周期問題

一、知識要點

周期問題是指事物在運動變化的發(fā)展過程中，某些特征循環(huán)往復出現(xiàn)，其連續(xù)兩次出現(xiàn)所經過的

時間叫做周期。在數學上，不僅有專門研究周期現(xiàn)象的分支，而11平時解題時也常常碰到與周期現(xiàn)象

有關的問題。這些數學問題只要我們發(fā)展某種周期現(xiàn)象，并充分加以利用，把要求的問題和某一周期

的等式相對應，就能找到解題關鍵。

二、精講精練

【例題1】流水線上生產小木球涂色的次序是：先5個紅，再4個黃，再3個綠，再2個黑，

再1個白，然后又依次5紅、4黃、3綠、2黑、1白……如此涂下去，到2001個小球該涂什么顏色？

【思路導航】根據題意可知，小木球涂色的次序是5紅、4黃、3綠、2黑、1白，即5+4+3+

2+1=15個球為一個周期，不斷循環(huán)。因為2001+15=133……6,也就是經過133個周期還余6個，

每個周期中第6個是黃的，所以第2001個球涂黃色。

練習1：

1.跑道上的彩旗按“三面紅、兩面綠、一面黃”的規(guī)律插下去，第50面該插什么顏色？

2.有一串珠子，按4個紅的，3個白的，2個黑的順序重復排列，第160個是什么顏色？

……，小數點后面第100個數字是多少？

【例題2】有47盞燈，按二盞紅燈、四盞藍燈、三盞黃燈的順序排列著。最后一盞燈是什么顏

色的？三種顏色的燈各占總數的幾分之幾？

【思路導航】（I）我們把二盞紅燈、四盞藍燈、三盞黃燈這9盞燈看作一組，47-?9=5［組）……

2（盞），余下的兩盞是第6組的前兩盞燈，是紅燈，所以最后一盞燈是紅燈；

（2）由于47+9=5（組）……2（盞），所以紅燈共有2X5+2=12（盞），占總數的12/47；藍

燈共有4X5=20（盞），占總數的20/47；黃燈共有3X5=15（盞），占總數的15/47。

練習2：

1.有68面彩旗，按二面紅的、一面綠的、三而黃的排列著，這些彩旗中，紅旗占黃旗的幾分之

幾？

2.黑珠和白珠共200。顆，按規(guī)律排列著：oeoooeoooeoo……，第2000顆珠子是什

么顏色的？其中，黑珠共有多少顆？

3.在100米長的跑道兩側每隔2米站著一個同學。這些同學以一端開始，按先兩個女生，再一個

男生的規(guī)律站立著。這些同學中共有多少個女生？

【例題3】2(X)1年10月I日是星期一，那么，2002年I月1日是星期幾？

【思路導航】一個星期是7天，因此7天為一個周期。10月1日是星期一，是第一個周期的第

一天，再過7天即10月8日也是星期一。計算天數時為了方便，我們采用“算尾不算頭”的方法，

例如10月8日就用)+7=1.沒有余數說明8號仍是星期一。題中說從2001年10月1日到2002

年1月1日，要經過92天，924-7=13……1.余1天就是從星期一往后數一天，即星期二。

練習3：

1.2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期兒？

2.如果今天是星期五，再過80天是星期幾？

3.以今天為標準，算一算今年自己的生日是星期幾？

【例題4】將奇數如下圖排列，各列分別用A、B、C、D,

E為代表，問:2001所在的列以哪個字母為代表?ABCDE

【思路導航】這列數按每8個數一組有規(guī)律排列著。20011357

1513119

是這一列數中的第1(X)1個數，1001+8=125……UP2001是這

17192123

列數中第126組的第一個數，所以它所在的那一列是以字母B

31292725

為代表的。

練習4：

1.將偶數2、4、6、8、……按下圖依次排列，2014出現(xiàn)在

哪一列？

2.把自然數按下列規(guī)律排列，865排在哪一列？

ABCDEABCD

【例」商是整數時，；

8642123

【思110121416654

從豎;24222018欠除得的余數E789叁出現(xiàn)。我們

可以用1026283032同了。100+6=121110

?????????????????????

