方厘米。【點睛】此題考查圓的面積公式，明確圓拼接成長方形周長會多兩個半徑是解題的關鍵。【對應練習1】把一個圓切割后拼成一個近似的長方形，這個長方形的周長為24.84厘米，原來這個圓的面積是()平方厘米。【答案】28.26【分析】把一個圓剪開后拼成一個近似的長方形，這個長方形的長就等于這個圓的周長的一半，寬相當于圓的半徑，據此先求出圓的半徑，再根據圓的面積公式計算即可【詳解】解：設圓的半徑為r，則長方形的長是πr，寬是r。πr＋r＝24.84÷24.14r＝12.42r＝33.14×32＝28.26（平方厘米）則原來這個圓的面積是28.26平方厘米。【點睛】考查了圓的周長和圓的面積公式的推導，注意圓的周長是拼成近似的長方形的長的2倍。【對應練習2】把一個圓沿著半徑剪開，再拼成一個近似的長方形（如右圖）。已知這個近似長方形的周長是24.84厘米，這個圓的面積是()平方厘米。（π取3.14）【答案】28.26【分析】把一個圓形紙片剪開后，拼成一個寬等于半徑，面積相等的近似長方形。這個近似長方形的周長就比圓的周長多了圓半徑的2倍，可求出圓的半徑，然后根據圓面積公式求出面積即可。【詳解】圓的半徑是：24.84÷（2＋3.14×2）＝24.84÷（2＋6.28）＝24.84÷8.28＝3（厘米）圓的面積是：3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方厘米）【點睛】本題考查了根據圓面積公式求圓面積以及把一個圓形剪開，拼成一個近似長方形，解答此題應注意這個近似長方形的周長，就比圓的周長多了圓半徑的2倍的知識。【對應練習3】如下圖，把一個圓等分后拼成一個近似長方形，這個長方形的周長是33.12厘米，那么這個圓的面積是()平方厘米。【答案】50.24【分析】把圓等分后拼成一個近似長方形，長方形的周長是圓形周長加直徑，由此算出圓的半徑，代入圓的面積公式即可算出。【詳解】設圓的半徑為r厘米2r＋2πr＝33.12解：2r＋2×3.14r＝33.122r＋6.28r＝33.128.28r＝33.12r＝33.12÷8.28r＝4圓的面積：3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方厘米）【點睛】本題關鍵是知道圓的周長與近似長方形周長關系，求出圓的半徑，解答問題。【考點二】圓的面積。【方法點撥】圓的面積S=πr2。【典型例題】用圓規畫圓時，圓規兩腳間的距離是4cm，所畫出圓面積是()cm2。【答案】50.24【分析】圓規兩腳間的距離是4cm，即圓的半徑是4cm，再根據圓的面積公式：S＝，代入數據即可求出所圓的面積。【詳解】3.14×42＝3.14×16＝50.24（cm2）即所畫出圓面積是50.24cm2。【點睛】解答本題的關鍵是知道圓規兩腳間的距離是半徑，然后通過圓的面積公式計算得到答案。【對應練習1】一個圓形游泳池的半徑是5m，它的周長是()m，面積是()m2。【答案】31.478.5【分析】圓的周長，圓的面積，把半徑5m分別代入圓的周長、面積公式計算即可。【詳解】2×3.14×5＝31.4（m）3.14×52＝3.14×25＝78.5（m2）所以它的周長是31.4m，面積是78.5m2。【點睛】在計算圓的面積時，不要把當成計算，應是。【對應練習2】小明用圓規畫一個圓，圓規兩腳張開的距離是3厘米，畫出的圓的周長是()厘米，面積是()平方厘米。【答案】18.8428.26【分析】圓規兩腳張開的距離是圓的半徑，即＝3厘米。圓的周長，圓的面積，把半徑3厘米分別代入圓的周長公式、面積公式計算即可。【詳解】2×3.14×3＝2×3×3.14＝6×3.14＝18.84（厘米）3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方厘米）所以畫出的圓的周長是18.84厘米，面積是28.26平方厘米。【點睛】在計算圓的面積時，不要把當成計算，應是。【對應練習3】圓的半徑是3米，它的直徑是()米，周長是()米，面積是()平方米。（π取3.14）【答案】618.8428.26【分析】根據直徑和半徑的關系：d＝2r，圓周長公式：C＝πd，圓面積公式：S＝πr2，代入數據解答即可。【詳解】3×2＝6（米）3.14×6＝18.84（米）3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方米）圓的半徑是3米，它的直徑是6米，周長是18.84米，面積是28.26平方米。【點睛】本題主要考查了直徑和半徑的關系、圓面積公式、圓周長公式的靈活應用，要熟練掌握相關公式。【考點三】已知周長，求圓的面積。【方法點撥】已知圓的周長，先求出圓的半徑，再根據圓的面積公式求面積。【典型例題】用圓規畫一個周長是15.7厘米的圓，圓規兩腳間叉開的距離應是()厘米，該圓的面積是()平方厘米。【答案】2.519.625【分析】根據圓的周長公式：C＝，代入圓的周長的數據，求出圓的半徑，即圓規兩腳間叉開的距離；再根據圓的面積公式：S＝，代入數據即可求出該圓的面積。【詳解】15.7÷2÷3.14＝7.85÷3.14＝2.5（厘米）3.14×2.52＝3.14×6.25＝19.625（平方厘米）即圓規兩腳間叉開的距離應是2.5厘米，該圓的面積是19.625平方厘米。【點睛】此題的解題關鍵是靈活運用圓的周長和圓的面積公式求解。【對應練習1】畫一個周長62.8厘米的圓，圓規兩腳間的距離是()厘米，畫成的圓的面積是()平方厘米。【答案】10314【分析】圓規兩腳間的距離是指這個圓的半徑，由此利用“圓的周長公式為：”，求出這個圓的半徑，再根據圓的面積公式：，解題即可。【詳解】62.8÷3.14÷2＝20÷2＝10（cm）3.14×102＝3.14×100＝314（cm2）所以，畫一個周長62.8厘米的圓，圓規兩腳間的距離是10厘米，畫成的圓的面積是314平方厘米。【點睛】此題考查了圓的周長和面積公式的靈活應用。【對應練習2】一個圓形鐵板的周長是12.56米，它的半徑是()米，面積是()平方米。【答案】212.56【分析】根據圓的周長公式：C＝，代入數據求出圓的半徑，再根據圓的面積公式：S＝，代入數據即可求出圓的面積。