2023年新高考全國Ⅰ卷模擬測試卷07一、單選題1．設集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由交集的定義求解即可.【解析】因為集合，，則.故選：B.2．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據復數的運算和共軛復數的定義即可.【解析】，..故選：B.3．設拋物線的焦點為，若點在拋物線上，且，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】由拋物線的定義求出p的值.【解析】拋物線的焦點為，準線方程為，點在拋物線上，且，由拋物線的定義可知，則.故選：C4．紅河州個舊市是一個風景優美的宜居城市，如圖是個舊寶華公園的摩天輪，半徑為20米，圓心O距地面的高度為25米，摩天輪運行時按逆時針勻速旋轉，轉一周需要10分鐘.摩天輪上的點P的起始位置在最低點處.若游客在距離地面至少35米的高度能夠將個舊市區美景盡收眼底，則摩天輪轉動一周內具有最佳視覺效果的時間長度（單位：分鐘）為（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】先設出高度h與時間t的函數解析式為，利用三角函數的性質及特殊點求出解析式，通過解三角函數不等式得到答案..【解析】設點P距離地面高度h與時間t的函數解析式為，由題意，得，，，所以，又因為，所以，所以，令，即，故，即在摩天輪轉動的一圈內，有分鐘會有這種最佳視覺效果.故選：C.5．美味可口的哈根達斯蛋筒冰激凌可近似看作半徑相等的一個半球和一個圓錐組成，如實物圖，已知冰激凌的表面積為，底部圓錐的母線為3，則冰激凌的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據球的表面積以及圓錐的側面積求得，再根據球、圓錐的體積運算求解.【解析】設球的半徑為，則冰激凌的表面積為，解得，可得圓錐的高，所以冰激凌的體積.故選：A.6．在中，，，，點D在直線BC上，滿足，則（

）．A． B． C． D．3【答案】B【分析】由題意和可得，即C為BD的中點，進而，結合平面數量積的定義和運算律計算即可求解.【解析】由題意知，，則，得C為BD的中點，所以，得，有，所以.故選：B.7．在遞增等比數列中，其前項和為，且是和的等差中項，則（

）A．28 B．20 C．18 D．12【答案】A【分析】由等比數列的通項公式求出，再由等比數列的前項和公式代入化簡即可得出答案.【解析】根據題意得，，解得或（舍），則.故選：A.8．已知函數有三個零點，其中，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據解析式得，由，得，設，則，從而可得，求解導函數，分類討論與兩種情況下函數的單調性，從而可得答案.【解析】定義域為，顯然，若是零點，則，，所以也是零點，函數有三個零點，不妨設，則，所以，，當時，結合定義域和判別式易知恒成立，即函數在上單調遞增，不符合題意；當時，設的兩根分別為，易知，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，，，當，，所以由零點存在定理易知有三個零點，滿足題意.綜上，的取值范圍是故選：B【點睛】求解本題的關鍵是根據函數解析式得若是零點，也是零點，從而得，所以求的取值范圍即求的取值范圍，然后求解導函數，利用導數分類討論函數的單調性即可.二、多選題9．設，為不同的直線，，為不同的平面，則下列結論中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則【答案】BD【分析】根據線線、線面、面面的位置關系，逐一分析各選項即可得答案.【解析】解：對A：若，，則或與相交或與異面，故選項A錯誤；對B：若，，則，故選項B正確；對C：若，，則或與相交，故選項C正確；對D：若，，，則，故選項D正確.故選：BD.10．已知函數的圖象是由函數的圖象向右平移個單位得到，則（

）A．的最小正周期為πB．在區間上單調遞增C．的圖象關于直線對稱D．的圖象關于點對稱【答案】AD【分析】用二倍角公式化簡，向右平移后得，分別代入正弦函數的單調區間，對稱軸，對稱中心分別對四個選項判斷即可.【解析】因為，向右平移個單位得，則最小正周期為，故A選項正確；令，解得，所以單調遞增區間為，故B選項錯誤；令解得，故C選項錯誤；令解得所以函數的對稱中心為，故D選項正確.故選：AD11．某單位為了解該單位黨員開展學習黨史知識活動情況，隨機抽取了30名黨員，對他們一周的黨史學習時間進行了統計，統計數據如下.則下列對該單位黨員一周學習黨史時間的敘述，正確的有（

）黨史學習時間（小時）7891011黨員人數48765A．眾數是8 B．第40百分位數為8C．平均數是9 D．上四分位數是10【答案】ACD【分析】通過分析30名黨員黨史學習時間表，即可得出眾數，平均數，第40位百分數和上四分位數.【解析】由題意，隨機抽取30名黨員，由圖可知，黨史學習時間為8小時的人最多，為8人，故眾數是8，A正確；∵第40百分數為：，故B錯誤；∵平均數：，故C正確.∵上四分位數是第23項數據，為10，故D正確；故選：ACD.12．已知點集，且P，，，點是坐標原點，下列說法正確的是（