余數；.4、6、5、2、

練習-.

1.444……4[100個4]+3當商是整數時，余數是幾?

2.444……4[100個4]+6當商是整數時，余數是幾?

課后作業(yè)

思考題

所以，一定是每人少拿I個，有8+1=8個小朋友，有8X4+4=36個蘋果。

練習2：1.給小朋友分梨，如果每人分4個，則多9個：如果每人分5個，則少6個。有多少個

小朋友？有多少個梨？

2.老把一些鉛筆獎給三好學生。每人5支則多4支，每人7支則少4支。老師有多少支鉛筆？獎

給多少個三好學生？

【例題3】幼兒園老師將一筐蘋果分給小朋友。如果分給大班的學生每人5個余10個；如果分

給小班的學生每人8個缺2個。已知大班比小班多3人，這筐蘋果有多少個？

【思路導航】如果大班減少3人，則大班和小班的人數同樣多。這樣，大班每人5個就多余3X

5+10=25個。由于兩班人數相等，小班每人多分3個就要多分（25+2）個蘋果，用（25+2）+（8

-5）就能得到小班同學的人數是9人，再用9X8—2就求出了這筐蘋果有多少個。

練習3：

1.一些學生搬一批磚，每人搬4塊，其中5人要搬兩次；如果每人搬5塊，就有兩人沒有破可搬。

這些學生有多少人？這批磚有多少塊？

2.老師給幼兒園小朋友分糖，每人3塊還多10塊：如果減少2個小朋友再分，每人4塊還多7

塊。原來有多少個小朋友？有多少塊糖？

【例題4】幼兒園教所把一箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊：如果只分給

中班的小朋友，平均每人可以多分得4塊。如果只分給小班的小朋友，平均每人分得多少塊？

【思路導航】這箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊，如果只分給中班的小朋友,

平均每人可多分4塊。說明中班的人數是小班人數的6+4=1.5倍。因此，這箱餅干分給小班的小朋

友，每位小朋友可多分到6X1.5=9塊，一共可分到6+9=15塊餅干。

練習4：1.老師把一批書借給甲組同學，平均每人借4本。如果只借給甲組的女同學，每人可借

6本。如果只借給甲組的男生，平均每人借到幾本？

2.甲、乙兩組同學做紅花，每人做8朵，正好送給五年級每個同學一朵。如果把這些紅花讓甲組

同學單獨做，每人要多做4朵。如果把這些紅花讓乙組同學單獨做，每人要做幾朵？

【例題5】全班同學去劃船，如果減少一條船，每條船正好坐9個同學；如果增加?條船，每

條船正好坐6個同學。這個班有多少個同學？

【思路導航】根據題意可知：每船坐9人，就能減少一條船，也就是少9個同學；每船坐6人，

就要增加一條船，也就是多出6個同學。因此，每船坐9人比每船坐6人可多坐9+6=15人，15里

面包含5個(9-6),說明有5條船。知道了有5條船，就可以求全班人數：9X(5-1)=36人。

練習5：1.老師把一籃蘋果分給小班的同學，如果減少一個同學，每個同學正好分得5個；如果

增加一個同學，正好每人分得4個。這籃革果一共有多少個？

2.五年級同學去劃船，如果增加一只船，正好每只船上坐7人；如果減少一只船，正好每只船上

價8人。五年級共有多少人？

課后作業(yè)