【詳解】12.56÷2÷3.14＝6.28÷3.14＝2（米）3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方米）即圓的半徑是2米，面積是12.56平方米。【點睛】此題主要考查圓的周長和圓的面積公式的靈活運用。【對應練習3】大戲院門店有一根圓柱子，柱子的外圍周長是314cm，它的橫截面面積是()cm2。【答案】7850【分析】根據圓的半徑＝周長÷π÷2，圓的面積＝πr2，列式計算即可。【詳解】314÷3.14÷2＝50（cm）3.14×502＝3.14×2500＝7850（cm2）它的橫截面面積是7850cm2。【點睛】關鍵是掌握并靈活運用圓的周長和面積公式。【考點四】半圓的面積。【方法點撥】半圓的面積：S半圓=πr2÷2。【典型例題】一個半圓半徑為3厘米，它的面積是()平方厘米，周長是()厘米。【答案】14.1315.42【分析】根據半圓的面積、半圓周長的意義，半圓的面積等于該圓面積的一半，半圓的周長等于該圓周長的一半加上一條直徑的長度，根據半圓的面積公式：S＝πr2÷2，半圓的周長公式：C＝πr＋2r，把數據代入公式解答。【詳解】3.14×32÷2＝3.14×9÷2＝28.26÷2＝14.13（平方厘米）3.14×3＋3×2＝9.42＋6＝15.42（厘米）則它的面積是14.13平方厘米，周長是15.42厘米。【點睛】此題主要考查半圓的面積公式、半圓的周長公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。【對應練習1】直徑是4厘米的半圓，它的周長是()，面積是()。【答案】10.28厘米/10.28cm6.28平方厘米/6.28cm2【分析】周長是指封閉圖形一周的長度，據此得出半圓的周長＝圓周長的一半＋直徑，根據圓的周長公式C＝πd求解；半圓的面積＝圓的面積÷2，根據圓的面積公式S＝πr2求解。【詳解】半圓的周長：3.14×4÷2＋4＝6.28＋4＝10.28（厘米）半圓的面積：3.14×（4÷2）2÷2＝3.14×4÷2＝6.28（平方厘米）直徑是4厘米的半圓，它的周長是10.28厘米，面積是6.28平方厘米。【點睛】本題考查圓的周長、圓的面積公式的運用，掌握半圓的周長、半圓的面積的計算方法是解題的關鍵。【對應練習2】把一張周長是18.84dm的圓形紙片對折成半圓，這個半圓的周長是()dm，面積是()dm2。【答案】15.4214.13【分析】由圓的周長可知：，據此用18.84÷3.14÷2求出圓的半徑；再根據半圓的周長求出這個半圓的周長，即3.14×3＋2×3；根據圓的面積求出圓的面積，再用圓的面積÷2求出半圓的面積，即3.14×32÷2。【詳解】18.84÷3.14÷2＝6÷2＝3（dm）3.14×3＋2×3＝9.42＋6＝15.42（dm）3.14×32÷2＝3.14×9÷2＝28.26÷2＝14.13（dm2）所以這個半圓的周長是15.42dm，面積是14.13dm2。【點睛】解決此題時應注意半圓的周長并不等于圓周長的一半。【對應練習3】一個周長為20.56cm的半圓，它半徑是()cm，面積是()cm2。【答案】425.12【分析】半圓周長＝πr＋2r，所以半圓的半徑＝半圓的周長÷（π＋2）；半圓的面積＝πr2÷2，據此列式計算。【詳解】20.56÷（3.14＋2）＝20.56÷5.14＝4（cm）3.14×42÷2＝3.14×16÷2＝25.12（cm2）一個周長為20.56cm的半圓，它半徑是4cm，面積是25.12cm2。【點睛】關鍵是掌握并靈活運用半圓的周長和面積公式。【考點五】半圓的實際應用。【方法點撥】半圓的面積：S半圓=πr2÷2。【典型例題】李奶奶用15.7米長的籬笆靠墻圍成一個半圓形的菜園，這個菜園的面積是()。解析：15.7÷3.14＝5（米）3.14××52÷2＝3.14×25÷2＝39.25（平方米）【對應練習1】李奶奶家的養雞場（如圖），一面靠墻，一面用竹籬笆圍成半圓，它的半徑是6m。（1）修這個養雞場用了多長的竹籬笆？（2）李奶奶要擴建這個養雞場，把它的半徑增加2m。養雞場的面積會增加多少？解析：（1）3.14×6×2÷2＝18.84×2÷2＝18.84（米）答：修這個養雞場用了18.84米的竹籬笆。（2）3.14×（6＋2）2÷2－3.14×62÷2＝3.14×32－3.14×18＝3.14×14＝43.96（平方米）答：養雞場的面積會增加43.96平方米。【對應練習2】東東家有一個一面靠墻，另一面用籬笆圍成的半圓形養雞場，這個半圓的直徑是8米，籬笆長多少米？雞場占地多少平方米？解析：籬笆長12.56米，雞場占地50.24平方米。【對應練習3】王奶奶用78.5米長的籬笆靠墻圍成了一個半圓形的養雞場。這個養雞場的占地面積是多少平方米？解析：r＝78.5÷3.14＝25（米）3.14×252÷2＝981.25（平方米）答：這個養雞場的占地面積是981.25平方米。【考點六】圓與正方形、長方形的等長轉化問題。【方法點撥】用同一根鐵絲圍成正方形、正方形或圓，周長不變，借此求面積。【典型例題1】等長轉化其一。一根鐵絲圍成了一個邊長7.85厘米的正方形（接頭不計），如果把這根鐵絲圍成最大的圓（接頭不計），圓的周長是()厘米，圓的面積是()平方厘米。【答案】31.478.5【分析】用一根鐵絲圍成了一個正方形，那么鐵絲的長度等于正方形的周長；根據正方形的周長＝邊長×4，求出這根鐵絲的長度；又用這根鐵絲圍成最大的圓，那么圓的周長等于這根鐵絲的長度，根據r＝C÷π÷2，求出圓的半徑，再根據圓的面積S＝πr2，即可求出圓的面積。【詳解】正方形的周長（圓的周長）：7.85×4＝31.4（厘米）圓的半徑：31.4÷3.14÷2＝5（厘米）圓的面積：3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方厘米）圓的周長是31.4厘米，面積是78.5平方厘米。【點睛】本題考查正方形的周長、圓的周長、圓的面積公式的靈活運用，明確用一根鐵絲圍成一個圖形，鐵絲長度等于這個圖形的周長。