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2025年4月高一數(shù)學月考試題一、單選題(每題5分,共40分)1.已知復數(shù)(是虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】先利用復數(shù)的除法化簡復數(shù),再求得其共軛復數(shù),然后求模.【詳解】復數(shù),所以,,故選:C2.已知,,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解方程組,結(jié)合交集的定義可求得集合.【詳解】解方程組得或,因為,,則.故選:C.3.已知向量不共線,,且,則實數(shù)()A.1或4 B.1或 C.或1 D.或1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件,利用向量的共線的充要條件建立方程組,即可求出結(jié)果.【詳解】因為,且,所以,即,又向量不共線,得到,消得到,解得或,故選:B.4.非零向量,滿足,若,則,的夾角為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意利用求向量的模的方法,求得,從而利用向量的夾角公式求解即可.【詳解】∵非零向量,滿足,且,
設(shè),的夾角為,
則,且,所以.∴.
∵,∴.
故選:B.5.已知,,且,的夾角為,則在上的投影向量為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用投影向量的定義求解.【詳解】因為,,且,的夾角為,所以在上的投影向量為,,故選:C6.已知,,且,則在上的投影向量為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知算出,根據(jù)投影向量的定義即可求解.【詳解】因為,所以,即,又因為,設(shè)的夾角為,所以,在上的投影為:,所以在上的投影向量為.故選:C.7.已知,,則右圖表示的函數(shù)可能是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性可排除CD,根據(jù)函數(shù)值的符號可排除A,故可得正確的選項.【詳解】由圖象可得題設(shè)中圖象對應的函數(shù)為奇函數(shù),而,故為偶函數(shù);的定義域為,該定義域關(guān)于原點對稱,而,故為定義域上的偶函數(shù),故CD錯誤;當時,,故A錯誤;故選:B.8.如圖,四邊形ABCD是直角梯形,其中AB=1,CD=2,AD⊥DC,O是AD的中點,以AD為直徑的半圓O與BC相切于點P.以AD為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周,可以得到一個球和一個圓臺.給出以下結(jié)論,其中正確結(jié)論的個數(shù)是()①圓臺的母線長為4;②球的直徑為;③將圓臺的母線延長交DA的延長線于點H,則得到的圓錐的高為;④點P的軌跡的長度是.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意,由球體、圓臺的幾何結(jié)構(gòu)特征,以及已知條件確定圓臺的母線長、高和球的半徑,再根據(jù)圓錐與圓臺的相關(guān)線段相似比求得圓錐的高,進而求得點的軌跡,由此得出結(jié)論是否正確,得到答案.【詳解】對于①中,由題意知,圓臺的上下底面半徑分別為,設(shè)圓臺的母線長為,高為,則球的直徑為,因為與半圓相切于點,則,所以,所以①不正確;對于②中,過點作于點,則,所以,所以球的直徑為,所以②不正確;對于③中,因為,可得,則,所以,所以③正確;對于④中,過點作于點,延長與交于,則點的軌跡是以為圓心,為半徑的圓,作與點,可得,則,即,解得,所以點P的軌跡的長度是,所以④錯誤.故選:A.二、多選題(共20分)9.已知平面向量,下列說法不正確的有()A.若,,則 B.C. D.若,則【答案】AB【解析】【分析】利用平面向量共線、線性運算以及數(shù)量積定義即可逐個選項判斷.【詳解】對于A,當時,滿足,,但不一定成立,選項A錯誤;對于B,因為是常數(shù),則表示與共線的向量;同理表示與共線的向量,所以與關(guān)系不確定,選項B錯誤;對于C,,選項C正確;對于D,由得,,即,,即,選項D正確.故選:AB10.已知平面向量,,則()A. B.與可作為一組基底向量C.與夾角的余弦值為 D.在方向上的投影向量的坐標為【答案】BC【解析】【分析】對A:計算即可得;對B:借助基底向量的定義即可得;對C:借助平面向量夾角公式計算即可得;對D:借助投影向量定義計算即可得.【詳解】對A:,則,故A錯誤;對B:易得與為不共線的向量,故與可作為一組基底向量,故B正確;對C:,故C正確;對D:,故D錯誤.
