2025年4月高一數學月考試題一、單選題（每題5分，共40分）1.已知復數（是虛數單位），則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】先利用復數的除法化簡復數，再求得其共軛復數，然后求模.【詳解】復數,所以，，故選：C2.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解方程組，結合交集的定義可求得集合.【詳解】解方程組得或，因為，，則.故選：C.3.已知向量不共線，，且，則實數（）A.1或4 B.1或 C.或1 D.或1【答案】B【解析】【分析】根據條件，利用向量的共線的充要條件建立方程組，即可求出結果.【詳解】因為，且，所以，即，又向量不共線，得到，消得到，解得或，故選：B.4.非零向量，滿足，若，則，的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意利用求向量的模的方法，求得，從而利用向量的夾角公式求解即可.【詳解】∵非零向量，滿足，且，

設，的夾角為，

則，且，所以.∴.

∵，∴.

故選:B．5.已知，，且，的夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用投影向量的定義求解.【詳解】因為，，且，的夾角為，所以在上的投影向量為，，故選：C6.已知，，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據已知算出，根據投影向量的定義即可求解.【詳解】因為，所以，即，又因為，設的夾角為，所以，在上的投影為：，所以在上的投影向量為.故選：C.7.已知，，則右圖表示的函數可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據函數圖象的對稱性可排除CD，根據函數值的符號可排除A，故可得正確的選項.【詳解】由圖象可得題設中圖象對應的函數為奇函數，而，故為偶函數；的定義域為，該定義域關于原點對稱，而，故為定義域上的偶函數，故CD錯誤；當時，，故A錯誤；故選：B.8.如圖，四邊形ABCD是直角梯形，其中AB=1，CD=2，AD⊥DC，O是AD的中點，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點P.以AD為旋轉軸旋轉一周，可以得到一個球和一個圓臺.給出以下結論，其中正確結論的個數是（）①圓臺的母線長為4；②球的直徑為；③將圓臺的母線延長交DA的延長線于點H，則得到的圓錐的高為；④點P的軌跡的長度是．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根據題意，由球體、圓臺的幾何結構特征，以及已知條件確定圓臺的母線長、高和球的半徑，再根據圓錐與圓臺的相關線段相似比求得圓錐的高，進而求得點的軌跡，由此得出結論是否正確，得到答案.【詳解】對于①中，由題意知，圓臺的上下底面半徑分別為，設圓臺的母線長為，高為，則球的直徑為，因為與半圓相切于點，則，所以，所以①不正確；對于②中，過點作于點，則，所以，所以球的直徑為，所以②不正確；對于③中，因為，可得，則，所以，所以③正確；對于④中，過點作于點，延長與交于，則點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，作與點，可得，則，即，解得，所以點P的軌跡的長度是，所以④錯誤.故選：A.二、多選題（共20分）9.已知平面向量，下列說法不正確的有（）A.若，，則 B.C. D.若，則【答案】AB【解析】【分析】利用平面向量共線、線性運算以及數量積定義即可逐個選項判斷.【詳解】對于A，當時，滿足，，但不一定成立，選項A錯誤；對于B，因為是常數，則表示與共線的向量；同理表示與共線的向量，所以與關系不確定，選項B錯誤；對于C，，選項C正確；對于D，由得，，即，，即，選項D正確.故選：AB10.已知平面向量，，則（）A. B.與可作為一組基底向量C.與夾角的余弦值為 D.在方向上的投影向量的坐標為【答案】BC【解析】【分析】對A：計算即可得；對B：借助基底向量的定義即可得；對C：借助平面向量夾角公式計算即可得；對D：借助投影向量定義計算即可得.【詳解】對A：，則，故A錯誤；對B：易得與為不共線的向量，故與可作為一組基底向量，故B正確；對C：，故C正確；對D：，故D錯誤.