思考題

第13講長方體和正方體（一）

一、知識要點

在數學競賽中，有許多有關長方體、正方體的問題。解答稍復雜的立體圖形問題要注意幾點：

1.必須以基本概念和方法為基礎，同時把構成幾何圖形的諸多條件溝通起來；

2.依賴已經積累的空間觀念，觀察經過割、補后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化；

3.求?些不規(guī)則的物體體枳時，可以通過變形的方法來解決。

二、精講精練

【例題1】一個零件形狀大小如下圖：算一算，它的體積是多少立方厘米？表面積是多少平方

厘米？（單位：厘米）

【思路導航】（1）可以把零件沿虛線分成兩部分來求它的體積，左邊的一

/一

長方體體積是10X4X2=80（立方厘米），右邊的長方體的體積是I0X（6-2）

X2=80（立方厘米），整個零件的體積是80X2=160（立方厘米）；（2）求這產一/

個零件的表面積，看起來比較復雜，其實，朝上的兩個面的面積和正好與朝下4

的一個面的面積相等；朝右的兩個面的面積和正好與朝左的一個面的面積相6

等。因此，此零件的表面積就是（10X6+10X4+2X2）X2=232（平方厘米）。想一想：你還能用

別的方法來計算它的體積嗎？

練習1：1.一個長5厘米，寬I座米，高3厘米的長方依，被切去一塊后（如圖），剩下部分的

表面積和體積各是多少？

2.把一根長2米的長方體木料鋸成1米長的兩段，表面積增加了2平方分米，求這根木料原來的

體積。

3.有一個長8厘米，寬1厘米，高3厘米的長方體木塊，在它的左右兩角各切掉一個正方體（如

圖），求切掉正方體后的表面枳和體枳各是多少？

【例題2】有一個長方體形狀的零件，中間挖去一個正方體的孔（如圖），你能算出它的體積

和表面積嗎？（單位：厘米）

【思路導航】（1）先求出長方體的體積，8X5X6=240（立方厘米），由于

挖去了一個孔，所以體積減少了2X2X2=8（立方厘米），這個零件的體積是240

-8=232（立方厘米）；

8

（2）長方體完整的表面枳是（8X5+8X6+6X5）X2=236（平方厘米），

但由于挖去了一個孔，它的表面積減少了一個（2X2）平方厘米的而，同時又增加了凹進去的5個（2

X2）平方厘米的面,因此，這個零件的表面積是236+2X2X4=252（平方厘米）。

練習2：1.有一個形狀如下圖的零件，求它的體積和表面積。（單位：厘米）。

2.有一個校長是4厘米的正方體，從它的一個頂點處挖去一個楂長是1厘米的正方體后，剩下物

體的體枳和表面枳各是多少？

3.如果把，題中挖下的小正方體粘在另一個面，（如圖），那么得到的物體的體積和表面積各是

多少？

【例題3】一個正方體和一個長方體拼成了一個新的長方體，拼成的長方體的表面積比原來的

長方體的表面積增加了5（）平方厘米。原正方體的表面積是多少平方厘米？

【思路導航】?個正方體卻?個長方體拼成新的長方體，其表面積比

原來的長方體增加了4塊正方形的面枳，每塊正方形的面積是50+4=12.5

（平方厘米）。正方體有6個這樣的面，所以，原來正方體的表面積是12.5

X6=75（平方厘米）。

練習3：1.把兩個完全一樣的長方體木塊粘成一個大長方體，這個大長方體的表面積比原來兩個

長方體的表面積的和減少了46平方厘米，而長是原來長方體的2倍。如果拼成的長方體的長是24厘

米，那么它的體積是多少立方厘米？

2.?根長80厘米，寬和高都是12厘米的長方體鋼材，從鋼材的?端鋸下一個最大的正方體后,

它的表面枳減少了多少平方厘米？

3.把4塊棱長都是2分米的正方體粘成一個長方體，它們的表面枳最多會減少多少平方分米?

