2025北京理工大附中高一（下）期中數學考試時間90分鐘一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.在范圍內，與角終邊相同的角是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據與角終邊相同的角是2kπ+（），k∈z，求出結果．【詳解】與角終邊相同的角是2kπ+（），k∈z，令k＝1，可得與角終邊相同的角是，故選A．【點睛】本題考查終邊相同的角的定義和表示方法，得到與角終邊相同的角是2kπ+（），k∈z，是解題的關鍵2.已知向量在正方形網格中的位置如圖所示.若網格中每個小正方形的邊長均為1，則（）A. B.C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】根據給定的圖形，求出，再利用數量積的定義求解即得.【詳解】觀察圖形知，，所以故選：A3.已知角終邊上一點，若，則的值為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦函數的定義列式計算即得.【詳解】由角終邊上一點，得，因此，解得，所以的值為.故選：D4.下列各式的值等于的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】運用二倍角公式、同角三角函數的基本關系、特殊角的三角函數值判斷即可.【詳解】對于A,,故A錯誤；對于B,由特殊角的三角函數值可知,故B錯誤;對于C,由同角三角函數的基本關系可知,故C錯誤；對于D,,故D正確.故選：D.5.已知平面向量與的夾角為，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量的模長公式代入計算，即可得到結果.【詳解】.故選：B6.已知滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導公式及二倍角的正切公式計算即得.【詳解】在中，，，則，所以.故選：A7.設函數f(x)＝2sin(x＋)．若對任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，則|x1－x2|的最小值為（）A.4 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】是函數最小值，是函數最大值，因此的最小值為周期的一半，由此可得．【詳解】由題意f(x)的周期，對任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，則是函數最小值，是函數最大值，因此的最小值為周期的一半，∴|x1－x2|min＝2.故選：B．8.已知函數，則“”是“為偶函數”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用正余弦函數性質，充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】當時，，為偶函數；反之，為偶函數，則或，所以“”是“為偶函數”的充分不必要條件.故選：A9.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，結合誘導公式和二倍角的余弦公式，計算即可得到所求值.【詳解】由于，所以，故選：B10.函數是A.奇函數，且最大值為2 B.偶函數，且最大值為2C.奇函數，且最大值為 D.偶函數，且最大值為【答案】D【解析】【分析】由函數奇偶性的定義結合三角函數的性質可判斷奇偶性；利用二倍角公式結合二次函數的性質可判斷最大值.【詳解】由題意，，所以該函數為偶函數，又，所以當時，取最大值.故選：D.11.下列函數中，以為周期且在區間(，)單調遞增的是A.f(x)=│cos2x│ B.f(x)=│sin2x│C.f(x)=cos│x│ D.f(x)=sin│x│【答案】A【解析】【分析】本題主要考查三角函數圖象與性質，滲透直觀想象、邏輯推理等數學素養．畫出各函數圖象，即可做出選擇．【詳解】因為圖象如下圖，知其不是周期函數，排除D；因為，周期為，排除C，作出圖象，由圖象知，其周期為，在區間單調遞增，A正確；作出的圖象，由圖象知，其周期為，在區間單調遞減，排除B，故選A．【點睛】利用二級結論：①函數的周期是函數周期的一半；②不是周期函數；12.如圖，扇形的半徑為1，圓心角，點在弧上運動，，則的最小值是（）A.0 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】以為軸，以為原點，建立坐標系，設，，根據平面向量基本定理的坐標運算可得：，再利用三角函數的有界性，即可得到答案；【詳解】解：以為軸，以為原點，建立坐標系，如圖，設，，則，，，∵，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴當時，，即的最小值為．故選：D．二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.13.已知扇形的周長為9cm，圓心角為，則該扇形的面積為___________.