【對應練習1】一根鐵絲可以圍成一個邊長為1.57dm的正方形，如果用這根鐵絲圍成一個圓形，那么這個圓形的面積是()dm2。【答案】0.19625【分析】根據題意，圍成正方形的周長即是圍成圓的周長，可根據圓的周長公式：C＝2πr，進行計算即可得到圍成圓的半徑的長度，然后根據圓的面積公式，列式解答即可得到答案。【詳解】1.57÷3.14÷2＝0.5÷2＝0.25（dm）3.14×0.252＝3.14×0.0625＝0.19625（平方分米）【點睛】此題主要考查的是圓的周長和面積公式的應用。【對應練習2】兩根同樣長的鐵絲分別圍成一個正方形和一個圓，已知正方形的邊長是6.28厘米，圓的半徑是()厘米，面積是()平方厘米。【答案】450.24【分析】用6.28×4求出正方形的周長，也是圓的周長，再根據“r＝c÷π÷2”、“s＝πr2”求出圓的半徑和面積即可。【詳解】6.28×4÷3.14÷2＝25.12÷3.14÷2＝4（厘米）；3.14×42＝50.24（平方厘米）【點睛】明確正方形和圓的周長相等是解答本題的關鍵，熟練掌握的圓的周長和面積公式。【對應練習3】用一根長15.7厘米的鐵絲圍成一個正方形，正方形的面積是()平方厘米；如果用這根鐵絲圍成一個圓，這個圓的面積是()平方厘米。【答案】15.405625，19.625【詳解】試題分析：（1）用一根長15.7厘米的鐵絲圍成一個正方形，這個正方形的周長就是15.7厘米，用它除以4，求出這個正方形的邊長，再根據正方形的面積公式，求出它面積，（2）用一根長15.7厘米的鐵絲圍成一個圓，這個圓的周長就是15.7，用它除以2，再除以π，求出這個圓的半徑，再根據圓的面積公式求出圓的面積．解：（1）15.7÷4=3.925（厘米），3.925×3.925=15.405625（平方厘米）．（2）15.7÷2÷3.14=2.5（厘米），3.14×2.52=3.14×6.25=19.625（平方厘米）．故答案為15.405625，19.625．點評：本題的關鍵是求出這個正方形的邊長和圓的半徑，再根據正方形和圓的面積公式進行解答．【典型例題2】等長轉化其二。一根鐵絲剛好能圍成一個長8厘米，寬4.56厘米的長方形。如果將這根鐵絲圍成一個圓，這個圓的面積有多少平方厘米？【答案】50.24平方厘米【分析】長方形周長＝（長＋寬）×2，據此先求出長方形的周長，即圍成圓的周長。將圓的周長除以2再除以圓周率3.14，求出圓的半徑。圓的面積S＝πr2，將數據代入其中，求出圍成圓的面積。【詳解】（8＋4.56）×2＝12.56×2＝25.12（厘米）25.12÷2÷3.14＝12.56÷3.14＝4（厘米）3.14×42＝50.24（平方厘米）答：這個圓的面積有50.24平方厘米。【點睛】本題考查了圓的周長和面積，熟記圓的周長和面積公式是解題的關鍵。【對應練習1】一段鐵絲剛好能圍成一個長10.5厘米、寬2.06厘米的長方形，用同樣長的鐵絲圍成一個最大的圓，這個圓的面積是多少平方厘米？【答案】50.24平方厘米【分析】通過長方形的周長＝（長＋寬）×2，代入長和寬的數據，求出鐵絲的長度，再根據圓的周長公式：C＝，可得r＝C÷2÷，代入數據，求出圓的半徑之后，根據圓的面積公式：S＝即可求出這個圓的面積。【詳解】（10.5＋2.06）×2＝12.56×2＝25.12（厘米）25.12÷2÷3.14＝4（厘米）3.14×4×4＝50.24（平方厘米）答：這個圓的面積是50.24平方厘米。【點睛】此題的解題關鍵是抓住鐵絲的長度不變，靈活運用長方形和圓的周長公式，最后再利用圓的面積公式求出結果。【對應練習2】一根鐵絲圍成一個長10cm，寬5.7cm的長方形，用這根鐵絲再圍成一個最大的圓形，這個圓形的面積是多少?【答案】78.5cm2【詳解】(10+5.7)×2÷2÷3.14=5(cm)3.14×=78.5(cm2)【考點七】面積的比較問題。【方法點撥】周長相等的圖形（長方形、正方形、圓）中，圓的面積最大。【典型例題】有一根628厘米長的鐵絲，如果用它正好圍成一個長方形（長和寬自己確定），面積是多少？要圍成一個正方形，面積是多少？圍成圓呢？圍成的圖形中，哪種面積最大？【答案】22800平方厘米，24649平方厘米，31400平方厘米，圓的面積最大【詳解】試題分析：周長一定，分別依據長方形、正方形和圓的周長公式求出長方形的長和寬，正方形的邊長，圓的半徑，進而分別求出其面積．解：長方形：628÷2=314（厘米），假設長為200厘米，則寬為114厘米，其面積是200×114=22800（平方厘米），正方形：628÷4=157（厘米），其面積為157×157=24649平方厘米），圓：628÷2π=100（厘米），其面積為3.14×1002=31400（平方厘米），答：長方形的面積是22800平方厘米，正方形的面積是24649平方厘米，圓的面積是31400平方厘米；由以上可知圓的面積最大．點評：此題主要考查長方形、正方形及圓的面積公式，將數據代入公式即可．【對應練習1】用三根同樣長的鐵絲分別圍成一個圓、一個長方形和一個正方形，其中()的面積最大。【答案】圓【分析】根據題意可知，鐵絲的長度是圍成圖形的周長，此題用舉例法解答，先假設正方形、長方形和圓形的周長都是16米，分別求出圓、正方形、長方形的面積，然后比較大小即可。【詳解】假設正方形、長方形和圓形的周長都是16米，則圓的面積為：π×（）2≈20.38（平方米）；正方形的邊長為：16÷4＝4（米），面積為：4×4＝16（平方米）；長方形長、寬越接近，面積越大，就取長為5米、寬為3米，面積為：5×3＝15（平方米），當長方形的長和寬最接近時面積也小于16平方米；所以周長相等的正方形、長方形和圓形，圓面積最大。【點睛】所以周長相等，圓面積＞正方形面積＞長方形面積。【對應練習2】把一根24分米長的鐵絲平均截成3段，一段圍成正方形，一段圍成長方形，另一段圍成一個圓．其中，()面積最大，()面積最小。【答案】圓；長方形【詳解】試題分析：由題意得：三種圖形的周長相等，是24÷3=8（分米），分別計算出面積，再比較大小．