故選:BC.11.如圖所示,已知正方體的棱長為分別是,的中點,P是線段上的動點,則下列說法正確的是()A.平面截正方體所得的截面可能是五邊形B.一定是銳角三角形C.當點P與A點重合時,平面截正方體所得的截面面積為D.的最小值是【答案】AD【解析】【分析】對于A:截面形狀,依據(jù)平面與正方體各面的相交情況判斷;對于B:三角形是否為銳角三角形,選取特殊位置通過余弦定理判斷角的余弦值正負;對于C:截面面積,需確定截面形狀并計算;對于D:的最小值,可轉(zhuǎn)化為共平面結(jié)合將軍飲馬計算兩點間距離.【詳解】對于A,如圖,當點P與A,B兩點不重合時,將線段向兩端延長,分別交的延長線于點,連接分別交,于R,S兩點,連接此時截面為五邊形,所以A正確;對于B,考慮,當點P與點A重合時,,,,此時因為,故為鈍角,所以B錯誤;對于C,當點P與點A重合時,設(shè)的中點為,則,所以當點與點重合時,平面截正方體所得的截面如圖所示,其截面為矩形,易知,所以其截面面積為,故C錯誤;對于D,取的中點H,連接,在的延長線上取使得,連接與于P點,此時,故D正確.故選:AD12.在中,設(shè)角所對的邊分別為,則下列命題一定成立的是()A.若,則是銳角三角形B.若,,,則有唯一解C.若是銳角三角形,,,設(shè)的面積為S,則D.若是銳角三角形,則【答案】BCD【解析】【分析】由余弦定理可判斷;由正弦定理可判斷;利用邊化角結(jié)合面積公式可得,求的范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得的范圍,即可判斷;由銳角三角形可得及,利用在上的單調(diào)性結(jié)合誘導公式可判斷.【詳解】,,,為銳角,但不能確定角是否為銳角,故不一定是銳角三角形,故錯誤;由正弦定理得,,,有唯一解,故正確;,,,,又,解得,,,,,,即,故正確;是銳角三角形,,又,,,又在上單調(diào)遞增,,,,故正確;故選:.三、填空題(共20分)13.已知函數(shù)在上是減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】令,則由題意可得在上是減函數(shù),且在區(qū)間上恒成立,從而列不等式組可求得答案【詳解】令,因為在區(qū)間上是減函數(shù),且在上是增函數(shù),所以在區(qū)間上是減函數(shù),且在區(qū)間上恒成立,所以,解得,所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為:.14.設(shè)向量的夾角的余弦值為,且,則_____【答案】8【解析】【分析】由求解.【詳解】由,得,又因為向量的夾角的余弦值為,所以,,故答案為:815.若“”是“”的必要條件,則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)必要條件的定義直接求解即可.【詳解】由題意,“若,則”為真命題,故實數(shù)的取值范圍是.故答案為:16.已知函數(shù),且,則的最小值為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)可得,故可求的最小值.【詳解】因為,故,所以,故或,所以或,而,故,故答案為:四、解答題(共70分)17.已知復數(shù)滿足和均為實數(shù).(1)求復數(shù);(2)若在復平面內(nèi)對應的點在第四象限,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)設(shè),化簡和,根據(jù)其為實數(shù)列方程求解即可;(2)化簡,根據(jù)其在復平面內(nèi)對應的點的位置列不等式求解.【小問1詳解】設(shè),則,所以,因為和均為實數(shù),所以,解得,故;【小問2詳解】,因為在復平面內(nèi)對應的點在第四象限,所以,解得或,即實數(shù)的取值范圍為.18.已知集合,集合.(1)求;(2)已知,若是的充分不必要條件,求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)先求出集合,再求其并集即可;(2)求出集合,再由題意可得是的真子集,從而可求出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解不等式,得,即,解不等式,得,即,所以;【小問2詳解】由,由是的充分不必要條件,可得是B的真子集,所以,解得所以實數(shù)m的取值范圍是.19.已知.(1)求;(2)若,求的最小值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)先求,然后直接求的平方即可得解;(2)利用向量的運算律,將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù),然后求出最值即可.【小問1詳解】因為,,因為所以,【小問2詳解】由(1)知,,因為所以當時,的最小值為20.三棱臺中,若平面,,,,,分別是,中點.(1)求與所成角的余弦值;(2)求平面與平面所成角的余弦值;(3)求證與平面平行.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)題意,證得和,得到為與所成角,在中,利用余弦定理,即可求解;(2)確定即為平面與平面所成角的平面角,即可求解;(3)通過四邊形為平行四邊形,即可求證.【小問1詳解】解:連接.由分別是中點,根據(jù)中位線性質(zhì),得,且,在三棱臺中,可得,所以,由,可得四邊形是平行四邊形,則,所以為與所成角,在中,由,可得.【小問2詳解】因為平面,在平面,所以,又又分別平面與平面內(nèi),平面與平面的交線為,所以即為平面與平面所成角的平面角,又,,分別中點,所以,即平面與平面所成角的余弦值為;【小問3詳解】由,,由棱臺的結(jié)構(gòu)特征可知,又為的中點,易知與平行且相等,所以四邊形為平行四邊形,所以,又在平面外,在平面內(nèi),所以平面.21.在①;②;③向量與平行,這三個條件中任選一個,補充在下面題干中,然后解答問題.已知內(nèi)角的對邊分別為,且滿足______.(1)求角;(2)若為銳角三角形,且,求周長的取值范圍;(3)在(2)條件下,若邊中點為,求中線的取值范圍.(注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分)【答案】(1)條件選擇見解析,(2)(3)【解析】【分析】(1)選①根據(jù)正弦定理化簡,然后轉(zhuǎn)化成余弦值即可;選②根據(jù)正弦定理化簡即可求到余弦值,然后求出角度;選③先根據(jù)向量條件得到等式,然后根據(jù)正弦定理即可求到正切值,最后求出角度.(2)根據(jù)(1)中結(jié)果和,把周長轉(zhuǎn)化成,然后再求解范圍.(3)根據(jù)中線公式和正弦定理,把轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)求解即可.【小問1詳解】選①:因為,,即,,,.選②:,,,,,.選③:向量與平行,,,,,.【小問2詳解】,,.為銳角三角形,,,.周長的取值范圍為.【小問3詳解】,又由中線公式可得,.即,為銳角三角形,,,..22.已知函數(shù).(1)當時,求函數(shù)的零點;(2)若,求在區(qū)間上的最大值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)當時,解方程可得函數(shù)的零點;(2)令,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值,然后對實數(shù)的取值進行分類討論,分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,進而可求得的表達式.【詳解】(1)當時,,,由,可得,解得,即當時,函數(shù)的零點為;(2)令,即求在區(qū)間上的最大值.當時,二次函數(shù)的圖象開口向上,對稱軸為直線
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