【例題4】把11塊相同的長方體磚拼成一個大長方體。已知每塊磚的體枳是288立方厘米，求

大長方體的表面積。

【思路導航】要求大長方體的表面積，必須知道它的長、寬和高。我們用a、

b、h分別表示小長方體的長、寬、高，顯然，a=4h,即h=l/4a.2a=3b即b=2/3a,

磚的體積是a*2/3a*l/4a=l/6a3。由l/6a3=288可知,a=12.b=2/3*12=8,h=l/4*12=3o

大長方體的長是12X2=24厘米，寬12厘米，高是8+3=11厘米，表面枳就不難求了。

練習4：1.一塊小正方體的表面積是6平方厘米，那么，由1000個這樣的小正方體所組成R勺大正

方體的表面積是多少平方匣米？

2.一個長方體的體積是385立方厘米，且長、寬、高都是質數，求這個長方體的表面積。

3.有24個正方體，每個正方體的體積都是1立方厘米，用這些正方體可以拼成幾種不司的長方

體？用圖畫出來。

【例題5】一個長方體，前面和上面的面積之和是209平方厘米，這個長方體的長、寬、高以

厘為為單位的數都是質數。這個長方體的體積和表面枳各是多少？

【思路導航】長方體的前面和上面的面積是長X寬+長X高=長X(寬+高)，由于此長方體的

長、寬、高用厘米為單位的數都是質數，所以有209=1IX19=1IX(17+2),即長、寬、高分別為

11、17、2厘米。知道了長、寬、高求體積和表面積就容易了。

練習5：1.有一個長方體，它的前面和上面的面積和是88平方厘米，旦長、寬、高都是質數，那

么這個長方體的體積是多少？

2.一個長方體的長、寬,高是三個連續(xù)偶數，體積是96立方厘米，求它的表面積。

3.一個長方體和一個正方體的棱長之長相等，己知長方體長、寬、高分別是6分米、4分米、25

分米，求正方體體積。

課后作業(yè)

思考題

第14講長方體和正方體（二）

一、知識要點

在長方體、正方體問題中，我們還會常常遇到這樣一些情況：把一個物體變形為另一種形狀的物

體：把兩個物體熔化后鑄成一個物體：把一個物體浸入水中，物體在水中會占領一部分的體積。

解答上述問題，必須掌握這樣幾點：

1.將?個物體變形為另一種形狀的物體（不計損耗），體枳不變；

2.兩個物體熔化成一個物體后，新物體的體積是原來物體體積的和；

3.物體浸入水中，排開的水的體枳等于物體的體積。

二、精講精練

【例題1】有兩個無蓋的長方體水箱，甲水箱里有水，乙水箱空著。從里面量，甲水箱長40厘

米，寬32厘米，水面高20厘米：乙水箱長30厘米，寬24厘米，深25厘米。將甲水箱中部分水倒

入乙水箱，使兩箱水面高度一樣，現(xiàn)在水面高多少厘米？

【思路導航】由于后來兩個水箱里的水面的高度?樣，我們可以這樣思考：把兩個水箱并露在?

起，水的體積就是（甲水箱的底面積+乙水箱的底面）X水面的高度。這樣，我們只要先求出原來甲

水箱中的體積：40X32X20=25600（立方厘米），再除以兩只水箱的底面枳和：40X32+30X24=2000

（平方厘米），就能得到后來水面的高度。

練習1：

1.有兩個水池，甲水池長8分米、寬6分米、水深3分米，乙水池空著，它長6分米、寬和高都

是4分米。現(xiàn)在要從甲水池中抽一部分水到乙水池，使兩個水池中水面同樣高。問水面高多少？

2.有一個長方體水箱，從面量長40厘米、寬30厘米、深35厘米，箱中水面高10座米。放進一

個棱長20厘米的正方體鐵塊后，鐵塊頂面仍高于水面。這時水面高多少厘米？

3.一段鋼材長15分米，橫截面面枳是1.2平方分米。如果把它煨燒成一橫截面面積是0.1平方分

米的鋼筋，求這根據鋼筋的長,

【例題2］將表面積分別為54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三個鐵質正方體熔成一

個大正方體（不計損耗），求這個大正方體的體積。

【思路導航】因為正方體的六個面都相等，而54=6X9=6X（3X3）,所以這個正方體的棱是3

厘米。用同樣的方法求出另兩個正方體的楂長：96=6X（4X4）,楂長是4厘米：150=6X（5X5）,

樓長是5厘米。知道了楂長就可以分別算出它們的體枳，這個大正方體的體積就等于它們的體積和。

練習2：

1.有三個正方體鐵塊，它們的表面積分別是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。現(xiàn)將三

