20##現代控制理論考試試卷

-、(10分,每小題:分)試判斷以下結論的正確性，若結論是正確的，

(J)1.由一個狀態空間模型可以確定惟一一個傳遞函數.

(2.若系統的傳遞函數不存在零極點對消,則其任意的一個實現

均為最小實現.

(X)3.對一個給定的狀態空間模型，若它是狀態能控的，則也一定

是輸出能控的.

(V)4.對線性定常系統x二Ax,其Lyapunov意義下的漸近穩定性和

矩陣A的特征值都具有負實部是一致的.

(5.一個不穩定的系統，若其狀態徹底能控，則一定可以通過狀態

反饋使其穩定.

(X)6.對一個系統，只能選取一組狀態變量；

(V)7.系統的狀態能控性和能觀性是系統的結構特性,與系統的輸

入和輸出無關；

(X)8.若傳遞函數G(s)=C(sl—A)-B存在零極相消，則對應的狀態

空間模型描述的系統是不能控且不能觀的；

(X)9.若一個系統的某個平衡點是李雅普諾夫意義下穩定的，則該

系統在任意平衡狀態處都是穩定的；

(X)10.狀態反饋不改變系統的能控性和能觀性.

二、已知下圖電路，以電源電壓為輸入量,求以電感中的電流和

電容中的電壓作為狀態變量的狀態方程，和以電阻R2上的電壓為輸

出量的輸出方程.(10分)

解：（1）由電路原理得：

二.（10分）圖為R-L-C電路，設u為控制量，電感L上的支路電流和

電容C上的電壓x為狀態變量,電容C上的電壓x為輸出量,試求：網

22

絡的狀態方程和輸出方程,并繪制狀態變量圖.

解：此電路沒有純電容回路，也沒有純電感電路，因有兩個儲能元件,

故有獨立變量.

以電感L上的電流和電容兩端的電壓為狀態變量，即令：

i=xu=x

L1>c2,由基爾霍夫電壓定律可得電壓方程為:

從上述兩式可解出x；,￡,即可得到狀態空間表達式如下:

00

RRRxR

31

R+RR+RX+R+R

?2」

三、（每小題10分共40分）基礎題

（1）試求y-3y-2y=u+u的一個對角規X型的最小實現1。分）

Y(s)=S3+1=(s+l)(S2-s+l)=S2-s+1=1+1.....................4分

U(s)S3-3s-2(s+1)(S2-s-2)S2-s-2s-2s+1

不妨令

于是有

又丫⑸1(y?+X兀+*%⑸廝以Y(s)=U(s)+X(s)+X(s),即有

y=u+x+x.................2分

12

最終的對角規x型實現為

則系統的一個最小實現為：

x=F|20：x+H"|u,y=1111x+u.......2分

L0-1J1L-1J1

2/18

⑵已知系統X=n01]|X+叫U,y=]小，寫出其對偶系統,判斷該

「23J1L2J1

系統的能控性與其對偶系統的能觀性.(10分)

解答:

2分

y/或

2分

(3)設系統為

試求系統輸入為單位階躍信號時的狀態響應(10分〕

解

C（t）二審叫

L0e-2tj分

分

分

分

」11「「

(4)已知系統X=00X+〔U試將其化為能控標準型.（10分）

「01]

p=[ol]u,i=[o1]=[i--i]一….i分

1C|--I--22**

P=PA=

2Ioo=aj」…分

3/18

rj->Lr1i]

P=R,=........2

IL4^HIL-IIJI分

能控標準型為x=n°]x+1"%......4分

LOnL1J1

四、設系統為

試對系統進行能控性與能觀測性分解,并求系統的傳遞函數.(10分)

解：

能控性分解：

能觀測性分解：

傳遞函數為g(s)=±^=21.….…(2分)

$+3$+3

五、試用李雅普諾夫第二法,判斷系統攵二「|°"|X的穩定性.(10

L-1-1J1

分)

方法一：

解：VX2

原點x=0是系統的惟一平衡狀態.選取標準二次型函數為李雅

e

普諾夫函數，即

???