解：①正方形面積為：（8÷4）×（8÷4）=4（平方分米）；②長方形長與寬的和是：8÷2=4（分米），面積最大為：1×3=3（平方分米）；③圓的半徑為：8÷2÷3.14≈1.3（分米），圓的面積為：3.14×1.32=5.3066（平方分米）；所以：3＜4＜5.3066，即圓的面積最大，長方形的面積最小．故答案為圓；長方形．點評：此題主要考查正方體、長方形、圓的面積計算，明確它們的周長相等時，圓的面積最大，長方形面積最小．【對應練習3】把一根24分米長的鐵絲平均截成3段，一段圍成正方形，一段圍成長方形，另一段圍成一個圓．其中，()面積最大，()面積最小。【答案】圓；長方形【詳解】試題分析：由題意得：三種圖形的周長相等，是24÷3=8（分米），分別計算出面積，再比較大小．解：①正方形面積為：（8÷4）×（8÷4）=4（平方分米）；②長方形長與寬的和是：8÷2=4（分米），面積最大為：1×3=3（平方分米）；③圓的半徑為：8÷2÷3.14≈1.3（分米），圓的面積為：3.14×1.32=5.3066（平方分米）；所以：3＜4＜5.3066，即圓的面積最大，長方形的面積最小．故答案為圓；長方形．點評：此題主要考查正方體、長方形、圓的面積計算，明確它們的周長相等時，圓的面積最大，長方形面積最小．【考點八】半徑、直徑和周長、面積的倍數關系。【方法點撥】在同一個圓里，半徑擴大或縮小多少倍，直徑和周長也擴大或縮小相同的倍數，面積擴大倍數的平方倍。【典型例題1】倍數關系其一。圓的半徑擴大3倍，它的面積就擴大()，周長就擴大()倍。【答案】9倍3【詳解】略【對應練習1】一個圓的半徑擴大4倍，周長擴大()倍，面積擴大()倍。【答案】416【分析】一個圓的半徑擴大到原來的幾倍，周長也擴大到原來的幾倍；面積擴大倍數是半徑擴大倍數的平方，據此解答即可。【詳解】一個圓的半徑擴大到原來的4倍，周長也擴大到原來的4倍，面積擴大到原來的16倍。【點睛】明確半徑、周長和面積之間擴大倍數之間的關系是解答本題的關鍵。【對應練習2】一個圓的周長擴大5倍，它的直徑擴大到原來的()倍，面積擴大到原來的()倍。【答案】525【解析】略【對應練習3】一個圓的半徑擴大a倍，直徑擴大()倍，周長擴大()倍，面積擴大()倍。【答案】aaa2【分析】假設圓原來的半徑為2，則擴大后圓的半徑為2a，直徑由原來的4變為4a，周長由原來的4π變為4aπ，面積由π×22＝4π變為π×（2a）2＝4πa2，由此解答即可。【詳解】一個圓的半徑擴大a倍，直徑擴大a倍，周長擴大a倍，面積擴大a2倍。【點睛】本題采用了假設法，假設法使題目變得具體化，簡單化。【典型例題2】倍數關系其二。大圓的半徑是小圓的半徑的2倍，則小圓周長是大圓周長的()，大圓面積是小圓面積的()倍。【答案】4【分析】根據半徑的倍數等于周長的倍數，倍數×倍數是面積之間的倍數，據此分析。【詳解】2×2＝4，大圓的半徑是小圓的半徑的2倍，則小圓周長是大圓周長的，大圓面積是小圓面積的4倍。【點睛】圓的周長＝πd＝2πr，圓的面積＝πr2。【對應練習1】有大小兩個圓，大圓直徑是小圓直徑的3倍，那么大圓周長是小圓周長的()倍；小圓面積是大圓面積的()。（填幾分之幾）【答案】3【分析】根據大圓的直徑是小圓直徑的3倍，可知大圓的半徑是小圓半徑的3倍，進而代入周長和面積公式，先分別求出它們的周長和面積，進而得解。【詳解】（1）大圓周長：小圓周長：大圓周長小圓周長（2）大圓面積：小圓面積：小圓面積是大圓面積的：【點睛】考查了圓的周長公式或，圓的面積公式運用。【對應練習2】大圓半徑是小圓半徑的4倍，大圓周長是小圓周長的()倍，小圓面積是大圓面積的()。【答案】4【詳解】小圓的周長C=2πr，大圓半徑是小圓半徑的4倍，大圓的周長=2π×4r，小圓的面積S=πr2，大圓半徑是小圓半徑的4倍，大圓的面積S=π×4r×4r=16πr2，由此可知答案．【對應練習3】大圓半徑是小圓半徑的5倍，大圓周長是小圓周長的()倍，大圓面積是小圓面積的()倍。【答案】525【分析】由題意可知，假設小圓的半徑是1，則大圓的半徑是5，根據圓的周長公式C＝2πr，圓的面積公式S＝πr2，據此解答即可。【詳解】假設小圓的半徑是1，則大圓的半徑是5，（2π×5）÷2π＝10π÷2π＝5π×52÷π×12＝25π÷π＝25則大圓周長是小圓周長的5倍，大圓面積是小圓面積的25倍。【點睛】本題考查圓的周長和面積，熟記公式是解題的關鍵。【考點九】半徑、直徑和周長、面積的比例關系。【方法點撥】1.兩個圓的半徑比等于直徑比等于周長比，而面積比等于以上比的平方。2.圓周長和直徑的比是π:1，比值是π；圓周長和半徑的比是2π:1，比值是2π。【典型例題1】比例關系其一。兩圓的半徑之比，它們的面積之比是()，周長之比是()。【答案】9∶253∶5【分析】圓的周長，圓的面積，根據圓的周長和面積公式可知，兩圓的面積之比等于半徑的平方之比，兩圓的周長之比等于半徑之比，據此解答即可。【詳解】兩圓的半徑之比3:5，它們的面積之比是9∶25，周長之比是3∶5。【點睛】本題考查比、圓的周長和面積，解答本題的關鍵是掌握圓的周長和面積計算公式。【對應練習1】兩個圓的半徑之比是4∶3，它們的直徑之比是()，周長之比是()，面積之比是()，如果較大的圓的周長是12.56cm，則較小的圓的周長是()cm。【答案】4∶34∶316∶99.42【分析】由題意可知，兩個圓的半徑之比是4∶3，則假設兩個圓的半徑分別為4和3，根據直徑＝半徑×2，圓的周長公式：C＝πd，圓的面積公式：S＝πr2，據此求出它們的直徑之比、周長之比和面積之比；根據圓的周長公式求出較大的圓的直徑，進而求出較小的圓的直徑，最后求出較小的圓的周長。【詳解】假設兩個圓的半徑分別為4和3（4×2）∶（3×2）＝8∶6＝（8÷2）∶（6÷2）＝4∶34π∶3π＝4∶342π∶32π＝16π∶9π＝16∶912.56÷3.14＝4（cm）4÷4×3＝1×3＝3（cm）3.14×3＝9.42（cm）則兩個圓的半徑之比是4∶3，它們的直徑之比是4∶3，周長之比是4∶3，面積之比是16∶9，如果較大的圓的周長是12.56cm，則較小的圓的周長是9.42cm。【點睛】本題考查比的意義，結合圓的周長和面積的計算方法是解題的關鍵。