塊鐵熔成一個大正方體，求這個大正方體的體積。

2.將表面積分別為216平方厘米和384平方厘米的兩個正方體鐵塊熔成一個長方體，已知這個長

方體的長是13厘米，寬7厘米，求它的高。

【例題3】有一個長方體容器，從里面鼠長5分米、寬4分米、高6分米，里面注有水，水深3

分米。如果把一塊邊長2分米的正方體鐵塊浸入水中，水而上升多少分米？

【思路導航】鐵塊的體積是2X2X2=8（立方分米），把它浸入水中后，它就占了8立方分米的

空間，因此，水上升的體積也就是8立方分米，用這個體積除以底面積（5X4）就能得到水上升的高

度了。

練習3:

1.有一個小金魚缸，長4分米、寬3分米、水深2分米,把一塊假山石浸入水中后，水面上升0.8

分米。這塊假山石的體積是多少立方分米？

2.有一個正方體容器，邊長是24厘米，里面注滿了水。有一根長50厘米，橫截面是12平方厘

米的長方形的鐵棒，現(xiàn)將鐵棒垂直插入水中。問：會溶出多少立方厘米的水？

【例題4】有一個長方體容器（如下圖），長30厘米、寬20厘米、高10厘米，里面的水深6

厘米。如果把這個容器蓋緊，再朝左豎起來，里面的水深應該是多少厘米？

【思路導航】首先求出水的體積：30X20X6=3600（立方厘米）。當容

器豎起來以后，水流動了，但體積沒有變，這時水的形狀是一個底面枳是20

X10=200平方匣米的長方伏。只要用體積除以底面積就知道現(xiàn)在水的深度了。

練習4：

1.有兩個長方體水缸，甲缸長3分米，寬和高都是2分米：乙缸長4分米、寬2分米，里面的水

深1.5分米。現(xiàn)把乙缸中的水倒進甲缸，水在甲缸里深幾分米？

2.有一塊邊長2分米的正方體鐵塊，現(xiàn)把它煨造成一根長方體，這長方體的截面是一個長4厘米、

寬2厘米的長方形，求它的長。

【例題5】長方體不同的三個面的面積分別為10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。這個長

方體的體積是多少立方匣米？

【思路導航】長方體不同的三個面的面積分別是長X寬、長X高、寬X高得來的。因此，15X10

X6=（長X寬X高）X（長X寬X高），而15X10X6=900=30X30。所以，這個長方體的體積是30

立方厘米。

練習5：

1.-■個長方體，不同的三個面的面積分別是25平方厘米、18平方厘米和8平方厘米，這個長方

體的體枳是多少立方厘米？

2.一個長方體，不同的三個面的面積分別是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米，且長、寬、

高都是質數，這個長方體的體積是多少立方厘米？

課后作業(yè)