故選：BC.11.如圖所示，已知正方體的棱長為分別是，的中點，P是線段上的動點，則下列說法正確的是（）A.平面截正方體所得的截面可能是五邊形B.一定是銳角三角形C.當點P與A點重合時，平面截正方體所得的截面面積為D.的最小值是【答案】AD【解析】【分析】對于A：截面形狀，依據平面與正方體各面的相交情況判斷；對于B：三角形是否為銳角三角形，選取特殊位置通過余弦定理判斷角的余弦值正負；對于C：截面面積，需確定截面形狀并計算；對于D：的最小值，可轉化為共平面結合將軍飲馬計算兩點間距離．【詳解】對于A，如圖，當點P與A，B兩點不重合時，將線段向兩端延長，分別交的延長線于點，連接分別交，于R，S兩點，連接此時截面為五邊形，所以A正確；對于B，考慮，當點P與點A重合時，，，，此時因為，故為鈍角，所以B錯誤；對于C，當點P與點A重合時，設的中點為，則，所以當點與點重合時，平面截正方體所得的截面如圖所示,其截面為矩形,易知，所以其截面面積為，故C錯誤；對于D，取的中點H，連接，在的延長線上取使得，連接與于P點，此時，故D正確.故選：AD12.在中，設角所對的邊分別為，則下列命題一定成立的是（）A.若，則是銳角三角形B.若，，，則有唯一解C.若是銳角三角形，，，設的面積為S，則D.若是銳角三角形，則【答案】BCD【解析】【分析】由余弦定理可判斷；由正弦定理可判斷；利用邊化角結合面積公式可得，求的范圍，結合正弦函數的性質可得的范圍，即可判斷；由銳角三角形可得及，利用在上的單調性結合誘導公式可判斷.【詳解】，，，為銳角，但不能確定角是否為銳角，故不一定是銳角三角形，故錯誤；由正弦定理得，，，有唯一解，故正確；，，，，又，解得，，，，，，即，故正確；是銳角三角形，，又，，，又在上單調遞增，，，，故正確；故選：.三、填空題（共20分）13.已知函數在上是減函數，則實數a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】令，則由題意可得在上是減函數，且在區間上恒成立，從而列不等式組可求得答案【詳解】令，因為在區間上是減函數，且在上是增函數，所以在區間上是減函數，且在區間上恒成立，所以，解得，所以實數a的取值范圍是.故答案為：.14.設向量的夾角的余弦值為，且，則_____【答案】8【解析】【分析】由求解.【詳解】由，得，又因為向量的夾角的余弦值為，所以，，故答案為：815.若“”是“”的必要條件，則實數的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據必要條件的定義直接求解即可.【詳解】由題意，“若，則”為真命題，故實數的取值范圍是.故答案為：16.已知函數，且，則的最小值為__________．【答案】##【解析】【分析】根據可得，故可求的最小值.【詳解】因為，故，所以，故或，所以或，而，故，故答案為：四、解答題（共70分）17.已知復數滿足和均為實數．（1）求復數；（2）若在復平面內對應的點在第四象限，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設，化簡和，根據其為實數列方程求解即可；（2）化簡，根據其在復平面內對應的點的位置列不等式求解.【小問1詳解】設，則，所以，因為和均為實數，所以，解得，故；【小問2詳解】，因為在復平面內對應的點在第四象限，所以，解得或，即實數的取值范圍為.18.已知集合，集合．（1）求；（2）已知，若是的充分不必要條件，求實數m的取值范圍．【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）先求出集合，再求其并集即可；（2）求出集合，再由題意可得是的真子集，從而可求出實數的取值范圍.【小問1詳解】解不等式，得，即，解不等式，得，即，所以；【小問2詳解】由，由是的充分不必要條件，可得是B的真子集，所以，解得所以實數m的取值范圍是.19.已知．（1）求；（2）若，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求，然后直接求的平方即可得解；（2）利用向量的運算律，將轉化為關于的二次函數，然后求出最值即可.【小問1詳解】因為，，因為所以，【小問2詳解】由（1）知，，因為所以當時，的最小值為20.三棱臺中，若平面，，，，，分別是，中點．（1）求與所成角的余弦值；（2）求平面與平面所成角的余弦值；（3）求證與平面平行．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據題意，證得和，得到為與所成角，在中，利用余弦定理，即可求解；（2）確定即為平面與平面所成角的平面角，即可求解；（3）通過四邊形為平行四邊形，即可求證.【小問1詳解】解：連接.由分別是中點，根據中位線性質，得，且，在三棱臺中，可得，所以，由，可得四邊形是平行四邊形，則，所以為與所成角，在中，由，可得.【小問2詳解】因為平面，在平面，所以，又又分別平面與平面內，平面與平面的交線為，所以即為平面與平面所成角的平面角，又，，分別中點，所以，即平面與平面所成角的余弦值為；【小問3詳解】由，，由棱臺的結構特征可知，又為的中點，易知與平行且相等，所以四邊形為平行四邊形，所以，又在平面外，在平面內，所以平面.21.在①；②；③向量與平行,這三個條件中任選一個,補充在下面題干中,然后解答問題.已知內角的對邊分別為,且滿足______.（1）求角；（2）若為銳角三角形,且,求周長的取值范圍；（3）在（2）條件下,若邊中點為,求中線的取值范圍.（注：如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分）【答案】（1）條件選擇見解析,（2）（3）【解析】【分析】（1）選①根據正弦定理化簡，然后轉化成余弦值即可；選②根據正弦定理化簡即可求到余弦值，然后求出角度；選③先根據向量條件得到等式，然后根據正弦定理即可求到正切值，最后求出角度.（2）根據（1）中結果和，把周長轉化成，然后再求解范圍.（3）根據中線公式和正弦定理，把轉化成三角函數求解即可.【小問1詳解】選①：因為，,即，，,.選②：，,，,,.選③：向量與平行，,,,,.【小問2詳解】,,.為銳角三角形,，，.周長的取值范圍為.【小問3詳解】，又由中線公式可得，.即，為銳角三角形，，,..22.已知函數．（1）當時，求函數的零點；（2）若，求在區間上的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）當時，解方程可得函數的零點；（2）令，將問題轉化為求函數在區間上的最大值，然后對實數的取值進行分類討論，分析函數在區間上的單調性，進而可求得的表達式.【詳解】（1）當時，，，由，可得，解得，即當時，函數的零點為；（2）令，即求在區間上的最大值．當時，二次函數的圖象開口向上，對稱軸為直線