【對應練習2】小圓直徑8厘米，大圓半徑6厘米，小圓和大圓直徑之比是()；小圓和大圓周長比是()；小圓和大圓的面積比是()。【答案】2∶32∶34∶9【分析】根據d＝2r，先求出大圓的直徑，然后寫出比，化簡比即可；根據兩個圓的直徑比＝周長比，面積比＝直徑比的平方，據此直接寫出比即可。【詳解】根據分析：直徑比和周長比：8∶（6×2）＝8∶12＝2∶3面積比：（2×2）∶（3×3）＝4∶9所以，小圓直徑8厘米，大圓半徑6厘米，小圓和大圓直徑之比是（2∶3）；小圓和大圓周長比是（2∶3）；小圓和大圓的面積比是（4∶9）。【點睛】此題考查了圓的周長以及面積計算，關鍵熟記：兩個圓的直徑比＝周長比，面積比＝直徑平方的比。【對應練習3】已知小圓半徑是大圓半徑的，則小圓與大圓的周長之比是()，如果小圓面積是，則大圓面積是()。【答案】1∶328.26【分析】已知小圓半徑是大圓半徑的，利用比與分數之間的關系，可得小圓和大圓的半徑之比是1∶3，根據圓的周長＝×2×半徑，因此兩個圓的周長比等于這兩個圓的半徑比，即可求出小圓與大圓的周長之比。再根據圓的面積＝，因此兩個圓的面積比等于這兩個圓的半徑的平方比，可求得小圓和大圓的面積之比是1∶9，把小圓的面積看作1份，大圓的面積看作9份，用小圓的面積除以1，求出1份量是多少，再乘9即可求出大圓的面積。【詳解】根據分析得，小圓和大圓的半徑之比是1∶3，所以小圓與大圓的周長之比是1∶3。小圓與大圓的面積之比是12∶32＝1∶9。3.14÷1×9＝28.26（cm2）即大圓面積是28.26cm2。【點睛】此題主要考查比的應用以及圓的周長、面積公式的熟練運用。【典型例題2】比例關系其二。如圖：大圓半徑為8厘米，小圓半徑為4厘米，則大圓與小圓的直徑之比是()，周長之比是()，面積之比是()。現在讓小圓沿著大圓的外側滾動一周后回到原處，那么小圓的圓心移動的長度是()厘米。【答案】2∶12∶14∶175.36【分析】根據圓的直徑d＝2r，圓的周長C＝2πr，圓的面積S＝πr2，可知兩個圓的直徑之比、周長之比等于它們的半徑之比，兩個圓的面積之比等于它們的半徑的平方比。從圖中可知，小圓的圓心移動的長度是以（8＋4）厘米為半徑的圓的周長，根據圓的周長C＝2πr，代入數據計算即可求解。【詳解】大圓與小圓的直徑之比是8∶4＝（8÷4）∶（4÷4）＝2∶1；大圓與小圓的周長之比是8∶4＝（8÷4）∶（4÷4）＝2∶1；大圓與小圓的面積之比是82∶42＝64∶16＝（64÷16）∶（16÷16）＝4∶1；2×3.14×（8＋4）＝2×3.14×12＝75.36（厘米）小圓的圓心移動的長度是75.36厘米。【點睛】本題考查圓的直徑、周長、面積公式的運用以及比的意義、比的化簡。【對應練習1】下圖是由一個大圓和一個小圓組成的，點O是大圓的圓心。小圓與大圓的半徑之比是()，周長之比是()，面積之比是()。【答案】1∶21∶21∶4【分析】可以假設小圓的半徑為r，大圓的半徑為2r，分別求出大小圓的半徑、大小圓的周長、大小圓的面積，再寫出比并化簡即可。【詳解】根據題意，設小圓的半徑為r，則大圓的半徑為2r，小圓與大圓的半徑之比：r∶2r＝1∶2周長之比：2πr∶2π（2r）＝1∶2面積之比：πr2∶π（2r）2＝πr2∶4πr2＝1∶4已知小圓的直徑等于大圓的半徑，那么小圓與大圓的半徑之比是1∶2，周長之比是1∶2，面積之比是1∶4。【點睛】本題考查圓的周長、面積公式及比的意義與化簡比。【對應練習2】三個同心圓（如圖），已知OA：AB：BC的比是1：2：3，那么這三個圓（從小到大）的周長之比是()，面積之比是()。【答案】1：3：61：9：36【詳解】由分析得：這三個圓的周長的比等于半徑的比，面積的比等于半徑平方的比，所以，這三個圓（從小到大）的周長之比是1：3：6，面積的比是1：9：36．故答案為1：3：6，1：9：36．【對應練習3】（如圖）如果大圓的半徑和小圓的直徑相等，那么大圓面積與小圓面積之比是()。A．2∶1 B．4∶1 C． D．【答案】B【分析】假設出小圓的半徑，大圓的半徑＝小圓的半徑×2，利用“”表示出大圓的面積和小圓的面積，最后根據比的意義求出大圓和小圓的面積比，據此解答。【詳解】假設小圓的半徑為r厘米，則大圓的半徑為2r厘米。小圓的面積：（平方厘米）大圓的面積：＝（平方厘米）大圓的面積∶小圓的面積＝∶＝4∶1所以，大圓面積與小圓面積之比是4∶1。故答案為：B【點睛】掌握圓的面積計算公式和比的意義是解答題目的關鍵。【考點十】半徑、直徑和周長、面積的增減變化問題。【方法點撥】1.周長的變化：算出增加后圓的周長和原來的周長進行相減得到周長增加的部分。當一個圓的半徑增加a厘米時，它的周長就增加2πa厘米；當一個圓的直徑增加a厘米時，它的周長就增加πa厘米。2.面積的變化：算出增加后圓的面積和原來的面積進行相減得到面積增加的部分。【典型例題】一個半徑是3dm的圓，如果半徑增加1dm，那么周長增加()dm，面積增加()dm2。【答案】6.2821.98【分析】由于半徑增加1dm，那么此時的半徑是4dm，根據圓的周長公式：C＝2πr，圓的面積公式：S＝πr2，把數代入公式求出半徑增加前的周長和面積，再求出半徑增加后的周長和面積，之后作差即可。【詳解】當半徑是3dm的時候周長：3.14×3×2＝9.42×2＝18.84（dm）面積：3.14×32＝3.14×9＝28.26（dm2）半徑增加1dm后：3＋1＝4（dm）周長：3.14×4×2＝12.56×2＝25.12（dm）面積：3.14×42＝3.14×16＝50.24（dm2）則周長增加：25.12－18.84＝6.28（dm）面積增加：50.24－28.26＝21.98（dm2）所以一個半徑為3dm的圓，如果半徑增加1dm，那么周長增加6.28dm，面積增加21.98dm2。【點睛】本題主要考查圓的周長和面積公式，應熟練掌握它們的公式并靈活運用。【對應練習1】圓的半徑由4cm增加到5cm，它的周長增加()cm，它的面積增加()cm2。（π取3.14）【答案】6.2828.26【分析】根據圓的周長公式：C＝，和圓的面積公式：S＝，代入前后半徑的數據，分別求出增加前和增加后的圓的周長及圓的面積，再相減即可求出增加的圓的周長和增加的圓的面積。