當\=072=0時，v(x)=0.當\豐0七二0時,v(x)=o,因此v(x)為

負半定.根據判斷，可知該系統在李雅普諾夫意義下是穩定的.

另選一個李雅普諾夫函數,例如；

為正定，而

為負定的，且當||*)w,有V(x))w.即該系統在原點處是大X圍漸進

穩定.

方法二：

4/18

解:或者設p=乙%

LP”P」

可知p是正定的.因此系統在原點處是大X圍漸近穩定的

六、(20分)線性定常系統的傳函為丫⑸=s+4

U(s)(s+2)(s+1)

(1)實現狀態反饋,將系統閉環的希翼極點配置為(-4,-3),求反饋陣

K.(5分)

(2)試設計極點為全維狀態觀測器(5分).

(3)繪制帶觀測器的狀態反饋閉環系統的狀態變量圖(4分)

(4)分析閉環先后系統的能控性和能觀性(4分)

注明：由于實現是不惟一的，本題的答案不惟一！其中一種答案為:

解：⑴丫⑸=s+4=s+4

U(s)(s+2)(s+1)S2+3s+2

1]0]

系統的能控標準型實現為：x=n0ix+n|uJy=[4dx……i分

L-2-3jL1J1

系統徹底可控，則可以任意配置極點……1分

令狀態反饋增益陣為K=[kk]……1分

12

則有ABK-N01L，則狀態反饋閉環特征多項式為

%-2-k-3jl

又期望的閉環極點給出的特征多項式為：(s+4)(S+3)=S2+7S+12

由入2+(k+3)A+(k+2)=S2+7S+12可得至UK=141o]....3分

12

⑵觀測器的設計:

5/18

由傳遞函數可知,原系統不存在零極點相消，系統狀態徹底能觀，可以

任意配置觀測器的極點.……1分

令E=[eeb.......1分

12

由觀測器土二(A-EC)A+Bu+Ey可得其期望的特征多項式為:

3(s)=f(s)亭E=4愛丁……4分

(3)繪制閉環系統的摹擬結構圖

第一種繪制方法：

X

21+

*0—H3iiXQ~~

(注：觀測器輸出端的加號和減號應去掉!不好意思，剛發現!!)

第二種繪制方法：

(4)閉環前系統狀態徹底能控且能觀，閉環后系統能控但不能觀(因

為狀態反饋不改變系統的能控性，但閉環后存在零極點對消，所以系

統狀體不徹底可觀測)……4分

A卷

6/18

一、判斷題，判斷下例各題的正誤，正確的打火錯誤的打X（每小題1分，共10分）

1、狀態方程表達了輸入引起狀態變化的運動，輸出方程則表達了狀態引起輸出變化的變換

過程（山

2、對于給定的系統,狀態變量個數和選擇都不是惟一的（x）

3、連續系統離散化都沒有精確離散化，但近似離散化方法比普通離散化方法的精度高

4、系統的狀態轉移矩陣就是矩陣指數（x）

5、若系統的傳遞函數存在零極點相消，則系統狀態不徹底能控（x）

6、狀態的能空性是系統的一種結構特性,依賴于系統的結構，與系統的參數和控制變量作用

的位置有關（山

7、狀態能控性與輸出能控性之間存在必然的聯系（x）

8、一個傳遞函數化為狀態方程后,系統的能控能觀性與所選擇狀態變量有關

9、系統的內部穩定性是指系統在受到小的外界擾動后，系統狀態方程解的收斂性，與輸入無

關7）

10、若不能找到合適的李雅普諾夫函數，那末表明該系統是不穩定的（x）

二、已知系統的傳遞函數為

試分別用以下方法寫出系統的實現：

（1）串聯分解

（2）并聯分解

（3）直接分解

（4）能觀測性規X型（20分）

解：

_______2

對于S3+10S2+31S+30有

（1）串聯分解

串聯分解有多種，如果不將2分解為兩個有理數的乘積，如2=Lx8,繪制該系統串聯分解的結

4

構圖然后每一個慣性環節>的輸出設為狀態變量，則可得到系統四種典型的實現為：

i

則對應的狀態空間表達式為：

需要說明的是，當交換環節相乘的順序時，對應地交換對應行之間對角線的元素！！！

7/18

如3nd幣的實現為:

則布9育.許I\.尋可I的則為

挨次類推！！

(2)并聯分解

實現有無數種，若實現為

-----------2---------芻-%

例如：川加+31s+3。$+(s+3)+高5)，則其實現可以為:

(3)直接分解

(4)能觀測規X型

三、給定一個二維連續時間線性定常自治系統x=Ax,t>0.現知，對應于兩個不同初態的狀

態響應分別為

試據此定出系統矩陣A.(10分)

解：x(t)=eAtx(O)

可得

四、已知系統的傳遞函數為

(1)試確定a的取值，使系統成為不能控，或者為不能觀測；

(2)在上述a的取值下，寫出使系統為能控的狀態空間表達式，判斷系統的能觀測性;

(3)若a=3,寫出系統的一個最小實現.[15分)

解：(1)因為

因此當a=1或者a=2或者a=3時,浮現零極點對消現象，系統就成為不能控或者不能觀測

的系統12)可寫系統的能控標準形實現為此問答案不惟一

存在零極相消，系統不能觀

(3)2=3,則有6佝)=——-——

s2+35+2

8/18

可寫出能控標準形最小實現為

此問答案不惟一，可有多種解

五、已知系統的狀態空間表達式為

(1)判斷系統的能控性與能觀測性；

(2)若不能控，試問能控的狀態變量數為多少？

(3)試將系統按能控性進行分解；

(4)求系統的傳遞函數.(15分)

解：(1)系統的能控性矩陣為

U=tbAb]=°。[,detU=0,rankll=1<2

c|1-2|cc

故系統的狀態不能控

系統的能觀測性矩陣為

fc][25]

U=i|=|idetU二?115豐QrankU=2

oILCAJ?l|_19-10J?co

故系統的狀態不能觀測4分

⑵rankU=1，因此能控的狀態變量數為11分

C

(3)由狀態方程式

可知是X能控的，X是不能控的2分

21

(4)系統的傳遞函數為

G⑸=c(si-A)-'b=c(si-A)-1b=只與能控子系統有關3分

222S+2

六、給定系統

解李雅普諾夫方程，求使得系統漸近穩定的a值X圍.110分)

七、伺服機電的輸入為電樞電壓，輸出是軸轉角,其傳遞函數為

(1)設計狀態反饋控制器u=-Kx+V,使得閉環系統的極點為-5士j5；

(2)設計全維狀態觀測第觀測器具有二重極點一15；

(3)將上述設計的反饋控制器和觀測器結合,構成帶觀測器的反饋控制器，畫出閉環系統的狀

態變量圖；

(4)求整個閉環系統的傳遞函數.(20分)

第二章題A卷

第一題：判斷題，判斷下例各題的正誤,正確的打也錯誤的打x(每小題1分，共10分)

11、狀態方程表達了輸入引起狀態變化的運動，輸出方程則表達了狀態引起輸出變化的變換

過程(由

12、對于給定的系統,狀態變量個數和選擇都不是惟一的(x)

13、連續系統離散化都沒有精確離散化，但近似離散化方法比普通離散化方法的精度高(x)

