解三角形試卷及答案分析一、選擇題1.在三角形ABC中，若a=7，b=5，A=60°，則B的度數為：A.30°B.45°C.60°D.90°答案：B分析：根據正弦定理，有\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)，代入已知數值，得到\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{5\sin60°}{7}=\frac{5\times\sqrt{3}/2}{7}=\frac{5\sqrt{3}}{14}\)。由于\(\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{7\sqrt{2}}{14}\)，且\(\frac{5\sqrt{3}}{14}<\frac{7\sqrt{2}}{14}\)，所以B的度數為45°。2.在三角形ABC中，若a=3，b=4，c=5，則三角形ABC的面積為：A.3B.4C.6D.9答案：C分析：根據海倫公式，三角形的面積S可以表示為\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)，其中p為半周長，即\(p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+4+5}{2}=6\)。代入數值，得到\(S=\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)}=\sqrt{6\times3\times2\times1}=\sqrt{36}=6\)。3.若三角形ABC的內角A，B，C滿足A+B=2C，則三角形ABC的形狀為：A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形答案：C分析：由于三角形內角和為180°，所以有A+B+C=180°。將A+B=2C代入，得到3C=180°，即C=60°。因此，A和B也均為60°，所以三角形ABC為等邊三角形。二、填空題1.在三角形ABC中，若a=4，b=6，c=8，則角A的正弦值為\(\sinA=\frac{a\sinC}{c}=\frac{4\sinC}{8}=\frac{1}{2}\sinC\)。已知\(\sinC=\frac{c}{2R}=\frac{8}{2R}\)，其中R為三角形ABC的外接圓半徑。由于\(\sinA=\frac{1}{2}\sinC\)，可以得到\(\sinA=\frac{1}{2}\times\frac{8}{2R}=\frac{4}{2R}\)。因此，\(\sinA=\frac{2}{R}\)。答案：\(\frac{2}{R}\)2.在三角形ABC中，若a=5，b=7，c=8，且角A的余弦值為\(\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{7^2+8^2-5^2}{2\times7\times8}=\frac{49+64-25}{112}=\frac{88}{112}=\frac{11}{14}\)。答案：\(\frac{11}{14}\)三、解答題1.在三角形ABC中，已知a=3，b=5，c=7，求角A的度數。解：根據余弦定理，有\(\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5^2+7^2-3^2}{2\times5\times7}=\frac{25+49-9}{70}=\frac{65}{70}=\frac{13}{14}\)。由于\(\cosA=\frac{13}{14}\)，可以通過反余弦函數求得角A的度數，即\(A=\arccos\frac{13}{14}\)。答案：\(A=\arccos\frac{13}{14}\)2.在三角形ABC中，已知a=6，b=8，c=10，求三角形ABC的面積。解：由于a，b，c滿足勾股定理，即\(a^2+b^2=c^2\)，所以三角形ABC為直角三角形，其中c為斜邊。直角三角形的面積可以通過公式\(S=\frac{1}{2}ab\)計算，代入數值，得到\(S=\frac{1}{2}\times6\times8=24\)。答案：243.在三角形ABC中，已知a=4，b=6，c=9，求角C的正切值。解：根據正弦定理，有\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}\)。首先求出\(\sinC=\frac{c}{2R}=\frac{9}{2R}\)，其中R為三角形ABC的外接圓半徑。由于\(\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}\)，可以得到\(\sinA=\frac{a\sinC}{c}=\frac{4\times\frac{9}{2R}}{9}=\frac{2}{R}\)。同理，\(\sinB=\frac{b\sinC}{c}=\frac{6\times\frac{9}{2R}}{9}=\frac{3}{R}\)。由于\(\tanC=\frac{\sinC}{\cosC}\)，且\(\cosC=\sqrt{1-\sin^2C}=\sqrt{1-\left(\frac{9}{2R}\right)^2}\)，代入數值，得到\(\tanC=\frac{\frac{9}{2R}}{\sqrt{1-\left(\frac{9}{2R}\right)^2}}\)。答案：