【詳解】2×3.14×5－2×3.14×4＝31.4－25.12＝6.28（cm）3.14×52－3.14×42＝3.14×25－3.14×16＝78.5－50.24＝28.26（cm2）即圓的周長增加6.28cm，它的面積增加28.26cm2。【點睛】此題的解題關鍵是靈活運用圓的周長和圓的面積公式解決實際的問題。【對應練習2】一個圓的半徑是6m，周長是()m，面積是()m2；如果這個圓的半徑增加1m，則周長增加()m，面積增加()m2。【答案】37.68113.046.2840.82【分析】根據“”“”分別求出這個圓的周長和面積，以及半徑增加后圓的周長和面積，最后求出它們的差，據此解答。【詳解】2×3.14×6＝6.28×6＝37.68（m）3.14×62＝3.14×36＝113.04（m2）6＋1＝7（m）2×3.14×7－37.68＝6.28×7－37.68＝43.96－37.68＝6.28（m）3.14×72－113.04＝3.14×49－113.04＝153.86－113.04＝40.82（m2）所以，一個圓的半徑是6m，周長是37.68m，面積是113.04m2；如果這個圓的半徑增加1m，則周長增加6.28m，面積增加40.82m2。【點睛】熟練掌握并靈活運用圓的周長和面積的計算公式是解答題目的關鍵。【對應練習3】用籬笆圍一個半圓形養雞場，一面靠墻，籬笆長15.7米。如果將養雞場半徑增加1米，需要增加圍欄()米，則面積增加()平方米。【答案】3.1417.27【分析】先用15.7×2求出整圓的周長，然后算出養雞場原來的半徑，再算出增加1米后的半徑以及籬笆長度，和之前的籬笆長相減，求出增加的圍欄長度；分別根據增加前后的半徑求出半圓的面積，最后把它們相減求出增加的面積即可。【詳解】原來半徑：15.7×2÷2÷3.14＝15.7÷3.14＝5（米）后來半徑：5＋1＝6（米）后來籬笆長：6×2×3.14÷2＝6×3.14＝18.84（米）增加的圍欄長度：18.84－15.7＝3.14（米）增加的面積：3.14×6×6÷2－3.14×5×5÷2＝3.14×18－3.14×12.5＝56.52－39.25＝17.27（平方米）如果將養雞場半徑增加1米，需要增加圍欄3.14米，則面積增加17.27平方米。【點睛】靈活運用圓的周長和面積公式是解題的關鍵。【考點十一】長方形與最圓問題。【方法點撥】在長方形內畫最大的圓，圓的直徑等于長方形的寬。【典型例題】在一張長6cm，寬4cm的長方體紙上畫一個最大的圓，那么圓規兩腳間的距離是()厘米；所畫圓的面積是()平方厘米。【答案】212.56【分析】根據題意可知，在這張長方形紙上畫一個最大的圓，這個圓的直徑等于長方形的寬，所以圓規兩腳間的距離是（4÷2）厘米，根據圓的面積公式：S＝r2，把數據代入公式解答。【詳解】4÷2＝2（厘米）3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米）圓規兩腳間的距離是2厘米，所畫圓的面積是12.56平方厘米。【點睛】考查圓的特點以及圓的面積計算，重點是能夠熟練掌握圓的面積計算方法。【對應練習1】在一塊長8分米、寬6分米的長方形鐵板上，剪掉一個最大的圓，剩下部分的面積是()平方分米。【答案】19.74【分析】長方形里剪掉一個最大的圓，圓的直徑＝長方形的寬，長方形面積＝長×寬，圓的面積＝πr2，長方形面積－圓的面積＝剩下部分的面積，據此列式計算。【詳解】8×6－3.14×（6÷2）2＝48－3.14×32＝48－3.14×9＝48－28.26＝19.74（平方分米）剩下部分的面積是19.74平方分米。【點睛】關鍵是掌握并靈活運用長方形和圓的面積公式，理解長方形和圓之間的關系。【對應練習2】在長8cm，寬0.6dm的長方形紙上畫一個最大的圓，這個圓的周長是()cm，面積是()cm2。【答案】18.8428.26【分析】在長方形中畫一個最大的圓，則這個圓的直徑相當于長方形的寬，根據圓的周長公式：C＝πd，圓的面積公式：S＝πr2，據此進行計算即可。【詳解】0.6dm＝6cm3.14×6＝18.84（cm）3.14×（6÷2）2＝3.14×9＝28.26（cm2）則這個圓的周長是18.84cm，面積是28.26cm2。【點睛】本題考查圓的周長和面積，明確這個圓的直徑相當于長方形的寬是解題的關鍵。【對應練習3】在一張長8cm、寬6cm的長方形紙板中畫出一個最大的圓，這個圓的半徑是()cm，周長是()cm，面積是()cm2。【答案】318.8428.26【分析】以長方形的寬為直徑的圓是長方形中最大的圓，在同圓或等圓中，半徑是直徑的，直徑是半徑的2倍，利用“”求出圓的周長，利用“”求出圓的面積，據此解答。【詳解】半徑：6÷2＝3（cm）周長：2×3.14×3＝6.28×3＝18.84（cm）面積：3.14×32＝28.26（cm2）所以，這個圓的半徑是3cm，周長是18.84cm，面積是28.26cm2。【點睛】理解最大圓的直徑等于長方形的寬，并掌握圓的周長和面積計算公式是解答題目的關鍵。【考點十二】外方內圓與外圓內方（正方形與最圓問題）。【方法點撥】1.外方內圓：在正方形里面畫最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長，圓的面積與正方形面積比為π:4。2.外圓內方：在圓里面畫最大的正方形，圓的直徑等于正方形的對角線的長，圓的面積與正方形的面積比為π:2。【典型例題1】“外方內圓”。如圖，在一張邊長10cm的正方形紙上剪下一個最大的圓，這個圓的面積是()，剩余部分的面積是()。【答案】78.521.5【分析】由題意可知：這個最大圓的直徑應該等于正方形的邊長，正方形的邊長已知，于是利用圓的面積＝πr2，即可求出圓的面積；再用正方形的面積減去圓的面積，即可求出剩余部分的面積。【詳解】3.14×（10÷2）2＝3.14×25＝78.5（平方厘米）這個圓的面積是78.5平方厘米。10×10－78.5＝100－78.5＝21.5（平方厘米）余下部分的面積是21.5平方厘米。