9/18

14、系統的狀態轉移矩陣就是矩陣指數（x）

15、若系統的傳遞函數存在零極點相消，則系統狀態不徹底能控（x）

16、狀態的能空性是系統的一種結構特性，依賴于系統的結構，與系統的參數和控制變量作

用的位置有關（山

17、狀態能控性與輸出能控性之間存在必然的聯系（x）

18、一個傳遞函數化為狀態方程后,系統的能控能觀性與所選擇狀態變量有關（動

19、系統的內部穩定性是指系統在受到小的外界擾動后，系統狀態方程解的收斂性，與輸入無

關（4）

20、若不能找到合適的李雅普諾夫函數，那末表明該系統是不穩定的（x）

第：題：已知系統的傳遞函數為G（S）=?空、=5；+1號2+史+巴試分別用以下方法寫

U（s）（S2+5S+6）（S+1）

出系統的實現：

（5）串聯分解（4分）

（6）并聯分解〔4分）

（7）直接分解14分）

（8）能觀測性規X型（4分）

（9）繪制串聯分解實現時系統的結構圖（4分）

解：

對于------------------有

S3+10S2+31s+30

（3）串聯分解

串聯分解有三種

S=S11=1S1=11SS3

+10S2+31S+30(s+1)(s+2)(s+3)^s+1)(s+2)(s+3)(s+1)，(s+2)(s+3)

___]_)]1_12xl_I13x

=(s+1)*(s+2)(s+3)(s+1)('1(s+2)，(s+3)(S+l)(s+2)'(s+3)

對應的狀態方程為：

（4）并聯分解

實現有無數種，其中之三為：

⑶直接分解

（4）能觀測規X型

（10）結構圖

第二章題B卷

第一題：判斷題，判斷下例各題的正誤，正確的打Y,錯誤的打x（每小題1分，共10分）

1、狀態空間模型描述了輸入-輸出之間的行為，而且在任何初始條件下都能揭示系統的內部

行為（4

2、狀態空間描述是對系統的?種徹底的描述,而傳遞函數則只是對系統的?種外部描述（由

3、任何采樣周期下都可以通過近似離散化方法將連續時間系統離散化（x）

4、對于一個線性系統來說,經過線性非奇妙狀態變換后，其狀態能控性不變（V）

5、系統狀態的能控所關心的是系統的任意時刻的運動（x）

6、能觀（能控）性問題可以轉化為能控（能觀）性問題來處理（4）

7、一個系統的傳遞函數所表示的是該系統既能控又能觀的子系統（由

8、一個系統的傳遞函數若有零、極點對消現象，則視狀態變量的選擇不同，系統或者是不能控的

10/18

或者是不能觀的（4）

9、對于一個給定的系統，李雅普諾夫函數是惟一的（x）

10、若系統對所有有界輸入引起的零狀態響應的輸出是有界的，則稱該系統是外部穩定的N）

第二題：求以下RLC網絡系統的狀態空間模型，并繪制其結構圖.取電壓eT為輸入，為輸

出.其中凡、R2、C和L為常數.

第二題圖

答案：

解：1狀態變量可以另取）

定義狀態變量：X1為電阻兩端電壓v,X2為通過電感的電流i.輸入u為卬,輸出v為J.使用

基爾霍夫電流定理列凡和F%間節點的電流方程：

使用基爾霍夫電壓定理列出包含C、R2、L回路的電壓方程：

最后，輸出電壓的表達式為：

得到狀態空間模型：

結構圖為：

第三題：如圖所示，系統的輸入量為5和外、輸出量為y和請選擇適當的狀態變量，并寫出系

統的狀態空間表達式，根據狀態空間表達式求系統的閉環傳遞函數：

第三題圖

解：狀態變量如下圖所示（3分）

從方框圖中可以寫出狀態方程和輸出方程（4）

狀態方程的矩陣向量形式：

系統的傳遞函數為（3分）：

現代控制理論試題答案

一、概念題

1、何為系統的能控性和能觀性？

答：（1）對于線性定常連續系統,若存在一分段連續控制向量u<t>,能在有限時間區間％t]

內將系統從初始狀態XV%：*轉移到任意終端狀態xvt/,那末就稱此狀態是能控的.