思考題

第15講長方體和正方體（三）

一、知識要點

解答有關長方體和正方體的拼、切問題，除了要切實掌握長方體、正方體的特征，熟悉計算方法,

仔細分析每一步操作后表面幾何體積的等比情況外，還必須知道：把一個長方體或正方體沿水平方向

或垂直方向切割成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。

二、精講精練

【例題1】一個棱長為6厘米的正方體木塊，如果把它鋸成棱長為2厘米的正方

體若干塊，表面積增加多少厘米？

【思路導航】把棱長為6厘米的正方體鋸成棱長為2厘米的正方體，可以按下圖

中的線共鋸6次，每鋸一次就增加兩個6X6=36平方厘米的面，鋸6次共增加36義2

X6=432平方厘米的面積。因此，鋸好后表面積增加432平方厘米。

練習1：

I.把27塊楂長是1厘米的小正方體堆成?個大正方體，這個大正方體的表面積比原來所有的小

正方體的表面積之和少多少平方厘米？

2.有一個棱長是1米的正方體木塊，如果把它鋸成體枳相等的8個小正方體，表面積增加多少平

方米？

3.把一個正方體的六個面都涂上紅色，然后把它鋸兩次鋸成4個同樣的小長方體，沒有涂顏色的

面積是60平方厘米。求涂上紅色的面積一共是多少平方厘米？

【例題2】有一個正方體木塊，把它分成兩個長方體后，表面積增加了24平方厘米，這個正方

體木塊原來的表面積是多少平方厘米？

【思路導航】把正方體分成兩個長方體后，增加了兩個面，每個面的面積是24+2=12平方厘米,

而正方體有6個這樣的面。所以原正方體的表面枳是12X6=72平方匣米。

練習2：

1.把三個棱長都是2厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積是多少平方厘米？

2.有一個正方體木塊，長4分米、寬3分米、高6分米，現(xiàn)在把它鋸成兩個長方體，表面積最多

增加多少平方分米？

3.有三塊完全一樣的長方體積木，它們的長是8厘米、寬4厘米、高2厘米，現(xiàn)把三塊積木拱成

一個大的反方體，怎樣搭表面枳最大？最大是多少平方厘米?

【例題3】有一個正方體，棱長是3分米。如果按下圖把它切成棱長是1分米的

小正方體，這些小正方體的表面積的和是多少？

想一想：在切的過程中，每切一切，就會增加兩個3X3平方分米的面，你能用這

種思路來計算所求問題嗎？

練習3：

1.用棱長是1厘米的小正方體擺成一個稍大一些的正方體，至少需要多少個小正方體？如果要擺

一個棱長是6厘米的正方體，需要多少個小正方體？

2.有一個長方體，長10厘米、寬6厘米、高4厘米，如果把它鋸成棱長是I厘米的小正方體，

一共能鋸多少個？這些小正方體的表面積和是多少？

3.把24個棱長是1厘米的小正方體擺成一個長方體，這個長方體的表面積至少是多少平方厘米?

【例題4】?個正方體的表面涂滿了紅色，然后如下圖切開，切開的小正方體中:

（1）三個面涂有紅色的有幾個？

（2）二個面涂有紅色的有幾個？

（3）一個面涂有紅色的有幾個？

（4）六個面都沒有涂色的有幾個？

【思路導航】按題中的要求切，切成的小正方體一共有3X3X3=27個。

（1）三個面涂有紅色的小正方體在大正方體的頂點處，共有8個；

（2）二個面涂有紅色的小正方體在大正方體的楂上，共有IX12=12個；

（3）一個面涂有紅色的小正方體在大正方體的六個面上，共有1X6=6個;