【點睛】此題主要考查學生正方形與圓面積的計算能力，解答此題的關鍵是明白：正方形中最大圓的直徑應該等于正方形的邊長，即可求得圓面積和余下的面積。【對應練習1】在一個面積為40平方厘米的正方形里，剪下一個最大的圓，圓的面積是()平方厘米。【答案】31.4【分析】由題意可知，從正方形中剪下一個最大的圓，則該圓的直徑相當于正方形的邊長，圓的半徑的平方等于正方形的面積的，再根據圓的面積公式：S＝πr2，據此計算即可。【詳解】40×＝10（平方厘米）3.14×10＝31.4（平方厘米）則圓的面積是31.4平方厘米。【點睛】本題考查圓的面積，明確圓的半徑的平方等于正方形的面積的是解題的關鍵。【對應練習2】在一張周長20分米的正方形上剪下一個最大的圓，則剩余部分的面積是()平方分米。【答案】5.375【分析】周長20分米的正方形的邊長是5分米，則這個最大的圓的直徑就是5分米，據此利用圓的面積公式求出這個最大的圓的面積，再用正方形的面積減去圓的面積即可。【詳解】20÷4＝5（分米）5×5－3.14×（5÷2）2＝25－3.14×6.25＝25－19.625＝5.375（平方分米）剩余部分的面積是5.375平方分米。【點睛】解答此題的關鍵是：弄清楚陰影部分的面積可以由哪些圖形的面積的和或差求得，再利用面積公式計算即可解答問題。【對應練習3】數學課上，小明用邊長8cm的正方形紙，小華用邊長10cm的正方形紙，各剪了一個最大的圓，小明和小華所剪的圓的周長之比是()，面積之比是()。【答案】4∶516∶25【分析】正方形的邊長為圓的直徑，根據圓的周長公式：可知，圓的周長之比等于半徑之比；根據圓的面積公式：可知，圓的面積之比等于半徑的平方之比。【詳解】小明剪的圓的半徑為：8÷2＝4（cm），小華剪的圓的半徑為：10÷2＝5（cm）；所以小明和小華所剪的圓的周長之比為：4∶5；小明和小華所剪的圓的面積之比為：＝16∶25【點睛】此題考查的是圓的面積公式和圓的周長公式。【典型例題2】“外圓內方”。在一個圓內畫一個最大的正方形，這個正方形的面積是72平方厘米，那么這個圓的面積是()平方厘米，周長是()厘米。【答案】113.0437.68【分析】在一個圓內畫一個最大的正方形，如圖，正方形的對角線＝圓的直徑，設圓的半徑是r厘米，根據2r×r×2÷2＝正方形面積，確定r，再根據圓的面積＝πr2，圓的周長＝2πr，求出圓的面積和周長。【詳解】解：設圓的半徑是r厘米。2r×r×2÷2＝722r×r＝722r×r÷2＝72÷2r×r＝36r＝63.14×62＝3.14×36＝113.04（平方厘米）2×3.14×6＝37.68（厘米）這個圓的面積是113.04平方厘米，周長是37.68厘米。【點睛】關鍵是掌握并靈活運用圓的周長和面積公式。【對應練習1】把一個圓形紙片折成一個最大的正方形，這個正方形的對角線長8cm，那么這個圓形紙片的面積是()平方厘米，折起來的部分的面積是()平方厘米。【答案】50.2418.24【分析】把一個圓形紙片折成一個最大的正方形，這個正方形的對角線＝圓的直徑，根據圓的面積＝πr2，求出圓形紙片的面積；圓的面積－正方形面積＝折起來的面積，正方形的面積＝兩個三角形面積和，據此列式計算。【詳解】3.14×（8÷2）2＝3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方厘米）50.24－8×（8÷2）÷2×2＝50.24－8×4÷2×2＝50.24－32＝18.24（平方厘米）這個圓形紙片的面積是50.24平方厘米，折起來的部分的面積是18.24平方厘米。【點睛】關鍵是掌握并靈活運用圓的面積公式，靈活計算正方形面積。【對應練習2】在一個周長是18.84厘米的圓內畫一個最大的正方形，這個正方形的面積是()平方厘米，這個正方形的面積與這個圓的面積最簡單整數比是()∶()。【答案】18100157【分析】圓內畫一個最大的正方形，正方形對角線＝圓的直徑，根據圓的直徑＝周長÷π，求出圓的直徑，即正方形對角線，將正方形平均分成2個等腰直角三角形，根據三角形面積＝底×高÷2，求出正方形面積；圓的面積＝πr2，根據比的意義，寫出正方形與圓的面積比，化簡即可。【詳解】18.84÷3.14＝6（厘米）6×（6÷2）÷2×2＝6×3÷2×2＝18（平方厘米）3.14×（6÷2）2＝3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方厘米）18∶28.26＝1800∶2826＝300∶471＝100∶157在一個周長是18.84厘米的圓內畫一個最大的正方形，這個正方形的面積是18平方厘米，這個正方形的面積與這個圓的面積最簡單整數比是100∶157。【點睛】關鍵是掌握并靈活運用圓的周長和面積公式以及正方形面積公式，理解比的意義，掌握化簡比的方法。【對應練習3】如圖，在周長是18.84厘米的圓內畫一個最大的正方形，陰影部分的面積是()平方厘米。【答案】10.26【分析】以圓的直徑為對角線的正方形是圓內面積最大的正方形，連接正方形的兩條對角線，正方形被分成4個形狀相同的等腰直角三角形，先根據圓的周長求出圓的半徑，再利用“”表示出圓的面積，并根據“”表示出正方形的面積，陰影部分的面積＝圓的面積－正方形的面積，據此解答。【詳解】18.84÷3.14÷2＝6÷2＝3（厘米）3.14×32－×3×3×4＝3.14×9－×4＝28.26－18＝10.26（平方厘米）所以，陰影部分的面積是10.26平方厘米。【點睛】把正方形的面積轉化為三角形的面積，并掌握圓的周長和面積計算公式是解答題目的關鍵。【典型例題3】綜合型。如圖中，在邊長是2cm的正方形內畫一個最大的圓，再在圓里畫一個最大的正方形，那么陰影部分的面積是()cm2。【答案】1.14【分析】根據題意，在邊長是2cm的正方形內畫一個最大的圓，那么這個圓的直徑等于正方形的邊長，根據圓的面積公式S＝πr2，求出這個圓的面積；在圓里畫一個最大的正方形，如下圖，用正方形的一條對角線把這個正方形平均分成2個三角形，三角形的底等于圓的直徑，三角形的高等于圓的半徑，根據三角形的面積S＝ah÷2，求出一個三角形的面積，再乘2，即是這個最大正方形的面積；最后用圓的面積減去最大正方形的面積，即是陰影部分的面積。