）A．點集表示的圖形關于軸對稱B．存在點和點，使得C．若直線PQ經過點，則|的最小值為2D．若直線PQ經過點，且的面積為，則直線PQ的方程為【答案】ACD【分析】根據點得可判斷A，將化簡為，可知點集表示雙曲線的右支，結合雙曲線與的關系可判斷B,C，利用韋達定理和弦長公式、點到直線的距離公式可判斷D.【解析】選項：任取點，則，因此，則，因此點集表示的圖形關于軸對稱，故A正確；B選項：可化簡為，因此點集表示焦點在軸上的雙曲線的右支，且該曲線由雙曲線的右支向左平移一個單位長度得到，則該曲線的漸近線方程為，兩條漸近線是互相垂直的，因為點集表示的曲線的漸近線可以由雙曲線的漸近線向左平移一個單位長度得到，因為在兩條漸近線的交點處，所以，因此不存在點和點，使得，故B錯誤；C選項：因為點是曲線的右焦點，因為在雙曲線的一支上的所有焦點弦中，通徑最短所以，故C正確；D選項：設直線的方程為，與方程聯立，化簡得，設，，則，，因此，又點到直線的距離是，所以的面積為，考慮到，因此得，從而直線的方程為，故D正確，故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于將化簡為，從而該曲線表示由雙曲線的右支向左平移一個單位長度得到，從而利用雙曲線性質即可求解相關問題.三、填空題13．已知實數a，b滿足，則的最小值是__________.【答案】【分析】先判斷出，且.令，利用判別式法求出的最小值.【解析】因為實數a，b滿足，所以，且.令，則，所以，代入，則有，所以關于b的一元二次方程有正根，只需，解得：.此時，關于b的一元二次方程的兩根，所以兩根同號，只需，解得.綜上所述：.即的最小值是（此時，解得：）.故答案為：.14．已知等比數列{an}，an＞0，n∈N*，且2a1+3a2＝33，，則a2020＝_____【答案】32020【分析】利用等比數列的通項公式即可得出．【解析】解：由題意設數列的公比為，由題意有，解得，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查等比數列的通項公式的基本量的計算，屬于基礎題．15．已知雙曲線的左?右焦點分別為，M為C左支上一點，N為線段上一點，且，P為線段的中點.若(O為坐標原點)，則C的漸近線方程為___________.【答案】【分析】由，可得，再結合雙曲線的定義可得，從而可求出，進而可求出漸近線方程【解析】因為，所以，所以，又，所以，所以，則.故的漸近線方程為.故答案為：16．在空間直角坐標系O－xyz中，三元二次方程所對應的曲面統稱為二次曲面．比如方程表示球面，就是一種常見的二次曲面．二次曲而在工業、農業、建筑等眾多領域應用廣泛．已知點P(x，y，z)是二次曲面上的任意一點，且，，，則當取得最小值時，的最大值為______．【答案】【分析】由題設有，利用基本不等式求得并求對應x、y的數量關系，進而得到，令構造，應用導數求最大值即可.【解析】由題設，，故，當且僅當時等號成立，所以，此時，令，則，故，所以，當時，當時，即在上遞增，在上遞減.故，且時等號成立，綜上，的最大值為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：應用基本不等式求的最小值及對應x、y的關系，再把目標式轉化為關于x的函數式，構造函數結合導數求最值.四、解答題17．已知數列（）滿足，，且.(1)求數列是通項公式；(2)求數列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）將換為代入中化簡，根據定義即可判斷為等比數列，由首項公比寫出通項公式即可；（2）由（1）中的通項公式求得，再利用乘公比錯位相減得出前n項和即可.【解析】（1）解：因為，所以，又，所以，所以，又，所以數列是以1為首項，3為公比的等比數列，所以；（2）由（1）知，，所以，所以，，兩式相減可得：，所以，故.18．在中,角的對邊分別為,,,已知.(1)求;(2)若,點在邊上且,,求.【答案】(1)(2)5【分析】(1)在中,將正弦定理代入中,移項化簡可得解出即可;(2)先用余弦定理得三角形邊之間關系,再根據等面積法,可得之間關系,兩式聯立即可得出邊長.【解析】（1）解:由題知,,在中,由正弦定理得:,因為,所以,故,即,因為,所以;（2）在中,由余弦定理得:,因為,所以,將,,帶入可得:,所以,解得:(舍)或.19．如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線段PB的中點，F為線段BC上的動點．(1)證明：平面平面PBC；(2)若直線AF與平面PAB所成的角的余弦值為，求點P到平面AEF的距離．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】(1)利用面面垂直的判定定理或利用平面的法向量數量積等于零證明；(2)利用坐標運算求點到平面的距離，或者用等體積法的思想求解.【解析】（1）方法一：因為底面ABCD，平面ABCD，所以．