（4）六個面都沒有涂色的在大正方體的中間，有27—（8+12+6）=1個。

練習4：

1.把一個棱長是5厘米的正方體的六個面涂滿紅色，然后切成1立方厘米的小正方體，這些小正

力體中，一面涂紅色的、二面涂紅色的、三面涂紅色的以及六個面都沒有涂色的各有多少個？

2.把若干個體積相同的小正方體堆成一個大的正方體，然后在大正方體的表面涂上顏色，已知兩

面被涂上紅色的小正方體共有24個，那么，這些小正方體一共有多少個？

3.把1立方米的正方體木塊的表面涂上顏色，然后切成1立方分米的小正方體，在這些小王方體

中，六個面都沒有涂色的有多少個？

【例題5】一個長方體的長、寬、高分別是6厘米、5厘米和4厘米，若把它切割成三個體積相

等的小長方體，這三個小長方體表面積的和最大是多少平方厘米？

【思路導航】這個長方體原來的表面積是(6X5+6X4+5X4)X2=148平方厘米，每切割一刀,

增加2個面。切成三個體積相等的小長方體要切2刀，一共增加2X2=4個面。要求表面積和最大，

應該增加4個6X5=30平方厘米的面。所以，三個小長方體表面積和最大是148+6X5X4=268平方

匣米。

練習5：

1.有三塊完全一樣的長方體木塊，每塊長8厘米、寬5厘米、高3厘米。要把它們粘成一個大的

長方體，這個長方體的表面積最大是多少平方厘米？最小是多少平方厘米？

2.把8個同樣大小的小正方體拼成一個大正方體，已知每個小正方體的表面積是72平方厘米，

拼成的大正方體的表面積是多少平方厘米？

3.把一個長、寬、高分別為7厘米、6厘米、5厘米的長方體，截成兩個長方體，使這兩個長方

體的表面積的和最大，求它們的表面積和是多少平方厘米？

課后作業(yè)

思考題

第16講組合圖形面積（一）

一、知識要點

組合圖形是由兩個或兩個以上的簡單的幾何圖形組合而成的。組合的形式分為兩種：一是拼合組

合，二是重疊組合。由尸組合圖形具有條件相等的特點，往往使得問題的解決無從下手要正確解答

組合圖形的面積，應該注意以下幾點：

1.切實掌握有關簡單圖形的概念、公式，牢固建立空間觀念；

2.仔細觀察，認真思考，看清所求圖形是由哪幾個基本圖形組合而成的；

3.適當采用增加輔助線等方法幫助解題；

4,采用割、補、分解、代換等方法，可將復雜問題變得簡單。

二、精講精練

【例題1】一個等腰直角三角形，最長的邊是12厘米，這個三角形的面積是多少平方厘米？

【思路導航】由于此三角形中只知道最長的邊是12厘米，所以，不能用三角形的*.、.......

*I\、

面積公式來計算它的面積。我們可以假設有4個這樣的三角形，且拼成了下圖正方形。:

顯然，這個正方形的面積是12X12.那么，一個三角形的面積就是12X12+4=36平方厘

米。12

練習1:I.求四邊形ABCD的面積。（單位：厘米）

2.已知正方形ABCD的邊長是7厘米，求正方形EFGH的面積。

3.有一個梯形,它的上底是5厘米，下底7厘米。如果只把上底增加3厘米,那么面積就增加4.5

平方厘米。求原來梯形的面積,

【例題2】正圖正方形中套著一個長方形，正方形的邊長是12厘米，長方形的四個角的頂點把

正方形的四條邊各分成兩段，其中長的一段是短的2倍。求中間長方形的面枳。

【思路導航】圖中的兩個小三角形平移后可拼得一個小正方形，兩個大三角形平移后可拼得一個

大正方形。這兩個正方形的邊長分別是12+（1+2）=4（厘米）和4X2=8（厘米）。中間長I-

方形的面積只要用總面積減去這兩個拼起來的正方形的面積就可以得到。即：12X12-（4X4/

+8X8）=64（平方厘米）1_\

練習2：

1.（如下圖）己知大正方形的邊長是12厘米，求中間最小正方形的面積。

2.正圖長方形ABCD的面積是16平方厘米，E、F都是所在邊的中點，求三角形AEF的面枳。

3.求下圖（上右圖）長方形ABCD的面積（單位：厘米）。

【例題3】四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，己知三角形AFH的面積是7平方厘米。

三角形CDH的面積是多少平方厘米？

【思路導航】設大正方形的邊長是a,小正方形的邊長是b。

（1）梯形EFAD的面枳是（a+b）Xb+2.三角形EFC的面枳也是（a+b）Xb+2。所以，兩者

的面積相等。

（2）因為三角形AFH的面積二梯形EFAD的面積一梯形EFHD的面積，而三角

形CDH的面積=三角形EFC的面積一梯形EFHD的面積，所以，三角形CDH的面

積與三角形AFH的面積相等，也是7平方厘米。

練習3：

1.圖中兩個正方形的邊長分別是6厘米和4厘米，求陰影部分的面積。

2.下圖中兩個完全一樣的三角形重疊在一起，求陰影部分的面枳。（單位：厘米）

3.下圖中，甲三角形的面積比乙三角形的面積大多少平方厘米？

【例題4】下圖中正方形的邊長為8厘米，CE為20厘米，梯形BCDF的面積是多少

平方厘米？

【思路導航】要求梯形的面積，關鍵是要求出上底FD的長度。連接FC后就能得到一

個三角形EFC,用三角形EBC的面積減去三角形FBC的面積就能得到三角形EFC的面積:

8X20+2—8X8+2=48平方厘米。FD=48X2+20=4.8厘米，所求梯形的面積就是（4.8+8）

義8+2=51.2平方厘米。

練習4：

1.如下圖，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求陰影部分的面積。

2.在一個直角三角形鐵皮上剪下一塊正方形，并使正方形面積盡可能大，正方形的面積是多少？

（單位：厘米）

3.圖中BC=10厘米，EC=8厘米，且陰影部分面積比三角形EFG的面積大10平方厘米。求平行

四邊形的面積。

【例題5】圖中ABCD是長方形，三角形EFD的面枳比三角形ABF的面積大6平方厘米，求

ED的長。

【思路導航】因為三角形EFD的面積比三角形ABF的面積大6平方厘米，所以,

三角形BCE的面積比長方形ABCD的面積大6平方厘米。三角形BCE的面積是6X4+6=30平方厘

米，EC的長則是30X2+6=10厘米。因此，ED的長是10—4=6厘米。

練習5：

1.如圖，平行四邊形BCEF中，BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，陰影部分面積比三角

形ADH的面積大8平方厘米。求AH長多少厘米？

2.圖中三個正方形的邊長分別是1厘米、2厘米和3厘米，求圖中陰影部分的面積。

3.正方形的邊長是2(a+b),已知圖中陰影部分B的面積是7平方厘米，求陰影部分A和C的和

是多少平方厘米？

第17講組合圖形的面積（二）

一、知識要點

在組合圖形中，三角形的面積出現(xiàn)的機會很多，解題時我們還可以記住下面三點：

1.兩個三角形等底、等高，其面積相等：

2.兩個三角形底相等，高成倍數關系，面積也成倍數關系；

3.兩個三角形高相等，底成倍數關系，面積也成倍數關系。

二、精講精練

【例題1］如圖，ABCD是直角梯形，求陰影部分的畫積和。（單位：厘米）

【思路導航】按照一般解法，首先要求出梯形的面積，然后減去空白部分A4

的面積即得所求面積。其實，只要連接AC,顯然三角形AEC與三角形DEC同3\\

底等高其面積相等，這樣，我們把兩個陰影部分合成了一個三角形ABC。面積占7

BE

是：6X3+2=9平方厘米。

練習1：

1.求卜圖中陰影部分的面積。

2.求圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）

3.下圖的長方形是一塊草坪，中間有兩條寬1米的走道，求植草的面積。

【思路導航1二知形ADC的皿枳是1（

形BCD高的15+10=1.5倍，它們都以BC為邊為底，所以，三角形ABC的面積是

三角形BCD的1.5倍。陰影部分的面積是：7.5+（1+1.5）XI.5=45<,

練習2：

1.下圖中，三角形ABC的面積是36平方厘米，三角形ABE與三角形AEC的面積相筆，如果

AB=9厘米,FB=FE,求三角形AFE的面積。

2.圖中兩個正方形的邊長分別是1（）厘米和6