（2）對于線性定常系統在任意給定的輸入u<t>下，能夠根據輸出量y<t>在有限時間區間也用

內的測量值，惟一地確定系統在“時刻的初始狀態xv%>，就稱系統在％時刻是能觀測的.若在

任意初始時刻系統都能觀測，則稱系統是狀態徹底能觀測的，簡稱能觀測的.

2、何為系統的最小實現？

答：由傳遞函數矩陣或者相應的脈沖響應來建立系統的狀態空間表達式的工作，稱為實現問

題.在所有可能的實現中，維數最小的實現稱為最小實現.

3、何為系統的漸近穩定性？

答：若在時刻為李雅普若夫意義下的稚定,且存在不依賴于的實數和

任意給定的初始狀態，使得時，有，則

稱為李雅普若夫意義下的漸近穩定

二、簡答題

1、連續時間線性時不變系統（線性定常連續系統）做線性變換時不改變系統的那些性

質？

答：系統做線性變換后，不改變系統的能控性、能觀性，系統特征值不變、傳遞函數不變

2、如何判斷線性定常系統的能控性？如何判斷線性定常系統的能觀性？

11/18

答：方法1：對n維線性定常連續系統，則系統的狀態徹底能控性的充分必要條件為：

rank")=ranl[B,AB.=n

方法2：如果線性定常系統的系統矩陣A具有互不相同的特征值，則系統能控的充要條

件是，系統經線性非奇妙變換后A陣變換成對角標準形，且際包含元素全為0的行

線性定常連續系統狀態完全能觀測的充分必要條件是能觀性矩陣%滿秩.即：

rrr

rankt/o=rank[cAC…(*)"C7]=n

3、傳遞函數矩陣G(e的最小實現A、B、C和D的充要條件是什么？

答：充要條件是系統狀態徹底能控且徹底能觀測.

4、對于線性定常系統能夠任意配置極點的充要條件是什么？

答：線性定常系統能夠任意配置極點的充要條件是系統徹底能控.

5、線性定常連續系統狀態觀測器的存在條件是什么？

答：線性定常連續系統狀態觀測器的存在條件是原系統徹底能觀.

三、計算題

1、RC無源網絡如圖1所示，試列寫出其狀態方程和輸出方程.其中,為系統的輸入，選g兩

端的電壓為狀態變量叼,6兩端的電壓為狀態變量叼，電壓U為為系統的輸出y.

姐i=U”“2=外y=%可得:

4仁+/乂+捺扁+吊

y=，”治

所以可以得到:

r=foipr

2、計算下列狀態空間描述的傳遞函數g<s>

Y=fl2W+4u

12/18

解：運用公式G(s)=C(sI-A)TB+D可得：

detfsl-A)=detPV?J=s2+6s+8

1-Jx+l1

詞―j匕$

可得傳遞函數為：

3、求出下列連續時間線性是不變系統的時間離散化狀態方程：

其中，采樣周期為T=2.

解：先求出系統傳M

J'NTB-A尸［=｛］

G3="l

令x(k)=x(t)=eu(k)=M。—可得：

Kk4-l)=GX00+Hu(k)=fJJ］x<k>+|^kW

4、求取下列各連續時間線性時不變系統的狀態變量解=L(t)和。(4

解：計算算式為：x(t)=eAtr(O)+

產=廠3T尸｝=［槳匚U，二］

Q」1-2「：+2,-尤-r-t+

所以：

5、確定是下列連續時間線性時不變系統聯合徹底能控和徹底能觀測得待定參數a的

取值X圍：

解：由于A無特定形式，用秩判據簡單.

因此，不管a去何值都不能夠聯合徹底能控和徹底能觀測

6、對下列連續時間非線性時不變系統，判斷原點平衡狀態即4=0是否為大X圍漸近

穩定：

解：⑴選取李雅普若夫函數V<x>,取心)=4+工/可知：

13/18

v<0>=0,U(x)=tJ+巧2>orvx1*0,12^0

即V(x)=xJ+xJ為正定.