【答案】【解析】【分析】由扇形的弧長及面積公式求解可得答案.【詳解】設扇形的半徑為，圓心角為，弧長為，則由題意可得，解得，所以扇形的面積，故答案為：.14.__________；_____________.【答案】①.##0.5②.-3【解析】【分析】直接根據指數與對數的運算法則及基本性質進行化簡求值.【詳解】（1）原式（2）原式.故答案為：15.如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點滿足，則_______；若點H是線段AP上的動點，則的取值范圍是_________．【答案】①.②.[1，2]【解析】【分析】以為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，設，由可求出點坐標；點H是線段AP上的動點，設，由數量積的坐標運算結合的范圍即可求出的取值范圍.【詳解】以為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設，所以，由，可得：，所以，所以，故，點H是線段AP上的動點，所以，則,，，，因為，，所以.故的取值范圍是[1，2].故答案：；[1，2].16.已知函數在上恰有兩個零點，則實數的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】結合正弦型函數的圖象與性質計算即可得.【詳解】令，則，當時，，由題意可得，解得，即實數的取值范圍為.故答案為：.17.聲音是由于物體的振動產生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音多為復合音．若一個復合音的數學模型是函數，則下列結論錯誤的序號是______；①的一個周期為；②的最大值為；③的圖象關于直線對稱；④在區間上有3個零點．【答案】①②③【解析】【分析】對于①，代入周期的定義，即可判斷；對于②，分別比較兩個函數取得最大值的值，即可判斷；對于③，代入對稱性的公式，即可求解；對于④，根據零點的定義，解方程，即可判斷.【詳解】對于①，，故①錯誤；對于②，，當，時，取得最大值1，，當，時，即，時，取得最大值，所以兩個函數不可能同時取得最大值，所以的最大值不是，故②錯誤；對于③，，所以函數的圖象不關于直線對稱，故③錯誤；對于④，，即，，即或，解得：或或，所以函數在區間上有3個零點，故④正確.故答案為：①②③.三、解答題：本大題共4小題，共44分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．18.已知向量.（1）當時，求實數的值；（2）當時，求向量與的夾角的余弦值.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）由垂直關系的向量坐標表示可解；（2）由向量平行的坐標表示求出，再代入向量夾角公式可得.【小問1詳解】由題意可得，因為，所以.【小問2詳解】，因為，所以，所以，所以，即向量與的夾角的余弦值為.19.在平面直角坐標系中，銳角，均以為始邊，終邊分別與單位圓交于點，，已知點的縱坐標為，點的橫坐標為．（1）求和的值；（2）求的值；（3）將點繞點逆時針旋轉得到點，求點的坐標．【答案】（1）；（2）10（3）【解析】【分析】（1）根據單位圓中正弦和余弦的定義，同角三角函數的平方關系，兩角差的正切公式及二倍角公式即可求解；（2）根據誘導公式化簡得齊次式，再根據同角三角函數的商數關系及即可求解；（3）根據兩角和的正弦余弦公式即可求解．【小問1詳解】由銳角，，得點，都在第一象限，而點縱坐標為，點的橫坐標為，所以，則點的橫坐標為，點的縱坐標為，因此；，．【小問2詳解】由（1）知，．【小問3詳解】依題意，點在角的終邊上，且，由（1）知，則點的橫坐標為，點的縱坐標為，所以點的坐標為．20.已知函數的一段圖象如圖所示：（1）求函數的表達式和單調遞減區間；（2）若函數在的值域是，求的取值范圍；（3）若，，求的值．【答案】（1），單調遞減區間為（2）（3）【解析】【分析】（1）根據圖象即可求得的表達式，令，求解即可得出單調減區間；（2）根據正弦函數的性質即可求解；（3）根據誘導公式，正弦函數的單調性及同角三角函數的平方關系即可求解．【小問1詳解】由圖象可知，，所以，又，故，由，得，又，故，于是，由，解得，所以函數的單調遞減區間為．【小問2詳解】因，所以，又，所以，由正弦函數的性質得，，所以．【小問3詳解】，即，，由，得，又，所以，則，于是．21.設函數的定義域為.若存在常數，，使得對于任意，成立，則稱函數具有性質.（1）判斷函數和是否具有性質？(結論不要求證明)（2）若函數具有性質，且其對應的，.已知當時，，求函數在區間上的最大值；（3）若函數具有性質，且直線為其圖象的一條對稱軸，證明：為周期函數.【答案】（1）函數不具有性質，具有性質.（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據性質的定義可得；（2）根據題意時，，進而可得時取最大值；（3）當時，顯然成立，當不恒為零時，根據題意，進而根據性質，可得，，進而可