【詳解】圓的半徑：2÷2＝1（cm）圓的面積：3.14×1×1＝3.14（cm2）圓內最大正方形的面積：2×1÷2×2＝2（cm2）陰影部分的面積：3.14－2＝1.14（cm2）陰影部分的面積是1.14cm2。【點睛】本題考查圓的面積、三角形面積公式的運用，關鍵是把圓內最大正方形的面積轉化成兩個完全一樣的三角形的面積求解。【對應練習1】大圓內有一個最大的正方形，正方形內有一個最大的圓，大圓面積和小圓面積的比是()。A．4∶1 B．200∶157 C．2∶1 D．200∶43【答案】C【分析】觀察圖形可知，設小圓的半徑是1，正方形的邊長為2，利用圓的面積公式即可表示出小圓的面積為π；假設大圓的半徑為r，根據大圓和正方形的關系，正方形的面積等于2r2，據此求出r2，進而得出大圓的面積，然后寫出大圓面積和小圓面積的比，再化簡即可。【詳解】設小圓的半徑為1，則：小圓的面積是：π×1×1＝π正方形的面積是：（1＋1）2＝22＝4設大圓的半徑是r，則：2r2＝42r2÷2＝4÷2r2＝2大圓的面積是：π×r2＝2π所以大圓面積和小圓面積的比是：2π∶π＝（2π÷2）∶（π÷2）＝2∶1故答案為：C【點睛】本題主要考查了組合圖形面積的計算，根據圓中取面積最大正方形的畫法，推導出大圓半徑和正方形邊長的關系，是本題解題的關鍵。【對應練習2】如圖，大圓內畫一個最大的正方形，正方形內畫一個最大的圓…，如此畫下去，共畫了4個圓．那么，最大的圓的面積是最小的圓的()倍。A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】首先設最小圓的半徑（最小正方形的邊心距）為x，然后利用構造的等腰直角三角形表示出最大的正方形的半徑，然后根據面積的比等于半徑比的平方即可得到答案。【詳解】如圖：設同心圓的圓心為O，連接OA，作OC垂直于最大正方形的邊于點C，設最小圓的半徑（最小正方形的邊心距）為x，∵∠AOC=45°，所以∴最大圓與最小圓的面積比為：（2x）2：x2=8：1，即最大圓的面積是最小圓的面積的8倍。故選C。【點睛】本題考查了正多邊形的有關計算，解題的關鍵是正確的作出輔助線構造直角三角形并找到兩圓的半徑比。【考點十三】圓面積與指針問題。【方法點撥】時針和分針可看作圓的半徑，求周長或面積時，應先分析出時針或分針走的圈數。【典型例題】一個鐘表的分針長10厘米，時針長8厘米。從1時到2時，分針針尖走過了多少厘米？這時時針掃過的面積是多少平方厘米？（結果保留兩位小數）【答案】62.8厘米；16.75平方厘米【分析】從1時到2時，分針走了1圈，時針走了1大格，一共有12格；根據圓周長公式：C＝2πr，用3.14×2×10即可求出分針針尖走過了多少厘米；根據題意可知，時針掃過的面積是圓面積的；根據圓面積公式：S＝πr2，用3.14×82×即可求出時針掃過的面積。【詳解】3.14×2×10＝62.8（厘米）3.14×82×＝3.14×64×≈16.75（平方厘米）答：分針針尖走過了62.8厘米；時針掃過的面積是16.75平方厘米。【點睛】本題主要考查了圓周長公式和圓面積公式的靈活應用，要熟練掌握相關公式。【對應練習1】一個掛鐘的分針長12厘米，經過15分鐘，分針尖端走過的路程是多少厘米？分針掃過內面積是多少平方厘米？【答案】18.84厘米；113.04平方厘米【分析】根據生活經驗可知，分針1小時（60分鐘）轉一圈，經過15分鐘，分針轉了四分之一圈，根據圓的周長公式：C＝2πr，圓的面積公式：S＝πr2，把數據代入公式解答。【詳解】2×3.14×12÷4＝6.28×12÷4＝75.36÷4＝18.84（厘米）3.14×122÷4＝3.14×144÷4＝452.16÷4＝113.04（平方厘米）答：分針尖端走過的路程是18.84厘米，分針掃過內面積是113.04平方厘米。【點睛】此題主要考查圓的周長公式、面積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。【對應練習2】某鐘表的分針長10厘米，從1時到4時，分針針尖走過了多少厘米？分針掃過的面積是多少平方厘米？【答案】188.4厘米；942平方厘米【分析】根據題意可知，從1時到4時，分針正好轉動了三圈，分針走一圈，它的尖端走過的路程是一個圓，分針的長度就是這個圓的半徑，根據圓的周長公式走一圈所走的路程，再乘3即可求出分針走過的路程；分針轉過一圈的面積，就是這個圓的面積，利用圓的面積公式求出掃一圈的面積，再乘3即可解答。【詳解】2×3.14×10×3＝6.28×10×3＝188.4（厘米）3.14×102×3＝3.14×100×3＝942（平方厘米）答：分針針尖走過了188.4厘米，分針掃過的面積是942平方厘米。【點睛】此題主要考查的是圓的周長、面積公式的應用。【對應練習3】一個鐘表的時針長8厘米，分針長10厘米，從中午12時到下午6時，時針掃過的面積是多少？一晝夜分針尖端走過的路程是多少？【答案】100.48平方厘米；1507.2厘米【分析】時針和分針的長度相當于圓的半徑，從中午12時到下午6時，時針掃過鐘面的一半，根據半圓面積＝πr2÷2，求出時針掃過的面積；一晝夜分針轉24圈，根據圓的周長C＝2πr，求出轉一圈的路程，乘24即可。【詳解】3.14×82÷2＝3.14×64÷2＝100.48（平方厘米）2×3.14×10×24＝62.8×24＝1507.2（厘米）答：從中午12時到下午6時，時針掃過的面積是100.48平方厘米，一晝夜分針尖端走過的路程是1507.2厘米。【點睛】關鍵是掌握并靈活運用圓的周長和面積公式。【考點十四】圓環的面積問題其一：整圓環。【方法點撥】圓環的面積：S=πR2πr2。【典型例題】在一個半徑為3米的圓形花園外鋪一條寬1米的小路，小路的面積是多少？【答案】21.98平方米【分析】由題意可知，小路的面積等于半徑為（3＋1）米的圓的面積減去半徑為3米的圓的面積，然后根據圓的面積公式：S＝πr2，據此計算即可。【詳解】3＋1＝4（米）3.14×42－3.14