(2)計算v(x)并判斷其定號性.對取定VGO=X/+M%系統狀態方程，計算得到：

基此可知：

即：+為負半定

(3)判斷它(0(髭％，0))*0.對此,只需判研^0)=o的

x=和x=不為系統狀態方程的解?為此，將“=【°無』幫入狀態方程，導

出：

0=%刈=Ti-(Jo=o

表明，狀態方程的解只為x-［00fx-［0%］不是系統狀態方程的解.通過類似

分析也可以得謔=的0］不是系統狀態方程的解.基此，可知判斷

一睢30))/0.

(4)綜合可知，對于給定非線性時不變系統,可構造李雅普若夫函數判斷

VG0=xj+盯,滿足：

v<x>為正定,V3)為負定；對任意”工0,取。住加,0))工0

當11卻=Jxj+f8,有V(*)=*J+工/一00

基此，并根據李雅普若夫方法漸近穩定性定理知：系統原點平衡狀板.=0為大X圍漸

近穩定.

7、給定一個單輸入單輸出連續時間線性時不變系統的傳遞函數為

試確定一個狀態反饋矩陣K,使閉環極點配置為L；=-2,局=-4和I；=-7.

解：可知，系統徹底可控,可以用狀態反饋進行任意極點配置..由于狀態維數為3維.

所以設K=［勺IkJ

系統期望的特征多項式為：

而

令而-A+BKI=。(2)?，二者相應系數相等.

律曉=56,k2=18,ka=1

14/18

即：

驗證:

A卷

二、基礎題（每題10分）

1、給定一個二維連續時間線性定常自治系統x=Ax,t>0.現知，對應于兩個不同初態的狀

態響應分別為

試據此定出系統矩陣A.

解：x(t)=eAtx(O)2分

可得

r|3e-.1e.

「+

31-Gt+生31Jr

e_產&+44II12尸q4

44II--2]

153JL-1」IL1]

T+浮-153

-2e4+2e-tke3t

-吁|et+-「2

22JI

111

電1&十e^)--et+-?3t

=I44

||L-et+ea-(e(+eat

2JI

4分

I313

-T+—631—e-?■+-ex

.de224411

A=4分

dt1341

e-f+女女--e-i+-a，

22

2、設線性定常連續時間系統的狀態方程為

取采樣周期T=1s,試將該連續系統的狀態方程離散化.

解：①首先計算矩陣指數.采用拉氏變換法：

eAi=L”[(sl-A)-1-l=

0s+2

113分

A(.S+2)

10e-2i

($+2

②進而計算離散時間系統的系數矩陣.

0.4323]

0.5K1''f=1s代入得G=GAT=

G=?AT=「Ilio2分

0.1353J

IL。ezJ|

15/18

H=（jw）B=（（ljTn105（1-eJ]）|FO：

0|I°|L°eaJIJ|L1J

P0.5T+0.25e-2T-0.25]

=I3分

|L-0.5e-2T+0.5J1

F1.0789]

-lo4323）

③故系統離散化狀態方程為

呼+0.4323『加[的9]我）

X2U+11|_00.1353-1x^110.4323.

3、已知系統的傳遞函數為

（1）試確定a的取值，使系統成為不能控，或者為不能觀測；

（2）在上述a的取值卜.，寫出使系統為能控的狀態空間表達式，判斷系統的能觀測性；

（3）若a=3,寫出系統的一個最小實現.（10分）

解：（1）因為

因此當a=1或者a=2或者a=3時,浮現零極點對消現象，系統就成為不能控或者不能觀

測的系

統3分

（2）可寫系統的能控標準形實現為此問答案不惟一

o1oiro]

x=001x+0uy=[2a2o]x3分

存在零極相消，系統不能觀1分

2

（3）a=3，則有G（s）=--―-

$2+3$+2

可寫出能控標準形最小實現為

此問答案不惟一，可有多種解3分

三、已知系統的狀態空間表達式為

（1）判斷系統的能控性