奧數專題：溶液濃度問題

一、引題

熊喝豆漿：

黑熊領著三個弟弟在森林里游玩了半天，感到又渴又累，正好路過了狐貍開的豆漿店。

只見店門口張貼著廣告：“既甜又濃的豆漿每杯0.3元。〃黑熊便招呼弟弟們歇腳，一起來喝豆漿。黑熊從狐貍手中接

過一杯豆漿，給最小的弟弟喝掉，，加滿水后給老三喝掉了，X，X，=0.1（元）；

6363

X，=0.15（元）。兄弟一共付了0.45元。

2

兄弟們很驚異，不是說，一杯豆漿0.3元，為什么多付0.45—0.3=0.15元？確定是黑熊再敲詐我們。

不服氣的黑熊嚷起來：“多收我們堅決不干。〃“不給，休想離開。〃現在，K家說說為什么會這樣呢？

二、學同體系及常規解法

我們把被溶解的物質稱為“溶質〃，把被溶解物質成為“溶劑〃。如在，酒中，酒精是溶質，水是溶劑。

我們現在所說的濃度為質量濃度；

溶液質量=溶質質量+溶劑質量；

溶液濃戶=潛質質量=＞質質量=溶油質量-溶劑質量

''一溶液質量-溶質質量+溶劑質量溶液質量

當我們用百分數來表示濃度時，我們將溶液濃度的數字乘以100%。

當多種不同濃度的溶液混合，混合后溶液濃度等于混合后忌溶劑質量除以混合后忌溶液質量。

—第一份潛質質量+第二價潛質質量+……+最后一份潛質質量

第一份溶液質量+第二份溶液質量+……+最后一份溶液質量

第一份溶液質量X第一份溶液濃度+第二份溶液質量X第二價溶液濃度+……+反后一價溶質質量X最后一份溶液濃度

第一份溶液質量+第二份溶淞質量+……+最后一份溶液質量

即為各濃度的加權平均。

兩種重要方法

1、“濃度三角〃法〔改“十字穿插"法。〕

【解法范例】用濃度為45%和5%的兩種鹽水配制成濃度為30%的鹽水4千克，須要這兩種鹽水各多少千克？

港合后濃度

解:我們畫出三角，在頂上標出混合后的濃度數，在兩個下角

標出兩種被混合溶液的濃度數,求A

出上角與兩個下角的濃度差，標在對應邊上，然后將乙邊的差人"/\

寫到道甲旁邊，把寫在甲邊的差寫[25%）—乙與混合后

到乙旁邊。

求出它們的比，即甲、乙兩種溶液所需的重量（嚴格說是質量）

比。

酒混合的（5-^j）被餛合的

中濃度求出濃度差的比，乙濃度

我們，知道，“濃度三角"實際是十字穿插法

甲邊的寫到Z旁邊

的變形；而十字穿插法原理即為加權平均。乙邊的寫主|甲旁邊

2、權重法

我們把，每份溶液所占全部溶液的份數稱為權重，記為qi,q2,q3,....,qn,我們知道qF-----------------------------

/n

/?1+7772+3++"〃+......+mn

N叫

/=1

那么混合后，溶液的濃度等于，各自溶液的濃度乘以它的權重的和，即:

一

混合后濃度=mxxq、+m2xq?+m3xq3+......+mnxqn=叫x%

i=\

我們可以將純溶質看成濃度為100%,將純溶劑看成0%。

【解法范例】我們把50%的鹽水1千克與20%的鹽水4千克混合，求混合后溶液濃度？

我們嘗試用權重法來解決：

方法一、一般方法

求出第一份溶液中溶質（即食鹽）質量，50%X1=0.5千克；

其次份溶液中溶質質量，20%X4=0.8千克；

那么總溶質質量為0.5+0.8=1.3千克；

總溶劑質量為1+4=5千克。

于是，混合后溶液的濃度為：—xlO（J^=26%o

5

方法二、加權平均法

我們算出，兩種溶液的權重，

第一種溶液權重=—!—='；其次種溶液權重=—L=±

1+451+45

1A

于是，混合后溶液的濃度為LX50%+￡X20%=26%O

55

我們看出，加權平均法還是很簡潔的。

此講的特點是要理清■溶液、溶質、溶劑質量的關系。

對于方法，我們可以采納方程法更好的解決問題。

例1配制硫酸含量為20%的硫酸溶液1000克，須要用硫酸含量為18%和23%的硫酸溶液各多少克？

例2有酒精含量為36%的酒精溶液假設干，參與確定數量的水后稀釋成酒精含量為30%的溶液，假如再稀釋到24%,

那么還須要加水的數量是上次加的水的幾倍？

例3現在有溶液兩種，甲為50%的溶液，乙為30%的溶液，各900克，現在從甲、乙兩溶液中各取300克，分別

放到乙、甲溶液中，混合后，再從甲、乙兩溶液中各取300克，分別放到乙、甲溶液中，……，

問1）、第一次混合后，甲、乙溶液的濃度？

2）、第四次混合后，甲、乙溶液的濃度？

3）、揣測，假如這樣無窮反復下去，甲、乙溶液的濃度。

濃度問題

專題簡析：

在百分數應用題中有一類叫溶液配比問題，即濃度問題。我們知道，將糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶質，

水叫溶劑，糖水叫溶液。假如水的量不變，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是說糖水甜的程度是由糖〔溶質〕與

糖水〔溶液=掂+水〕二者質量的比值確定的。這個比值就叫糖水的含糖量或禱含量。類似地，酒精溶于水中，純酒精

與酒精溶液二者質量的比值叫酒精含量。因而濃度就是溶質質量與溶液質量的比值，通常用百分數表示，即，

溶質質量、-，溶質質量……

濃度一溶液質量10°%―溶質質量+溶劑質量100%

解答濃度問題，首先要弄清什么是濃度。在解答濃度問題時，依據題意列方程解答比擬簡潔，在列方程時，要留

意找尋題目中數量問題的相等關系。

濃度問題變更多，有些題目難度較大，計算也較困難。要依據題目的條件和問題逐一分析，也可以分步解答。

例題1。

有含糖量為7%的糖水600克，要使其含糖量加大到10%,須要再參與多少克糖？

【思路導航】依據邈意，在7%的糖水中加糖就變更了原來糖水的濃度，糖的質量增加了，糖水的質量也增加了，但水

的質量并沒有變更。因此，可以先依據原來糖水中的濃度求出水的質量，再依據后來糖水中的濃度求出

現在糖水的質量，用現在糖水的質量減去原來糖水的質量就是增加的糖的質量。

原來糖水中水的質量：600X（1-7%）=558〔克〕

現在糖水的質量：5584-〔1一10%〕=620〔克〕

參與糖的質量：620—600=20〔克〕

答：須要參與20克糖。

練習1

1、現在有濃度為20%的糖水300克，要把它變成濃度為40%的糖水，須要加糖多少克？

2、有含鹽15%的鹽水20千克，要使鹽水的濃度為20%,需加鹽多少千克？

3、有甲、乙兩個瓶子，甲瓶里裝了200毫升清水，乙瓶里裝了200毫升純酒精。第一次把20毫升純酒精由乙瓶倒入

甲瓶，其次次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此時甲瓶里含純酒精多，還是乙瓶里含水多？

例題2。

一種35%的新農藥，如稀釋到1.75%時，治蟲最有效。用多少千克濃度為35%的農藥加多少千克水，才能配成

1.75%的農藥800千克？

【思路導航】把濃度高的溶液經添加溶劑變為濃度低的溶液的過程稱為稀釋。在這種稀釋過程中，溶質的質量是不變

的。這是解這類問題的關鍵。

2、濃度為70%的酒精溶液500克與濃度為50%的酒精溶液300克混合后所得到的酒精溶液的濃度是多少？

3、在20%的鹽水中參與10千克水，濃度為15%。再參與多少千克鹽，濃度為25%?