因為ABCD為正方形，所以，又因為，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB．因為平面PAB，所以．因為，E為線段PB的中點，所以，又因為，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又因為平面AEF，所以平面平面PBC．方法二：因為底面ABCD，平面PAB，所以平面底面ABCD又平面底面，，平面ABCD，所以平面PAB．因為平面PAB，所以．因為，E為線段PB的中點，所以．因為，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，又因為平面AEF，所以平面平面PBC解法三：因為底面ABCD，，以A為坐標原點，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則，設，則，所以，，，，設為平面AEF的法向量，則所以取，則，，則，設為平面PBC的法向量，則所以取，則，，則因為，所以,所以平面平面PBC.（2）（基于（1）解法一、二）因為底面ABCD，，以A為坐標原點，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則，易知是平面PAB的法向量設，則，所以，，所以即，得，所以，設為平面AEF的法向量，則所以平面AEF的法向量，又因為所以點P到平面AEF的距離為，所以點P到平面AEF的距離為．（另解）由（1）可知，是直線AF與平面PAB所成的角，所以解得，故F是BC的中點．所以，，的面積為因為，的面積為設點P到平面AEF的距離為h，則有解得所以點P到平面AEF的距離為．（基于（1）解法三）易知是平面PAB的法向量所以，即，解得所以，又因為所以點P到平面AEF的距離為，所以點P到平面AEF的距離為．20．2023年1月14日，翹首以盼的汕頭鎮邦美食街開街啦！近年來，汕頭多措并舉，提升汕頭美食品牌，推動潮汕菜產業做大做強，鎮邦美食街的建成開街，是汕頭美食產業的又一里程碑，同時“舌尖汕頭”——汕頭美食地圖同步上線，以微信小程序的形式面向游客，并通過意見反饋功能收集游客滿意度調查問卷．(1)現將游客按年齡段分為老中青三個群體，通過問卷數據分析顯示，老年群體中有的游客給予好評，中年群體有的游客給予好評，青年群體中有的游客給予好評，且老中青三個群體游客人數之比為，從這三個群體中隨機抽取1名游客，求該游客給予好評的概率．(2)鎮邦美食街共有多家餐飲單位進駐，為維護市場價格秩序，營造公平競爭良好環境，汕頭市監管部門到鎮邦美食街舉辦餐飲明碼標價現場指導會，現針對明碼標價指導會前、會后游客滿意度進行問卷回訪調查，統計了名游客的數據，列出如下列聯表：對鎮邦美食街餐飲價格是否滿意明碼標價指導會前明碼標價指導會后合計滿意285785不滿意12315合計4060100請根據小概率值的獨立性檢驗判斷游客對汕頭鎮邦美食街餐飲價格滿意度與監管部門舉辦明碼標價現場指導會是否有關聯．▲參考公式：，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)(2)有關聯【分析】（1）設游客總人數為，分別求出老、中、青年人的人數，即可得到給予好評的人數，最后根據古典概型的概率公式計算可得；（2）根據列聯表數據求出卡方，即可判斷.【解析】（1）解：設游客總人數為，則老年人有（人），中年人有（人），青年人有（人），所以給予好評的人數為，所以從這三個群體中隨機抽取1名游客，該游客給予好評的概率.（2）解：零假設為：游客對汕頭鎮邦美食街餐飲價格滿意度與監管部門舉辦明碼標價現場指導會之間無關聯，根據列聯表中的數據，經計算得到，根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為游客對汕頭鎮邦美食街餐飲價格滿意度與監管部門舉辦明碼標價現場指導會之間有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于.21．已知，分別為雙曲線：的左、右焦點，Р為漸近線上一點，且，.(1)求雙曲線的離心率；(2)若雙曲線E實軸長為2，過點且斜率為的直線交雙曲線C的右支不同的A，B兩點，為軸上一點且滿足，試探究是否為定值，若是，則求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)2(2)是，2【分析】（1）判斷出為直角三角形，利用邊長關系得到，利用齊次式法求出離心率；（2）利用“設而不求法”表示出，，利用雙曲線的定義得到，進而證明出為定值.【解析】（1）由，可設，在中，因為，所以，即，所以，即為直角三角形.所以在中，，，，所以，則雙曲線的離心率為.（2）由（1）可知在雙曲線中有且實軸長為2，所以，所以雙曲線方程為.由，故設斜率為k的直線為，聯立，可得，因為直線與雙曲線右支交于不同兩點，所以，解得：.設，，則，，則，，即，的中點坐標為，因為Q為x軸上一點，滿足，故Q為AB的垂直平分線與x軸的交點，AB的垂直平分線的方程為：，令，則得，即