例題4。

將2。％的鹽水與5%的鹽水混合，配成15%的鹽水600克，須要20%的鹽水和5%的鹽水各多少克？

【思路導航】依據題意，將20%的鹽水與5%的鹽水混合配成15%的鹽水，說明混合前兩種鹽水中鹽的質量和與混合

后鹽水中鹽的質量是相等的。可依據這一數量間的相等關系列方程解答。

解：設20%的鹽水需x克，那么5%的鹽水為600—x克，那么

20%x+[600-x]X5%=600X15%

X=400

600-400=200〔克〕

答：須要20%的鹽水400克，5%的鹽水200克。

練習4

1、兩種鋼分別含銀5%和40%,要得到140噸含鍍30%的鋼，須要含鍍5%的鋼和含鍥40%的鈉各多少噸？

2、甲、乙兩種酒各含酒精75%和55%,要配制含酒精65%的酒3000克，應當從這兩種酒中各取多少克？

3、甲、乙兩只裝糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率為40%；乙桶有糖水40千克，含糖率為20%。要使兩桶

糖水的含糖率相等，需把兩桶的糖水相互交換多少千克？

例題5。

甲、乙、丙3個試管中各盛有10克、20克、30克水。把某種質量分數的鹽水10克倒入甲管中，混合后取10克

倒入乙管中，再混合后從乙管中取出10克倒入丙管中。現在丙管中的鹽水的質量分數為0.5%。最早倒入甲管中的鹽

水質量分數是多少？

【思路導航】混合后甲、乙、丙3個試管中應有的鹽水分別是20克、30克、40克。依據題意，可求出現在丙管中鹽

的質量。又因為丙管中原來只有30克的水，它的鹽是從10克鹽水中的乙管里取出的。由此可求出乙管

里30克鹽水中鹽的質量。而乙管里的鹽又是從10克鹽水中的甲管里取出的，由此可求出甲管里20克鹽

水中鹽的質量。而甲管里的鹽是某種濃度的鹽水中的鹽，這樣就可得到最初倒入甲管內鹽水的質量分數。

丙管中鹽的質量：(30+10)X0.5%=02〔克〕

X[[20+10）4-10]=0.6〔克〕

X[[10+10]4-10]=1.2〔克〕

+10=12%

答：最早倒入甲管中的鹽水質量分數是12%。

練習5

1、從裝滿100克80%的鹽水中倒出40克鹽水后，再用清水將杯加滿，攪拌后再倒出40克鹽水，然后再用清水將

杯加滿。如此反復三次后，杯中鹽水的濃度是多少？

2、甲容器中又8%的鹽水300克，乙容器中有12.5%的鹽水120克。往甲、乙兩個容器分別倒入等量的水，使兩個

容器中鹽水的濃度一樣。每個容器應倒入多少克水？

3、甲種酒含純酒精40%,乙種酒含的酒精36%,丙種酒含純酒精35%。將三種酒混在一起得到含酒精38.5%的酒

11千克。乙種酒比丙種酒多3千克，那么甲種酒有多少千克？

答案：

練1

1、300X（1-20%）+〔1一40%〕-300=100克

2、20X（1-15%）4-

3、第一次把20毫升的純酒精倒入甲瓶，那么甲瓶的濃度為：204-(200+20),其次次把甲瓶中20毫升溶液

12001200

倒回乙瓶，此時甲瓶中含酒精200Xyy=—毫升，乙瓶中含水20X[1--〕=—毫升，即兩者相等。

練2

1、30X〔16%—0.15%〕(0.15%=3170千克

2、100X(1-90%]+(1-80%)=50千克

255

3、10X(1--〕X(1-—〕+10=37.5%

練3

1、100X〔50%—25%〕+〔25%—5%〕=125千克

2、(500X70%+300X50%)+(500+300)X100%=62.5%

3、原有濃度為20%的鹽水的質量為：10X15%：〔20%—15%〕=30千克

其次次參與鹽后，溶液濃度為25%的質量為：

136

[30X(1-20%)+10]-?〔1一25%〕=—千克

參與鹽的質量：—[30+10]千克

O*5

練4

1、解：設需含集5%的鋼x噸，那么含銀40%的銅140-x噸，

5%x+(140-x)X40%=140X30%

X=40

140-40=100噸

2、[3000X75%-3000X65%〕4-[